24.2.3切线的判定与性质 课件（30张PPT）

(共30张PPT)
24.2.3切线的判定与性质
人教版九年级上册
知识回顾
(1)直线和圆有 个公共点，则这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 线；
(2)直线和圆有 个公共点，则这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的切线，这个点叫 ；
(3)直线和圆 公共点，这时我们说这条直线与圆相离．
两
割
一
切点
没有
(4)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.①d＞r 直线和圆 ；②d＝r 直线和圆 ；③d＜r 直线和圆 ．
相离
相切
相交
教学目标
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
新知导入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
新知探究
如图，在⊙O 中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？
直线l和⊙O 有什么位置关系？
思考1
d＝r
直线l和⊙O相切
d
探究切线的判定定理
新知探究
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
O
应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径.
新知探究
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
判断下面的直线是不是圆的切线：
不是
因为l与半径不垂直.
不是
因为l不经过半径的外端.
不是
因为l不经过半径的外端.
新知小结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
O
l
r
d
A
O
l
A
O
新知探究
(1) 有交点，连半径，证垂直；
(2) 无交点，作垂直，证半径.
证切线时辅助线的添加方法：
新知典例
例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D = 30°.求证：CD是⊙O的切线.
证明：如图，连接OC.
∵AC=CD，∠D=30°,
∴∠A= ∠D = 30°.
∵OA=OC，∴∠ACO=∠A = 30°，∴∠COD=60°，
∴∠OCD=90°，即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
有交点，连半径，证垂直
新知练习
1.如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝60°，∠C＝30°.
判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；
证明：CD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，
∵∠ADE＝60°，∠C＝30°，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝30°，
∴∠ODE＝∠ODA＋∠ADE＝30°＋60°＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
新知典例
E
例2 如图,△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：直线AC是⊙O 的切线．
AC是⊙O的切线
作OE⊥AC
证OE= r
AB与⊙O
相切于点D
OD⊥AB
OE=OD
AO平分∠BAC
△ABC为等腰三角形
O是底边BC的中点
思路分析
无交点，作垂直，证半径
新知典例
E
证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.
∵点O是等腰△ABC底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线.
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB.
又∵OE⊥AC，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径.
这样，AC经过半径OE的外端，且AC⊥OE，
∴AC是⊙O的切线.
新知练习
2. 如图，已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=2，
求证：AM是⊙O的切线．
证明：过O点作OF⊥AM于F．
F
∵AD=2，OD=2，
∴AO=AD+OD=4
∵∠AFO=90°，∠MAN=30°，
∴OF＝OA＝2＝r．
∴⊙O与AM相切．
新知探究
思考2
将“思考1”中的问题反过来.如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l 是不是一定垂直呢？
猜想
⊙O的切线l垂直于过切点的半径OA.
探究切线的性质定理
新知探究
证明猜想
如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A.求证:l⊥OA.
证明（反证法）：
假设OA与直线l不垂直，
过点O作OB⊥l ，垂足为B.
∵垂线段最短
∴OB＜OA，即d＜r，
∴直线l与⊙O相交.
这与已知直线l是⊙O的切线矛盾.
∴假设不成立，
∴ l⊥OA.
新知小结
A
l
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线 l ⊥OA.
应用格式
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
新知探究
例3 已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长.
解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°
∴∠D＝45°；
新知探究
解：(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形.
∴OC＝CD＝2.由勾股定理，得OD＝＝2.
∴BD＝OD－OB＝2－2.
例3 已知：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长.
新知练习
3.如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D点作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.
解：(1)连接BD，则∠DBE＝90°，
∵四边形BCOE是平行四边形，
∴BC∥OE，BC＝OE＝1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，
∴BC＝AD＝1，∴AD＝2；
新知练习
3.如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D点作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长；
(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.
(2)BE是⊙O切线.
理由：连接OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD.
∴四边形BCDO是平行四边形，
又∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO是矩形.
∴OB⊥BC，所以BC是⊙O的切线.
课堂总结
切线的
判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直
课堂练习
1.（2018 常州中考）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB =52°，那么∠NOA的度数为( )
A
A.76° B.56° C.54° D.52°
解：∵MN是⊙O的切线，
∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，
∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，
∵ON=OB，
∴∠B=∠ONB=38°，
∴∠NOA=2∠B=76°．
课堂练习
2.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°，则∠ABD的度数是( )
B
A.30° B.25° C.20° D.15°
解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°.
课堂练习
3.如图，AB是⊙O的直径，直线 l1 ， l2 是⊙O的切线，A, B是切点， l1 ， l2 有怎样的位置关系？证明你的结论.
解：l1∥l2，
证明：∵直线 l1，l2是⊙O的切线，
∴l1⊥AB，l2⊥AB，
∴l1∥l2．
A
l1
l2
B
O
课堂练习
4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠BAC的平分线交BC于点D.以D为圆心，DB为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切.
证明：过点D作DE⊥AC于点E，如图所示.
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DE=DB，
∴AC与⊙D相切.
E
课堂练习
5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上(不与点B,C重合)，连接BE,CE.若∠D = 40°，则∠BEC= 度.
115
解：如图，连接OC，AC，
∵DC切⊙O于C，∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ ∠CAO =∠COB=65°，
∴∠BEC=- ∠CAO =115°。
课堂练习
6.如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.求证：PA是⊙O的切线.
证明：如图，连接OA.
∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°.
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°.
又AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°,
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线.
谢谢
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