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2023-2024学年八年级数学上学期第一次月考
A卷·基础知识达标测
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第16章、第17章 （沪教版八年级第一学期）
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（2021秋 宝山区月考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020秋 松江区校级月考）在二次根式，中，最简二次根式个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022秋 黄浦区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝1 B． C．x（x+3）＝x2 D．x（x+3）＝1
4．（2022秋 黄浦区月考）下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022秋 浦东新区校级月考）二次根式的一个有理化因式是（ ）
A． B．+ C．﹣ D．2
6．（2022秋 黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）2＝1800
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800
C．400×3+400x2＝1800
D．400+400×3x＝1800
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共12小题，每空2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（2021秋 徐汇区校级月考）计算：÷＝ ．
8．（2021秋 浦东新区校级月考）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
9．（2021秋 浦东新区校级月考）关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 ．
10．（2021秋 普陀区校级月考）计算：＝ ．
11．（2022春 杨浦区校级月考）当a＜0时，化简：＝ ．
12．（2022秋 浦东新区校级月考）分母有理化＝ ．
13．（2022秋 嘉定区校级月考）计算：（）2022×（）2023＝ ．
14．（2022秋 黄浦区校级月考）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a+2019的值为 ．
15．（2022秋 黄浦区校级月考）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 ．
16．（2022秋 浦东新区校级月考）不等式＞x的解集为 ．
17．（2022秋 浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
18．（2021秋 浦东新区校级月考）化简（）2+＝ ．
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）
19．（2021秋 宝山区校级月考）计算：﹣+3．
20．（2022秋 虹口区校级月考）化简： ÷．
21．（2022秋 虹口区校级月考）解方程：x+2＝x+x．
22．（2022秋 静安区校级期中）（1）解方程：（2x﹣1）2＝（1﹣x）2；
（2）解方程：．
四、解答题（本大题共4小题，23题6分，24题、25题8分，26题12分，满分34分）
23．（2022秋 青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．
24．（2022秋 浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
25．（2022秋 奉贤区校级期中）某公司2020年经营总收入为1500万元，该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同．
（1）求每年经营总收入的增长率是多少？
（2）预计2021年经营总收入为多少万元？
26．（2022秋 黄浦区校级月考）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为10＝32+12，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 （填序号）；
①29
②48
③13
④28
探究问题：
（2）若x2﹣6x+18可配方成（x﹣m） 2+n2（m，n为常数），则mn的值为 ；
（3）已知S＝a2+4ab+5b2﹣12b+k（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．
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2023-2024学年八年级上学期第一次月考
A卷·基础知识达标测
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋 宝山区月考）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答．
【解答】解：A、与被开方数相同，故是同类二次根式；
B、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；
D、与被开方数不相同，故不是同类二次根式；
故选：A．
【点评】此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．
2．（2020秋 松江区校级月考）在二次根式，中，最简二次根式个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：不能再化简，是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
不能再化简，是最简二次根式；
不能再化简，是最简二次根式；
∴最简二次根式有：，，．
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3．（2022秋 黄浦区校级月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝1 B． C．x（x+3）＝x2 D．x（x+3）＝1
【分析】根据一元二次方程的定义即可解答．
【解答】解：A．x﹣1＝1是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不合题意；
C．该方程化简可得3x＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．x（x+3）＝1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4．（2022秋 黄浦区月考）下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、（）＝2﹣1，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2022秋 浦东新区校级月考）二次根式的一个有理化因式是（ ）
A． B．+ C．﹣ D．2
【分析】根据（）2＝a，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ 2＝2（x+y）＝2x+2y，
∴二次根式的一个有理化因式是2，
故选：D．
【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握（）2＝a是解题的关键．
6．（2022秋 黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+x）2＝1800
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800
C．400×3+400x2＝1800
D．400+400×3x＝1800
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额＝1800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为400×（1+x），
∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，
∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1800，
即400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1800，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
7．（2021秋 徐汇区校级月考）计算：÷＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式除法运算，理解（a≥0，b＞0）是解题关键．
8．（2021秋 浦东新区校级月考）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ﹣2＜x≤1 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，
，
解得﹣2＜x≤1．
故答案为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
9．（2021秋 浦东新区校级月考）关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 m≠﹣5 ．
【分析】根据一元二次方程的定义可得m+5≠0，再解不等式即可．
【解答】解：由关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，
得m+5≠0，
解得m≠﹣5．
故答案为：m≠﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
10．（2021秋 普陀区校级月考）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1＜，
∴1﹣＜0，
∴＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．（2022春 杨浦区校级月考）当a＜0时，化简：＝ ﹣ ．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：原式＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（2022秋 浦东新区校级月考）分母有理化＝ ﹣4﹣2 ．
【分析】利用分母有理化，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝
＝﹣2（2+）
＝﹣4﹣2，
故答案为：﹣4﹣2．
【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
13．（2022秋 嘉定区校级月考）计算：（）2022×（）2023＝ ．
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则对式子进行整理，再进行二次根式的运算即可．
【解答】解：（）2022×（）2023
＝（）2022×（）2022×（）
＝[（）×（）]2022×（）
＝（5﹣4）2022×（）
＝12022×（）
＝1×（）
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（2022秋 黄浦区校级月考）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a+2019的值为 2023 ．
【分析】首先由已知可得a2﹣2a﹣2＝0，即aa2﹣2a＝2．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
【解答】解：把x＝a代入得到a2﹣2a﹣2＝0，
则a2﹣2a＝2．
又∵2a2﹣4a＝2（a2﹣2a），
把a2﹣2a＝2代入2a2﹣4a+2019＝2（a2﹣2a）+2019＝2×2+2019＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．
15．（2022秋 黄浦区校级月考）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 20% ．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
16．（2022秋 浦东新区校级月考）不等式＞x的解集为 x＜﹣3（+） ．
【分析】不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：＞x，
移项得：x﹣x＞3，
合并同类项得：（﹣）x＞3，
解得x＜﹣3（+）．
故答案为：x＜﹣3（+）．
【点评】此题考查了二次根式的应用，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
17．（2022秋 浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是 k＜1且k≠﹣1 ．
【分析】根据方程有两个实数根可以得到根的判别式大于等于0，由此求出k的范围即可；
【解答】解：∵方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个实数根，
∴Δ＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，且k2﹣1≠0，
解得：k＜1；
故答案为：k＜1且k≠﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（2021秋 浦东新区校级月考）化简（）2+＝ 6﹣2a ．
【分析】根据先确定a的取值范围，然后对含二次根式的式子进行化简得结论．
【解答】解：因为有意义，
所以3﹣a＞0，即a＜3
当a＜3时，原式＝3﹣a+|a﹣3|
＝3﹣a+3﹣a
＝6﹣2a．
故答案为：6﹣2a
【点评】本题考查了二次根式的非负性、二次根式的化简．解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
三．解答题（共8小题）
19．（2021秋 宝山区校级月考）计算：﹣+3．
【分析】首先化简二次根式以及分母有理化，进而合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣+3
＝4﹣+
＝4﹣++
＝5．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（2022秋 虹口区校级月考）化简： ÷．
【分析】根据二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵﹣＞0，﹣＞0，＞0，
∴x＜0，y＜0，
原式＝（÷
＝﹣×6
＝﹣8|x2| |y|．
＝﹣8x2 （﹣y）
＝8x2y．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简的方法进行求解是解决本题的关键．
21．（2022秋 虹口区校级月考）解方程：x+2＝x+x．
【分析】按照解一元一次方程的方法与步骤进行解答便可．
【解答】解：，
，
x＝＝＝
＝，
即x＝．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，二次根式的混合运算，熟记解方程的方法与步骤和有理化分母的方法是解题的关键所在．
22．（2022秋 静安区校级期中）（1）解方程：（2x﹣1）2＝（1﹣x）2；
（2）解方程：．
【分析】（1）方程变形后利用平方差公式分解，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程整理后利用十字相乘法分解，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（1﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（1﹣x）2＝0，
（2x﹣1+1﹣x）（2x﹣1﹣1+x）＝0，
∵x＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝；
（2），
2x2﹣3x﹣2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
【点评】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．（2022秋 青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长．
【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解答】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，
x（36﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8，
当x＝4时，
36﹣3x＝24＞22（不合题意，舍去），
当x＝8时，
36﹣3x＝12．
答：AB的长为8米，BC的长为12米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键．
24．（2022秋 浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，代入3a﹣2c＝b可得b＝c，代入回a＝2b﹣c得a＝b；
（2）根据题意知方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0有两个相等的实数根，据此得Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，解之可得k＝﹣3或k＝1，代回方程求得x的值，判断是否符合题意即可．
【解答】（1）证明：∵方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（4）2﹣4×4×（2b﹣c）＝0，即a＝2b﹣c，
∵3a﹣2c＝b．
∴3（2b﹣c）﹣2c＝b，即b＝c，
将b＝c代入a＝2b﹣c得：a＝b，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：∵a、b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0二根，且a＝b，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k+3）＝0，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝﹣3，
当k＝﹣3时，方程为x2+6x+9＝0，解得：x1＝x2＝﹣3＜0（舍）；
当k＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1（符合题意）．
故k＝1．
【点评】本题主要考查根的判别式和解一元二次方程的能力、等边三角形的判定，根据方程的根的情况得出判别式的值的情况，从而得到关于a、b、c及k的等式是解题的关键．
25．（2022秋 奉贤区校级期中）某公司2020年经营总收入为1500万元，该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同．
（1）求每年经营总收入的增长率是多少？
（2）预计2021年经营总收入为多少万元？
【分析】（1）设每年经营总收入的增长率为x，由题意：该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，列出一元二次方程，解方程即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
【解答】解：（1）设每年经营总收入的增长率为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意舍去），
答：每年经营总收入的增长率是20%；
（2）1500×（1+20%）＝1800（万元），
答：2021年经营总收入为1800万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2022秋 黄浦区校级月考）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”，理由：因为10＝32+12，所以10是“完美数”．
解决问题：
（1）下列各数中，“完美数”有 ①③ （填序号）；
①29
②48
③13
④28
探究问题：
（2）若x2﹣6x+18可配方成（x﹣m） 2+n2（m，n为常数），则mn的值为 ±9 ；
（3）已知S＝a2+4ab+5b2﹣12b+k（a，b是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展应用：
（4）已知实数a，b满足﹣a2+5a+b﹣3＝0，求a+b的最小值．
【分析】（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）利用完全平方式把原式变形，根据“完美数”的定义，即可证明结论；
（4）利用配方法和非负数的性质，即可求得a+b的最小值．
【解答】解：（1）∵29＝25+4＝52+22，13＝9+4＝32+22，48和28不能表示成两个数的平方和，
∴“完美数”有29和13，
故答案为：①③；
（2）∵x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9＝（x﹣m）2+n2，
∴m＝3，n2＝9，
∴n＝±3，
∴mn＝±9．
故答案为：±9；
（3）当k＝36时，S是“完美数”，
理由如下：
S＝a2+4ab+5b2﹣12b+16
＝a2+4ab+4b2+b2﹣12b+36
＝（a+2b）2+（b﹣6）2，
∵a，b是整数，
∴a+2b和b﹣6也是整数，
∴当k＝36时，S是“完美数”；
（4）∵﹣a2+5a+b﹣3＝0，
∴a+b＝a2﹣4a+3
＝（a﹣2）2﹣1，
∵（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，
∴a+b的最小值为﹣1．
【点评】本题考查了配方法的应用，理解新定义“完美数”并会把算式灵活配方是解决问题的关键．
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