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2023-2024学年八年级上学期第一次月考
B卷·重点难点过关测
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第16章、第17章 （沪教版八年级第一学期）
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（2022秋 黄浦区期中）在二次根式、、、中，最简二次根式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021秋 奉贤区校级期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021秋 宝山区期末）下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋 静安区校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等
D．若a+b＜0，则
5．（2022秋 宝山区期中）关于x的方程x2+mx﹣m2＝﹣5的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．﹣3或4 B．﹣3或7 C．3或4 D．3或7
6．（2022秋 浦东新区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共12小题，每空2分，满分24分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（2022秋 虹口区校级月考）使代数式有意义的x的取值范围是 ．
8．（2022秋 普陀区校级期中）计算：＝ ．
9．（2022秋 奉贤区期中）不等式的解集是 ．
10．（2022秋 黄浦区期中）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品原来每盒200元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为 ．
11．（2021秋 浦东新区校级月考）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ ．
12．（2022秋 虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为 ．
13．（2021秋 徐汇区校级月考）已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为 ．
14．（2020秋 浦东新区校级月考）用长为100厘米的金属丝制成一个长方形框子，框子的面积是400平方厘米，则这个框子的长和宽分别为 厘米．
15．（2022秋 黄浦区校级月考）在《代数学》中记载了求方程．x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x＝c时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为 ．
16．（2021秋 闵行区校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ．
17．已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是 ．
18．（2020 黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）
19．（2022秋 宝山区校级期中）计算：﹣2﹣+4
20．（2022秋 嘉定区月考）计算：（﹣）2+（﹣）（+）++9．
21．（2022秋 奉贤区期中）计算．
22．（2022春 庐阳区校级期中）
（1）解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
（2）解方程：（x+4）2＝5（x+4）
四、解答题（本大题共4小题，23题6分，24题、25题8分，26题12分，满分34分）
23．（2021秋 浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．
求﹣的值．
24．（2022秋 闵行区校级期中）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪AB边的长．
25．阅读下面问题：；；．
试求：（1）的值；
（2）的值；
（3）（n为正整数）的值．
26.有一边为8cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t．
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2023-2024学年八年级上学期第一次月考
B卷·重点难点过关测
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋 黄浦区期中）在二次根式、、、中，最简二次根式共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用最简二次根式的定义判断即可得到结果．
【解答】解：＝|b|，为最简二次根式，＝，为最简二次根式，
则最简二次根式有2个．
故选：B．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2．（2021秋 奉贤区校级期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、＝3，3与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、＝|a|，与是同类二次根式，符合题意；
D、＝3，与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
3．（2021秋 宝山区期末）下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据有理化因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：的有理化因式是a﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了分母有理化，注意：如果两个根式的积不含有根号，那么这两个根式叫互为有理化因式，
4．（2022秋 静安区校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为倒数
B．若则
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等
D．若a+b＜0，则
【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可．
【解答】解：A.，不是互为倒数，选项错误；
B．若，由于，则，选项错误；
C．若与是同类二次根式，则x+3与3不一定相等，选项正确；
D．由可得，结合a+b＜0可得a≤0，b＜0，则，选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键．
5．（2022秋 宝山区期中）关于x的方程x2+mx﹣m2＝﹣5的一个根是4，那么m的值是（ ）
A．﹣3或4 B．﹣3或7 C．3或4 D．3或7
【分析】根据方程的解的含义，把4代入原方程，方程成立，故42+4m﹣m2＝﹣5，即m2﹣4m﹣21＝0，解关于m的方程即可．
【解答】解：∵4是方程x2+mx﹣m2＝﹣5的一个根，
∴把4代入原方程，得42+4m﹣m2＝﹣5，
即m2﹣4m﹣21＝0，
解得，m＝﹣3或7，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，就是令方程成立的未知数的值，根据方程解的意义，求待定系数的值，是常见的考题．
6．（2022秋 浦东新区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关系．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，
即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c．
故选：A．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
二．填空题（共12小题）
7．（2022秋 虹口区校级月考）使代数式有意义的x的取值范围是 x≥﹣2且x≠﹣1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵x+2≥0且x+1≠0，
∴x≥﹣2且x≠﹣1．
故答案为：x≥﹣2且x≠﹣1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．
8．（2022秋 普陀区校级期中）计算：＝ ．
【分析】先将二次根式化为最简后再进行乘除运算．
【解答】解：原式＝3÷×，
＝×，
＝4．
故填4．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，比较简单，注意在运算时要细心．
9．（2022秋 奉贤区期中）不等式的解集是 x＞﹣6﹣3 ．
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．
【解答】解：2x﹣3＜x，
2x﹣x＜3，
（2﹣）x＜3，
x＞，
x＞﹣3（2+），
x＞﹣6﹣3，
故答案为：x＞﹣6﹣3．
【点评】本题考查二次根式的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
10．（2022秋 黄浦区期中）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品原来每盒200元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现在每盒售价128元，则这种药品每次降价的百分率为 20% ．
【分析】设这种药品每次降价的百分率为x，由题意可列方程为200（1﹣x）2＝128，求解即可．
【解答】解：设这种药品每次降价的百分率为x，
则第一次下调后的价格为200（1﹣x），第二次下调的价格为200（1﹣x）2，
根据题意得：200（1﹣x）2＝128，
解得：x＝0.2＝20%或x＝1.8＝180%（不符合题意舍去），
即这种药品每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．（2021秋 浦东新区校级月考）已知（x2+y2）（x2+y2﹣5）＝6，则x2+y2＝ 6 ．
【分析】设x2+y2＝m，把原方程转化为含m的一元二次方程，先用因式分解法求解，再确定x2+y2的值．
【解答】解：设x2+y2＝m，原方程可变形为：m（m﹣5）＝6，
即m2﹣5m﹣6＝0．
∴（m﹣6）（m+1）＝0，
解得m1＝6，m2＝﹣1．
∵m＝x2+y2≥0，
∴x2+y2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握换元法和解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．
12．（2022秋 虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为 3或4或5或7或11 ．
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．
【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；
当m﹣3≠0，即m≠3时，
（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0
[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，
∴x1＝＝，x2＝m，
∵方程的两个实数根都为正整数，
∴是正整数，
∴m＝4或5或7或11，
故答案为：3或4或5或7或11．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．
13．（2021秋 徐汇区校级月考）已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为 19 ．
【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形，
∴三角形的周长＝2+8+9＝19．
故答案为：19．
【点评】综合考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
14．（2020秋 浦东新区校级月考）用长为100厘米的金属丝制成一个长方形框子，框子的面积是400平方厘米，则这个框子的长和宽分别为 40厘米，10 厘米．
【分析】设这个框子的长为x厘米，宽为（50﹣x）厘米，根据长方形的“面积＝长×宽”为相等关系列方程求解即可．
【解答】解：设这个框子的长为x厘米，宽为＝（50﹣x）（厘米），则
x（50﹣x）＝400．
整理，得
x2﹣50x+400＝0，
解方程，得，
x1＝40，x2＝10，
答：这个框子的长为40厘米，宽为10厘米，
故答案为：40厘米，10．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系：长方形的面积＝长×宽是解决问题的关键．
15．（2022秋 黄浦区校级月考）在《代数学》中记载了求方程．x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x＝c时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39．该方程的正数解为 3 ．
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可得解．
【解答】解：如图2，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为：
39+（）2×4＝39+25＝64，
∴该方程的正数解为﹣×2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解题的关键．
16．（2021秋 闵行区校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 2 ．
【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解．
【解答】解：∵x＝＝＝（）2＝2n+1﹣2，
y＝＝＝（）2＝2n+1+2，
∴x+y＝4n+2，xy＝1，
将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985，
化简得x2+y2＝98，
（x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100，
∴x+y＝10．
∴4n+2＝10，
解得n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解．
17．已知两个连续奇数的平方差是2000，则这两个连续奇数可以是 501，499或﹣501，﹣499 ．
【分析】可设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据平方差是2000列方程求解即可．
【解答】解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，
（x+2）2﹣x2＝2000，
解得x＝499，
∴x+2＝501，
故答案为501，499或﹣501，﹣499．
【点评】考查一元二次方程的应用；根据两个数的平方差得到等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：连续奇数相差2．
18．（2020 黄州区校级模拟）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝ ﹣．
【分析】由二次方程有实根，得到△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通过代数式变形可得两个非负数的和小于或等于0，从而得到a，b的方程组，解方程组即可求出它们的比．
【解答】解：∵方程有实根，
∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，
化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，
∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，
∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，
所以＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了几个非负数和的性质以及代数式变形的能力．
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋 宝山区校级期中）计算：﹣2﹣+4
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣+2
＝+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（2022秋 嘉定区月考）计算：（﹣）2+（﹣）（+）++9．
【分析】直接利用乘法公式以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣2+1+5+2+3
＝11+3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
21．（2022秋 奉贤区期中）计算．
【分析】根据二次根式的乘除法则及二次根式的化简进行运算
【解答】解：原式＝×
＝﹣
＝﹣a2b
＝．
【点评】本题考查了二次根式乘除法则及二次根式的化简，熟悉发则是解题的关键．
22．（2022春 庐阳区校级期中）（1）解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】公式法求解可得．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴△＝16﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
则x＝＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（2）解方程：（x+4）2＝5（x+4）
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0，x+4﹣5＝0，
x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
23．（2021秋 浦东新区校级月考）若x，y为实数，且y＝++．求﹣的值．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．
【解答】解：依题意得：x＝，则y＝，
所以＝＝，＝＝2，
所以﹣＝﹣＝﹣＝．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
24．（2022秋 闵行区校级期中）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪AB边的长．
【分析】可设矩形草坪AB边的长为x米，则BC的长是（32﹣2x）米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
【解答】解：设AB边的长为x米，根据题意得：
x（32﹣2x）＝120，
解得：x1＝6，x2＝10，
当x1＝6时，BC＝20＞16（不合题意，舍去），
当x2＝10时，BC＝12，符合题意．
答：该矩形草坪AB边的长为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
25．阅读下面问题：；；．
试求：（1）的值；
（2）的值；
（3）（n为正整数）的值．
【分析】观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝；
（3）原式＝＝．
【点评】要将中的根号去掉，要用平方差公式（）（）＝a﹣b．声26.
26.有一边为8cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t．
【答案】或．
【解析】重合部分面积先逐渐增大，然后逐渐
减小，面积增大过程中，阴影部分为
等腰直角三角形时，
则有，得，此时则有；面积减小过程中，阴影部分为等
腰直角三角形时，则有，得，此时则有．
【总结】考查几何图形中的动点问题，注意面积的变化趋势和相应问题的多解性．
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