江西省吉安市万安县中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

万安县中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角 B．终边相等的角必相等
C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（ ）
A． B． C． D．
5．设i为虚数单位，若复数，则复数的实部与虚部的和为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题．意思为“现有城（如图，等腰梯形的直棱柱体），下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈（1丈＝10尺）”，则该问题中“城”的体积等于（ ）

A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺
7．如图，在正三棱柱中，若，，点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为（ ）

A．1 B．2 C． D．
8．在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．已知函数，则说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
11．在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（ ）

A．直线与直线AF异面
B．直线与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形
D．三棱锥A-CEF的体积是正方体体积的
12．如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）

A．满足的点有且只有一个
B．满足的点有两个
C．存在最小值
D．不存在最大值
三、填空题（共20分）
13．已知向量满足，则 ．
14．当函数取得最大值时的的集合为 ．
15．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为1的大正方形，若直角三角形中较小的内角为，小正方形的边长为，则 ．
16．如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为 .

四、解答题（共70分）
17．已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
0
0
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
18．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
19．已知向量，向量．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，且，求的最大值以及对应的x的值．
20．①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，______，
(1)求B；
(2)求的面积．
21．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

(1)将用含有的关系式表示出来；
(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
22．如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．

(1)若，求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的最大值．
1．D
因为，
故选：D.
2．A
锐角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正确；
选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差整数倍，故错误；
选项C．小于的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.
故选：A
3．A
因为，，
所以，
故选：A
4．A
.
故选：A
5．D
，
则其实部为，虚部为，故实部与虚部之和为2，
故选：D.
6．D
依题意，该柱体的体积为立方尺.
故选：D
7．C
在正三棱柱中，若，，
点是棱的中点，点在棱上，
，
点到平面的距离，
三棱锥的体积为：
．
故选：C．
8．A
因为，
由余弦定理得，
又因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设边的中点为，则，
因为，所以，
即为的中点，所以：.
故选：A.
9．CD
对于①，，而是第三象限角，①不是；
对于②，角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，，是第二象限角，③是；
对于④，，是第二象限角，④是.
故选：CD
10．AC
对于A选项，因为，
所以，
的图象关于点对称，所以A选项正确.
对于B选项，由，
知的图象不关于直线对称，所以B选项错误.
对于C选项，由，
知为奇函数，所以C选项正确.
对于D选项，因为，
，
，所以不为偶函数，所以D选项错误.
故选:AC.
11．ABC
对于选项A，易知AF与异面，选项A正确；
对于选项B，取的中点为M，连接、GM，则，，易证，从而，选项B正确；
对于选项C，连接，，易知平面AEF截正方体所得的截面为等腰梯形，选项C正确；
对于选项D．设正方体棱长为a，三棱锥A-CEF的体积，选项D错误．
故选：ABC．
12．BC
建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形的边长为1，，则
，
所以，，
由，得，
所以，所以，
①当点在上时，，且，
所以；
②当点在（不含点B）上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，即；
③当点在（不含点C）上时，，且，
所以，即，所以；
④当点在（不含点A、D）上时，则，所以，化简，
所以，
因为，所以，所以；
对于A，由①知，当时，，此时点与点重合；
由④可知当时，，，此时点在的中点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以A错误，
对于B，由②知，当时，，，此时点在的中点；
由③知，当时，，，此时点在点处；
其它均不可能，所以这样的点有两个，所以B正确，
对于CD，由①②③④可得：
当，即点为点时，取到最小值0；
当，即点为点时，取到最大值3，所以C正确，D错误，
故选：BC.

13．/
由题意，
，所以，
故答案为：
14．
依题意令，，
解得，，
所以函数取得最大值时的的集合为.
故答案为：
15．
如图所示，在直角三角形中，，，，
则，，所以，，
所以，解得，，
所以.
故答案为：
16．
解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，
因为，所以，∥，
又因为，，
所以，
所以,,
所以，，
所以为二面角的平面角，
所以，
作于，
因为，，，
所以平面，
又因为平面，
所以 ，
又因为，,
则平面，所以∥，
则有，
即，

由题意可求得：，
设，
由题上式可得：，
求得：，从而求得：，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
17．(1)答案见解析；
(2)时，取最小值0；时，取最大值1.
（1）分别令，可得：
x
0
0 1 0 0
画出函数在一个周期的图像如图所示：

（2）因为，所以，
所以当，即时，取最小值0；
当，即时，取最大值1.
18．(1)
(2)
（1）设，则，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以
故点对应的复数为.
19．(1)
(2)，
（1）因为，所以，解得.
（2）
,
又因为，所以，
所以当，即时取得最大值为3.
20．(1)条件选择见解析，；
(2)或.
（1）若选①，，
可得，可得：，
因为，可得，可得，可得；
若选②，，由正弦定理可得，
因为，则，可得，即，
因为，可得；
若选③，因为，可得，
可得，因为，可得；
（2）结合（1）因为，利用正弦定理可得，所以，
因为，所以或，
当时，，
因为，所以，，
可得：，
当时，则，
又因为，所以，．
所以的面积为或.
21．(1)，
(2)答案见解析
（1）因为，，
所以，.
（2）因为，
所以，
在中，由余弦定理易得，
因为，所以，
当，即时，
取最大值取最大值，
此时，
，
故当时，取最大值.
22．(1)证明见解析
(2)
（1）由题意矩形中，，M是AD的中点，
可知, ，
设O为中点，连接，则，

又，，
故，
又 ，O为中点，故，而，
故，故，
而平面，故平面，
平面，故平面平面；
（2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时，
二面角逐渐增大，
当平面平面时，作，垂足为E，连接，

因为O为中点，则E为中点，此时;
由于平面，平面，故，
平面，故平面，
则为二面角的平面角，而,
故；
下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况：
设Q为中点，连接，则四边形为正方形，
连接，则O在上，则，

平面，故平面，
平面，故平面平面，
平面平面，作，垂足为F，
则平面，平面，故,，
作，垂足为G，连接，
平面，故平面，
故为二面角的平面角，
设，当时，二面角的正弦值为0；
当时，，
作，垂足为H，则四边形为矩形，
则，故，
故
，
由于，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
即二面角的正切值的最大值为，
此时二面角的正弦值的最大值，
由于，故二面角的正弦值的最大值.