人教版数学八年级上册 13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质和判定 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第十三章 轴对称
13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质和判定
1、理解线段垂直平分线的性质和判定。
2、能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题。
3、会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理。
学 习 目 标
如果一个图形沿着一条直线 ，两侧的图形能够 ，这个图形就是轴对称图形.
折痕所在的这条直线叫做_________.
对称轴
对折
完全重合
复 习 导 入
把一个图形沿着某一条直线 ,如果它能够 ,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做 .
折叠
与另一个图形重合
对称点
A′
A
B
C
B′
C′
D
A的对称点是F，C的对称点是_____，____的对称点是E.
能重合的点叫_________.
对称点
图中的对称点有哪些
B
线段ＡＦ被直线 m 垂直且平分
直线 m 叫做线段ＡＦ的垂直平分线
定义：经过线段的中点且与之垂直的直线就叫这条直线的垂直平分线，也叫中垂线.
轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
轴对称的性质：
探究 1 线段的垂直平分线的性质
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
合 作 探 究
问题1：怎样作出线段的垂直平分线？
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
A
B
A(B)
A
B
l
O
l
C
O
A
B
C
D
（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
方法一：尺规作图法
使线段AA'的两个端点互相重合，
A’
A
(A')
折叠法
方法二：
就是线段AA'的垂直平分线.
通过折纸，
得到的折痕
画垂线的方法
度量法
方法三：
用刻度尺量出线段的中点，
再用三角尺过中点
作出线段的垂直平分线 .
问题2：
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
A
B
l
P1
P2
P3
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
A
B
P
C
l
证明：
∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）
∴ PA =PB．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
A
B
P
M
N
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
新 知 小 结
D
C
B
E
A
解：
∵ED是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
∵ △BCD的周长=BD+DC+BC
∴ △BCD的周长=AD+DC+BC
=AC+BC
=12+7=19
如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
典 例 精 析
如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等。反过来，如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？
A
B
Q
A
B
Q
情况一
点在线段上
情况二
点在线段外
探究 2 线段的垂直平分线的判定
A
B
Q
问题1：点在线段上
若点Q在线段AB上，且QA=QB，
则Q是线段AB的中点，
点Q在线段AB的垂直平分线上。
问题2：点在线段外
A
B
Q
如图，若点Q在线段AB外，且QA=QB，则作QM⊥AB，垂足为M。
M
证明：
∵　QM⊥AB，
∴ ∠PMA =∠PMB=90°．
在Rt△QAM和Rt△QBM中
∵ AQ =QB，QM =QM，
∴ Rt△QAM ≌Rt△QBM（ HL) ∴ AM =BM．
即点Q在线段AB的垂直平分线上
这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？
与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
思 考
A
B
P
C
l
到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上。
几何语言描述：
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
新 知 小 结
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
典 例 精 析
1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
随 堂 练 习
3.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E . 求证：直线AD是CE的垂直平分线．
证明：
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠EAD＝∠CAD
∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB
∴ ∠AED＝∠ACB＝90°
在 △AED 和 △FCE 中
∵
(公共边）
AD=AD
∠AED＝∠ACB
∠EAD＝∠CAD
∴ △ADE≌△ADC
∴ AE=AC，
∴ 点A、D都在CE的垂直平分线上
DE=DC
∴ 直线AD是CE的垂直平分线
(AAS）
到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线上的点
① 性质定理：
A
B
P
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
到线段两端距离相等的点
在线段的垂直平分线上.
② 判定定理：
线段的垂直平分线
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
这点到三角形三个顶点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线相交于一点，
必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等
利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，
④方法技巧：
( 即证有两点在线段的垂直平分线上 )．
③结论：
课 堂 总 结