(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］化简 的值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
2.［探究点一］（多选题） 化简的结果可以是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] .
3.［探究点一］函数 是( )
D
A.周期为 的偶函数 B.周期为 的偶函数
C.周期为 的奇函数 D.周期为 的奇函数
[解析] 因为 ,所以函数 的最小正周期为 .
又 , ,所以函数 为奇函数.故选D.
4.［探究点二］已知 ,则 ( )
B
A. B. C.5 D.
[解析] ,解得 .故选B.
5.［探究点二］已知 , ,则 ___.
0
[解析] 由已知得 , ,两式相加得 ,故 .
6.［探究点二、三］已知 , ,其中 , ,
则 ____, ______.
[解析]
因为 ,
又 , ,
所以 ,所以 .
7.［探究点一］化简求值:
（1） ;
解 原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
原式
B级 关键能力提升练
8.若 , ,则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] .
9.设 , ,且 ,则( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,得 ,
.
又 , ,故 ,即 .
10.在 中,如果 ,那么这个三角形一定是( )
C
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
[解析] ,
由已知可得 ,
,
即 ,即 .
, , ,
.故 一定为等腰三角形.
11.在 中, , ,则角 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由公式变形得 ,
.
, ,
,
则 .故选D.
12.在 中, , ,则 的大小为( )
A
A. B. C. 或 D. 或
[解析] 由题意知
得 ,
则 , 在 中, ,
或 .
若 ,则 ,
, .
又 , .
此时 ,不符合题意, , .
[解析] （方法1） .
当 时, ;
当 时, .
（方法2）
,所以 .
13.函数 的最小值是_____,最大值是____.
14.形如 的式子叫做行列式,其运算法则为 ,则行列式
的值是____.
[解析]
.
C级 学科素养创新练
15.是否存在锐角 , ,使得（1） ,（2） 同时成立？
若存在,求出锐角 , 的值；若不存在,请说明理由.
解 假设存在锐角 , 使得（1） ,
（2） 同时成立.
由（1）得 ,
所以 .
又 ,所以 ,
因此 , 可以看成方程 的两个根,设方程的两根
为 , ,解得 , .
若 ,则 ,这与 为锐角矛盾,
所以 , ,所以 , ,
所以满足条件的 , 存在,且 , .(共20张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.能通过任意角的三角函数的定义及平面上两点间的距离公式推导出两角差的余弦公
式.
2.理解两角差的余弦公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 两角差的余弦公式
公式: .
（1）简记符号: .
（2）适用条件:公式中的角 ， 是任意角.
名师点睛
1.公式可简记为:余余正正、符号反.
2.公式中的 ， 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合，公
式右端展开式为角 ， 的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和.
3.要注意公式的逆用和变形应用，如
.
过关自诊
1.你能利用两角差的余弦公式推导 吗？
提示 .
2. _ __.
[解析] .
4.［北师大版教材例题］利用两角差的余弦公式求 的值.
解 我们熟知 , , 的三角函数值, 可用 表示,也可用 表示.
.
3. _ __.
[解析] 原式 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用两角差的余弦公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值：
（1） ；
解 .
（2） ；
原式
.
（3） .
.
规律方法 两角差的余弦公式常见题型及解法
（1）两特殊角之差的余弦值,利用两角差的余弦公式直接展开求解.
（2）含有常数的式子,先将常数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角差的余弦公式求解.
（3）求非特殊角的三角函数值,把非特殊角转化为两个特殊角的差,然后利用两角差的余弦公式求解.
变式训练1 化简下列各式：
（1） ；
解 原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式
.
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
【例2】（1） 已知 , 是第二象限角; , 是第四象限角,求
的值;
解 , 是第二象限的角,
.
, 是第四象限的角,
,
.
（2）已知 , , , 均为锐角,求 的值.
由 , 为锐角可得 .由 , 均为锐角,得
,
由 ,可得 ,于是
.
规律方法 给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与
所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
（2）由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或
凑角的变换.常见角的变换有: ; ;
; .
（2）若 , 均为锐角,且 , ,则 的值等于_____.
[解析] 因为 , 均为锐角,且 , ,
所以 , ,
故 .
变式训练2（1） 若 , ,则 ___.
[解析] 因为 , ,所以 ,于是
.
探究点三 利用两角差的余弦公式解决给值求角问题
【例3】 已知 , 均为锐角,且 , ,求 的值.
解 因为 , 均为锐角, , ,
所以 , .
因此 .
又因为 ,所以 ,
因此 ,
故 .
变式探究 本例中,若将条件“ , 均为锐角”改为“ , ”,再求 的值.
解 因为 , , , ,所以 , .
因此 .
又因为 ,所以 ,
因此 ,故 .
规律方法 解决三角函数给值求角问题的方法步骤
（1）根据条件确定所求角的范围;
（2）求所求角的某种三角函数值,为防止不合适的解最好选取在上述范围内单调的三角函数;
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）两角差的余弦公式的推导.
（2）给角求值,给值求值,给值求角.
2.方法归纳:整体法、构造法.
3.常见误区:（1）求角时忽视角的范围;（2）注意公式的逆用及符号问题.(共20张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、
求值.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数 倍角公式 简记
正弦
余弦
正切
名师点睛
1.二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如 是 的二倍， 是 的二倍
等.“倍”是描述两个数量之间的关系的，这里蕴含着换元思想.
2.对于 和 ， ,但是在使用 时，要保证分母 且
有意义，即 且 .当 时，
的值不存在;当 时， 的值不存在，故不能用二倍角公式求
,此时可以利用诱导公式直接求 .
3.一般情况下， , , .
4.倍角公式的逆用更能拓展思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如
.
微拓展
二倍角公式的变换
（1）因式分解变换.
.
（2）配方变换.
.
（3）升幂缩角变换.
, .
（4）降幂扩角变换.
, , .
过关自诊
1. 的值为___.
[解析] .
2. ___.
[解析] .
3.［苏教版教材例题］已知 , ,求 , , 的值.
解 因为 , ,
所以 .
于是 ,
,
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用二倍角公式解决给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:
（1） ;
解 原式 .
（2） ;
原式 .
（3） ;
原式 .
（4） .
原式
.
规律方法 给角求值问题的常见解法
（1）直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
变式训练1 求下列各式的值：
（1） ；
解 原式 .
（2） .
原式 .
探究点二 利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】 ［北师大版教材习题］在 中,已知 , ,求 ,
.
解 因为 ,所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
所以 .
因为 , ,所以 .
所以 .
规律方法 解决条件求值问题的方法
给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:
（1）有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;
（2）寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
变式训练2 已知 , ,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] , ,
,
,
,
故选A.
探究点三 利用二倍角公式解决化简与证明问题
角度1.证明问题
【例3】 求证: .
证明 原式变形为 .（*）
（*）式右边 左边, 式成立,即原式得证.
角度2.化简问题
【例4】 化简: .
解
.
规律方法 探究三角函数式化简、证明的常用技巧
（1）特殊角的三角函数与特殊值的互化；
（2）对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分；
（3）对于二次根式,注意倍角公式的逆用；
（4）利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等；
（5）利用“1”的恒等变形,如 , 等.
变式训练3（1） 求证：
.
证明 左边
右边,
.
（2）化简 .
解 原式 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）二倍角公式的推导.
（2）利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳:转化法、整体法.
3.常见误区:
（1）化简求值开根号时,忽视角的范围;（2）逆用公式时易混淆系数和幂次的变化.(共20张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］ ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由两角差的余弦公式可得
,故选B.
2.［探究点一］计算 的值是( )
C
A. B. C. D.
[解析] .
3.［探究点二］已知锐角 , 满足 , ,则 的值
为( )
A
A. B. C. D.
[解析] , 为锐角, , ,
, ,
.故选A.
4.［探究点一］化简 ____.
[解析] 原式 .
5.［探究点二］已知 , ,则 _____.
[解析] , ,
,
.
6.［探究点三］已知 , ,且 ,
,求角 的值.
解 由 ,且 ,
得 .
由 ,且 ,
得 .
又 , , .
,则 .
B级 关键能力提升练
7.已知 , ,则 的值为( )
B
A. B. C. D.1
[解析] 因为 ,
所以 .①
又因为 ,
所以 .②
所以 得 ,
所以 .故选B.
8.已知 ,则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .故选C.
9.由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形
如图所示，若图中直角三角形两锐角分别为 , ，且小正方形与大
正方形面积之比为 ，则 的值为( )
A
A. B. C. D.0
[解析] 设大正方形的边长为1，因为小正方形与大正方形面积之比为 ，
所以小正方形的边长为 ，可得 ，①
，②
由图可得 ， ，
可得 ，
解得 .
10.（多选题）下列满足 的有( )
BC
A. B. ,
C. , D. ,
[解析] 由 可得 ,因此 ， ,B,C项符合.
11.（多选题）若 ,则 的一个可能值是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 对比公式特征知, , ,故 , 都合适.
12.（多选题）已知 ， ， ， ，
，则下列说法正确的是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 由已知，得 ， .
两式分别平方相加，得 ，
， ， 正确，B错误.
， ， ， ，
， ， 正确，D错误.
13.在 中, , ,则 的大小为( )
A
A. B. C. 或 D. 或
[解析] 由 ①, ,
得： ,
化简得： ,
即 ,又 ,
所以 的大小为 或 ，
若 ,得到 ,则 ,所以 ,
则 与 矛盾，所以 ,
所以满足题意的 的值为 .
故选A.
14.若 , , , ,则 _ __,
____.
[解析] 因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
又 ,所以 .
于是
.
15.已知 , 为锐角且
.
（1）求 的值；
解 ,
,
.
（2）若 ,求 的值.
, , , 为锐角,
, .
当 时,
；
当 时,
.
为锐角, .
C级 学科素养创新练
16.如图所示,在平面直角坐标系 中,以 为始边作两个
锐角 , ,它们的终边分别与单位圆相交于 , 两点,已
知点 , 的横坐标分别为 , .求 的值.
解 依题意,得 , .
因为 , 为锐角,所以 , ,
所以 .(共28张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内
在联系.
2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的化简、求值.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的余弦公式
两角和的正弦公式
两角差的 正弦公式
名师点睛
两角和与差的正弦公式的记忆方法
记忆口诀：正余余正，符号相同.正余余正表示展开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同.
过关自诊
1.如何推导公式 与 ？
提示 （1） .
（2）（方法1） .
（方法2）用 代替 中的 ,
.
2. ______.
[解析] .
3.［苏教版教材例题］已知 ， 求
的值.
解 由 ,得 .
由 ,得 .
由两角和的余弦公式得
.
知识点2 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正切公式
两角差的正切公式
名师点睛
公式的右边为分式形式，其中分子为 ， 的和或差，分母为1与
的差或和.
公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.
当角 ， ， 的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公
式或其他方法解题.
过关自诊
1.你能写出和角、差角这6个公式的逻辑联系框图吗？
提示
2.如何借助两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和的正切公式,借助两角和的正切公式推导两角差的正切公式
提示 , , ,
.用 代替 中的 ,
.
3. ____.
4.［北师大版教材例题］已知 , ,其中 .求:
（1） ;
解 .
（2） .
.
因为 , ,所以 .
由于在 与 之间,只有 的正切值等于1,故 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 化简与求值
【例1】 化简下列各式:
（1） ;
解 原式
.
（2） ;
原式 .
（3） ;
,
,
.
（4） ;
原式
.
（5） .
.
同理可得 , 原式 .
规律方法 1.公式的巧妙运用
①顺用：如本例中的（1）；②逆用：如本例中的（2）；③变用：变用涉及两个
方面，一个是公式本身的变用，如 ,一个是角的
变用，也称为角的拆分变换，如 , 等，从某
种意义上来说，是一种整体思想的体现，如
.这些需要在平时的解
题中多总结、多研究、多留心，唯其如此才能在解题中知道如何选择公式，选择哪一
个公式会更好.需要说明的是，本例中的（4）运用到了切化弦，将特殊值 化为
等，为此可以熟记一些常见的特殊角的函数值，如
, 等.
2.公式的推广：本例中的（5）所得结论可以推广到一般情形：若 ,则
;若 ,则 , .
探究点二 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
【例2】 已知 , , , .
解 因为 ,所以 ,
又 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
又 ,
所以 .
（1）求 的值;
.
（2）求 的值;
.
又 ,从
而 .
（3）求 的值.
,
于是 .
规律方法 给值求值的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
（1）当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
（2）当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
变式训练（1） 已知 , 为第二象限角,且 ,则 的值
为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 为第二象限角,
,又 ,
,
.
.
（2）［苏教版教材例题］已知 , , , 均为锐角,求
的值.
解 由 , 均为锐角,可知 ,从而 , .
由 ,得 .
由 ,得 ,
所以
.
探究点三 利用两角和与差的三角函数公式解决给值求角问题
【例3】 已知 , ,且 , ,求 的值.
解 由 , ,且 , ,可得 ,
,
因此 .
又因为 , ,所以 ,
故 .
变式探究 本例中,将条件改为“ , ,且 , ”,再
求 的值.
解 因为 , ,且 , ,所以 ,
.
因此 .
又因为 , ,所以 ,故 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）公式的推导.
（2）给式求值、给值求值、给值求角.
（3）公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:转化法、整体法、构造法.
3.常见误区:
（1）公式中加减符号易记错；
（2）求值或求角时易忽视角的范围.
