(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 正切函数的图象与性质
解析式
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数
对称中心
单调性
过关自诊
1.正切曲线是中心对称图形吗？若是,对称中心是什么？是轴对称图形吗？
提示 正切曲线是中心对称图形,对称中心为 ,不是轴对称图形.
2.正切函数 的图象与直线 , 有公共点吗？
提示 没有.正切曲线是由被互相平行的直线 隔开的无穷多支曲线组成的.
3.函数 的最小正周期为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 根据正切函数的周期公式计算得最小正周期 .
4. 的解集为( )
D
A. , B. ,
C. D. ,
[解析] 由 的图象知（图略）,当 时, , .故选D.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 正切函数的定义域与值域问题
【例1】 求下列函数的定义域和值域:
（1） ;
解 依题意得 , ,
所以 , ，
所以函数的定义域是 .
由正切函数的值域可知该函数的值域是 .
（2） .
依题意 ,所以 .
结合 的图象（图略）可知,在区间 上,满足 的角 应满足
,所以函数 的定义域为 , ,其
值域为 .
规律方法 （1）求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数 有意义,即 , .而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
（2）解形如 的不等式的步骤:
变式训练1 求函数 的定义域.
解 依题意有 ,所以 .
所以 , .
又 , ,故函数定义域为
.
探究点二 正切函数的单调性及其应用
角度1.求正切函数的单调区间
【例2】 求函数 的单调区间.
解 .
由 ，得 , ,所以函
数 的单调递减区间是 ,无单调递增区
间.
规律方法 的单调区间的求法是把 看成一个整体,解 , 即可.当 时,先用诱导公式把 化为正值,再求单调区间.
变式训练2 函数 的单调递减区间为__________________________.
[解析] .
由 ,得 ,
函数 的单调递减区间为 .
角度2.比较大小
【例3】 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小.
（1） 与 ;
解 , .
因为 , 在 上单调递增,
所以 ,即 .
（2） 与 .
, .
因为 , 在 上单调递增,
所以 ,所以 ,
即 .
规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;
（2）运用单调性比较大小关系.
变式训练3 比较下列两个数的大小（用“ ”或“ ”填空）:
① ___ ；
[解析] ,且 ,又 在 上单调递增,
所以 ,即 .
② ___ .
[解析] , ,
因为 ,又 在 上单调递增,
所以 ,则 .
探究点三 正切函数的周期性与奇偶性
【例4】（1） 求函数 的最小正周期;
解 由题可知 ,故函数 的最小正周期为 .
（2）已知函数 ,若 ,求 的值.
令 ,则 .
因为 , ,所以
是奇函数.
因为 ,
所以 ,则 ,故
.
规律方法 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性:
（1）一般地,函数 的最小正周期为 ,常利用此公式来求与正切函数有关的周期.
（2）函数 是奇函数,其图象关于原点对称.若函数 是奇函数,则 .
变式训练4（1） 函数 ( )
A
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数
[解析] 要使 有意义,必须满足 即 且
,所以函数 的定义域关于原点对称.
又 ,
故 是奇函数.
（2）若函数 的最小正周期是 ,则 ____.
[解析] 依题意有 ,即 ,所以 .
探究点四 正切函数图象与性质的综合应用
【例5】 设函数 .
（1）求函数 的最小正周期和图象的对称中心;
解 ,
的最小正周期 .
令 ,得 ,
的图象的对称中心是 .
（2）作出函数 在一个最小正周期内的简图.
令 ,则 ;令 ,则 ;
令 ,则 ， 函数
的图象与 轴的一个交点坐标
是 ,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐
近线方程分别是 , ,从而得到函数 在一个最小正周期内的简图
（如图）.
规律方法 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键,正切曲线是被相互平行的直线 , 隔开的无穷多支曲线组成的, 的图象的对称中心为 , .
变式训练5 [2023山东邹城期末] 已知函数 .
（1）求 的定义域和最小正周期；
解 对于函数 ,应有 , ,解得 ,
,所以函数的定义域为 ,函数的最小正周期为 .
（2）求 的单调区间.
令 , ,则 , ,所以函数 的
单调递减区间为 , ,没有单调递增区间.
本节要点归纳(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］函数 的定义域为( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 由题意得 即 ,
所以 ,故选A.
2.［探究点四］（多选题）与函数 的图象不相交的一条直线方程是
( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 令 , ,得 , ,
直线 , 与函数 的图象不相交, 当 时,
;当 时, .
3.［探究点三］函数 ( )
A
A.是奇函数 B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数
[解析] 函数的定义域为 ,关于原点对称.
设 ,
则 .
所以 是奇函数.故选A.
4.［探究点四］函数 的对称中心是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由 , ,得 , ,
函数的对称中心是 , .
5.［探究点三］下列四个函数中,以 为最小正周期,且在区间 上单调递增的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在区间 上, ,则 不单调,故A错误；在区间 上,
, 单调递减,故B错误；在区间 上, 单调递增,且其
最小正周期为 ,故C正确；根据函数以 为最小正周期,但 的周期为
,故D错误.故选C.
6.［探究点二（角度 ）］函数 的单调递增区间是
_ ______________________.
,
[解析] 令 , ,则 , ,所以函
数 的单调递增区间是 , .
7.[探究点二（角度2）·2023河南南阳唐河月考] , , 的大小顺序是
_ ___________________.
[解析] 因为 ,2, ,且 在 和 上均单调递增,所以
,且 ,所以 .
8.［探究点一］求函数 , 的值域.
解 , .
令 ,则 .
.
当 ,即 时, ,
当 ,即 时, .
故所求函数的值域为 .
B级 关键能力提升练
9.下列图形是 ；
； ；
在 内的大致图
象,那么由 到 对应的函数关系式应是
( )
D
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
10.在区间 范围内,函数 与函数 图象交点的个数为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 在同一平面直角坐标系中,首先作出
与 在区间 内的图象,
需明确 时,有 ,然后利
用对称性作出 时两函数的图象
（注意正切函数的定义域）,如图所示,由图象可
知它们有三个交点.
11.方程 在 上的解的个数是( )
B
A.5 B.4 C.3 D.2
[解析] 由题意知, , ,所以 , .
又 ，所以 , , , ,共4个.故选B.
12.（多选题）下列关于函数 的相关结论，正确的有( )
AC
A. 的定义域是
B. 的最小正周期是
C. 的单调递增区间是 ,
D. 的对称中心是
[解析] 令 ，解得 ，则函数 的定义域是
, ，A选项正确；
函数 的最小正周期为 ，B选项错误；
令 ，解得 ，则函数
的单调递增区间是 ，C选项正确；
令 ，解得 ，则函数 的图象的对称中心
为 ，D选项错误.
13.（多选题）对于函数 （其中 , , ）,选取 , ,
的一组值计算 和 ,所得出的结果可能是( )
ABC
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
[解析] 设 ,显然 为奇函数.
, ,
.
, 为偶数.故选 .
14.已知函数 在区间 上单调递减,则 的取值范围为_______.
[解析] 由题意可知 ,
又 ,故 .
15.关于 的函数 有以下几种说法:
①对任意的 , 既不是奇函数，也不是偶函数;
② 的图象关于 对称;
③ 的图象关于 对称;
④ 是以 为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是____.
①
[解析] ①若取 ,则 ,此时, 为奇函数,所以①错;观察正
切函数 的图象,可知其关于 对称,令 , ,得
,分别令 ,2知②,③正确,④显然正确.
16.是否存在实数 ，且 ，使得函数 在区间 上单调递增？
若存在，求出 的一个值；若不存在，请说明理由.
解 ,
在区间 上单调递增，
结合题意,易得 ,
又 , ,
,
解得 .
由 得 ,此时 .
, 存在 ，满足题意.
C级 学科素养创新练
17.已知函数 , ,其中 , .
（1）当 时,求函数的最大值和最小值；
解 当 时, .
, 当 时, 取得最小值 ,
当 时, 取得最大值 .
（2）若 在区间 上是单调函数,求 的取值范围.
是关于 的二次函数,它的图象的对称轴为直线
.
在区间 上是单调函数,
或 ,即 或 .
又 ,
的取值范围是 .
