(共14张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一（角度 ）］已知 为第一象限角,且 ,则 的值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 为第一象限角,且 ,所以 ,而 是第一或第三象限角.
当 是第一象限角时, ;当 是第三象限角时,
,故 .
2.［探究点三］（多选题）已知函数 ,则下列说法正确的是
( )
BCD
A. 的最大值为2 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上单调递增
[解析] ,
,最小正周期 .
当 时, ,
直线 为 图象的对称轴.
当 时, ,
在 上单调递增.
综上B,C,D正确,A不正确.
3.［探究点一（角度 ）］已知 ,且 ,则
_ ____, ____.
[解析] ,
.
又 ,
,
.
4.［探究点二］若 ,则 __.
[解析]
,
.
.
5.［探究点一（角度 ）］证明： .
证明 左边
右边.
所以原等式成立.
B级 关键能力提升练
6.若函数 ,则 ( )
D
A. B. C.1 D.
[解析] ,
.
7.若 ，则 ( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ，
所以 ， ， .
于是 .
8.设函数 为实常数 在区间 上的最小值为 ,那
么 的值等于( )
C
A.4 B. C. D.
[解析]
当 时, ,
, .
9.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于 ，则它的底角的余弦值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设等腰三角形的顶角为 ，底角为 ，则 .
又 ，即 .
10.若 , ,则 __, __.
[解析] 因为 ,所以 ,
所以 ,
,
所以 , .
11.已知 , , , 均为锐角,求 的值.
解 , ,
, , ,
若 , , ,
,与已知矛盾, ,
,
.
, ,
.
C级 学科素养创新练
12.已知 , ,求证:
.
证明 由已知，得 ,①
.②
和差化积，得 .③
.④
当 时， ,与实际不符，
.
,得 .
.
,得 ,即 ,
.(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.能运用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换（包括推
导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 半角公式
， , .
名师点睛
1.若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；
2.若给出了角 的具体范围，则先求 所在范围，再根据 所在范围确定符号;
3.若给出的角 是某一象限的角，则根据下表决定符号:
第一象限 第一或第三象限
第二象限 第一或第三象限
第三象限 第二或第四象限 -
第四象限 第二或第四象限 -
4.正切半角的有理形式:
.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1） .( )
×
（2）对于 , 都不成立.( )
×
（3）若 , ,则 .( )
×
2.［苏教版教材例题］已知 ,求 , , 的值.
解 , ,
.
知识点2 辅助角公式
辅助角公式 ,其中 , 所在的象限
由 , 的符号决定.
名师点睛
辅助角公式： 公式的推导.
,令 ,
,则
其中 角
所在象限由 , 的符号确定， 角的值由 确定，或由 和
共同确定 .
微拓展
用 来表示 的正弦、余弦、正切.
, , .
过关自诊
1.函数 在 上的值域是_______.
[解析] .
又 , .
, .
2.［北师大版教材习题］求函数 的最小正周期.
解 .
因为 的最小正周期 ,所以 的最小正
周期为 .
知识点3 积化和差、和差化积公式（补充）
1.积化和差公式
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
2.和差化积公式
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
过关自诊
1.［苏教版教材例题］求 的值.
解 原式 .
2.［北师大版教材例题］把 化为积的形式.
解 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 半角公式的应用
角度1.用半角公式解决求值问题
【例1】 已知 ,且 ,求 , , , 的值.
解 因为 ,且 ,
所以 .
又 ,
故 ,
,
.
又因为 ,所以 .
规律方法 已知 的某个三角函数值,求 的三角函数值的步骤:（1）利用同角三角函
数基本关系式求得 的其他三角函数值;（2）确定角 的取值范围;（3）代入相应的
半角公式计算.
变式训练1 已知 ,且 ,求 .
解 ,
,即 是第二象限角, ,
.
角度2.用半角公式解决证明问题
【例2】 求证: .
证明
当 时， ,左边
右边；
当 时， ,
左边
右边.
综上，原等式成立.
规律方法 证明问题中的“三变”
（1）变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
（2）变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
（3）变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
探究点二 积化和差、和差化积公式的应用
【例3】（1） 已知 ,求 .
解 ,
,
.
又 , .
（2）求证: .
证明 左边
.
变式探究 在例 中，若不利用积化和差公式,如何求解
解 ,
, ,
,即 .
又 , .
规律方法 1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
变式训练2 已知 , .求证:
.
证明 由题意知 ,
,
,①
.②
两式平方相加,得 .
探究点三 辅助角公式的应用
【例4】 将下列各式化为 的形式:
（1） ;
解
.
（2） ;
.
（3） .
.
规律方法 将三角函数 化为 的步骤
（1）将 运用二倍角公式化为 ,对 , 运用降幂公式,对
, 运用两角和与差的公式展开.
（2）将（1）中得到的式子利用 化为
的形式.
变式训练3 ［北师大版教材习题］求函数 的单调递增
区间.
解 .
令 , ,解得 , .
故函数的单调递增区间为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）半角公式,辅助角公式.
（2）三角恒等变换的综合应用.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:半角公式符号的判断.
