(共21张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 函数 的有关性质
名称 性质
定义域 _ __
值域 _ _______
周期性
对称中心
对称轴
奇偶性
单调性
单调递增
单调递减
过关自诊
1.如何通过函数 的部分图象确定 , , 的值？
提示 的值可由图象上的最大（小）值确定； 的值可由 确定,相邻的两对称
轴（中心）间的距离为 ,相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ; 的值可由“五点
法”中的点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置.
2.若函数 是偶函数,则 的值可以是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 , ,得 , ,
选项中只有A符合要求.
3.函数 的单调递增区间为_ _________________________.
,
[解析] 令 ,则 .
4.如图为函数 的图
象的一部分,则函数的解析式为___________________.
[解析] 由图象,可得 , , .
函数图象过点 , , , ,
, .
又 , .
故函数的解析式为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 三角函数图象变换的应用
【例1】 将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后,得到一个偶
函数的图象,则 的一个可能取值为( )
B
A. B. C.0 D.
[解析] 把函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后,得到的图象
的解析式是 ,该函数是偶函数的条件是 , ,根
据选项检验可知 的一个可能取值为 .
变式探究 本例中,若将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度,得
到的图象关于直线 对称,则 的最小正值等于_ _.
[解析] 函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度,得到
的图象,该图象关于直线 对称,则有
,则 ,因此 的最小正值等于 .
规律方法 函数 的奇偶性:
（1）当 时,函数是奇函数;
（2）当 时,函数是偶函数;
（3）当 ,且 时,函数既不是奇函数，也不是偶函数.
探究点二 由 的图象确定其解析式（或求值）
【例2】 函数 , , 在
一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式
_________________.
[解析] 的最小值为 ,且 , .
根据 ,可得 ,又 , .
点 在函数图象上,
,即 ,
即 , ,解得 , .
,可得 ,
故函数 .
规律方法 给出 的图象的一部分,确定 , , 的方法:
（1）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 , , .
但需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入解析式.
（2）图象变换法:运用逆向思维的方法,先确定函数的基本解析式 ,再
根据图象平移规律确定相关的参数.
[解析] 由题图可知 , ,
则可补全函数图象得 ,故 为函数图象的一个对称中心,所以得
.
变式训练 已知函数 的部分图象如图所
示, ,则 __.
探究点三 函数 性质的综合应用
【例3】 已知函数 为偶函数,且函数
的图象的两相邻对称轴间的距离为 .
（1）求 的值;
解 因为 为偶函数,
所以 ,即 .
又 ,所以 ,
故 .
因为函数 图象的两相邻对称轴间的距离为 ,且 ,所以 ,解得
,
因此 ,故 .
（2）将函数 图象上所有点向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横
坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,求函数 的单调递减区间.
将 图象上所有点向右平移 个单位长度后,得到函数 的图象,再将所得图
象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到 的图象,
所以 .
由 ,
解得 ,故函数 的单调递减区间是
.
变式探究 本例（2）改为将 图象上所有点向右平移 个单位长度,再
将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数 的图象,当
的图象的一条对称轴为直线 时,求 的值.
解 依题意有 .
因为其图象的一条对称轴为直线 ,
所以 ,
解得
又因为 ,所以取 ,得 .
规律方法 研究函数 性质的基本策略:
（1）首先将所给函数的解析式转化为 的形式;
（2）熟记正弦函数 的图象与基本性质;
（3）充分利用整体代换思想解决问题,或熟记有关函数 的奇偶性、对称性、单调性的重要结论.
本节要点归纳(共28张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023河南郑州金水期末] 已知函数
的部分图象如图所
示,为了得到 的图象,可将 图象上所有
的点( )
C
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 由图可知, ,解得 ,又 ,则 .
函数 的图象过点 ,
, ,即 , .
, , .
, 为了得到 的图象,可将 图象上所有的
点向左平移 个单位长度.故选C.
2.［探究点二］函数 的
部分图象如图所示,则其解析式为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由题图知, ,由 ,知 ,又 , ,则
.
由题图知最高点坐标为 ,
将其代入 ,得 ,
.解得 .
, , .
3.［探究点三］已知 ,函数 的图象的一条对称轴为直线
, 一个对称中心为 ,则 有( )
A
A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1
[解析] 由题意知 ,故 .
, .
4.［探究点一］将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后,得到
一个偶函数的图象,则 的一个可能的取值为( )
B
A. B. C.0 D.
[解析] 将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后,得到
的图象.
因为 是偶函数,所以 , ,即 ,
.当 时, .
5.［探究点二］已知函数 的图象关于直线 对称,则
的值为_ ___.
[解析] 由题意可得 ,解得 ,即
.
因为 ,所以 , .
6.［探究点二］若函数 （其中 , ,
）的部分图象如图所示,则函数的解析式
_ ____________.
[解析] 根据图象可得 .
又 , ,解得 .
又 ,则 , ,即
, ,因为 ,可得 ,故
.
7.［探究点三］已知函数 在一个周期内,当
时有最大值2,当 时有最小值 ,则 ___, __.
2
[解析] 由题意知,周期 ,
又 ,所以 .
又因为当 时有最大值2,
所以 ,
所以 , .
又 ,所以 .
B级 关键能力提升练
8.如果函数 的图象关于直线 对称,那么实数 的值为
( )
D
A. B. C.1 D.
[解析] 根据对称轴的定义,因为函数 的图象以直线
为对称轴,那么到 距离相等的 值对应的函数值应相等,所以
对任意 成立.
令 ,得 ,
,所以 .
经检验,当 时,满足题意.
9.[2023陕西延安模拟] 函数 图象上所有的点向右平移 个单位
长度后得到函数 的图象,并且函数 在区间 上单调递增,在区间
上单调递减,则实数 的值为( )
C
A.10 B.18 C.2 D.8
[解析] 函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数
的图象,即 .
由于函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,所以当 时,函数
取得最大值,即 , ,解得 , .
由函数的单调性可知 ,所以 ,又 ,所以 ,故 , .
故选C.
10.将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后得到函数
的图象,则关于函数 的正确结论是( )
B
A.奇函数,在 上单调递减
B.最大值为1,图象关于直线 对称
C.最小正周期为 ,图象关于点 对称
D.偶函数,在 上单调递增
[解析] 将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度后得到函数
的图象,则函数 为偶函数,故A错误；
的最大值为1,当 时, ,为最小值,故 的图象关于直线
对称,故B正确；
的最小正周期为 ,当 时, ,故C错误；
当 时, , , 的图象先增后减,故D错误.故选B.
11.（多选题）将函数 图象 上所有的点向左平移 个单位长度后得到
图象 ,若 的一个对称中心为 ,则 的取值不可能是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 图象 对应的函数为 ,因为 的一个对称中心为 ,所
以 , ,即 , .令 ,得 , 的取值不可
能是 , , .
12.（多选题）已知函数
的部分图象如
图所示，则下列结论正确的是( )
BCD
A.函数 的图象关于直线 对称
B.函数 的图象关于点 , 对称
C.函数 在区间 上单调递增
D.直线 与函数 的图象的所有交
点的横坐标之和为
[解析] 由函数 的图象可得，
， ，因此 ,所以 ,所以 .
因为函数图象过点 , ，所以 , ，又 ，所
以 ，所以 .
当 时， ，故A错误；
当 时， ，故B正确；
当 时， ，所以 在 上单调递
增，故C正确；
当 时，直线 与函数 的图象有4个交点，
设这4个交点的横坐标从小到大依次为 , , , ，则
，故D正确.
13.将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移 个单
位长度得到 的图象,则 _____________;若函数 在区间 , 上
单调递增,则实数 的取值范围是_ _____.
[解析] 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半,可得
的图象;再向左平移 个单位长度,可得 的图象.
令 ,得 .
令 ,得 在 上单调递增.
又 在 上单调递增,所以 ,即 ,解得 .
令 ,得 在 上单调递增.
又 在 上单调递增,所以 ,即 ,得 .
综上, .
14.若函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,且该
函数的图象关于点 中心对称， ,则 ___.
[解析] 由 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ,
知 , ,又图象关于点 中心对称，得 ,而
，则 .
15.已知函数 的最小正周期为 ,且图象
上的一个最低点为 .
（1）求 的解析式;
解 由函数 图象上的一个最低点为 ,得 .
由最小正周期 , ,得 .
由点 在图象上,得 ,
即 ,所以 ,
故 ,又 ,所以 , .
所以函数的解析式为 .
（2）当 时,求 的最大值和最小值.
因为 ,所以 ,
所以当 ,即 时,函数 取得最小值1;
当 ,即 时,函数 取得最大值 .
16.若函数 在区间 上单调递减”,试求实数 的取值
范围.
解 依题意 ，即 ，
又 ，所以 解得 .
又 ，所以 , ，
所以 ， ,
因为函数 在 上单调递减，
所以 解得 ，即 .
C级 学科素养创新练
17.已知函数 , , 在一个周期内的图象如图所
示.
（1）求函数 的解析式；
解 由题图,知 ,由函数图象过点 ,得 ,即 .又 ,所以
.
设函数 的最小正周期为 ,又 , , ,所以 ,又
的图象过点 ,所以 , ,所以 .
因此所求函数的解析式为 .
（2）求方程 的解的个数.
在同一平面直角坐标系中作函数 和
函数 的图象如图所示.
因为 的最大值为2,令 ,得
,
令 ,得 .
而 ,且 ,
所以在区间 内有31个形如 的区间.
在每个区间上 与 的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在
上有 （个）交点.
另外,两函数的图象在 内还有一个交点,所以方程 共有63个实数
解.(共25张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 参数 ， ， 对函数 图象的影响
1. 对函数 图象的影响
2. 对函数 图象的影响
3. 对函数 图象的影响
名师点睛
由 的图象得到 的图象的两种方法:
过关自诊
1.由 的图象变换为 的图象时,应注意什么？
提示 应注意 的正负.
2.要得到函数 的图象,只要将函数 的图象( )
A
A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度
[解析] 将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度,就可得到函数
的图象.
3.［北师大版教材习题］函数
一个周期的图
象如图所示,试确定 , , 的值.
解 由函数图象可知 , , ,
则 ,
所以 .
由 , ,得 ,
.
又 ,故 .
综上可知, , , .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 匀速圆周运动的数学模型
【例1】 一个大风车的半径为 , 旋转一周,它的最低点 离地面 ,风车翼
片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转,则点 离地面距离 （单位: ）与时间
（单位: ）之间的函数关系式是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 设 ,
旋转一周, , .
由题可知 , 且 .
由于最大值与最小值分别为14,2，
解得
.
规律方法 匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值，半径影响振幅 ，频率或周期能确定 ,初始位置不同对 有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.
变式训练1 为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标
系,设秒针指向位置 ,若初始位置为 ,秒针从
（注:此时 ）开始沿顺时针方向走动,则点 的纵坐标 与时
间 （单位：秒）的函数关系为( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 设 .
秒针是顺时针旋转, .又由每60秒转一周,
,
由 ,得 , ，解得 .
.
探究点二 用“五点法”作函数 的图象
【例2】 作出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图.
解 列表如下:
0
0 0 0
描点连线（如图所示）.
规律方法 1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数 的图象,实质是利用函数的三个零点及两个
最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.用“五点法”作函数 图象的步骤
第一步:列表.
0
0 A 0 0
第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.
第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象
解 列表如下:
0
0 0
描点,连线得函数 在一个周期内的图象,如图.
变式训练2 作出函数 在长度为一个周期的闭区间上的简图.
探究点三 函数 的图象变换
【例3】 已知函数 ，该函数的图象可由 , 的图象
经过怎样的变换得到？
解 （方法1）步骤:①将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到函数 的图象;
②把 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,而纵坐标不变,得到函数
的图象;
③将函数 的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,得到
函数 的图象;
④把得到的 的图象上所有的点向上平移 个单位长度,就能得到
的图象.
（方法2）步骤:
①将函数 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,而纵坐标不变,得到函数
的图象;
②将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到函数
的图象;
③将 的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变,得到函数
的图象;
④再把得到的 的图象上所有的点向上平移 个单位长度,就得到函数
的图象.
规律方法 1.对函数 ,其图象的基本变
换有：
（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由 的变化引起的， 时伸长，
时缩短.
（2）周期变换（横向伸缩变换）：是由 的变化引起的， 时缩短，
时伸长.
（3）相位变换（横向平移变换）：是由 引起的， 时左移， 时右移.
（4）上下平移（纵向平移变换）：是由 引起的， 时上移， 时下移.
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.若相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的
变换得到结论.
3.由 的图象得到 的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到.
变式训练3（1） 若将函数 图象上的每一个点都向左
平移 个单位长度,得到 的图象,若函数 是奇函数,则函数 的
单调递增区间为( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 由题意 , 函数 是
奇函数, , ,
, 取 , .
, 当 ， ,
即 , 时,函数 单调递增,
故选B.
（2）将函数 , 图象上每一点的横坐标缩短为原
来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 的图象，则
_ __.
[解析] 把函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，再
把函数 图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到
函数 的图象，所以 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）平移变换.
（2）伸缩变换.
（3）图象的画法.
2.方法归纳:五点法、数形结合法.
3.常见误区:先平移和先伸缩作图时平移的量不一样.(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变）,然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )
A
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数 的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数 的图象.故选A.
2.［探究点三］要得到函数 的图象,只需将函数 图象上
所有点( )
C
A.向右平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
[解析] 因为 ,所以应将函数 图象上
所有点向右平移 个单位长度.
3.［探究点二］某同学用“五点法”画函数 , , 在
一个周期内的简图时,列表如下:
0
0 2 0 0
则根据表格可得出 ___， ___, _ ___.
2
3
[解析] 由表格得 , ,又 , ,
.
当 时, , .
4.[探究点一·2023四川绵阳月考] 某游乐场中的摩天轮做匀速圆
周运动,其中心距地面20.5米,半径为20米.假设从小军同学在最
低点处登上摩天轮开始计时,第6分钟第一次到达最高点,则第10
分钟小军同学离地面的高度为_____米.
10.5
[解析] 以摩天轮的圆心为坐标原点,平行地面的直径所
在的直线为 轴,建立直角坐标系如图,设 时刻小军的
坐标为 , 时刻小军随摩天轮转过的角度为
,根据三角函数的定义有
,地面所在水平直线与
坐标系交线的方程为 ,则第10分钟时他距离
地面的高度大约为 米.
5.［探究点二］已知函数 .
（1）用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）；
解 列表如下：
0
1 3 1 1
描点、连线作图如下：
（2）写出函数 图象的对称中心坐标及对称轴的方程.
由图象可得函数图象对称中心的坐标为 , , ,对称轴方程为 , .
B级 关键能力提升练
6.函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,若所得图象与原
图象重合,则 的值不可能等于( )
B
A.4 B.6 C.8 D.12
[解析] 的图象上所有的点向左平移 个单位长度后得到
,其图象与原图象重合,有
,即 .
故 的值不可能为6.
7.设 ,则函数 的部分图象不可能是( )
D
A.&5& B.&6&
C.&7& D.&8&
[解析] , ,故A正确；
, ,图象为B,B正确；
, ,图象为C,C正确；
, ,当 时,函数单调递增,D不正确.故选D.
8.如图为一半径是2米的水轮,水轮圆心 距离水面1米,已知水轮
每分钟旋转5圈,水轮上的点 到水面的距离 （单位：米）与
时间 （单位：秒）满足函数关系
, , ,则( )
A
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 由题意可得 ,又 , ,由图可知 的最大值为3,
时取得最大值, ,解得 .
9.将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,则( )
D
A. 的图象关于直线 对称 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点 对称 D. 在区间 内单调递增
[解析] 函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得
的图象,即 的图象.根据正弦函数的图象及性质可知，对称轴方
程为 , ，所以A错误； 的最小正周期 ,所以B错误；
的图象的对称中心坐标为 , ,所以C错误. 的单调递增区间为
, ,所以 在区间 内单调递增.故选D.
10.（多选题）为了得到函数 的图象,只要把函数 图象上所有
的点( )
BC
A.向左平移 个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍
B.向左平移 个单位长度,再将横坐标变为原来的
C.横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位长度
D.横坐标变为原来的 ,再向左平移 个单位长度
[解析] 把函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到
的图象；再将横坐标变为原来的 ,得到 的图象.或把函数
图象上所有的点横坐标变为原来的 ,得到 的图象；再向左平移 个单位长
度,可得 的图象.故选 .
11.将函数 的图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标______（填“伸长”
或“缩短”）为原来的___倍,将会得到函数 的图象.
伸长
3
[解析] ,故将函数 图象上所有点的横坐标保持不变,纵坐标
伸长为原来的3倍,即可得到函数 的图象.
12.已知 , 在 , 上单调,且 ,
, 则 ____.
[解析] 由题意知 ,又 ,所以 .
由 ,得 , ,
所以 , .
又因为 ,所以 ,即 ,则 .
13.已知函数 ,其中常数 .
（1）若 在 上单调递增,求 的取值范围;
解 因为 ,根据题意有 解得 ,所以 的取值范围为 .
（2）令 ,将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度,再向上平移1个
单位长度,得到函数 的图象,区间 , 且 满足: 在
上至少含有30个零点,求 的最小值.
由题意知 ,
.
由 ,得 ,所以 或 ,
,
解得 或 , ,
即 的零点相离间隔依次为 和 ,
故若 在 上至少含有30个零点,则 的最小值为 .
C级 学科素养创新练
14.[2023湖北武汉汉阳期末] 函数 .
（1）请用五点法画出函数 在 上的图象（先列表,再画图）；
解 列表如下:
0
0 3 0 1 0
作出函数 在 上的图象如图所示.
（2）设 , ,当 时,试研究函数 的零点的情况.
令 ,则 ,原问题转化为函数 在 上的图象
与直线 的交点个数.
因为 ,所以 ,当 ,即 时, 的图象与直线
有两个交点,即 有两个零点；
当 ,即 时, 的图象与直线 只有一个交点,即 有一
个零点；
当 ,即 时, 的图象与直线 没有交点,即 没有零点.
综上,当 时, 有两个零点；当 时, 有一个零点；当
时, 没有零点.
