(共13张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］函数 的最小正周期 为( )
D
A.6 B. C. D.2
[解析]
2.［探究点二］下列函数中是奇函数的为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 令 .易知 , ,故函数 是奇函数.
3.［探究点三］设函数 满足 , ,则函数
的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
[解析] 由 , ,得 是偶函数,图象关于 轴对称,排除A，C.
由 ,得 的周期为2，排除D.故选B.
4.［探究点二］设函数 ,若 ,则 _ ___.
[解析] 易知 .令 , , 为奇函数.
又 , , ,
.
5.［探究点一］已知定义在 上的函数 满足 ,求证: 是周期函数.
证明 ,
.
函数 是周期函数,4是一个周期.
B级 关键能力提升练
6.如果函数 的相邻两个零点之间的距离为 ,则 的值为
( )
B
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析] 函数 的相邻两个零点之间的距离为 ,所以
,由 ,解得 .
7.设 是定义域为 ，最小正周期为 的函数,若 则
的值等于( )
B
A.1 B. C.0 D.
[解析] .
8.（多选题）下列函数中周期为 ,且为偶函数的是( )
AC
A. B.
C. D.
[解析] 由 的图象（图略）知, 是周期为 的偶函数,所以A正确;
B中函数为奇函数,所以B不正确;
C中 是偶函数,且周期为 ,所以C正确;
D中函数的周期为 ,所以D不正确.
9.（多选题）若函数 的图象关于 轴对称，那么 的取值可以是
( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 因为函数的图象关于 轴对称，所以该函数是偶函数.所以 , .
10.[2023陕西西安月考] 关于 的函数 有以下说法:
①对任意的 , 都是非奇非偶函数；
②存在 ,使 是偶函数；
③存在 ,使 是奇函数；
④对任意的 , 都不是偶函数.
其中错误的是______（填序号）.
①④
[解析] 当 时, 是奇函数.
当 时, 是偶函数.
11.设函数 , , ,且以 为最小正周期.若 ,
则 的值为_ ___.
[解析] 因为 的最小正周期为 , ,
所以 .
所以 .
因为 ,
所以 ，所以 .
C级 学科素养创新练
12.已知函数 , .求 的值.
解 .
又 , ,
, ,
, ,
, ,
.
又 ,
.(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］函数 的一个单调递增区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 如图，画出 的图象即可求解.
故选C.
2.［探究点二（角度1）]（多选题）下列不等式中成立的是( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] 在 , 上单调递增,又 ,
,故A不成立;
,故B成立;
在 上单调递减,
又 , ,故C不成立;
, .
,且 在 , 上单调递增,
, ,故D成立.
故选 .
3.［探究点三（角度 ）］函数 , 的值域是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .
所以 ,
所以 .故选B.
4.［探究点三（角度3）］函数 的最小值是( )
B
A.2 B. C.1 D.
[解析] 由 ,当 时， 取得最小值 .故选
B.
5.［探究点三（角度2）］函数 的最大值和最小值分别
是( )
B
A. , B. , C.2, D.2,
[解析] 函数 ,当
时, .
所以当 ,即 时,函数 取得最小值 ;当 ,即
时,函数 取得最大值 .
6.［探究点一］函数 , 的单调递增区间为_ ______,单调递
减区间为_ ______.
[解析] , ,
令 , ,
则 , .
又 ,所以 ,
即 的单调递减区间为 ,
同理 的单调递增区间为 ,
所以 在 上的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
7.[探究点二（角度2）·2023山东烟台芝罘月考] 已知 ,函数
在区间 上单调递增,则实数 的取值范围是______.
[解析] 函数 的单调递增区间是 , ,令
, , ,得 .
函数 在区间 , 上单调递增,
,
解得 .
又 , , .
8.［探究点一、三］已知函数 .
（1）求 的单调递增区间；
解 令 ,
解得 .
的单调递增区间为 .
（2）求 的最小值及取得最小值时相应的 值.
当 ,即 时, 取得最小值 .
B级 关键能力提升练
9.已知函数 的图象关于直线 对称,则 的值可能是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意,当 时, ,
故 ,解得 .
当 时, ,故 的值可能是 .
10.（多选题）设函数 ,则下列结论正确的是( )
ABC
A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称
C.函数 的一个零点为 D. 在 内单调递减
[解析] A显然正确;
图象的对称轴为直线 , ,当 时, ,故B正确;
令 ,所以 , ,得 , ,令 ,得 ,所
以 为 的一个零点,故C正确;
令 ,当 时, ,
由 的图象知 在 内单调递减,在 内单调递增,故D不正
确.故选 .
11.已知函数 ,其中 ,若 的值域是 ,则 的取
值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 若 ,则 ,
当 或 时, ,
要使 的值域是 ,则有 , ,即 的取值范围是
.
12.函数 的最大值为( )
A
A. B.1 C. D.
[解析] 因为 ,
所以 .所以 .故选A.
13.（多选题）设函数 ,则下列结论正确的是( )
AD
A. 的最小正周期 为 B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递增
[解析] 对于A, , ,故A正确；
对于B,由 , ,解得 , ,
时, , 时, ,故B错误；
对于C，由 , ,解得 , , 时， , 时，
,故C错误；
对于D，由 ,解得 ,
所以函数在 内单调递增,所以函数在 内单调递增,故D正确.
故选 .
14.函数 , ,当 __时, 最小且最小值为____.
[解析] 令 , , ,
, .
在 上单调递减,
当 ,即 时, .
15.已知函数 其中 , ,若函数 的图象与
轴的任意两个相邻交点间的距离为 ,且直线 是函数 图象的一条对称轴.
（1）求 的值;
解 因为函数 的图象与 轴的任意两个相邻交点间的距离为 ,所以函数的周期 ,又 ,所以 .
（2）求 的单调递增区间;
因为直线 是函数 图象的一条对称轴,
所以 , , , .
又 ,所以 .
所以函数 的解析式是 .
令 , ,
解得 , .
所以函数 的单调递增区间为 , .
（3）若 ,求 的值域.
因为 ,所以 .
所以 ,即函数的值域为 .
C级 学科素养创新练
16.定义在 上的偶函数 满足 ,且在 上单调递增, ,
是锐角三角形的两个内角,求证： .
证明 由 ,得 ,所以函数 是周期函数,
且2是它的一个周期.
因为函数 在 上单调递增,所以函数 在 上单调递增.
因为 , 是锐角三角形的两个内角,所以 ,
即 .
因为 在 上单调递增,
所以 ,且 , ,所以
.(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用.
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的周期性
1.周期函数的定义
一般地，设函数 的___________，如果存在一个______，使得对每一个 ,
都有 ,且_________ ，那么函数 就叫做周期函数.非零常数 叫做
这个函数的周期.
2.最小正周期的定义
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______
就叫做 的最小正周期.
定义域为
非零
正数
正数
1.对周期函数与周期定义中的“对每一个 ”，要特别注意“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ，那么 不一定是 的周期.
2.自变量 本身加的常数才是函数的周期，如 中 不是函数的周期， 才是函数的周期，因为 .
名师点睛
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）所有的函数都有最小正周期.( )
×
（2）因为 ，所以 是函数 的一个周期.( )
×
2.周期函数的周期是否唯一？
提示 不唯一.
3.若存在正数 ,使 ,则函数 的一个周期为_ _________________.
（答案不唯一）
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数
名师点睛
函数 和 的周期：
（1）函数 （其中 ， ， 为常数，且 ， ）的最小正周期 .
（2）函数 （其中 ， ， 为常数，且 ， ）的最小正周期 .
过关自诊
1.函数 满足什么条件时为奇函数、偶函数？ 满足
什么条件时为奇函数、偶函数？其中 , , 为常数,且 , .
提示 根据诱导公式.当 , 时, 为偶函数;当 ,
时, 为奇函数.当 , 时, 为奇
函数;当 , 时, 为偶函数.
2.下列函数中周期为 ,且为偶函数的是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 显然周期为 的有A和C,又 是偶函数,故选C.
3.下列四个函数中,图象关于 轴对称的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 函数图象关于 轴对称,则函数为偶函数,故选B.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 求下列三角函数的最小正周期:
（1） , ;
解 由题可知 ,
函数的最小正周期 .
（2） , ;
由题可知 , 函数的最小正周期 .
（3） , ;
由题可知 , 函数的最小正周期 .
（4） , .
函数 的图象如图（实线部分）
所示.
由图象可知, 的最小正周期为
.
规律方法 求三角函数的最小正周期的常用方法
求三角函数的最小正周期,一般有两种方法:（1）公式法,即先将函数化为
或 （其中 , , , 均为常数, ,
）的形式,再利用 求得;（2）图象法,即作出函数的图象,通过观察得到最小
正周期.
变式训练1 求下列函数的最小正周期:
（1） ;
解 因为 ,
所以 ,
所以函数的最小正周期 .
作出 的图象,如图所示,易知 的最小正周期为 .
（2） .
探究点二 三角函数的奇偶性及其应用
【例2】 判断下列函数的奇偶性:
（1） ;
解 函数 的定义域为 .
,
函数 是偶函数.
（2） ;
, .
,
函数 是偶函数.
（3） .
由题意可知 ,
则函数 的定义域为
.
显然定义域不关于原点对称,
故函数 既不是奇函数，也不是偶函数.
规律方法 判断函数奇偶性的常用方法:
定义法
图象法 作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性
验证法
提醒:判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.
变式训练2 判断下列函数的奇偶性:
（1） ;
解 函数 的定义域为 ,
,
.
为奇函数.
（2） ；
函数 的定义域为 ,
.
为偶函数.
（3） .
由 且 ,得 ,从而 , ,此时 ,
故该函数既是奇函数又是偶函数.
探究点三 函数奇偶性与周期性的综合问题
【例3】 定义在 上的函数 既是偶函数,又是周期函数,若 的最小正周期为 ,
且当 时, ,则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题知 故选D.
变式 探究1若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,求 的值.
解 .
变式 探究2若例3条件不变,求 的值.
解 因为 ,
,所以
.
规律方法 当函数值的出现具有一定的周期性时,可以先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再予以推广求值.
[解析] 当 时, ,则 .
因为当 时, ,
所以 .
因为 是周期为2的奇函数,所以 .
变式训练3 设 是周期为2的奇函数,当 时, ,则
时, _ ________________.
本节要点归纳(共34张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
续表
最值
图象的 对称性
续表
对正弦函数、余弦函数的单调区间的理解
（1） 取 内的每一个值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间.
（2）正弦函数或余弦函数取最值时，对应着函数图象的最高点或最低点.
名师点睛
过关自诊
1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗？
提示 不是,它们只是在某具体区间上是单调函数.
2. 和 在区间 （其中 ）上都单调递减,你能确
定 的最小值, 的最大值吗？
提示 由正弦函数和余弦函数的单调性可知 的最小值为 , 的最大值为 .
3.函数 的单调递减区间是______________________；单调递增区间是_____
________________.
4.比较 与 的大小.
解 , , , .
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递减区间:
（1） ;
解 令 ,则 ,函数 的单调递减区间是
，
令 ,得 ，
故原函数的单调递减区间是 .
（2） .
.
令 ,则 .
函数 的单调递减区间是 ,令
, ，
得 , ，
故函数 的单调递减区间是 .
规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的单调区间的求解技巧:
（1）结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间;
（2）确定函数 单调区间的方法:采用“换元”法整
体代换,将 看作一个整体,可令“ ”,即通过求 的单调区间
求出原函数的单调区间.若 ,则先利用诱导公式将 的系数转变为正数.
变式训练1 求函数 的单调递增区间.
解 .
令 , ,
得 , ,所以该函数的单调递增区间是
.
探究点二 单调性在三角函数中的应用
角度1.利用单调性比较三角函数值的大小
【例2】 比较下列各组数的大小:
（1） 与 ；
解 , .
在 上是单调递增的,
,即 .
（2） 与 .
,
.
,且 在 上是单调递减的,
,即 .
角度2.已知三角函数的单调情况求参数
【例3】 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令 , ,因为 ,
所以 , .
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 且 ,
所以 .
由题可知 ,即 ,又 ,所以 且 ,解得
.
又 ,所以 ,所以 .
故实数 的取值范围为 .
规律方法 比较三角函数值大小的方法
（1）通常利用诱导公式化为锐角三角函数值;
（2）不同名的函数化为同名函数;
（3）自变量不在同一单调区间的化至同一单调区间.
变式训练2（1） 比较大小:
① 与 ;
解 , .
函数 在 上单调递减，且 ,
，
, .
② 与 .
, ,
在区间 上单调递减，
,即 .
（2）已知 ,函数 在 上单调递减,求 的取值范围.
解 由 , ,得 ,由题意知
, ,
,解得 , .
, .
又 , 解得 ,
的取值范围为 .
探究点三 与三角函数有关的函数的值域问题
角度1.利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大（小）值
【例4】 求下列函数的值域：
（1） , ;
解 , .
令 ,易知 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，且 , , ,
,
， 函数的值域为 .
（2） .
时， ,
函数 的值域为 .
角度2.化为 或 型的函数求值域或最大（小）值
【例5】 求使下列函数取得最大值和最小值时的 的值，并求出函数的最大值和最小值：
（1） ;
解 .
因为 ,所以当 ，即 , 时，函数取得最小
值, ;
当 ，即 , 时，函数取得最大值,
.
（2） ;
.
因为 ,所以当 ,即 , 或 , 时，
函数取得最大值， ;
当 ，即 , 时，函数取得最小值， .
（3） , .
.因为 ,所以
,所以当 ，即 时，函数取得最大值， ;
当 ，即 时，函数取得最小值， .
角度3.分离常数法求值域或最大（小）值
【例6】 求函数 的值域.
解 .
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以函数的值域为 .
规律方法 与三角函数有关的函数的值域（或最大（小）值）的求解思路
（1）求形如 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性
求解.
（2）对于形如 的函数，当定义域为 时，值域为
;当定义域为某个给定的区间时，需确定 的范围，再结合函
数的单调性确定值域.
（3）求形如 , , 的函数的值域或最大（小）值
时，可以通过换元，令 ，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求
值域或最大（小）值，求解过程中要注意正弦函数的有界性.
（4）求形如 , 的函数的值域，可以用分离常数法求解；也可以
利用正弦函数的有界性建立关于 的不等式反解出 .
变式训练3（1） 函数 的最大值为___,此时自变量的取值集合为
_ ___________________.
7
[解析] 当 , ,即 , 时, .
（2）已知 ,且 ,求 的最大值和最小值.
解 令 , ,因为 ,所以 ,即 ，所以
，故当 时,函数取得最小值1；当 时,函数取
得最大值 .
（3）已知函数 .
①求函数 的最小正周期；
解 ,
函数 的最小正周期 .
②求函数 在区间 上的值域.
, ,
, ,
即 的值域为 .
本节要点归纳
