黑龙江省哈尔滨市萧红中学2023-2024学年九年级上学期数学8月份暑假学情测试卷
一、选择题:(每小题3分,共计36分)
1．（2018·黑龙江模拟）-3的倒数是（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】互为倒数的两个数乘积为1，
故答案为：A
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可求解。
2．（2019八上·河池期末）下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故不符合题意
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，这个图形的两部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形。根据定义即可判断求解。
3．（2023九上·哈尔滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x3×x2=x3+2=x5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、x6÷x2=x6-2=x4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、x3+x3=2x3，故此选项计算正确，符合题意；
D、（x2）3=x3×2=x6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断D选项.
4．（2023九上·哈尔滨开学考）一组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．5、4 B．5、5 C．5、3 D．5、1
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：-1，5，5，1，3，4，5这组数据中出现次数最多的数据是5，出现了三次，
所以这组数据的众数是5；
将这组数据按从小到大排列为：-1，1，3，4，5，5，5，组数数据中排最中间的数据为4，
所以这组数据的中位数为4.
故答案为：A.
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得答案.
5．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，综合实践活动中，小明在学校门口点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵tanB=，∠B=37°，
∴tan37°=，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的定义，由∠B的正切函数即可直接得出答案.
6．（2023九上·哈尔滨开学考）方程的解是（ ）
A．-1 B．2 C．5 D．无解
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得x-2+3=0，
解得x=-1，
经检验x=-1是原方程的根.
故答案为：A.
【分析】方程两边同时乘以x-5约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
7．（2023九上·哈尔滨开学考）某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该果园水果产量的年平均增长率x，则2022年的产量为100(1+x)吨，2023年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2吨，由题意可得100(1+x)2=144.
故答案为：D.
【分析】此题目是一道平均增长率的问题，根据公式a(1+x)n=p（a是增长开始的量，n是增长次数，p是增长结束的量）分别表示出2022与2023年的产量，结合2023年的产量是144吨咳列出方程.
8．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，平行四边形的顶点坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵B（-2，-2），C（2，-2），
∴点C可以看成点A向右平移4个单位后得到的点，BC∥x轴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC∥x轴，AD=BC，
∴点D可以看成是点A向右平移4个单位后的对应点，
∴点D（4，1）.
故答案为：C.
【分析】根据点B、C的坐标可得点C可以看成点A向右平移4个单位后得到的点，BC∥x轴，由平行四边形的对边平行且相等可得点D的坐标.
9．（2023九上·哈尔滨开学考）在平行四边形ABCD中，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A∶∠B=1∶2，
∴∠B=2∠A，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
∴∠B=2∠A=120°.
故答案为：C.
【分析】由已知易得∠B=2∠A，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，从而代入算出∠A的度数，此题得解.
10．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，故A、C选项错误，不符合题意；
∵AD∥BE∥CF，∴，故D选项正确，符合题意；
由于是l1与l2被一组平行线所截，所以应该是l1与l2上被截取的对应线段成比例，所以B选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此一 一判断得出答案.
11．（2023九上·哈尔滨开学考）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图，若该用户本月用水21吨，则应交水费（ ）
A．52.5元 B．48方 C．45元 D．42元
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设直线AB解析式为y=kx+b，
把点（15，27）与（20，39.5）分别代入得
，
解得，
所以直线AB得解析式为：y=2.5x-10.5，
将x=21代入y=2.5x-10.5，
可得y=2.5×21-10.5=42，
即该用户本月用水21吨，则应交水费42元.
故答案为：D.
【分析】通过图象可得，月用水量为20吨得时候，需要水费39.5元，故月用水量为21吨得话肯定水费会比39.5要多一些，从而利用待定系数法求出直线AB得解析式，再将x=21代入所求的函数解析式计算即可.
12．（2023九上·哈尔滨开学考）如图1分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开，拼成如图2的平行四边形KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为x，正方形PQRO的边长为y，
则PM=PL=RK=NR=x，PQ=QR=OR=OP=y，
所以长方形ABCD的长为x+y，宽为x-y，
由题意可得x2+y2+(x+y)(x-y)=50，
所以2x2=50，
所以x2=25，
即正方形EFGH得面积为25.
故答案为：B.
【分析】设正方形EFGH的边长为x，正方形PQRO的边长为y，用含x、y的式子表示出长方形ABCD的长与宽，进而根据图2的面积=长方形ABCD的面积+正方形EFGH的面积+正方形PQRO的面积建立方程，化简即可得出答案.
二、填空题:(每小题3分,共24分)
13．（2023九上·哈尔滨开学考）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量，把130000000用科学记数法可表示为 .
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：130000000=1.3×108.
故答案为：1.3×108.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．（2017·东莞模拟）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
【分析】根据函数自变量的取值范围，被开方数是非负数进行解答即可．
15．（2023九上·哈尔滨开学考）把因式分解的结果是 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2a2-4a=2a(a-2)
故答案为：2a(a-2).
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.
16．（2017八上·高邑期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： =2 ﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】首先化简 ，然后根据实数的运算法则计算．
17．（2023九上·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x＞1，
由②得x＜2，
所以不等式组得解集为：.
故答案为：.
【分析】根据解不等式得步骤，分别解出不等式组中每一个不等式得解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出其解集即可.
18．（2023九上·哈尔滨开学考）在Rt中，，则的值为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，BC=12，AC=5，
所以tanB=.
故答案为：.
【分析】直接根据正切函数的定义，由∠B的对边比上其邻边可得答案.
19．（2023九上·哈尔滨开学考）已知菱形的边长是6，点在直线上，，连接与对角线相交于点，则的值是 .
【答案】2或
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①点E在线段AD上时，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，AE=AD-DE=3，
∴；
②点E在线段AD的延长线上，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，AE=AD+DE=9，
∴，
综上 的值是2或.
故答案为：2或.
【分析】分情况讨论：①点E在线段AD上时，②点E在线段AD的延长线上，分别由菱形的性质得BC=AD=6，AD∥BC，由平行于三角形一边的直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AME∽△CMB，进而根据相似三角形得对应边成比例可得答案.
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，点是的中点，若4，则AB的长为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC，∠ABC=90°，
又∵点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得∠BAD=90°，AD∥BC，∠ABC=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得AG=DG，进而由等边对等角、平行线的性质及三角形外角性质得∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，结合已知得∠AED=∠AGE，由等角对等边得AE=AG=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可算出AB得长.
三、解答题(其中21-22题各7分, rId165 题各8分,25-27题各10分,共计60分)
21．（2020·阿城模拟）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】原式
∵
∴原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法，然后将分子、分母中能进行因式分解的进行因式分解，接下来进行约分即可化简，根据sin45°=，cos60°=计算出x的值，再将x的值代入化简后的式子计算即可.
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上.
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4，.请直接写出的长.
【答案】（1）解：如图1，四边形ABCD是所求的平行四边形；
∵AD=BC=5，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵平行四边形ABCD中，BC边上的高为2，
∴平行四边形ABCD的面积为：5×2-10，
故四边形ABCD就是所求的平行四边形；
（2）解：如图2，△ABE就是所求的三角形，
∵△ABE中∠BAE=135°，
∴△ABE是钝角三角形，
△ABE中，AE边上的高为2，AE=4，
∴S△ABE=×4×2=4，
由正切函数的定义可得tan∠AEB=，
由勾股定理可得.
【知识点】平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由图可知A、B间的垂直距离为2，要使构建平行四边形ABCD的面积为10，则可以在A的水平方向取一条长为5的线段，可得点D，在B的水平方向取一条长为5的线段，可得点C，最后再连接CD，四边形ABCD就是所求的面积为10的平行四边形；
（2）由图可知A、B间的垂直距离为2，要使构建的钝角三角形ABE面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线段，可得点E，连接BE，利用方格纸的特点及正切函数的定义得tan∠AEB=，BE的长可以根据勾股定理求得.
23．（2023九上·哈尔滨开学考）“中秋节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“月饼”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的五仁月饼(A)、豆沙馅月饼(B)、红枣馅月饼(C)、蛋黄馅月饼(D)四种不同口味月饼的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图。
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数是多少人
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）若该居民区有8000人，请估计爱吃D月饼的是多少人
【答案】（1）解：本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%=600(人)，
答：本次参加抽样调查的居民人数是600人；
（2）解：C类的人数是：600-180-60-240=120(人)，
所占的百分比是：，
A类所占的百分比是：1-10%-20%-40%=30%，
补全统计图表如下：
（3）解：8000×40%=3200(人).
答：估计爱吃D月饼的人数为3200人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）由统计图表提供的信息，用喜爱B类月饼的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查的总人数；
（2）根据喜爱4种口味的月饼的人数之和等于本次调查的总人数，可求出喜欢C类月饼的人数，进而用喜欢C类月饼的人数除以本次调查的总人数可求出喜爱C类月饼的人数所占的百分比，最后根据喜爱4类月饼的人数所占百分比之和等于1可求出喜爱A类月饼的人数所占的百分比，据此可补全两幅统计图；
（3）用该居民区的总人数乘以样本中喜爱D类月饼的人数所占的百分比即可估算出该居民区爱吃D月饼的人数.
24．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF.
（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图(2)若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段(不包括EH)
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，
因为AE=CG，AH=CF，
所以BE=DG，DH=BF，
在△AEH与△CGF中，
因为AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，
所以△AEH≌△CGF（SAS），
所以EH=FG；
在△BEF与△DGH中，
因为BE=DH，∠B=∠D，BF=DH
所以△BEF≌△DGH（SAS），
所以EF=GH，
所以四边形EFGH是平行四边形；
（2）解： 长度等于EH的线段有：EF、FG、HG.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2） 长度等于EH的线段有：EF、FG、HG，理由如下：
因为EG平分∠HEF，
所以∠HEG=∠FEG，
因为四边形EFGH是平行四边形，
所以EH∥FG，
所以∠HEG=∠FGE，
所以∠GEF=∠FGE，
所以EF=FG，
所以平行四边形EFGH是菱形，
所以EF=FG=GH=EH，
所以长度等于EH的线段有：EF、FG、HG.
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，对边相等得∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，根据等式的性质可得BE=DG，DH=BF，从而利用SAS判断出△AEH≌△CGF与△BEF≌△DGH，由全等三角形的对应边相等得EH=FG，EF=GH，从而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形得出结论；
（2）由角平分线的定义即平行线的性质可推出∠GEF=∠FGE，由等角对等边得EF=FG，由有一组邻边相等得平行四边形是菱形得平行四边形EFGH是菱形，进而根据菱形得四边相等可得结论.
25．（2023九上·哈尔滨开学考）“十一”国庆节前夕，某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的服装，若购进A品牌的服装5套，B品牌的服装6套，需要950元；若购进A品牌的服装3套，B品牌的服装2套，需要450元.
（1）求A、B两种品牌的服装每套进价分别为多少元
（2）若1套A品牌的服装售价130元，1套B品牌的服装售价102元，服装店将购进的A、B两种服装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问A品牌服装至少购进多少套
【答案】（1）解：设A品牌的服装每套进价为x元，B品牌的服装每套进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A品牌的服装每套进价为100元，B品牌的服装每套进价为75元；
（2）解：设A品牌服装购进a套，根据题意得：
，
解得，
为整数，
的最小值为37，
答：A品牌服装至少购进37套.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌的服装每套进价为x元，B品牌的服装每套进价为y元，根据“ 购进A品牌的服装5套，B品牌的服装6套，需要950元 ”可列方程5x+6y=950元，根据“ 购进A品牌的服装3套，B品牌的服装2套，需要450元”可列方程3x+2y=450元，联立两方程组成方程组，求解可得答案；
（2）设A品牌服装购进a套，则购进B品牌的服装（50-a）套，根据每套利润乘以销售数量=总利润，由销售a套A品牌服装的利润+销售（50-a）套B品牌服装的利润不少于1460元建立不等式，求出其最小整数解即可.
26．（2023九上·哈尔滨开学考）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。有一张矩形纸片，点在射线上，现将矩形折叠。折痕为，点的对应点记为点.
（1）操作发现：如图1，若点恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与相似的三角形；
（2）深入探究：如图2，若点落在矩形的边的下方时，分别交于点M、N，过点作，垂足分别为点G、H，当点是BC的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）问题解决：在(2)的条件下，若，求的长.
【答案】（1）解：与△BEF相似的三角形是△DCF；
（2）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=∠BCD=90°，AD=BC，
∴∠BCH=90°，
设FH=a，
∵FG⊥BC，FH⊥DC，
∴∠FGC=∠H=90°，
∴四边形GFHC是矩形，
∴CG=FH=a，
∵点G是BC的中点，
∴BC=2CG=2a，
由折叠得FD=AD=2a，∠A=∠DFE=90°，∠EDF=∠ADE，
∴∠FDC=30°，∠DFE=∠H=90°，
∴∠EDF=∠FDH=30°，
∴△DEF∽△DFH；
（3）解：由（2）知∠ADE=∠EDF=∠FDH=30°，
由折叠知DF=AD=3，
∴DH=DF·cos30°=，
①当点E在AB上时，如图2，，
∴AB=AE+BE=，
∴CH=DH-CD=DH-AB=；
②当点E在AB的延长线上时，如图，
，
∴AB=AE-BE=，
∴CH=DH-CD=DH-AB=；
综上所述，CH的长为：或.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）与△BEF相似的三角形是△DCF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵△ADE沿着DE折叠，点A的对应点是点F，
∴∠A=∠F=90°，
∴∠BFE+∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠BEF，
在△BEF与△CFD中，
∵∠DFC=∠BEF，∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD；
【分析】（1）由矩形性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠性质得∠A=∠F=90°，由同角的余角相等得∠DFC=∠BEF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEF∽△CFD；
（2）△DEF∽△DFH，理由如下：由矩形性质得∠ADC=∠A=∠BCD=90°，AD=BC，设FH=a，易得四边形GFHC是矩形，由矩形性质得CG=FH=a， 根据中点定义得BC=2CG=2a，由折叠性质得FD=AD=2a，∠A=∠DFE=90°，∠EDF=∠ADE，由含30°角直角三角形性质逆用得∠FDC=30°，从而推出∠EDF=∠FDH=30°，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△DFH；
（3）由（2）知∠ADE=∠EDF=∠FDH=30°，由折叠知DF=AD=3，从而根据∠FDH的余弦函数可求出DH得长，然后分类讨论：①当点E在AB上时，如图2，由∠ADE得正切函数求出AE，然后根据AB=AE+BE，CH=DH-CD=DH-AB代值计算可得答案；②当点E在AB的延长线上时，如图，由∠ADE得正切函数求出AE，然后根据AB=AE-BE，CH=DH-CD=DH-AB代值计算可得答案，综上即可得出答案.
27．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点.
（1）如图(1)求直线的解析式；
（2）如图(2)点是直线BC上的一点，点的横坐标是，求的面积与的函数关系式；
（3）如图(3)在(2)的条件下，将射线绕着点顺时针旋转与射线交于点，当点在线段上，连接，若，求点的坐标.
【答案】（1）解：点在直线上，
，
∴D（1，4），
设直线AD解析式为，
将点A（0，）与点D（1，4）分别代入得
，
解得，
直线AD解析式为；
（2）解：过P点作PH⊥y轴，
令y=-2x+6中的x=0，得y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
当点P在y轴右侧时，t＞0时，PH=t，
∴；
当点P在y轴左侧时，t＜0时，PH=-t，
∴，
∴S与t的函数关系式为：或；
（3）解：过点B作BE⊥BC，交直线CQ于E，过E作EF⊥x轴于F，
令y=-2x+6中的y=0，得x=3，
∴B（3，0），
∴OB=3，
∵BE⊥BC，
∴∠EBF+∠FBC=90°=∠FBC+∠OCB=90°，
∴∠BCO=∠EBF，
∵将射线BC绕点C顺时针旋转45°，
∴∠BCE=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴BC=BE，
在△OBC与△FEB中，
∵∠BOC=∠EFB，∠BCO=∠EBF，BC=BE，
∴△OBC≌△FEB（AAS），
∴BF=OC=6，EF=OB=3，
∴OF=BF-OB=3，
∴E（-3，-3），
设直线CQ的解析式为y=mx+n，
将点E（-3，-3）与C（0，6）分别代入得
，
解得，
直线CQ解析式可求为：；
解 ，
得，
∴Q（-3，-3），
∴点Q与点E重合，
过点Q作QM⊥y轴，过P作PH⊥QM于点H，
∴PH=-2t+9，QH=t+3，
∵∠EOM=∠ECO+∠CQP，∠CQP=∠OCB，
∴∠EOM=∠ECO+OCB=∠ECB=45°
∴∠OQM=45°，
∴△PQH是等腰直角三角形，
∴-2t+9=t+3，
∴t=2，
将t=2，即x=2代入y=-2x+6可得y=2，
∴P（2，2）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将点D（1，a）代入y=-2x+6算出a的值，可得点D的坐标，从而利用待定系数法可求出直线AD的解析式；
（2）过P点作PH⊥y轴，首先令y=-2x+6中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，从而得出OC的长，然后分当点P在y轴右侧时，t＞0时，当点P在y轴左侧时，t＜0时，分别利用三角形的面积计算公式表示出s关于t的函数解析式；
（3）过点B作BE⊥BC，交直线CQ于E，过E作EF⊥x轴于F，首先求出点B（3，0），由同角的余角相等得∠BCO=∠EBF，由旋转性质可判断△EBC是等腰直角三角形，则BC=BE，从而用AAS判断出△OBC≌△FEB，得BF=OC=6，EF=OB=3，所以E（-3，-3），利用待定系数法求出直线CQ的解析式，然后联立直线CQ与AD的解析式求出点Q的坐标，可得点Q与点E重合，过点Q作QM⊥y轴，过P作PH⊥QM于点H，则PH=-2t+9，QH=t+3，利用三角形外角性质及旋转性质可得∠EOM=∠ECO+OCB=∠ECB=45°，则△PQH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的两腰相等建立方程求出t的值，从而可得点P的坐标.
1 / 1黑龙江省哈尔滨市萧红中学2023-2024学年九年级上学期数学8月份暑假学情测试卷
一、选择题:(每小题3分,共计36分)
1．（2018·黑龙江模拟）-3的倒数是（ ）
A． B． C．-3 D．3
2．（2019八上·河池期末）下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·哈尔滨开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·哈尔滨开学考）一组数据的众数、中位数分别为（ ）
A．5、4 B．5、5 C．5、3 D．5、1
5．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，综合实践活动中，小明在学校门口点处测得树的顶端仰角为，测得米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·哈尔滨开学考）方程的解是（ ）
A．-1 B．2 C．5 D．无解
7．（2023九上·哈尔滨开学考）某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，平行四边形的顶点坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·哈尔滨开学考）在平行四边形ABCD中，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，，直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·哈尔滨开学考）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图，若该用户本月用水21吨，则应交水费（ ）
A．52.5元 B．48方 C．45元 D．42元
12．（2023九上·哈尔滨开学考）如图1分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开，拼成如图2的平行四边形KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
二、填空题:(每小题3分,共24分)
13．（2023九上·哈尔滨开学考）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量，把130000000用科学记数法可表示为 .
14．（2017·东莞模拟）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
15．（2023九上·哈尔滨开学考）把因式分解的结果是 .
16．（2017八上·高邑期末）计算 的结果是 ．
17．（2023九上·哈尔滨开学考）不等式组的解集是 .
18．（2023九上·哈尔滨开学考）在Rt中，，则的值为 .
19．（2023九上·哈尔滨开学考）已知菱形的边长是6，点在直线上，，连接与对角线相交于点，则的值是 .
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，点是的中点，若4，则AB的长为 .
三、解答题(其中21-22题各7分, rId165 题各8分,25-27题各10分,共计60分)
21．（2020·阿城模拟）先化简，再求值： ，其中 .
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上.
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为4，.请直接写出的长.
23．（2023九上·哈尔滨开学考）“中秋节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“月饼”的习俗．某食品厂为了解市民对去年销量较好的五仁月饼(A)、豆沙馅月饼(B)、红枣馅月饼(C)、蛋黄馅月饼(D)四种不同口味月饼的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图。
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民人数是多少人
（2）将两幅统计图补充完整；
（3）若该居民区有8000人，请估计爱吃D月饼的是多少人
24．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF.
（1）如图（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图(2)若EG平分∠HEF，在不添加辅助线的条件下，直接写出长度等于EH的线段(不包括EH)
25．（2023九上·哈尔滨开学考）“十一”国庆节前夕，某服装店老板到厂家选购A、B两种品牌的服装，若购进A品牌的服装5套，B品牌的服装6套，需要950元；若购进A品牌的服装3套，B品牌的服装2套，需要450元.
（1）求A、B两种品牌的服装每套进价分别为多少元
（2）若1套A品牌的服装售价130元，1套B品牌的服装售价102元，服装店将购进的A、B两种服装共50套全部售出，所获利润要不少于1460元，问A品牌服装至少购进多少套
26．（2023九上·哈尔滨开学考）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。有一张矩形纸片，点在射线上，现将矩形折叠。折痕为，点的对应点记为点.
（1）操作发现：如图1，若点恰好落在矩形ABCD的边BC上，直接写出一个与相似的三角形；
（2）深入探究：如图2，若点落在矩形的边的下方时，分别交于点M、N，过点作，垂足分别为点G、H，当点是BC的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；
（3）问题解决：在(2)的条件下，若，求的长.
27．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点.
（1）如图(1)求直线的解析式；
（2）如图(2)点是直线BC上的一点，点的横坐标是，求的面积与的函数关系式；
（3）如图(3)在(2)的条件下，将射线绕着点顺时针旋转与射线交于点，当点在线段上，连接，若，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】互为倒数的两个数乘积为1，
故答案为：A
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可求解。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故符合题意；C、是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故不符合题意
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，这个图形的两部分能完全重合，那么这个图形是轴对称图形。根据定义即可判断求解。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、x3×x2=x3+2=x5，故此选项计算错误，不符合题意；
B、x6÷x2=x6-2=x4，故此选项计算错误，不符合题意；
C、x3+x3=2x3，故此选项计算正确，符合题意；
D、（x2）3=x3×2=x6，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：-1，5，5，1，3，4，5这组数据中出现次数最多的数据是5，出现了三次，
所以这组数据的众数是5；
将这组数据按从小到大排列为：-1，1，3，4，5，5，5，组数数据中排最中间的数据为4，
所以这组数据的中位数为4.
故答案为：A.
【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得答案.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵tanB=，∠B=37°，
∴tan37°=，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：D.
【分析】根据正切函数的定义，由∠B的正切函数即可直接得出答案.
6．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得x-2+3=0，
解得x=-1，
经检验x=-1是原方程的根.
故答案为：A.
【分析】方程两边同时乘以x-5约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的解.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设该果园水果产量的年平均增长率x，则2022年的产量为100(1+x)吨，2023年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2吨，由题意可得100(1+x)2=144.
故答案为：D.
【分析】此题目是一道平均增长率的问题，根据公式a(1+x)n=p（a是增长开始的量，n是增长次数，p是增长结束的量）分别表示出2022与2023年的产量，结合2023年的产量是144吨咳列出方程.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵B（-2，-2），C（2，-2），
∴点C可以看成点A向右平移4个单位后得到的点，BC∥x轴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC∥x轴，AD=BC，
∴点D可以看成是点A向右平移4个单位后的对应点，
∴点D（4，1）.
故答案为：C.
【分析】根据点B、C的坐标可得点C可以看成点A向右平移4个单位后得到的点，BC∥x轴，由平行四边形的对边平行且相等可得点D的坐标.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A∶∠B=1∶2，
∴∠B=2∠A，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=60°，
∴∠B=2∠A=120°.
故答案为：C.
【分析】由已知易得∠B=2∠A，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，从而代入算出∠A的度数，此题得解.
10．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，故A、C选项错误，不符合题意；
∵AD∥BE∥CF，∴，故D选项正确，符合题意；
由于是l1与l2被一组平行线所截，所以应该是l1与l2上被截取的对应线段成比例，所以B选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此一 一判断得出答案.
11．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设直线AB解析式为y=kx+b，
把点（15，27）与（20，39.5）分别代入得
，
解得，
所以直线AB得解析式为：y=2.5x-10.5，
将x=21代入y=2.5x-10.5，
可得y=2.5×21-10.5=42，
即该用户本月用水21吨，则应交水费42元.
故答案为：D.
【分析】通过图象可得，月用水量为20吨得时候，需要水费39.5元，故月用水量为21吨得话肯定水费会比39.5要多一些，从而利用待定系数法求出直线AB得解析式，再将x=21代入所求的函数解析式计算即可.
12．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为x，正方形PQRO的边长为y，
则PM=PL=RK=NR=x，PQ=QR=OR=OP=y，
所以长方形ABCD的长为x+y，宽为x-y，
由题意可得x2+y2+(x+y)(x-y)=50，
所以2x2=50，
所以x2=25，
即正方形EFGH得面积为25.
故答案为：B.
【分析】设正方形EFGH的边长为x，正方形PQRO的边长为y，用含x、y的式子表示出长方形ABCD的长与宽，进而根据图2的面积=长方形ABCD的面积+正方形EFGH的面积+正方形PQRO的面积建立方程，化简即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：130000000=1.3×108.
故答案为：1.3×108.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
14．【答案】x≥﹣3
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3．
【分析】根据函数自变量的取值范围，被开方数是非负数进行解答即可．
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2a2-4a=2a(a-2)
故答案为：2a(a-2).
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.
16．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： =2 ﹣ = ．
故答案为： ．
【分析】首先化简 ，然后根据实数的运算法则计算．
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得x＞1，
由②得x＜2，
所以不等式组得解集为：.
故答案为：.
【分析】根据解不等式得步骤，分别解出不等式组中每一个不等式得解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出其解集即可.
18．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，BC=12，AC=5，
所以tanB=.
故答案为：.
【分析】直接根据正切函数的定义，由∠B的对边比上其邻边可得答案.
19．【答案】2或
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①点E在线段AD上时，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，AE=AD-DE=3，
∴；
②点E在线段AD的延长线上，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AD=6，AD∥BC，
∴△AME∽△CMB，AE=AD+DE=9，
∴，
综上 的值是2或.
故答案为：2或.
【分析】分情况讨论：①点E在线段AD上时，②点E在线段AD的延长线上，分别由菱形的性质得BC=AD=6，AD∥BC，由平行于三角形一边的直线，截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AME∽△CMB，进而根据相似三角形得对应边成比例可得答案.
20．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC，∠ABC=90°，
又∵点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质得∠BAD=90°，AD∥BC，∠ABC=90°，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得AG=DG，进而由等边对等角、平行线的性质及三角形外角性质得∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，结合已知得∠AED=∠AGE，由等角对等边得AE=AG=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可算出AB得长.
21．【答案】原式
∵
∴原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法，然后将分子、分母中能进行因式分解的进行因式分解，接下来进行约分即可化简，根据sin45°=，cos60°=计算出x的值，再将x的值代入化简后的式子计算即可.
22．【答案】（1）解：如图1，四边形ABCD是所求的平行四边形；
∵AD=BC=5，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵平行四边形ABCD中，BC边上的高为2，
∴平行四边形ABCD的面积为：5×2-10，
故四边形ABCD就是所求的平行四边形；
（2）解：如图2，△ABE就是所求的三角形，
∵△ABE中∠BAE=135°，
∴△ABE是钝角三角形，
△ABE中，AE边上的高为2，AE=4，
∴S△ABE=×4×2=4，
由正切函数的定义可得tan∠AEB=，
由勾股定理可得.
【知识点】平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由图可知A、B间的垂直距离为2，要使构建平行四边形ABCD的面积为10，则可以在A的水平方向取一条长为5的线段，可得点D，在B的水平方向取一条长为5的线段，可得点C，最后再连接CD，四边形ABCD就是所求的面积为10的平行四边形；
（2）由图可知A、B间的垂直距离为2，要使构建的钝角三角形ABE面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线段，可得点E，连接BE，利用方格纸的特点及正切函数的定义得tan∠AEB=，BE的长可以根据勾股定理求得.
23．【答案】（1）解：本次参加抽样调查的居民的人数是：60÷10%=600(人)，
答：本次参加抽样调查的居民人数是600人；
（2）解：C类的人数是：600-180-60-240=120(人)，
所占的百分比是：，
A类所占的百分比是：1-10%-20%-40%=30%，
补全统计图表如下：
（3）解：8000×40%=3200(人).
答：估计爱吃D月饼的人数为3200人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）由统计图表提供的信息，用喜爱B类月饼的人数除以其所占的百分比，可求出本次调查的总人数；
（2）根据喜爱4种口味的月饼的人数之和等于本次调查的总人数，可求出喜欢C类月饼的人数，进而用喜欢C类月饼的人数除以本次调查的总人数可求出喜爱C类月饼的人数所占的百分比，最后根据喜爱4类月饼的人数所占百分比之和等于1可求出喜爱A类月饼的人数所占的百分比，据此可补全两幅统计图；
（3）用该居民区的总人数乘以样本中喜爱D类月饼的人数所占的百分比即可估算出该居民区爱吃D月饼的人数.
24．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，
因为AE=CG，AH=CF，
所以BE=DG，DH=BF，
在△AEH与△CGF中，
因为AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，
所以△AEH≌△CGF（SAS），
所以EH=FG；
在△BEF与△DGH中，
因为BE=DH，∠B=∠D，BF=DH
所以△BEF≌△DGH（SAS），
所以EF=GH，
所以四边形EFGH是平行四边形；
（2）解： 长度等于EH的线段有：EF、FG、HG.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2） 长度等于EH的线段有：EF、FG、HG，理由如下：
因为EG平分∠HEF，
所以∠HEG=∠FEG，
因为四边形EFGH是平行四边形，
所以EH∥FG，
所以∠HEG=∠FGE，
所以∠GEF=∠FGE，
所以EF=FG，
所以平行四边形EFGH是菱形，
所以EF=FG=GH=EH，
所以长度等于EH的线段有：EF、FG、HG.
【分析】（1）由平行四边形的对角相等，对边相等得∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，根据等式的性质可得BE=DG，DH=BF，从而利用SAS判断出△AEH≌△CGF与△BEF≌△DGH，由全等三角形的对应边相等得EH=FG，EF=GH，从而根据两组对边分别相等得四边形是平行四边形得出结论；
（2）由角平分线的定义即平行线的性质可推出∠GEF=∠FGE，由等角对等边得EF=FG，由有一组邻边相等得平行四边形是菱形得平行四边形EFGH是菱形，进而根据菱形得四边相等可得结论.
25．【答案】（1）解：设A品牌的服装每套进价为x元，B品牌的服装每套进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A品牌的服装每套进价为100元，B品牌的服装每套进价为75元；
（2）解：设A品牌服装购进a套，根据题意得：
，
解得，
为整数，
的最小值为37，
答：A品牌服装至少购进37套.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A品牌的服装每套进价为x元，B品牌的服装每套进价为y元，根据“ 购进A品牌的服装5套，B品牌的服装6套，需要950元 ”可列方程5x+6y=950元，根据“ 购进A品牌的服装3套，B品牌的服装2套，需要450元”可列方程3x+2y=450元，联立两方程组成方程组，求解可得答案；
（2）设A品牌服装购进a套，则购进B品牌的服装（50-a）套，根据每套利润乘以销售数量=总利润，由销售a套A品牌服装的利润+销售（50-a）套B品牌服装的利润不少于1460元建立不等式，求出其最小整数解即可.
26．【答案】（1）解：与△BEF相似的三角形是△DCF；
（2）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠A=∠BCD=90°，AD=BC，
∴∠BCH=90°，
设FH=a，
∵FG⊥BC，FH⊥DC，
∴∠FGC=∠H=90°，
∴四边形GFHC是矩形，
∴CG=FH=a，
∵点G是BC的中点，
∴BC=2CG=2a，
由折叠得FD=AD=2a，∠A=∠DFE=90°，∠EDF=∠ADE，
∴∠FDC=30°，∠DFE=∠H=90°，
∴∠EDF=∠FDH=30°，
∴△DEF∽△DFH；
（3）解：由（2）知∠ADE=∠EDF=∠FDH=30°，
由折叠知DF=AD=3，
∴DH=DF·cos30°=，
①当点E在AB上时，如图2，，
∴AB=AE+BE=，
∴CH=DH-CD=DH-AB=；
②当点E在AB的延长线上时，如图，
，
∴AB=AE-BE=，
∴CH=DH-CD=DH-AB=；
综上所述，CH的长为：或.
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）与△BEF相似的三角形是△DCF，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
∵△ADE沿着DE折叠，点A的对应点是点F，
∴∠A=∠F=90°，
∴∠BFE+∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠BEF，
在△BEF与△CFD中，
∵∠DFC=∠BEF，∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD；
【分析】（1）由矩形性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠性质得∠A=∠F=90°，由同角的余角相等得∠DFC=∠BEF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BEF∽△CFD；
（2）△DEF∽△DFH，理由如下：由矩形性质得∠ADC=∠A=∠BCD=90°，AD=BC，设FH=a，易得四边形GFHC是矩形，由矩形性质得CG=FH=a， 根据中点定义得BC=2CG=2a，由折叠性质得FD=AD=2a，∠A=∠DFE=90°，∠EDF=∠ADE，由含30°角直角三角形性质逆用得∠FDC=30°，从而推出∠EDF=∠FDH=30°，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△DEF∽△DFH；
（3）由（2）知∠ADE=∠EDF=∠FDH=30°，由折叠知DF=AD=3，从而根据∠FDH的余弦函数可求出DH得长，然后分类讨论：①当点E在AB上时，如图2，由∠ADE得正切函数求出AE，然后根据AB=AE+BE，CH=DH-CD=DH-AB代值计算可得答案；②当点E在AB的延长线上时，如图，由∠ADE得正切函数求出AE，然后根据AB=AE-BE，CH=DH-CD=DH-AB代值计算可得答案，综上即可得出答案.
27．【答案】（1）解：点在直线上，
，
∴D（1，4），
设直线AD解析式为，
将点A（0，）与点D（1，4）分别代入得
，
解得，
直线AD解析式为；
（2）解：过P点作PH⊥y轴，
令y=-2x+6中的x=0，得y=6，
∴C（0，6），
∴OC=6，
当点P在y轴右侧时，t＞0时，PH=t，
∴；
当点P在y轴左侧时，t＜0时，PH=-t，
∴，
∴S与t的函数关系式为：或；
（3）解：过点B作BE⊥BC，交直线CQ于E，过E作EF⊥x轴于F，
令y=-2x+6中的y=0，得x=3，
∴B（3，0），
∴OB=3，
∵BE⊥BC，
∴∠EBF+∠FBC=90°=∠FBC+∠OCB=90°，
∴∠BCO=∠EBF，
∵将射线BC绕点C顺时针旋转45°，
∴∠BCE=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴BC=BE，
在△OBC与△FEB中，
∵∠BOC=∠EFB，∠BCO=∠EBF，BC=BE，
∴△OBC≌△FEB（AAS），
∴BF=OC=6，EF=OB=3，
∴OF=BF-OB=3，
∴E（-3，-3），
设直线CQ的解析式为y=mx+n，
将点E（-3，-3）与C（0，6）分别代入得
，
解得，
直线CQ解析式可求为：；
解 ，
得，
∴Q（-3，-3），
∴点Q与点E重合，
过点Q作QM⊥y轴，过P作PH⊥QM于点H，
∴PH=-2t+9，QH=t+3，
∵∠EOM=∠ECO+∠CQP，∠CQP=∠OCB，
∴∠EOM=∠ECO+OCB=∠ECB=45°
∴∠OQM=45°，
∴△PQH是等腰直角三角形，
∴-2t+9=t+3，
∴t=2，
将t=2，即x=2代入y=-2x+6可得y=2，
∴P（2，2）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）将点D（1，a）代入y=-2x+6算出a的值，可得点D的坐标，从而利用待定系数法可求出直线AD的解析式；
（2）过P点作PH⊥y轴，首先令y=-2x+6中的x=0算出对应的y的值，可得点C的坐标，从而得出OC的长，然后分当点P在y轴右侧时，t＞0时，当点P在y轴左侧时，t＜0时，分别利用三角形的面积计算公式表示出s关于t的函数解析式；
（3）过点B作BE⊥BC，交直线CQ于E，过E作EF⊥x轴于F，首先求出点B（3，0），由同角的余角相等得∠BCO=∠EBF，由旋转性质可判断△EBC是等腰直角三角形，则BC=BE，从而用AAS判断出△OBC≌△FEB，得BF=OC=6，EF=OB=3，所以E（-3，-3），利用待定系数法求出直线CQ的解析式，然后联立直线CQ与AD的解析式求出点Q的坐标，可得点Q与点E重合，过点Q作QM⊥y轴，过P作PH⊥QM于点H，则PH=-2t+9，QH=t+3，利用三角形外角性质及旋转性质可得∠EOM=∠ECO+OCB=∠ECB=45°，则△PQH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的两腰相等建立方程求出t的值，从而可得点P的坐标.
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