辽宁省盘锦市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有一个是正确的)
1．（2023·盘锦）的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2023·盘锦）如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·盘锦） 2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
5．（2023·盘锦）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·盘锦）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图.则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．13，13 C．，13 D．13，
7．（2023·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为
8．（2023·盘锦）如图，直线，将一个含角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
10．（2023·盘锦）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，，，点M在菱形的边AD和DC上运动不与点A，C重合，过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·盘锦）计算： .
12．（2023·福田模拟）分解因式： ．
13．（2023·盘锦）不等式的解集是 .
14．（2023·盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 .
15．（2023·盘锦）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
16．（2023·盘锦）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 .
17．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若，，则 .
18．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则FD的长是 .
三、解答题(本大题共8小题，共96分)
19．（2023·盘锦）先化简，再求值：，其中
20．（2023·盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表如图所示
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长 人数
20
a
25
15
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中 .
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数.
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数.
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率.
21．（2023·盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为和，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长，结果精确到整数，参考数据：，，，
22．（2023·盘锦）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点
（1）求反比例函数的解析式.
（2）若点D是x轴上一点不与点A重合，的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标.
23．（2023·盘锦）如图，内接于，AB为的直径，延长AC到点G，使得，连接过点C作，交AB于点F，交于点D，过点D作，交GB的延长线于点
（1）求证：DE与相长切.
（2）若，，求BE的长.
24．（2023·盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量件与售价万元/件之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式不写自变量的取值范围
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元.
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润万元关于售价万元/件的函数关系式，并求最少利润是多少万元.
25．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，，点E在线段BH上，且，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得，EG交AH于点
（1）线段AM与线段AN的关系是 .
（2）若，，求AH的长.
（3）求证：
26．（2023·盘锦）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线轴于点N，若，且，请直接写出点Q的坐标.
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且，连接FA，FE，BE，BP，若，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵|-3|=-（-3）=3，3的倒数是，
∴|-3|的倒数是.
故答案为：D.
【分析】先根据一个负数的绝对值等于其相反数，二只有符号不同的两个数互为相反数将|-3|化简，进而根据1除以一个数等于这个数的倒数可得答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 由五个完全相同的小正方体组成的几何体的俯视图有两层，底层靠左一个小正方形，上层三个小正方形，故只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】几何体的俯视图，就是从上面看得到的平面图形，关键在于弄清楚俯视图的层数及每层小正方形的个数.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：79000=7.9×104.
故答案为：D.
【分析】 用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；随机事件
【解析】【解答】解：A、 根据三角形的内角和定理可知：任意画一个三角形，其内角和是180°一定的，故此选项所说的事件是必然事件，故此选项符合题意；
B、 任意买一张电影票，座位号可能是单号，叶可能是双号，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6这6种情况，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
D、射击运动员射击一次，可能命中靶心，叶可能不会命中靶心，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件，据此一 一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3÷a=a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（-m2）3=-m6，故此选项计算正确，符合题意；
D、（-2ab）2=4a2b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同、相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数都没有关系，合并同类项的时候只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的就一定不能合并，据此即可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由条形统计图可得视力是4.8的人数最多，故这组数据的众数是4.8；
将抽取的50名同学的视力按从低到高排列后排第25与26两个位置的数分别是4.8与4.8，故这组数据的中位数为：（4.8+4.8）÷2=4.8.
故答案为：A.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；将一组数据按从低到高排列后，当这组数据的个数是奇数个的时候，排最中间的数据就是这组数据的中位数，当这组数据的个数是偶数个的时候，排中间两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数，据此可得答案.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；矩形的判定；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、方差是反应数据偏离平均数大小的量，故方差越小，数据的波动就越小，故此选项错误，不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、对角线相等得平行四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意；
D、任何凸多边形的外角和都是360°，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义可知：方差是反应数据偏离平均数大小的量，方差越小，数据的波动就越小，据此可判断A选项；将一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的平面图形就是中心对称图形，据此可判断B选项；由矩形的判定定理“对角线相等得平行四边形是矩形”可判断C选项；由“任何凸多边形的外角和都是360°”可判断D选项.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠DKF=64°，
∵∠DKF=∠F+∠FHD，
∴∠FHD=∠FKD-∠F=64°-30°=34°，
∴∠CHG=∠FHD=34°.
故答案为：B.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠BEF=∠DKF=64°，由三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠FHD=∠FKD-∠F=34°，最后根据对顶角相等可得∠GHC的度数.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点A在y轴上，顶点B、C在x轴的正半轴，点D
∴AB=AD=2，OA=，A（0，），
在Rt△ABO中，OB2=AB2-OA2，
∴OB2=22-，
∴OB=1，OC=1+2=3，B（1，0），（3，0）
在△PMN中，P点横坐标为（-1，-1），MN∥y轴，点M的横坐标为x，
∴点P到直线MN的距离为1+x，
①当M横坐标在0至1之间，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，）与B（1，0）分别代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为：，
∵MN∥y轴，点M的横坐标为x，
∴点N的横坐标为x，
将点N的横坐标代入直线AB的解析式可得其纵坐标为，
∴N（x，），
∴MN=，
∴S△PMN=，
∴当M横坐标在0至1之间时，是开口向上的抛物线，故C、D选项都不符合题意；
②当点M横坐标在1至2之间，在△PMN中，底MN=，点P到直线MN的距离为1+x，
∴S△PMN=，
∴当M横坐标在1至2之间时，是一次函数；
③当点M的横坐标在2至3之间时，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
将点D（2，）与C（3，0）分别代入得，
解得，
∴直线CD的解析式为：，
∵MN∥y轴，点M的横坐标为x，
将点M的横坐标代入直线CD的解析式可得其纵坐标为，
∴M（x，），
∴S△PMN=，
当点M的横坐标在2至3之间时，是开口向下的抛物线，故B选项不符合题意，A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先根据菱形的性质及点的坐标与图形的性质结合勾股定理可求出A、B、C三点的坐标；然后分类讨论：①当M横坐标在0至1之间，②当点M横坐标在1至2之间，③当点M的横坐标在2至3之间时，分别表示出△PMN中底边MN的长长及点P到MN的距离，然后根据三角形的面积计算公式表示出y关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式，由图象与系数的关系进行判断得出答案.
11．【答案】1
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式=3-2=1.
故答案为：1.
【分析】先根据算术平方根的性质分别化简，再计算有理数的减法可得答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式、再利用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
不等式两边同时乘以6约去分母得3（x+1）≥2x，
去括号，得3x+3≥2x，
移项、合并同类项，得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】根据解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔 ，
由题意得.
故答案为：.
【分析】设有x只鸡，y只兔 ，根据一只鸡一个头两只脚，一只兔一个头四只脚，及“上有三十五头，下有九十四足”列出方程组即可.
15．【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一次函数y=（2a+1）x+a-2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】对于一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）：当k＞0，图象一定经过一、三象限，且y随x的增大而增大，当k＜0，图象一定经过二、四象限，且y随x的增大而减小；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时，图象过坐标原点，据此并结合题意，列出关于字母a的不等式组，求解即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
∴BC=AD=AE+DE=5，
∵MN垂直平分AE，
∴EF=AE=2，
∴，
∴S△EFG=2S△DEG，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴，
设S△EFG=4x，则S△BCG=25x，
∴S△DEG=2x，S△DFG=S△EFG+S△DEG=6x，
∴.
故答案为：.
【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB=4，则BC=AD=AE+DE=5，由线段垂直平分线的性质得EF=AE=2，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比得S△EFG=2S△DEG，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△EFG∽△BCG，由相似三角形的面积之比等于底之比得，设S△EFG=4x，则S△BCG=25x，S△DEG=2x，S△DFG=S△EFG+S△DEG=6x，从而就可求出此题答案了.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
∴∠AME=90°，
∵BC=6，点E是BC的中点，
∴BE=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，
∴四边形ABEM是矩形，∠DFE=∠BEF，
∴ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，
∴ME⊥BC，
由折叠得∠BEF=∠B'EF，BE=B'E=3，
∴∠DFE=∠B'EF，
∴FG=GE，
在Rt△B'EH中，，
∵ME⊥BC，B'H⊥BC，
∴B'H∥ME，
∴∠EB'H=∠B'EH，
∴△MEG∽△HB'E，
∴，即，
∴，，
∴FM=FG-MG=，
∴AF=AM-FM=，
∴FD=AD-AF=.
故答案为：.
【分析】设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，由矩形性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，进而根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABEM是矩形，则ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，根据中点的性质及平行线的性质可推出∠DFE=∠B'EF，由等角对等边得FG=GE；在Rt△B'EH中，由勾股定理算出EH，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△MEG∽△HB'E，由相似三角形对应边成比例可求出EG、MG，进而根据线段的和差可解决此题.
19．【答案】解：
=
，
当
时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将除法转变为乘法，然后利用乘法分配律用括号外的因式分别与括号内的每一个加数都相乘，接着根据同分母分式加法法则进行计算；根据二次根式的性质、0指数幂的性质、负整数指数幂的性质将x的值化简，最后将x的值代入分式运算的结果计算可得答案.
20．【答案】（1）100；30
（2）解：样本中平均每天阅读时长为“”有15名，
∴，
扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为；
（3）解：样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为10人，
∴名，
估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为140名；
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为：25÷25％=100（人），
平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数为：a=100×30％=30（人）；
故答案为：100，30；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用平均每天阅读时长为40＜x≤60min的人数除以其所占的百分比可算出本次调查的总人数，进而用本次调查的总人数乘以平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数所占的百分比即可算出平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数a的值；
（2）用360°乘以平均每天阅读时长为60＜x≤80min的人数所占的百分比即可算出扇形统计图中平均每天阅读时长为60＜x≤80min的人数所对应的圆心角的度数；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中平均每天阅读时长为x＞80min的人数所占的百分比，即可估算出该校平均每天阅读时长为x＞80min的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，将《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画出树状图，由图可得一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，从而根据概率公式算出结果.
21．【答案】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：，，
，，
设，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的长约为
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，由题意易得BG=HE，CM∥AH，由二直线平行，内错角相等得∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，设BH=xm，则AH=（40+x）m，在Rt△ACH中，由∠CAH的正切函数可表示出CH，在Rt△CBH中，由∠CBH的正切函数可表示出CH，从而建立方程可求出x的值，然后在Rt△BDG中，由∠BDG的正弦函数可求出BG，最后根据CE=CH+HE计算可得答案.
22．【答案】（1）解：过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
，
设，
，
则，，，
，，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，，
，
，
∴，
，
反比例函数的解析式：；
（2）解：由（1）可得，
，
，
轴，的平分线交直线EC于点F，
点纵坐标为2，，
，
点横坐标为，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设，根据点的坐标与图形性质可得，，，则，，；由同角的余角相等得∠BCN=∠MAC，从而可用AAS判断出△ACM≌△CBN，得CN=AM，BN=CM，据此建立方程组，求解即可得出k的值，从而此题得解；
（2）由（1）易得点C（2，2），利用平面内两点间的距离公式算出AC，由平行线的性质及角平分线的性质可推出∠CAF=∠CFA，由等角对等边得CF=AC，从而根据EF=CE+CF算出EF的长度，即可得出点F的横坐标，从而就不难求出点F的坐标了.
23．【答案】（1）证明：连接OD，如图：
为的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
即：，
又点D在上，
为的半径，
为的切线，
即：DE与相切；
（2）解：由（1）可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，，
∴AF∶BF=AC∶CG=4∶2=2∶1
设，，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
四边形DEBF为平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而由等腰直角三角形的性质得∠G=45°，由平行线性质得∠ACD=45°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOD=90°，然后根据平行线的性质得∠ODE=90°，最后根据切线的判定定理可得结论；
（2）首先在Rt△ABC中，用勾股定理算出AB，由平行线分线段成比例定理得AF∶BF=AC∶CG=4∶2=2∶1，设BF=k，则AF=2k，由AB=AF+BF建立方程，求解可求出AF的长，进而由线段的和差算出OF的长；在Rt△ODF中，由勾股定理算出DF，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形DEBF为平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等可得BE的长.
24．【答案】（1）解：在表格取点、，
设一次函数的表达式为：，
则，
解得：，
则一次函数的表达式为：；
（2）解：①设三月的成本为m万元，
当时，，
由题意得：，
解得：，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：，
则抛物线的对称轴为，
则时，w取得最小值，
此时，w=500，
即四月份最少利润是500万元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）①设三月的成本为m万元，将x=35代入（1）所求的函数解析式算出对应的y的值可得三月份的销售数量，进而根据利润等于每件商品的利润×销售数量列出方程，求解即可；
②根据利润等于每件商品的利润×销售数量-450建立出w关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
25．【答案】（1）垂直且相等
（2）解：，，
∽，
，
线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
，
，
，
；
（3）证明：如图，
延长MB至X，连接AX，使BX=BM，作∠AMR=∠H，交AX于R，
，
，
，
，，
设∠XAB=∠BAM=，
，，
，
，
，
，
，，，
≌，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADN=∠ADC=∠B=90°，AD=AB，
又∵BM=DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，
∴∠MAN=∠DAN+∠MAD=∠BAM+∠MAD=∠BAD=90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
【分析】（1）由正方形性质得∠BAD=∠ADN=∠ADC=∠B=90°，AD=AB，结合已知，由SAS判断出△ABM≌△ADN，由全等三角形的性质得AM=AN，∠BAM=∠DAN，进而根据角的和差及等量代换可得∠MAN=90°，从而可得结论；
（2）首先由有两组角对应相等的两个三角形相似得△HEF∽△HAM，由相似三角形的对应边成比例建立方程可求出AH的长；
（3）延长MB至X，连接AX，使BX=BM，作∠AMR=∠H，交AX于R，由线段垂直平分线的性质得AX=AM，由等腰三角形性质得∠XAB=∠BAM，∠X=∠AMB，设∠XAB=∠BAM=，根据已知、三角形的内角和定理、三角形外角和定理推出∠X=∠MRX，由等角对等边得RM=XM，然后用ASA判断出△HEF≌△MAR，由全等三角形的对应边相等可得结论.
26．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：点；
（3）解：设点，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：，
则点，
则，
则，
设点E的坐标为：E[t，(3-m)(t+1)]，
，
即，
即，
解得：，
即点P的坐标为：，
则的面积
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴MN=4m，NB=3m，则BM=5m，
∴M（3-3m，4m），N（3-3m，0），
∵MQ⊥x轴于点N，
∴Q点的横坐标为3-3m，
将x=3-3m代入抛物线y=-x2+2x+3可得y=-9m2+12m，
∴Q（3-3m，-9m2+12m），
∴QM=-9m2+12m-4m=-9m2+8m
∵QM=BM，
∴-9m2+8m=5m，
解得m=0（舍去）或m=，
∴点Q（2，3）；
【分析】（1）由于此题给出了抛物线与x轴两交点坐标，故设出交点式，展开后根据常数项为3可求出二次项的系数a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）由∠MBN的正切函数值及定义可设MN=4m，NB=3m，由勾股定理得BM=5m，从而可用含m的式子表示出点M、N的坐标为：M（3-3m，4m），N（3-3m，0），由点的坐标与图形的性质得Q点的横坐标为3-3m，根据抛物线上点的坐标可得可得Q（3-3m，-9m2+12m），根据两点间的距离公式表示出QM，进而根据QM=BM建立方程求出适合题意的m的值，从而可得点Q的坐标；
（3）根据抛物线上点的坐标特点设P（m，-m2+2m+3），利用待定系数法求出直线AP的解析式，进而根据直线与y轴交点的坐标特点可求出点D的坐标，用含m的式子表示出OD、DF的长，设E[t，(3-m)(t+1)]，进而利用三角形的面积计算公式，由S△AFE=S△ABE建立方程，求解即可解决此题.
1 / 1辽宁省盘锦市2023年中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有一个是正确的)
1．（2023·盘锦）的倒数是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵|-3|=-（-3）=3，3的倒数是，
∴|-3|的倒数是.
故答案为：D.
【分析】先根据一个负数的绝对值等于其相反数，二只有符号不同的两个数互为相反数将|-3|化简，进而根据1除以一个数等于这个数的倒数可得答案.
2．（2023·盘锦）如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 由五个完全相同的小正方体组成的几何体的俯视图有两层，底层靠左一个小正方形，上层三个小正方形，故只有B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】几何体的俯视图，就是从上面看得到的平面图形，关键在于弄清楚俯视图的层数及每层小正方形的个数.
3．（2023·盘锦） 2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：79000=7.9×104.
故答案为：D.
【分析】 用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
4．（2023·盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；随机事件
【解析】【解答】解：A、 根据三角形的内角和定理可知：任意画一个三角形，其内角和是180°一定的，故此选项所说的事件是必然事件，故此选项符合题意；
B、 任意买一张电影票，座位号可能是单号，叶可能是双号，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6这6种情况，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意；
D、射击运动员射击一次，可能命中靶心，叶可能不会命中靶心，故此选项所说的事件是随机事件，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件，据此一 一判断得出答案.
5．（2023·盘锦）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3÷a=a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、（-m2）3=-m6，故此选项计算正确，符合题意；
D、（-2ab）2=4a2b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项，就是所含字母相同、相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数都没有关系，合并同类项的时候只需要将同类项的系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的就一定不能合并，据此即可判断A选项；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可判断B选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断D选项.
6．（2023·盘锦）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图.则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．13，13 C．，13 D．13，
【答案】A
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：由条形统计图可得视力是4.8的人数最多，故这组数据的众数是4.8；
将抽取的50名同学的视力按从低到高排列后排第25与26两个位置的数分别是4.8与4.8，故这组数据的中位数为：（4.8+4.8）÷2=4.8.
故答案为：A.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；将一组数据按从低到高排列后，当这组数据的个数是奇数个的时候，排最中间的数据就是这组数据的中位数，当这组数据的个数是偶数个的时候，排中间两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数，据此可得答案.
7．（2023·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大 B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．正多边形的外角和为
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；多边形内角与外角；矩形的判定；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、方差是反应数据偏离平均数大小的量，故方差越小，数据的波动就越小，故此选项错误，不符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、对角线相等得平行四边形是矩形，故此选项错误，不符合题意；
D、任何凸多边形的外角和都是360°，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义可知：方差是反应数据偏离平均数大小的量，方差越小，数据的波动就越小，据此可判断A选项；将一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的平面图形就是中心对称图形，据此可判断B选项；由矩形的判定定理“对角线相等得平行四边形是矩形”可判断C选项；由“任何凸多边形的外角和都是360°”可判断D选项.
8．（2023·盘锦）如图，直线，将一个含角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠DKF=64°，
∵∠DKF=∠F+∠FHD，
∴∠FHD=∠FKD-∠F=64°-30°=34°，
∴∠CHG=∠FHD=34°.
故答案为：B.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠BEF=∠DKF=64°，由三角形一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠FHD=∠FKD-∠F=34°，最后根据对顶角相等可得∠GHC的度数.
9．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
10．（2023·盘锦）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，，，点M在菱形的边AD和DC上运动不与点A，C重合，过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点A在y轴上，顶点B、C在x轴的正半轴，点D
∴AB=AD=2，OA=，A（0，），
在Rt△ABO中，OB2=AB2-OA2，
∴OB2=22-，
∴OB=1，OC=1+2=3，B（1，0），（3，0）
在△PMN中，P点横坐标为（-1，-1），MN∥y轴，点M的横坐标为x，
∴点P到直线MN的距离为1+x，
①当M横坐标在0至1之间，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（0，）与B（1，0）分别代入得，
解得，
∴直线AB的解析式为：，
∵MN∥y轴，点M的横坐标为x，
∴点N的横坐标为x，
将点N的横坐标代入直线AB的解析式可得其纵坐标为，
∴N（x，），
∴MN=，
∴S△PMN=，
∴当M横坐标在0至1之间时，是开口向上的抛物线，故C、D选项都不符合题意；
②当点M横坐标在1至2之间，在△PMN中，底MN=，点P到直线MN的距离为1+x，
∴S△PMN=，
∴当M横坐标在1至2之间时，是一次函数；
③当点M的横坐标在2至3之间时，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
将点D（2，）与C（3，0）分别代入得，
解得，
∴直线CD的解析式为：，
∵MN∥y轴，点M的横坐标为x，
将点M的横坐标代入直线CD的解析式可得其纵坐标为，
∴M（x，），
∴S△PMN=，
当点M的横坐标在2至3之间时，是开口向下的抛物线，故B选项不符合题意，A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先根据菱形的性质及点的坐标与图形的性质结合勾股定理可求出A、B、C三点的坐标；然后分类讨论：①当M横坐标在0至1之间，②当点M横坐标在1至2之间，③当点M的横坐标在2至3之间时，分别表示出△PMN中底边MN的长长及点P到MN的距离，然后根据三角形的面积计算公式表示出y关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式，由图象与系数的关系进行判断得出答案.
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2023·盘锦）计算： .
【答案】1
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：原式=3-2=1.
故答案为：1.
【分析】先根据算术平方根的性质分别化简，再计算有理数的减法可得答案.
12．（2023·福田模拟）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
，
故答案为：．
【分析】先提取公因式、再利用平方差公式分解即可.
13．（2023·盘锦）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
不等式两边同时乘以6约去分母得3（x+1）≥2x，
去括号，得3x+3≥2x，
移项、合并同类项，得x≥-3.
故答案为：x≥-3.
【分析】根据解不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可得出答案.
14．（2023·盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 .
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设有x只鸡，y只兔 ，
由题意得.
故答案为：.
【分析】设有x只鸡，y只兔 ，根据一只鸡一个头两只脚，一只兔一个头四只脚，及“上有三十五头，下有九十四足”列出方程组即可.
15．（2023·盘锦）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 .
【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，且点A（2，6），
∴点A'（2×，6×）或[2×（-），6×（-）]，即点A的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】如果两个图形关于坐标原点位似，且位似比为k，设原图形上一点P（x，y），则其对应点坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky），据此可得答案.
16．（2023·盘锦）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一次函数y=（2a+1）x+a-2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，
∴，
解得.
故答案为：.
【分析】对于一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）：当k＞0，图象一定经过一、三象限，且y随x的增大而增大，当k＜0，图象一定经过二、四象限，且y随x的增大而减小；当b＞0时，图象交y轴的正半轴，当b＜0时，图象交y轴的负半轴，当b=0时，图象过坐标原点，据此并结合题意，列出关于字母a的不等式组，求解即可.
17．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若，，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
∴BC=AD=AE+DE=5，
∵MN垂直平分AE，
∴EF=AE=2，
∴，
∴S△EFG=2S△DEG，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴，
设S△EFG=4x，则S△BCG=25x，
∴S△DEG=2x，S△DFG=S△EFG+S△DEG=6x，
∴.
故答案为：.
【分析】由平行四边形性质得AD∥BC，AB=CD=4，AD=BC，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB=4，则BC=AD=AE+DE=5，由线段垂直平分线的性质得EF=AE=2，进而根据同高三角形的面积之比等于底之比得S△EFG=2S△DEG，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△EFG∽△BCG，由相似三角形的面积之比等于底之比得，设S△EFG=4x，则S△BCG=25x，S△DEG=2x，S△DFG=S△EFG+S△DEG=6x，从而就可求出此题答案了.
18．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则FD的长是 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
∴∠AME=90°，
∵BC=6，点E是BC的中点，
∴BE=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，
∴四边形ABEM是矩形，∠DFE=∠BEF，
∴ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，
∴ME⊥BC，
由折叠得∠BEF=∠B'EF，BE=B'E=3，
∴∠DFE=∠B'EF，
∴FG=GE，
在Rt△B'EH中，，
∵ME⊥BC，B'H⊥BC，
∴B'H∥ME，
∴∠EB'H=∠B'EH，
∴△MEG∽△HB'E，
∴，即，
∴，，
∴FM=FG-MG=，
∴AF=AM-FM=，
∴FD=AD-AF=.
故答案为：.
【分析】设B'E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，由矩形性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=6，AB=CD=，AD∥BC，进而根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABEM是矩形，则ME=AB=，AM=BE=3，∠BEM=90°，根据中点的性质及平行线的性质可推出∠DFE=∠B'EF，由等角对等边得FG=GE；在Rt△B'EH中，由勾股定理算出EH，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△MEG∽△HB'E，由相似三角形对应边成比例可求出EG、MG，进而根据线段的和差可解决此题.
三、解答题(本大题共8小题，共96分)
19．（2023·盘锦）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
=
，
当
时，
原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】首先将除法转变为乘法，然后利用乘法分配律用括号外的因式分别与括号内的每一个加数都相乘，接着根据同分母分式加法法则进行计算；根据二次根式的性质、0指数幂的性质、负整数指数幂的性质将x的值化简，最后将x的值代入分式运算的结果计算可得答案.
20．（2023·盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表如图所示
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长 人数
20
a
25
15
10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中 .
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数.
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数.
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率.
【答案】（1）100；30
（2）解：样本中平均每天阅读时长为“”有15名，
∴，
扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为；
（3）解：样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为10人，
∴名，
估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为140名；
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为：25÷25％=100（人），
平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数为：a=100×30％=30（人）；
故答案为：100，30；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用平均每天阅读时长为40＜x≤60min的人数除以其所占的百分比可算出本次调查的总人数，进而用本次调查的总人数乘以平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数所占的百分比即可算出平均每天阅读时长为20＜x≤40min的人数a的值；
（2）用360°乘以平均每天阅读时长为60＜x≤80min的人数所占的百分比即可算出扇形统计图中平均每天阅读时长为60＜x≤80min的人数所对应的圆心角的度数；
（3）用该校学生的总人数乘以样本中平均每天阅读时长为x＞80min的人数所占的百分比，即可估算出该校平均每天阅读时长为x＞80min的人数；
（4）此题是抽取不放回类型，将《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画出树状图，由图可得一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，从而根据概率公式算出结果.
21．（2023·盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为和，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长，结果精确到整数，参考数据：，，，
【答案】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：，，
，，
设，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的长约为
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，由题意易得BG=HE，CM∥AH，由二直线平行，内错角相等得∠CAH=∠MCA=30°，∠CBH=∠MCB=45°，设BH=xm，则AH=（40+x）m，在Rt△ACH中，由∠CAH的正切函数可表示出CH，在Rt△CBH中，由∠CBH的正切函数可表示出CH，从而建立方程可求出x的值，然后在Rt△BDG中，由∠BDG的正弦函数可求出BG，最后根据CE=CH+HE计算可得答案.
22．（2023·盘锦）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点
（1）求反比例函数的解析式.
（2）若点D是x轴上一点不与点A重合，的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标.
【答案】（1）解：过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
，
设，
，
则，，，
，，，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，，
，
，
∴，
，
反比例函数的解析式：；
（2）解：由（1）可得，
，
，
轴，的平分线交直线EC于点F，
点纵坐标为2，，
，
点横坐标为，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，根据反比例函数图象上的点的坐标特点，设，根据点的坐标与图形性质可得，，，则，，；由同角的余角相等得∠BCN=∠MAC，从而可用AAS判断出△ACM≌△CBN，得CN=AM，BN=CM，据此建立方程组，求解即可得出k的值，从而此题得解；
（2）由（1）易得点C（2，2），利用平面内两点间的距离公式算出AC，由平行线的性质及角平分线的性质可推出∠CAF=∠CFA，由等角对等边得CF=AC，从而根据EF=CE+CF算出EF的长度，即可得出点F的横坐标，从而就不难求出点F的坐标了.
23．（2023·盘锦）如图，内接于，AB为的直径，延长AC到点G，使得，连接过点C作，交AB于点F，交于点D，过点D作，交GB的延长线于点
（1）求证：DE与相长切.
（2）若，，求BE的长.
【答案】（1）证明：连接OD，如图：
为的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
即：，
又点D在上，
为的半径，
为的切线，
即：DE与相切；
（2）解：由（1）可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，，
∴AF∶BF=AC∶CG=4∶2=2∶1
设，，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
四边形DEBF为平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）连接OD，由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而由等腰直角三角形的性质得∠G=45°，由平行线性质得∠ACD=45°，再根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOD=90°，然后根据平行线的性质得∠ODE=90°，最后根据切线的判定定理可得结论；
（2）首先在Rt△ABC中，用勾股定理算出AB，由平行线分线段成比例定理得AF∶BF=AC∶CG=4∶2=2∶1，设BF=k，则AF=2k，由AB=AF+BF建立方程，求解可求出AF的长，进而由线段的和差算出OF的长；在Rt△ODF中，由勾股定理算出DF，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形DEBF为平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等可得BE的长.
24．（2023·盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量件与售价万元/件之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式不写自变量的取值范围
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元.
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润万元关于售价万元/件的函数关系式，并求最少利润是多少万元.
【答案】（1）解：在表格取点、，
设一次函数的表达式为：，
则，
解得：，
则一次函数的表达式为：；
（2）解：①设三月的成本为m万元，
当时，，
由题意得：，
解得：，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：，
则抛物线的对称轴为，
则时，w取得最小值，
此时，w=500，
即四月份最少利润是500万元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据，利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）①设三月的成本为m万元，将x=35代入（1）所求的函数解析式算出对应的y的值可得三月份的销售数量，进而根据利润等于每件商品的利润×销售数量列出方程，求解即可；
②根据利润等于每件商品的利润×销售数量-450建立出w关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
25．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，，点E在线段BH上，且，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得，EG交AH于点
（1）线段AM与线段AN的关系是 .
（2）若，，求AH的长.
（3）求证：
【答案】（1）垂直且相等
（2）解：，，
∽，
，
线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
，
，
，
；
（3）证明：如图，
延长MB至X，连接AX，使BX=BM，作∠AMR=∠H，交AX于R，
，
，
，
，，
设∠XAB=∠BAM=，
，，
，
，
，
，
，，，
≌，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADN=∠ADC=∠B=90°，AD=AB，
又∵BM=DN，
∴△ABM≌△ADN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，
∴∠MAN=∠DAN+∠MAD=∠BAM+∠MAD=∠BAD=90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
【分析】（1）由正方形性质得∠BAD=∠ADN=∠ADC=∠B=90°，AD=AB，结合已知，由SAS判断出△ABM≌△ADN，由全等三角形的性质得AM=AN，∠BAM=∠DAN，进而根据角的和差及等量代换可得∠MAN=90°，从而可得结论；
（2）首先由有两组角对应相等的两个三角形相似得△HEF∽△HAM，由相似三角形的对应边成比例建立方程可求出AH的长；
（3）延长MB至X，连接AX，使BX=BM，作∠AMR=∠H，交AX于R，由线段垂直平分线的性质得AX=AM，由等腰三角形性质得∠XAB=∠BAM，∠X=∠AMB，设∠XAB=∠BAM=，根据已知、三角形的内角和定理、三角形外角和定理推出∠X=∠MRX，由等角对等边得RM=XM，然后用ASA判断出△HEF≌△MAR，由全等三角形的对应边相等可得结论.
26．（2023·盘锦）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线轴于点N，若，且，请直接写出点Q的坐标.
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且，连接FA，FE，BE，BP，若，求的面积.
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：点；
（3）解：设点，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：，
则点，
则，
则，
设点E的坐标为：E[t，(3-m)(t+1)]，
，
即，
即，
解得：，
即点P的坐标为：，
则的面积
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴MN=4m，NB=3m，则BM=5m，
∴M（3-3m，4m），N（3-3m，0），
∵MQ⊥x轴于点N，
∴Q点的横坐标为3-3m，
将x=3-3m代入抛物线y=-x2+2x+3可得y=-9m2+12m，
∴Q（3-3m，-9m2+12m），
∴QM=-9m2+12m-4m=-9m2+8m
∵QM=BM，
∴-9m2+8m=5m，
解得m=0（舍去）或m=，
∴点Q（2，3）；
【分析】（1）由于此题给出了抛物线与x轴两交点坐标，故设出交点式，展开后根据常数项为3可求出二次项的系数a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）由∠MBN的正切函数值及定义可设MN=4m，NB=3m，由勾股定理得BM=5m，从而可用含m的式子表示出点M、N的坐标为：M（3-3m，4m），N（3-3m，0），由点的坐标与图形的性质得Q点的横坐标为3-3m，根据抛物线上点的坐标可得可得Q（3-3m，-9m2+12m），根据两点间的距离公式表示出QM，进而根据QM=BM建立方程求出适合题意的m的值，从而可得点Q的坐标；
（3）根据抛物线上点的坐标特点设P（m，-m2+2m+3），利用待定系数法求出直线AP的解析式，进而根据直线与y轴交点的坐标特点可求出点D的坐标，用含m的式子表示出OD、DF的长，设E[t，(3-m)(t+1)]，进而利用三角形的面积计算公式，由S△AFE=S△ABE建立方程，求解即可解决此题.
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