辽宁省鞍山市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·鞍山）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-2023|=-（-2023）=2023.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案.
2．（2023·鞍山）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该小正方体搭成的几何体的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧一个小正方形，故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图，就是从左面看得到的平面图形，弄清楚层数及每层小正方形的个数是此题的关键.
3．（2023·鞍山）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、(4ab)2=16a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、2a2+a2=3a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a6÷a4=a2，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
4．（2023·鞍山）九班名同学在一次测试中，某道题目满分分的得分情况如表：
得分分
人数
则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计表可得得分是3分的人数最多，有14人，故这组数据的众数是3；
将30名同学的得分按从低到高排列后排第15与16位的成绩都是3分，故这组数据的中位数为（3+3）÷2=3.
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；将一组数据按从低到高排列后，当这组数据的个数是奇数个的时候，排最中间的数据就是这组数据的中位数，当这组数据的个数是偶数个的时候，排中间两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数，据此可得答案.
5．（2023·鞍山）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等”可列出方程.
6．（2023·鞍山）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3=60°-∠1=60°-15°=45°，a∥b，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-90°-45°=45°.
故答案为：C.
【分析】首先由角的和差算出∠3的度数，然后根据二直线平行，内错角相等可得∠4的度数，最后根据平角的定义可求出∠2的度数.
7．（2023·鞍山）如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OB，
∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB=，
∵点D、G分别是AC与BC的中点，
∴DG=AB=.
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=90°，进而在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，最后根据三角形的中位线定理算出DG的长.
8．（2023·鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC、BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映s与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，设HE交AB于点I，GF交AB于点K，易得四边形EFKI是矩形，
在运动的第一个阶段，
∵直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，
∴IE=FK=t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
又∵AB=4，BC=，
∴tan∠BAO=，
∴∠BAO=60°，
∴AI=BK=，
∴IK=4-2t，即EF=4-2t，
∴S=，
∴排除A、D选项；
再继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，
此时S=（4-2t）2，
∴可以排除C选项，
故答案为：D.
【分析】设HE交AB于点I，GF交AB于点K，易得四边形EFKI是矩形，由题意得IE=FK=t，在Rt△ABC中利用∠BAC的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠BAO=90°，在Rt△AIE中，由∠BAC的正切函数定义可得AI=BK=t，则IK=4-2t，即EF=4-2t，进而根据矩形面积计算方法可求出s关于t的函数关系，根据所得函数解析式可排除A、D选项；继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，再根据正方形的面积计算公式表示出s关于t的函数解析式，据此可排除C选项，从而即可得出答案.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（2023·鞍山） 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，年“五一”假期天，全国国内旅游出游合计约为人次将数据用科学记数法可表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：274000000=2.74×108.
故答案为：2.74×108.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
10．（2023·鞍山）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-9x=3x(x-3).
故答案为：3x(x-3).
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.
11．（2023·鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球次，发现有次摸到红球，则口袋中红球约有 个
【答案】3
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 口袋中红球 的个数为：12×=3（个）.
故答案为：3.
【分析】利用频率估计概率的方法可得随机的摸出1个球是红球的概率为，从而用袋子中小球的总个数乘以从袋子中随机的摸出1个球是红球的概率，即可得出答案.
12．（2023·鞍山）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-a=0有两个不相等得实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即32-4×1×（-a）＞0，
解得a＞.
故答案为：.
【分析】对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c都是常数，且a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式，求解即可.
13．（2023·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=10，OA=BC=8，∠AOB=∠B=∠C=90°，
∵将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，
∴AC=AE=10，CD=ED，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=6，
∴BE=OB-OE=4，
设DB=x，则CD=DE=8-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2=ED2，
即42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴D（10，3）.
故答案为：（10，3）.
【分析】由矩形性质得C=OB=10，OA=BC=8，∠AOB=∠B=∠C=90°，由折叠性质得AC=AE=10，CD=ED，在Rt△AOE中，由勾股定理算出OE，在Rt△BDE中，由勾股定理建立方程可求出BD的长，从而即可求出点D的坐标.
14．（2023·鞍山）如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点若，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知：CM平分∠ACB，MN垂直平分BC，
∴∠ACM=∠BCM，BM=CM，
∴∠B=∠BCM，
∴∠ACM=∠B，
又∵∠CAM=∠BAC，
∴△ACM∽△ACB，
∴，
∴AC2=AB×AM=9×4=36，
∴AC=6.
故答案为：6.
【分析】由作图过程可知：CM平分∠ACB，MN垂直平分BC，从而可得∠ACM=∠BCM，BM=CM，由等边对等角得∠B=∠BCM，则∠ACM=∠B，结合公共角∠CAM=∠BAC，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACM∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC的长.
15．（2023·鞍山）如图，在中，，顶点，分别在轴的正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点，，，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H，
，
∵点E为AC的中点，
∴AC=2CE，
∵EF⊥x轴，AH⊥x轴，
∴AH∥EF，
∴，
∴AH=2EF，CF=HF，
∵BF-CF=3，
∴BF-HF=BH=3，
∵AH⊥x轴，
∴AH∥OD，
∴，
∴BO=2OH，
∴BH=OB+OH=3OH=3，
∴OH=1，OB=2，
设CF=HF=x，EF=y，
则AH=2EF=2y，CH=2x，
∴点A（1，2y），E（1+x，y），
∵点A、E都在反比例函数 的图象上，
∴k=1×2y=（1+x）y，
解得x=1，
∴CH=2x=2，
∴BA=BC=BH+CH=3+2=5，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，
∴A（1，4），
∴k=1×4=4.
故答案为：4.
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AH∥EF，AH∥OD，由平行线分线段成比例定理得AH=2EF，CF=HF，BO=2OH，从而结合已知可得BH=3，OH=1，OB=2，设CF=HF=x，EF=y，则AH=2EF=2y，CH=2x，
从而可得点A（1，2y），E（1+x，y），根据反比例函数图象上点的坐标特点得k=1×2y=（1+x）y，解得x=1，从而可求出BA的长，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，从而求出点A的坐标，此题得解了.
16．（2023·鞍山）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：连接DE、BF，过点G作PG∥BC，交AB于点P，
∵将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，
∴AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，
∵AE=AF=BC，FN=AN-AF，EM=AM-AE，
∴FN=EM，
在△BFN与△DEM中，
∵BN=DM，∠FNB=∠EMD，FN=EM，
∴△BFN≌△DEM（SAS），
∴BF=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，AE=AF=BC，
∴AF=AB，AE=AD，
∴△ABF与△AED都是等腰三角形，
∴∠ABF=∠AFB=（180°-∠BAF），∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE），
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED，
∵AF=AE，∠MAN=90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEG=∠AFG=45°，
∵∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°，∠GFB=∠AFB-∠AFG=∠AEB-45°，
∴∠GFB=∠GDE，
在△GFB与△GDE中，
∵∠BGF=∠EGD，∠GFB=∠GDE，BF=DE，
∴△GFB≌△GDE（AAS），
∴FG=DG，BG=EG，
在△AFG与△ADG中，
∵AF=AD，FG=DG，AG=AG，
∴△AFG≌△ADG（SSS），
∴∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHN，
∴∠AHN=∠NAH，
∴AN=NH=AM=，
设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，
在Rt△ABN中，AN2=BN2+AB2，即（）2=（-x）2+（x+2）2，
解得x1=6，x2=，
∴BH=6或；
∵PG∥BC，
∴△APG∽△ABH，
∴，
∵PG∥BC，
∴∠GPB=180°-∠PBH=180°-90°=90°，
∵∠PBG=45°，
∴∠PGB=90°-∠PBG=45°=∠PBG，
∴PG=PB，
①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，
∴，
∴设AP=4a，PG=3a=PB，
∵AB=AP+PB=8，
∴4a+3a=8，
解得a=，
在Rt△APG中，；
②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，
在Rt△ADM，，
∵DM=8＞CD=，
∴点M在CD的延长线上，与题意不符，
综上AG的长为.
故答案为：.
【分析】连接DE、BF，过点G作PG∥BC，交AB于点P，由旋转的性质得AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，结合已知及等式性质推出FN=EM，用SAS证△BFN≌△DEM，得BF=DE；由正方形性质得∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，结合已知推出AF=AB，AE=AD，根据等边对等角及三角形内角和定理得∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED；判断出△AFE是等腰直角三角形，得∠AEG=∠AFG=45°，进而根据角的和差推出∠GFB=∠GDE，由AAS判断出△GFB≌△GDE，得FG=DG，BG=EG，由SSS判断出△AFG≌△ADG，得∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，由平行线的性质得∠DAH=∠AHN，则∠AHN=∠NAH，由等角对等边得AN=NH=AM=，设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，在Rt△ABN中，由勾股定理建立方程可求出x的值；由平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△APG∽△ABH，由相似三角形对应边成比例得；推出△BPG是等腰直角三角形，得PG=PB，①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，代入比利式可得AP与PG的关系，设AP=4a，PG=3a=PB，进而结合AB=AP+PB建立方程可求出a得值，在在Rt△APG中，由勾股定理可求出AG得长；②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，在Rt△ADM，由勾股定理建立方程可求出DM得长，再根据题目条件判断点M在CD的延长线上，与题意不符，综上即可得出答案.
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·鞍山）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果，计算可得答案.
18．（2023·鞍山）如图，在 中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形EBFD是平行四边形，
又，
四边形EBFD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EDO=∠OBF，由中点定义得BO=OD，结合对顶角相等可用ASA判断出△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形EBFD是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案.
19．（2023·鞍山）在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时，某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；，最美设计：无限潜力参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项，活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数．
【答案】（1）100
（2）解：样本中获得“魅力色彩”的人数为：名，
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：全校有800名学生中获得“A非凡创意”奖的学生大约有64人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20％=100（人）；
故答案为：100；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由D项的学生人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）根据四个项的人数之和等于本次调查的总人数可求出B项的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该校参赛学生的总人数乘以样本中A项目人数所占的百分比即可估算出该学校在评比中获得“A非凡创意”奖的学生人数.
20．（2023·鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有种，
所以两人都没有抽到“夏至”的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）共有 四张完全相同的不透明卡片 ，其中卡片正面泻“A惊蛰”的只有一张，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有6种，从而根据概率公式计算可得答案.
21．（2023·鞍山）某商店窗前计划安装如图所示的遮阳棚，其截面图如图所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度结果精确到，参考数据：
【答案】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
，
，
四边形BCDF是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度AB约为2.7m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，易得四边形BCDF是矩形，由矩形性质得BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB∥CE，由二直线平行，内错角相等得∠BAD=∠ADE=60°，在Rt△ADF中，由∠BAD得正切函数可求出AF得长，进而根据AB=AF+BF可求出答案.
22．（2023·鞍山）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接，，若的面积是．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）点为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图，连接AO，
，的面积是，
，
∴|k|=8．
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：；
（2）解：点，在的图象上，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
．
设直线上在第一象限的点，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）连接AO，由同高三角形的面积之比等于底之比可得S△AOC=4，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|，据此并结合反比例函数图象所在的象限可求出k的值，从而得到反比例函数的解析式；
（2）将A（-2，m）、B（n，2）分别代入（1）所求的反比例函数解析式可算出m、n的值，从而得到点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质求出点C的坐标，然后利用三角形面积计算公式算出△ABC的面积；根据直线上的点的坐标特点设P（m，m+6），再根据三角形面积计算公式及△PAC的面积等于△BAC面积的2倍建立方程可求出m的值，从而得到点P的坐标.
23．（2023·鞍山）如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，如图：
，∠EAD+∠BAD=180°，
，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠BDF=∠ODA，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDO=∠BDF+∠ODB=∠ODB+∠ODA=∠ADB=90°，
，
是半径，
为的切线；
（2）解：连接AC，如图，
为的直径，
，
，
，
，
设半径为，则，
在中，
，即，
解得，
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等得∠BDF=∠BAD，由等边对等角及等量代换得∠BDF=∠ODA，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据角的和差及等量代换可得∠FDO=90°，从而根据切线的判定定理可得EF是圆O的切线；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而易得AC∥EF，由平行线性质及同弧所对的圆周角相等得∠E=∠BAC=∠BDC，设圆的半径为r，则OE=10-r，在Rt△EOD中，由∠E得正弦函数及等角得同名三角函数值相等可建立出关于字母r的方程，求解可得答案.
24．（2023·鞍山）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为元，销售价格不高于元，且每售卖需向网络平台支付元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设每日销售量ykg与销售价格x元/千克之间满足如图所示的一次函数关系为，
，
解得，
与的函数解析式为；
（2）解：设每千克荔枝的销售价格定为元时，销售这种荔枝日获利为元，
根据题意得，，
，对称轴为，
又∵销售价格不高于元，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据（8，2200）及（14，1600），利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；
（2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，根据总利润=每千克荔枝的利润×销售数量建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
25．（2023·鞍山）如图，在中，，，点是射线上的动点不与点，重合，连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．
（1）如图，点在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图，点在线段上，当，时，求证：．
（3）当，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）垂直；
（2）证明：如图，
作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当点D在BC上时，
作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
如图，
当点D在BC的延长线上时，
作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CA⊥EB，交EB的延长线于X，
由上可知：，，∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或.
【知识点】梯形中位线定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BF并延长交AC于点R，连接DR，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
同理得∠AED=45°，
∴∠AED=∠ABD=45°，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB与BE垂直；
∵F是AE的中点，
∴BE=DF=AE，
∵G是BD的中点，
∴FG⊥BC，
∵∠ABE+∠BAC=180°，
∴BE∥AC，
∴∠EAR=∠FEB，
又∵∠AFR=∠BFE，AF=EF，
∴△BEF≌△RAF（ASA），
∴BF=RF，
∴RD∥FG，FG=RD，
∵FG⊥BC，
∴RD⊥BC，
∵∠C=45°，
∴CD=RD，
∴FG=CD，
∴；
故答案为：垂直，；
【分析】（1）连接BF并延长交AC于点R，连接DR，由等腰直角三角形得性质得∠AED=∠ABD=45°，从而根据确定圆的条件可得A、B、E、D四点共圆，由圆内接四边形的对角互补可得∠ABE+∠ADE=180°，从而得出∠ABE=90°，即AB与BE垂直；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DF=AE，由等腰三角形的三线合一得FG⊥BC，由同旁内角互补，两中线平行得BE∥AC，进而由二直线平行，内错角相等得∠EAR=∠FEB，由ASA判断出△BEF≌△RAF，得BF=RF，由三角形得中位线定理得RD∥FG，FG=RD，根据平行线的性质推出RD⊥BC，由等腰直角三角形性质得CD=RD，此题得解；
（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，得∠ABC=60°，在Rt△ADE中，由∠AED得正切函数及特殊锐角三角函数值可得∠AED=60°，则∠AED=∠ABC，从而根据确定圆的条件可得A、B、E、D四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠ABE=∠ADE=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=DF=AE；由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EH∥FG∥AQ，由平行线分线段成比例定理得HG=QG，则FG是梯形AEHQ的中位线，则EH+AQ=2FG，即，进而根据含30°角直角三角形性质得，，从而可得，据此就可求出结论了；
（3）分类讨论：当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，由等边三角形性质得BQ=CQ=BC=3，∠C=60°，根据含30°角直角三角形性质得AQ的长，由同角的余角相等得∠EDH=∠DAQ，进而根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△DHE∽△AQD，由相似三角形对应边成比例可求出EH的长，进而可求出BE、BH、CH、CE的长；在Rt△BCX中，由∠BCX得余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出BX，进而求出EX，再根据平行线分线段成比例定理建立方程可求出CN；当点D在BC的延长线上时，作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CA⊥EB，交EB的延长线于X，同第一种情况得出结果即可.
26．（2023·鞍山）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交于点，连接，当时，求点的横坐标．
（3）如图，点为轴正半轴上一点，与交于点，若，，求点的坐标．
【答案】（1）解：把（3，1）和（0，5）代入到解析式中可得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：直线中，令可得，
直线中，令，可得，
分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG=FH，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中：
，
≌，
，
设，则，
，，
从而，，
则有，解得舍去或，
故E点的横坐标为：；
（3）解：将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，，
过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE交y轴于T，
设，则，，，
轴，
∽，
，
，
∴，，
设，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，，则，
，
，
，代入抛物线解析式中有：
，
解得：或，
当时，；
当时，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把（3，1）和（0，5）代入到解析式可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，从而可得点A、D的坐标，分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG=FH，利用HL判断出Rt△BEG≌Rt△DFH，得BG=DH，根据函数图象上的点的坐标特点，用含t的式子表示出E、F的坐标，根据点的坐标与图形的性质用含t的式子表示出点G与H的坐标，利用平面内两点间的距离公式用含t的式子表示出BG与DH，从而可建立方程，求解得出点E的横坐标；
（3）将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，tan∠BNP=tan∠BME=，过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE交y轴于T，设BN=OE=NP=5m，则PQ=3m，QN=4m，BQ=m，由平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得△BRQ∽△BON，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BR=1，设RQ=n，由同角的余角相等得∠PQS=∠QBR，然后根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△BRQ∽△QSP，由相似三角形对应边成比例建立方程可得PS=3n，QS=3，则RS=3+n，从而根据线段的和差用含n的式子表示出TE与TO，可得点E的坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求出n得值，从而得出答案.
1 / 1辽宁省鞍山市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023·鞍山）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·鞍山）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·鞍山）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·鞍山）九班名同学在一次测试中，某道题目满分分的得分情况如表：
得分分
人数
则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（2023·鞍山）甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物，设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·鞍山）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·鞍山）如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·鞍山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=4，，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC、BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能大致反映s与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9．（2023·鞍山） 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，年“五一”假期天，全国国内旅游出游合计约为人次将数据用科学记数法可表示为 ．
10．（2023·鞍山）因式分解： ．
11．（2023·鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球次，发现有次摸到红球，则口袋中红球约有 个
12．（2023·鞍山）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．（2023·鞍山）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则点的坐标是 ．
14．（2023·鞍山）如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点若，，，则的长为 ．
15．（2023·鞍山）如图，在中，，顶点，分别在轴的正、负半轴上，点在第一象限，经过点的反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点，若点为的中点，，，则的值为 ．
16．（2023·鞍山）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·鞍山）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·鞍山）如图，在 中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，，连接，，求证：四边形是菱形．
19．（2023·鞍山）在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时，某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动评比结果共分为四项：非凡创意；魅力色彩；，最美设计：无限潜力参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项，活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“非凡创意”奖的学生人数．
20．（2023·鞍山）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是 ．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“夏至”的概率．
21．（2023·鞍山）某商店窗前计划安装如图所示的遮阳棚，其截面图如图所示，在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为若经过点的光线恰好照射在地面点处，则，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度结果精确到，参考数据：
22．（2023·鞍山）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接，，若的面积是．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）点为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标．
23．（2023·鞍山）如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接若．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
24．（2023·鞍山）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝已知该荔枝的成本为元，销售价格不高于元，且每售卖需向网络平台支付元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格元之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
25．（2023·鞍山）如图，在中，，，点是射线上的动点不与点，重合，连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．
（1）如图，点在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图，点在线段上，当，时，求证：．
（3）当，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．
26．（2023·鞍山）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）直线与轴交于点，与轴交于点，过点作直线轴，交于点，连接，当时，求点的横坐标．
（3）如图，点为轴正半轴上一点，与交于点，若，，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：|-2023|=-（-2023）=2023.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该小正方体搭成的几何体的左视图有两层，底层两个小正方形，上层左侧一个小正方形，故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图，就是从左面看得到的平面图形，弄清楚层数及每层小正方形的个数是此题的关键.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、(4ab)2=16a2b2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、2a2+a2=3a2，故此选项计算错误，不符合题意；
C、a6÷a4=a2，故此选项计算正确，符合题意；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由统计表可得得分是3分的人数最多，有14人，故这组数据的众数是3；
将30名同学的得分按从低到高排列后排第15与16位的成绩都是3分，故这组数据的中位数为（3+3）÷2=3.
故答案为：C.
【分析】一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数；将一组数据按从低到高排列后，当这组数据的个数是奇数个的时候，排最中间的数据就是这组数据的中位数，当这组数据的个数是偶数个的时候，排中间两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数，据此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，
由题意得.
故答案为：A.
【分析】设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输（x+60）kg货物，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等”可列出方程.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3=60°-∠1=60°-15°=45°，a∥b，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-90°-45°=45°.
故答案为：C.
【分析】首先由角的和差算出∠3的度数，然后根据二直线平行，内错角相等可得∠4的度数，最后根据平角的定义可求出∠2的度数.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OB，
∵∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB=，
∵点D、G分别是AC与BC的中点，
∴DG=AB=.
故答案为：D.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOB=90°，进而在Rt△AOB中，利用勾股定理算出AB的长，最后根据三角形的中位线定理算出DG的长.
8．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图，设HE交AB于点I，GF交AB于点K，易得四边形EFKI是矩形，
在运动的第一个阶段，
∵直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒个单位长度的速度平移，
∴IE=FK=t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
又∵AB=4，BC=，
∴tan∠BAO=，
∴∠BAO=60°，
∴AI=BK=，
∴IK=4-2t，即EF=4-2t，
∴S=，
∴排除A、D选项；
再继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，
此时S=（4-2t）2，
∴可以排除C选项，
故答案为：D.
【分析】设HE交AB于点I，GF交AB于点K，易得四边形EFKI是矩形，由题意得IE=FK=t，在Rt△ABC中利用∠BAC的正切函数定义及特殊锐角三角函数值可得∠BAO=90°，在Rt△AIE中，由∠BAC的正切函数定义可得AI=BK=t，则IK=4-2t，即EF=4-2t，进而根据矩形面积计算方法可求出s关于t的函数关系，根据所得函数解析式可排除A、D选项；继续向右运动时，正方形EFGH全部在△AOB内部，再根据正方形的面积计算公式表示出s关于t的函数解析式，据此可排除C选项，从而即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：274000000=2.74×108.
故答案为：2.74×108.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3x2-9x=3x(x-3).
故答案为：3x(x-3).
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可.
11．【答案】3
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 口袋中红球 的个数为：12×=3（个）.
故答案为：3.
【分析】利用频率估计概率的方法可得随机的摸出1个球是红球的概率为，从而用袋子中小球的总个数乘以从袋子中随机的摸出1个球是红球的概率，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x-a=0有两个不相等得实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即32-4×1×（-a）＞0，
解得a＞.
故答案为：.
【分析】对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c都是常数，且a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此结合题意，列出不等式，求解即可.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形OACB是矩形，
∴AC=OB=10，OA=BC=8，∠AOB=∠B=∠C=90°，
∵将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处，
∴AC=AE=10，CD=ED，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OE=6，
∴BE=OB-OE=4，
设DB=x，则CD=DE=8-x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2=ED2，
即42+x2=(8-x)2，
解得x=3，
∴D（10，3）.
故答案为：（10，3）.
【分析】由矩形性质得C=OB=10，OA=BC=8，∠AOB=∠B=∠C=90°，由折叠性质得AC=AE=10，CD=ED，在Rt△AOE中，由勾股定理算出OE，在Rt△BDE中，由勾股定理建立方程可求出BD的长，从而即可求出点D的坐标.
14．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可知：CM平分∠ACB，MN垂直平分BC，
∴∠ACM=∠BCM，BM=CM，
∴∠B=∠BCM，
∴∠ACM=∠B，
又∵∠CAM=∠BAC，
∴△ACM∽△ACB，
∴，
∴AC2=AB×AM=9×4=36，
∴AC=6.
故答案为：6.
【分析】由作图过程可知：CM平分∠ACB，MN垂直平分BC，从而可得∠ACM=∠BCM，BM=CM，由等边对等角得∠B=∠BCM，则∠ACM=∠B，结合公共角∠CAM=∠BAC，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACM∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AC的长.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥x轴于点H，
，
∵点E为AC的中点，
∴AC=2CE，
∵EF⊥x轴，AH⊥x轴，
∴AH∥EF，
∴，
∴AH=2EF，CF=HF，
∵BF-CF=3，
∴BF-HF=BH=3，
∵AH⊥x轴，
∴AH∥OD，
∴，
∴BO=2OH，
∴BH=OB+OH=3OH=3，
∴OH=1，OB=2，
设CF=HF=x，EF=y，
则AH=2EF=2y，CH=2x，
∴点A（1，2y），E（1+x，y），
∵点A、E都在反比例函数 的图象上，
∴k=1×2y=（1+x）y，
解得x=1，
∴CH=2x=2，
∴BA=BC=BH+CH=3+2=5，
在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，
∴A（1，4），
∴k=1×4=4.
故答案为：4.
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AH∥EF，AH∥OD，由平行线分线段成比例定理得AH=2EF，CF=HF，BO=2OH，从而结合已知可得BH=3，OH=1，OB=2，设CF=HF=x，EF=y，则AH=2EF=2y，CH=2x，
从而可得点A（1，2y），E（1+x，y），根据反比例函数图象上点的坐标特点得k=1×2y=（1+x）y，解得x=1，从而可求出BA的长，在Rt△ABH中，由勾股定理得AH=4，从而求出点A的坐标，此题得解了.
16．【答案】
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：连接DE、BF，过点G作PG∥BC，交AB于点P，
∵将△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABN，
∴AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，
∵AE=AF=BC，FN=AN-AF，EM=AM-AE，
∴FN=EM，
在△BFN与△DEM中，
∵BN=DM，∠FNB=∠EMD，FN=EM，
∴△BFN≌△DEM（SAS），
∴BF=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，AE=AF=BC，
∴AF=AB，AE=AD，
∴△ABF与△AED都是等腰三角形，
∴∠ABF=∠AFB=（180°-∠BAF），∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE），
∵∠DAE=∠BAF，
∴∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED，
∵AF=AE，∠MAN=90°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEG=∠AFG=45°，
∵∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°，∠GFB=∠AFB-∠AFG=∠AEB-45°，
∴∠GFB=∠GDE，
在△GFB与△GDE中，
∵∠BGF=∠EGD，∠GFB=∠GDE，BF=DE，
∴△GFB≌△GDE（AAS），
∴FG=DG，BG=EG，
在△AFG与△ADG中，
∵AF=AD，FG=DG，AG=AG，
∴△AFG≌△ADG（SSS），
∴∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHN，
∴∠AHN=∠NAH，
∴AN=NH=AM=，
设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，
在Rt△ABN中，AN2=BN2+AB2，即（）2=（-x）2+（x+2）2，
解得x1=6，x2=，
∴BH=6或；
∵PG∥BC，
∴△APG∽△ABH，
∴，
∵PG∥BC，
∴∠GPB=180°-∠PBH=180°-90°=90°，
∵∠PBG=45°，
∴∠PGB=90°-∠PBG=45°=∠PBG，
∴PG=PB，
①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，
∴，
∴设AP=4a，PG=3a=PB，
∵AB=AP+PB=8，
∴4a+3a=8，
解得a=，
在Rt△APG中，；
②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，
在Rt△ADM，，
∵DM=8＞CD=，
∴点M在CD的延长线上，与题意不符，
综上AG的长为.
故答案为：.
【分析】连接DE、BF，过点G作PG∥BC，交AB于点P，由旋转的性质得AM=AN，DM=BN，∠MAN=90°，∠DAM=∠BAN，∠AMD=∠ANB，结合已知及等式性质推出FN=EM，用SAS证△BFN≌△DEM，得BF=DE；由正方形性质得∠ADB=∠ABD=45°，AB=AD=BC，结合已知推出AF=AB，AE=AD，根据等边对等角及三角形内角和定理得∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED；判断出△AFE是等腰直角三角形，得∠AEG=∠AFG=45°，进而根据角的和差推出∠GFB=∠GDE，由AAS判断出△GFB≌△GDE，得FG=DG，BG=EG，由SSS判断出△AFG≌△ADG，得∠FAG=∠DAG，即∠DAH=∠NAH，由平行线的性质得∠DAH=∠AHN，则∠AHN=∠NAH，由等角对等边得AN=NH=AM=，设BH=x，则AB=BC=BH+CH=x+2，BN=NH-BH=-x，在Rt△ABN中，由勾股定理建立方程可求出x的值；由平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△APG∽△ABH，由相似三角形对应边成比例得；推出△BPG是等腰直角三角形，得PG=PB，①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8，代入比利式可得AP与PG的关系，设AP=4a，PG=3a=PB，进而结合AB=AP+PB建立方程可求出a得值，在在Rt△APG中，由勾股定理可求出AG得长；②当BH=时，AB=CD=BC=BH+CH=，在Rt△ADM，由勾股定理建立方程可求出DM得长，再根据题目条件判断点M在CD的延长线上，与题意不符，综上即可得出答案.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的加法，同时将除式的分子、分母分别分解因式，并将除法转变为乘法，进而约分化简，最后将x的值代入化简结果，计算可得答案.
18．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形EBFD是平行四边形，
又，
四边形EBFD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠EDO=∠OBF，由中点定义得BO=OD，结合对顶角相等可用ASA判断出△DEO≌△BFO，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形EBFD是平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案.
19．【答案】（1）100
（2）解：样本中获得“魅力色彩”的人数为：名，
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：全校有800名学生中获得“A非凡创意”奖的学生大约有64人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20％=100（人）；
故答案为：100；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，由D项的学生人数除以其所占的百分比可求出本次调查的总人数；
（2）根据四个项的人数之和等于本次调查的总人数可求出B项的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该校参赛学生的总人数乘以样本中A项目人数所占的百分比即可估算出该学校在评比中获得“A非凡创意”奖的学生人数.
20．【答案】（1）
（2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有种，
所以两人都没有抽到“夏至”的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”的概率是：；
故答案为：；
【分析】（1）共有 四张完全相同的不透明卡片 ，其中卡片正面泻“A惊蛰”的只有一张，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“夏至”的有6种，从而根据概率公式计算可得答案.
21．【答案】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，
，
，
四边形BCDF是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度AB约为2.7m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，易得四边形BCDF是矩形，由矩形性质得BC=DF=3m，CD=BF=1m，AB∥CE，由二直线平行，内错角相等得∠BAD=∠ADE=60°，在Rt△ADF中，由∠BAD得正切函数可求出AF得长，进而根据AB=AF+BF可求出答案.
22．【答案】（1）解：如图，连接AO，
，的面积是，
，
∴|k|=8．
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：；
（2）解：点，在的图象上，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
．
设直线上在第一象限的点，
，
，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）连接AO，由同高三角形的面积之比等于底之比可得S△AOC=4，进而根据反比例函数k的几何意义可得S△AOC=|k|，据此并结合反比例函数图象所在的象限可求出k的值，从而得到反比例函数的解析式；
（2）将A（-2，m）、B（n，2）分别代入（1）所求的反比例函数解析式可算出m、n的值，从而得到点A、B的坐标，进而利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质求出点C的坐标，然后利用三角形面积计算公式算出△ABC的面积；根据直线上的点的坐标特点设P（m，m+6），再根据三角形面积计算公式及△PAC的面积等于△BAC面积的2倍建立方程可求出m的值，从而得到点P的坐标.
23．【答案】（1）证明：连接OD，如图：
，∠EAD+∠BAD=180°，
，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠BDF=∠ODA，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠FDO=∠BDF+∠ODB=∠ODB+∠ODA=∠ADB=90°，
，
是半径，
为的切线；
（2）解：连接AC，如图，
为的直径，
，
，
，
，
设半径为，则，
在中，
，即，
解得，
的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由同角的补角相等得∠BDF=∠BAD，由等边对等角及等量代换得∠BDF=∠ODA，由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据角的和差及等量代换可得∠FDO=90°，从而根据切线的判定定理可得EF是圆O的切线；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，从而易得AC∥EF，由平行线性质及同弧所对的圆周角相等得∠E=∠BAC=∠BDC，设圆的半径为r，则OE=10-r，在Rt△EOD中，由∠E得正弦函数及等角得同名三角函数值相等可建立出关于字母r的方程，求解可得答案.
24．【答案】（1）解：设每日销售量ykg与销售价格x元/千克之间满足如图所示的一次函数关系为，
，
解得，
与的函数解析式为；
（2）解：设每千克荔枝的销售价格定为元时，销售这种荔枝日获利为元，
根据题意得，，
，对称轴为，
又∵销售价格不高于元，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据（8，2200）及（14，1600），利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式；
（2）设每千克荔枝的销售价格定为x元时，销售这种荔枝日获利为w元，根据总利润=每千克荔枝的利润×销售数量建立出w关于x的函数关系式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
25．【答案】（1）垂直；
（2）证明：如图，
作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
是梯形的中位线，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当点D在BC上时，
作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
如图，
当点D在BC的延长线上时，
作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CA⊥EB，交EB的延长线于X，
由上可知：，，∽，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述：或.
【知识点】梯形中位线定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BF并延长交AC于点R，连接DR，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
同理得∠AED=45°，
∴∠AED=∠ABD=45°，
∴A、B、E、D四点共圆，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB与BE垂直；
∵F是AE的中点，
∴BE=DF=AE，
∵G是BD的中点，
∴FG⊥BC，
∵∠ABE+∠BAC=180°，
∴BE∥AC，
∴∠EAR=∠FEB，
又∵∠AFR=∠BFE，AF=EF，
∴△BEF≌△RAF（ASA），
∴BF=RF，
∴RD∥FG，FG=RD，
∵FG⊥BC，
∴RD⊥BC，
∵∠C=45°，
∴CD=RD，
∴FG=CD，
∴；
故答案为：垂直，；
【分析】（1）连接BF并延长交AC于点R，连接DR，由等腰直角三角形得性质得∠AED=∠ABD=45°，从而根据确定圆的条件可得A、B、E、D四点共圆，由圆内接四边形的对角互补可得∠ABE+∠ADE=180°，从而得出∠ABE=90°，即AB与BE垂直；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DF=AE，由等腰三角形的三线合一得FG⊥BC，由同旁内角互补，两中线平行得BE∥AC，进而由二直线平行，内错角相等得∠EAR=∠FEB，由ASA判断出△BEF≌△RAF，得BF=RF，由三角形得中位线定理得RD∥FG，FG=RD，根据平行线的性质推出RD⊥BC，由等腰直角三角形性质得CD=RD，此题得解；
（2）作AQ⊥BC于Q，作EH⊥CB，交CB的延长线于H，连接BF，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，得∠ABC=60°，在Rt△ADE中，由∠AED得正切函数及特殊锐角三角函数值可得∠AED=60°，则∠AED=∠ABC，从而根据确定圆的条件可得A、B、E、D四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得∠ABE=∠ADE=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BF=DF=AE；由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得EH∥FG∥AQ，由平行线分线段成比例定理得HG=QG，则FG是梯形AEHQ的中位线，则EH+AQ=2FG，即，进而根据含30°角直角三角形性质得，，从而可得，据此就可求出结论了；
（3）分类讨论：当点D在BC上时，作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，作AQ⊥BC于Q，作CX⊥EB，交EB的延长线于X，由等边三角形性质得BQ=CQ=BC=3，∠C=60°，根据含30°角直角三角形性质得AQ的长，由同角的余角相等得∠EDH=∠DAQ，进而根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△DHE∽△AQD，由相似三角形对应边成比例可求出EH的长，进而可求出BE、BH、CH、CE的长；在Rt△BCX中，由∠BCX得余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出BX，进而求出EX，再根据平行线分线段成比例定理建立方程可求出CN；当点D在BC的延长线上时，作EH⊥CB于H，作AQ⊥BC于Q，作CA⊥EB，交EB的延长线于X，同第一种情况得出结果即可.
26．【答案】（1）解：把（3，1）和（0，5）代入到解析式中可得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：直线中，令可得，
直线中，令，可得，
分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG=FH，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中：
，
≌，
，
设，则，
，，
从而，，
则有，解得舍去或，
故E点的横坐标为：；
（3）解：将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，，
过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE交y轴于T，
设，则，，，
轴，
∽，
，
，
∴，，
设，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，，则，
，
，
，代入抛物线解析式中有：
，
解得：或，
当时，；
当时，
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把（3，1）和（0，5）代入到解析式可得关于字母a、c的方程组，求解得出a、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）分别令中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，从而可得点A、D的坐标，分别过E、F向y轴作垂线，垂足为G、H，根据题意可得EG=FH，利用HL判断出Rt△BEG≌Rt△DFH，得BG=DH，根据函数图象上的点的坐标特点，用含t的式子表示出E、F的坐标，根据点的坐标与图形的性质用含t的式子表示出点G与H的坐标，利用平面内两点间的距离公式用含t的式子表示出BG与DH，从而可建立方程，求解得出点E的横坐标；
（3）将OE平移到NP，连接EP，则四边形ONPE为平行四边形，tan∠BNP=tan∠BME=，过P作PQ⊥BN于Q，过Q作QR⊥y轴于R，过P作PS⊥RQ交延长线于S，延长PE交y轴于T，设BN=OE=NP=5m，则PQ=3m，QN=4m，BQ=m，由平行于三角形一边的直线，截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得△BRQ∽△BON，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BR=1，设RQ=n，由同角的余角相等得∠PQS=∠QBR，然后根据有两组角对应相等得两个三角形相似得△BRQ∽△QSP，由相似三角形对应边成比例建立方程可得PS=3n，QS=3，则RS=3+n，从而根据线段的和差用含n的式子表示出TE与TO，可得点E的坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求出n得值，从而得出答案.
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