(共18张PPT)
第三章 圆
第22课时 圆周角和圆心角的关系（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图X3－22－1，点A，B，C，D在☉O上，∠CAB＝20°，则∠CDB的度数为（ A ）
图X3－22－1
A
温故知新 （限时3分钟）
A. 20°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
2. 如图X3－22－2，☉O的直径AB＝8，OP⊥弦BC于点P，OP＝2，则弦BC的长是（ C ）
图X3－22－2
C
B. 4
D. 8
A. 直径所对的圆周角是 直角 ，90°的圆周角所对的弦是 直径 .
直角
直径
知识重点
3. 如图X3－22－3所示，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的两点.若∠ABD＝65°，则∠BCD＝（ C ）
图X3－22－3
A. 55° B. 65°
C. 25° D. 60
C
对点范例
B. 圆内接四边形的对角 互补 .
互补
知识重点
4. 如图X3－22－4，已知四边形ABCD内接于☉O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（ B ）
图X3－22－4
B
对点范例
A. 70°
B. 110°
C. 130°
D. 140°
知识点1 圆周角定理的推论2
【例1】（课本P83随堂练习）如图X3－22－5，☉O的直径AB＝10 cm，C为☉O上的一点，∠B＝30°，求AC的长.
课本母题
图X3－22－5
思路点拨：先根据圆周角定理的推论得到Rt△ABC，再由直角三角形的直角边和斜边的关系得到AC的长.
5. （课本P84习题）如图X3－22－6，AB是☉O的直径，∠C＝15°，求∠BAD的度数.
图X3－22－6
母题变式
解：如答图X3－22－1，连接BD.
∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠C＝15°，∴∠B＝∠C＝15°.
∴∠BAD＝90°－∠B＝75°.
答图X3－22－1
知识点2 圆周角定理的推论3
【例2】（课本P84习题）如图X3－22－7，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E＝40°，∠F＝60°，求∠A的度数.
课本母题
图X3－22－7
思路点拨：先根据圆内接四边形的性质得到∠BCD＋∠A＝180°，再根据三角形外角的性质解答即可.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＋∠A＝180°.
∵∠BCD＝∠CBF＋∠F，∠CBF＝∠A＋∠E，
∴∠A＋∠E＋∠F＋∠A＝180°，
即2∠A＋40°＋60°＝180°.
解得∠A＝40°.
图X3－22－7
6. 如图X3－22－8，四边形ABCD内接于☉O，AB与DC的延长线交于点E，AD与BC的延长线交于点F，且∠E＝∠F＝44°.
图X3－22－8
母题变式
（1）求∠ABC的度数；
解：（1）∵∠ABC＝∠E＋∠BCE，∠ADC＝∠F＋∠DCF，∠E＝∠F＝44°，∠BCE＝∠DCF，
∴∠ABC＝∠ADC.
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°.∴∠ABC＝90°.
图X3－22－8
（2）求∠BAF的度数.
解：（2）在△ABF中，∠ABF＝90°.
∴∠BAF＝90°－∠F＝90°－44°＝46°.
创新设计
7. （创新题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
图X3－22－9
∵四边形FBCD内接于☉O，∴∠FDC＋∠FBC＝180°.
∵∠FDC＋∠FDE＝180°，∴∠FDE＝∠FBC.
∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.
又∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC.
∴BE是∠ABC的平分线.
证明：如答图X3－22－2，延长BC到点T.
答图X3－22－2
图X3－22－9
答图X3－22－2
图X3－22－9
谢 谢！(共27张PPT)
第三章 圆
第25课时 直线和圆的位置关系（二）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图X3－25－1，AB是☉O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（ D ）
图X3－25－1
D
温故知新 （限时3分钟）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
2. 如图X3－25－2，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ C ）
图X3－25－2
C
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 以上三种情况均有可能
A. （1）过半径的外端且 垂直于 这条半径的直线是圆的切线；
（2）和圆只有 一 个公共点的直线是圆的切线；
（3）和圆心的距离等于 半径 的直线是圆的切线.
垂直于
一
半径
知识重点
3. 如图X3－25－3，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ B ）
图X3－25－3
B
对点范例
A. PA
B. PB
C. PC
D. PD
B. 与三角形三边都 相切 的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条 角平分线 的交点，叫做三角形的内心.
相切
角平分线
知识重点
4. 如图X3－25－4，☉O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ A ）
图X3－25－4
A
对点范例
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
知识点1 已知切点证切线
【例1】（课本P93习题）如图X3－25－5，已知直线AB经过☉O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，那么直线AB是☉O的切线吗？为什么？
课本母题
图X3－25－5
思路点拨：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
解：直线AB是O的切线.
理由如下：
如答图X3－25－1，连接OC.
答图X3－25－1
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB.
∵C为☉O上一点，
∴直线AB是☉O的切线.
图X3－25－5
5. 如图X3－25－6，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，AD⊥CD于点D（点D在☉O外），AC平分∠BAD，判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由.
图X3－25－6
母题变式
解：直线CD是☉O的切线.理由如下：
如答图X3－25－4，连接OC.
答图X3－25－4
∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA.
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO.
∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵C为☉O上一点，∴直线CD是☉O的切线.
图X3－25－6
知识点2 未知切点证切线
课本母题
图X3－25－7
思路点拨：作OC⊥AB于点C，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出OC，最后根据切线的判定定理可判断AB是☉O的切线.
解：作OC⊥AB于点C，如答图X3－25－2.
答图X3－25－2
∵☉O的半径为4，∴OC为☉C的半径.
又∵OC⊥AB，∴AB是☉O的切线.
图X3－25－7
6.如图X3－25－8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DB长为半径作☉D.求证：AC与☉D相切.
图X3－25－8
母题变式
证明：过点D作DF⊥AC于点F，如答图X3－25－5.
答图X3－25－5
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∠ABC＝90°，
∴BD＝DF.
∴DF为☉D的半径.
又∵DF⊥AC，
∴AC是☉D的切线.
图X3－25－8
知识点3 三角形的内切圆
【例3】（课本P93随堂练习）如图X3－25－9，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.三角形的内心是否都在三角形的内部？
课本母题
图X3－25－9
思路点拨：先作出三角形的内切圆，再观察所作的图形即可得到内心的位置.
解：如答图X3－25－3，☉O即为所求内切圆.由图可知，三角形的内心都在三角形的内部.
答图X3－25－3
7. 如图X3－25－10，☉O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°.若AC＝6 cm，BC＝8 cm，求☉O的半径r.
图X3－25－10
母题变式
解：如答图X3－25－6，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF.
答图X3－25－6
创新设计
8. （创新题）如图X3－25－11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.
图X3－25－11
（1）求证：CD与☉O相切；
（1）证明：如答图X3－25－7，过点O作OG⊥DC，垂足为G. ∵AD∥BC，AE⊥BC，∴OA⊥AD.
答图X3－25－7
（2）若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值.
答图X3－25－7
9. （创新变式）如图X3－25－12，在△ABC中，CO平分∠ACB交AB于点O，以点O为圆心，OB长为半径作☉O，交CO于点D，且与BC相切于点B，延长CO交☉O于点E，连接BE，BD.
图X3－25－12
∵CB是☉O的切线，∴OB⊥CB.
∵CO平分∠ACB，OF⊥CA，∴OF＝OB.
∵OB是☉O的半径，∴OF是☉O的半径.
∴AC是☉O的切线.
答图X3－25－8
（1）求证：AC是☉O的切线；
（1）证明：过点O作OF⊥CA于点F，如答图X3－25－8.
图X3－25－12
（2）若BE＝2BD，CD＝2，求CB的长.
图X3－25－12
答图X3－25－8
谢 谢！(共19张PPT)
第三章 圆
*第20课时 垂 径 定 理
目录
01
02
03
04
05
温故知新
知识重点
对点范例
课本母题
母题变式
1. 如图X3－20－1，AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
图X3－20－1
B
温故知新 （限时3分钟）
A. CD垂直平分AD
B. AB垂直平分CD
C. CD平分∠ACB
D. AB＝CD
2. 如图X3－20－2，在△ABC中，AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，EC＝2 cm，则BE的长为（ C ）
图X3－20－2
C
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
A. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧 .
弧
知识重点
3. 如图X3－20－3，在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点E.若AB＝8，OD＝5，则OE的长为（ B ）
图X3－20－3
B
对点范例
A. 4
B. 3
D.2
B. 平分弦（ 不是直径 ）的直径 垂直 于弦，并且平分弦所对的 弧 .
不是直径
垂直
弧
知识重点
4. 如图X3－20－4，AB是☉O的直径，CM＝DM，下列结论不成立的是（ D ）
图X3－20－4
D
对点范例
A. AB⊥CD
B. CB＝DB
C. ∠ACD＝∠ADC
D. OM＝MB
知识点1 垂径定理
【例1】如图X3－20－5，C是☉O的弦AB上一点.若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（ D ）
图X3－20－5
D
课本母题
A. 3 B. 4
思路点拨：过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长.
5.如图X3－20－6，AB是☉O的直径，AB＝10，弦CD⊥AB于点E.若OA∶OE＝5∶3，则弦CD的长为（ D ）
图X3－20－6
D
母题变式
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
知识点2 垂径定理的应用
课本母题
【例2】（课本P76习题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图X3－20－7，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，
AB＝10寸，求直径CD的长.依题意，CD的长为
（ D ）
D
图X3－20－7
B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
思路点拨：连接OA，设圆的半径是x寸，在Rt△OAE中，OA＝x寸，OE＝x－1，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD的长.
6. （创新题—课本P73随堂练习）1 400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（其模型图如图X3－20－8）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4 m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2 m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1 m）.
母题变式
图X3－20－8
解得R≈27.9.
答拱桥所在圆的半径约为27.9 m.
图X3－20－8
知识点3 与垂径定理有关的证明
【例3】（课本P77习题）如图X3－20－9，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
课本母题
图X3－20－9
思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，进而得到AC＝BD.
解：AC＝BD. 理由如下：
如答图X3－20－1，过点O作OE⊥AB于点E.
∴AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
答图X3－20－1
图X3－20－9
母题变式
7. 如图X3－20－10，AB是☉O的直径，CD为弦，分别过A，B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E，F.求证：EC＝DF.
图X3－20－10
证明：如答图X3－20－2，过点O作OM⊥CD于点M.
答图X3－20－2
图X3－20－10
谢 谢！(共23张PPT)
第三章 圆
第19课时 圆的对称性
目录
01
02
03
04
05
06
温故知新
知识重点
对点范例
课本母题
母题变式
创新设计
1. 已知☉O的半径为5 cm，当线段OA＝5 cm时，点A在（ B ）
A. ☉O内 B. ☉O上
C. ☉O外 D. 无法确定
2. 到定点O的距离等于2 cm的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆（ C ）
A. 点O，4 cm B. 点O，1 cm
C. 点O，2 cm D. 点O，8 cm
B
C
温故知新 （限时3分钟）
A. 圆既是轴对称图形，又是 中心 对称图形，它的对称轴是 任意一条过圆心的直线 ，对称中心是 圆心 .
中心
任意一条过圆心的直线
圆心
知识重点
3. 下列说法不正确的是（ C ）
A. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 当圆绕它的圆心旋转89°57'时，不会与原来的圆重合
D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
C
对点范例
B. （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等 ；
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等 .
相等
都分别相等
知识重点
图X3－19－1
A
对点范例
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
知识点1 圆的对称性
【例1】图X3－19－2是由一个圆、一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补充成轴对称图形.（用尺规作图，不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹）
课本母题
图X3－19－2
思路点拨：确定半圆的圆心作出圆的另一半，利用SSS在对称轴的下方作出三角形的对称图形是解题关键.
解：如答图X3－19－1所示.
答图X3－19－1
5.某单位搞绿化，要在一块圆形空地上种植四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同.现征集设计方案，要求设计成轴对称图形或中心对称图形，请在如图X3－19－3所示圆中画出三种设计方案（只画示意图，不写作法）.
母题变式
图X3－19－3
解：如答图X3－19－3，答案不唯一.
答图X3－19－3
知识点2 圆心角与弧的关系
课本母题
图X3－19－4
思路点拨：连接OC，根据等边三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系进行分析即可.
解：四边形AOBC是菱形.理由如下：
如答图X3－19－2，连接OC.
答图X3－19－2
图X3－19－4
图X3－19－5
母题变式
知识点3 弧与弦的关系
【例3】（课本P72习题）如图X3－19－6，A，B，C，D是☉O上的四点，AB＝DC，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
课本母题
思路点拨：根据全等三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系进行分析即可.
图X3－19－6
解：△ABC与△DCB全等.
图X3－19－6
图X3－19－7
母题变式
如答图X3－19－4，连接OC.
答图X3－19－4
创新设计
8. （创新题—课本P73习题）如图X3－19－8，在☉O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
图X3－19－8
又∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴OE＝OF.
图X3－19－9
（1）若D，E分别是半径OA，OB的中点，如图X3－19－9①，求证：CD＝CE；
解：（1）如答图X3－19－5，连接CO.
答图X3－19－5
（2）如图X3－19－9②，☉O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A，O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ的最小值.
解：（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠CQO＝90°，即CQ⊥OB.
∵∠AOC＝∠BOC，
∴CP＝CQ；当CP与OA不垂直时，
如答图X3－19－6，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M，N为垂足.
答图X3－19－6
答图X3－19－6
谢 谢！(共17张PPT)
第三章 圆
第23课时 确定圆的条件
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. （2022自贡）如图X3－23－1，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（ C ）
图X3－23－1
C
温故知新 （限时3分钟）
A. 90° B. 100°
C. 110° D. 120°
2. （2022营口）如图X3－23－2，点A，B，C，D在☉O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ A ）
图X3－23－2
A
B. 8
D. 4
不在同一条直线上的 三 个点确定一个圆，因此，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 外接圆 ， 外接圆 的圆心是三角形三边 垂直平分线 的交点，叫做三角形的 外心 .
三
外接圆
外接圆
垂直
平分线
外心
知识重点
3. 如图X3－23－3，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长均为1，则△ABC的外心可能是（ D ）
图X3－23－3
D
对点范例
A. 点M B. 点N
C. 点P D. 点Q
知识点1 三角形的外接圆
【例1】已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆.它们外心的位置有怎样的特点？
图X3－23－4
思路点拨：先作出三角形的外接圆，再观察所作的图形即可得到外心的位置特点.
课本母题
解：如答图X3－23－1，☉O即为各三角形的外接圆.由图可知，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上（斜边中点），钝角三角形的外心在三角形的外部.
答图X3－23－1
4. （课本P87习题）草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得三个放牧点到定居点的距离相等.如果三个放牧点的位置如图X3－23－5所示，那么如何确定定居点的位置？
图X3－23－5
母题变式
解：如答图X3－23－3，连接放牧点1和放牧点2，连接放牧点1和放牧点3，分别作上述两条线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点P即为所求定居点的位置.
答图X3－23－3
图X3－23－5
知识点2 作三角形的外接圆（找圆心）
【例2】（课本P88习题）如图X3－23－6，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
课本母题
图X3－23－6
思路点拨：根据垂径定理的推论，得MN所在直线经过圆心，进而可以判断使用的次数.
∵A，B两点都在圆上，MN所在的直线垂直平分线段AB，
∴圆心在直线MN上.
同理圆心也在直线M'N'上.
∴直线MN和直线M'N'的交点即为圆心.
故最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心.
解：最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心.理由如下：
如答图X3－23－2，
答图X3－23－2
图X3－23－6
5. 小明不小心敲坏了一块圆形玻璃，于是他拿了其中的一小块到玻璃店去配同样大小的圆形玻璃（如图X3－23－7），店里的师傅说不知圆形玻璃的大小不能配，小明就借了一把尺，先量得其中的一条弦AB的长度为60 cm，然后再量得这个弓形的高CD长度为10 cm，由此就可求得半径解决问题.请你帮小明：
图X3－23－7
母题变式
（2）算一下这个圆的半径是多少厘米.
（1）用尺规作图找出圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
解：（1）如答图X3－23－4，点O就是圆形玻璃的圆心.
答图X3－23－4
解：（2）设此圆的半径为r cm，连接DO，AO，如答图X3－23－4，可得OD＝（r－10） cm.
由题意，得AD＝30 cm，根据勾股定理，得
AO2＝AD2＋DO2，即r2＝302＋（r－10）2.
解得r＝50.
∴这个圆的半径是50 cm.
创新设计
6. （创新题）如图X3－23－8，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，4），C（6，2）.
（1）在图中画出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
图X3－23－8
解：（1）如答图X3－23－5，点M即为所作.
答图X3－23－5
（2）点M的坐标是 （2，0） ；
（2，0）
（3）判断点D（5，－2）与☉M的位置关系.
图X3－23－8
答图X3－23－5
谢 谢！(共20张PPT)
第三章 圆
第26课时 切线长定理
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
图X3－26－1
D
温故知新 （限时3分钟）
A. 8
B. 7
C. 10
D. 6
2. 如图X3－26－2，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，A为切点，BC与☉O交于点D，连接OD.若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（ C ）
图X3－26－2
C
A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°
（1）过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，这一点和圆心的连线 平分 两条切线的夹角；
（2）切线和切线长是两个不同的概念：切线是 直线 ，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和 切点 ，可以度量.
相等
平分
直线
切点
知识重点
3. 如图X3－26－3，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ C ）
图X3－26－3
C
对点范例
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
知识点1 切线长定理的应用（求边长）
【例1】（课本P96习题）如图X3－26－4，☉O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，且AB＝9 cm，BC＝14 cm，CA＝13 cm，求AF，BD，CE的长.
课本母题
图X3－26－4
思路点拨：根据切线长定理，列出方程求解即可.
图X3－26－4
4. 如图X3－26－5，PA，PB是☉O的切线，CD切☉O于点E，PA＝6，∠P＝60°.求：
图X3－26－5
母题变式
（1）△PCD的周长；
解：（1）根据切线长定理，
得CA＝CE，DE＝DB，PB＝PA＝6.
∴△PCD的周长为PD＋CD＋PC＝PD＋DE＋CE＋PC＝PD＋DB＋CA＋PC＝PB＋PA＝12.
（2）∠COD的度数.
图X3－26－5
知识点2 切线长定理的应用（求角度）
【例2】（课本P96习题）如图X3－26－6，PA和PB是☉O的两条切线，A，B为切点，∠P＝40°.点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD＝BE，BD＝AF，求∠EDF的度数.
课本母题
图X3－26－6
思路点拨：先根据切线长定理和三角形内角和定理得到∠PAB＝∠PBA＝70°，再根据三角形的全等得到∠AFD＝∠BDE，进而求出∠EDF的度数.
图X3－26－6
5. 如图X3－26－7，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，直线PO交☉O于点D，E，交AB于点C.
母题变式
图X3－26－7
答图X3－26－1
（1）求证：∠ADE＝∠PAE；
∵PA是☉O的切线，∴∠OAP＝90°.
∵DE是☉O的直径，∴∠DAE＝90°.
∴∠OAP＝∠DAE.∴∠DAO＝∠PAE.
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADE.
∴∠ADE＝∠PAE.
解：（1）证明：如答图X3－26－1，连接OA.
图X3－26－7
（2）若PA＝8，PE＝4，求直径DE的长.
答图X3－26－1
图X3－26－7
创新设计
6. （创新题）如图X3－26－8，AB，BC，CD分别与☉O切于点E，F，G，且AB∥CD.连接OB，OC，延长CO交☉O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N.
图X3－26－8
（1）求证：MN是☉O的切线；
（1）证明：∵AB，BC，CD分别与☉O切于点E，F，G，
图X3－26－8
（2）当OB＝6 cm，OC＝8 cm时，求☉O的半径及MN的长.
由（1）知，△BOC是直角三角形，
（2）解：连接OF，如答图X3－26－2，则OF⊥BC.
答图X3－26－2
图X3－26－8
答图X3－26－2
图X3－26－8
谢 谢！(共24张PPT)
第三章 圆
第18课时 圆
目录
01
02
03
04
05
06
温故知新
知识重点
对点范例
课本母题
母题变式
创新设计
1. （七年级上册多边形和圆的初步认识P123内容）如图X3－18－1，一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做（ B ）
图X3－18－1
A. 角 B. 圆 C. 圆柱 D. 球
B
温故知新 （限时3分钟）
2. （七年级上册多边形和圆的初步认识P124内容）下列图形中的角是圆心角的是（ A ）
A
A. （1）圆可以看成是平面上到定点的距离 等于 定长的所有点组成的图形，定点就是 圆心 ，定长就是 半径 .以点O为圆心的圆记作☉O，读作“圆O”；
（2）连接圆上任意两点的线段叫做 弦 ，经过圆心的弦叫做 直径 ；
等于
圆心
半径
弦
直径
知识重点
（3）圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 .圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做 半圆 ；
（4）能够重合的两个圆叫做 等圆 .在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 等弧 .
圆弧
半圆
等圆
等弧
3. 如图X3－18－2，在☉O中：
图X3－18－2
（1）半径有 OA，OB ；
（2）弦有 AC，AB ，其中 AB 是直径；
OA，OB
AC，AB
AB
对点范例
B. 设☉O的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
（1）点在圆外，即d ＞ r；
（2）点在圆上，即d ＝ r；
（3）点在圆内，即d ＜ r.
＞
＝
＜
知识重点
4. 已知☉O的半径是4，OP＝3，则点P与☉O的位置关系是（ A ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆上
C. 点P在圆外 D. 不能确定
A
对点范例
知识点1 圆的相关概念（半径、直径、弧）
【例1】（课本P65内容改编）如图X3－18－3，线段AB过圆心O，点A，B，C，D均在☉O上，请指出哪些是半径、弦、直径、优弧、劣弧.
课本母题
图X3－18－3
思路点拨：根据半径、弦、直径、优弧、劣弧的概念求解可得.
5. 如图X3－18－4，AB是☉O的直径，CD是☉O上非直径的弦，判断AB与CD之间的数量关系，并说明理由.
图X3－18－4
母题变式
解：AB＞CD.理由如下：
如答图X3－18－2，连接OC，OD.
答图X3－18－2
∵OC，OD是☉O的半径，AB是☉O的直径，
∴AB＝OC＋OD.
∵OC，OD，CD是三角形的三边，
∴OC＋OD＞CD，即AB＞CD.
知识点2 点与圆的位置关系
【例2】如图X3－18－5，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC的中点，现在以D为圆心，以BD为半径作☉D，求：
课本母题
图X3－18－5
（1）BC＝8时，点A与☉D的位置关系；
（2）BC＝6时，点A与☉D的位置关系；
图X3－18－5
解：如答图X3－18－1，连接AD.
∵AB＝AC＝5，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
答图X3－18－1
图X3－18－5
答图X3－18－1
6. 如图X3－18－6，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm.
图X3－18－6
（1）以B为圆心，BC为半径画☉B，点A，C及AB的中点E与☉B有怎样的位置关系？
母题变式
（2）以A为圆心，r为半径画☉A.若B，C，E三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则☉A的半径r应满足什么条件？
图X3－18－6
创新设计
7.（创新题）设AB＝2 cm，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
（1）与点A的距离为1.5 cm的点的集合；
解：（1）如答图X3－18－3，以点A为圆心，1.5 cm为半径画☉A，☉A即为所求.
答图X3－18－3
（2）与点B的距离为1.5 cm的点的集合；
解：（2）如答图X3－18－4，以点B为圆心，1.5 cm为半径画☉B，☉B即为所求.
答图X3－18－4
（3）与点A，B的距离都等于1.5 cm的点的集合；
解：（3）如答图X3－18－5，分别以点A，B为圆心，1.5 cm为半径画☉A，☉B，☉A和☉B交于P，Q两点，P，Q两点即为所求.
答图X3－18－5
（4）与点A，B的距离都小于1.5 cm的点的集合.
解：（4）如答图X3－18－6，分别以点A，B为圆心，1.5 cm为半径画☉A，☉B，阴影部分（不含边界）即为所求.
答图X3－18－6
8. （创新变式）设线段AB＝5，通过作图说明满足下列要求的图形：
（1）到点A的距离与点B的距离都等于3的所有点组成的图形；
解：（1）分别以点A和点B为圆心，3为半径作☉A与☉B，则它们的交点P，Q即为所求，如答图X3－18－7.
答图X3－18－7
（2）到点A的距离小于3，到点B的距离大于3的所有点组成的图形.
解：（2）以点A为圆心，3为半径画☉A；以点B为圆心，3为半径画☉B，如答图X3－18－8，☉A和☉B相交于点P和Q，则阴影部分（不含边界）即为所求.
答图X3－18－8
谢 谢！(共17张PPT)
第三章 圆
第27课时 圆内接正多边形
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 如图X3－27－1，☉O是等边三角形ABC的外接圆，☉O的半径为4，则这个等边三角形的边长为（ B ）
图X3－27－1
B
温故知新 （限时3分钟）
C. 4
D. 6
2. 如图X3－27－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，☉O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，那么sin∠ACB的值是（ D ）
图X3－27－2
D
（1）顶点都在同一圆上的正多边形叫做 圆内接正多边形 .这个圆叫做该正多边形的 外接圆 ；
（2）正多边形的 外接圆 的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的 半径 叫做正多边形的半径，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 边心距 ，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的 中心角 .
圆内接
正多边形
外接圆
外接圆
半径
边心距
中心角
知识重点
3. 如图X3－27－3，正五边形ABCDE内接于☉O，则正五边形的中心角∠COD的度数是（ B ）
图X3－27－3
B
对点范例
A. 76°
B. 72°
C. 60°
D. 36°
知识点1 正多边形的边长、边心距、面积
【例1】（课本P99习题）求半径为6 cm的圆内接正四边形的边长、边心距和面积.
思路点拨：先用圆心连接正四边形相邻的两个顶点，求出正四边形的中心角，得等腰直角三角形，由此解决问题即可.
课本母题
解：如答图X3－27－1，正四边形ABCD内接于☉O，连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E.
答图X3－27－1
4.（课本改编）如图X3－27－4，已知☉O内接正六边形ABCDEF的边长为6 cm，求这个正六边形的边心距和面积.
图X3－27－4
母题变式
解：如答图X3－27－3，连接OB，OC，过点O作OG⊥BC于点G.
答图X3－27－3
知识点2 圆与多边形的作图
【例2】如图X3－27－5，求作☉O的内接正四边形ABCD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
图X3－27－5
课本母题
解：如答图X3－27－2，正四边形ABCD即为所作.
答图X3－27－2
思路点拨：先作直径AC，再作与之垂直的直径BD，即可得到正四边形ABCD.
5.如答图X3－27－6，已知☉O和☉O上一点A，求作☉O的内接正六边形ABCDEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
图X3－27－6
母题变式
解：如答图X3－27－4，正六边形ABCDEF即为所作.
答图X3－27－4
6. （创新题）如图X3－27－7，正方形ABCD内接于☉O，在劣弧AB上取一点E，连接DE，BE，过点D作DF∥BE交☉O于点F，连接BF，AF，且AF与DE相交于点G.
图X3－27－7
创新设计
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（1）证明：如答图X3－27－5，连接BD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°.∴BD是直径.
∴∠BED＝∠BFD＝90°.
∵DF∥BE，
∴∠EBF＝180°－∠BFD＝90°.
∴四边形EBFD是矩形.
图X3－27－7
答图X3－27－5
（2）求证：DG＝BE；
图X3－27－7
答图X3－27－5
（3）若E是劣弧AB的中点，求tan∠ABE的值.
图X3－27－7
答图X3－27－5
谢 谢！(共18张PPT)
第三章 圆
第21课时 圆周角和圆心角的关系（一）
目录
01
02
03
04
05
06
温故知新
知识重点
对点范例
课本母题
母题变式
创新设计
1. 如图X3－21－1，AB是☉O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论不一定成立的是（ C ）
图X3－21－1
C
温故知新 （限时3分钟）
A. ∠COE＝∠DOE
B. CE＝DE
C. OE＝BE
2. 如图X3－21－2，☉O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝30°，AB＝8，CD的长为（ D ）
图X3－21－2
D
A. 2
C. 4
A. 顶点在 圆上 ，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 一半 .
圆上
一半
知识重点
3. 如图X3－21－3，点A，B，C都在☉O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ B ）
图X3－21－3
B
对点范例
A. 80°
B. 76°
C. 62°
D. 52°
B. 同弧或等弧所对的圆周角 相等 .
相等
知识重点
4. 如图X3－21－4，在☉O中，弦AB与CD交于点E，BE＝DE，∠B＝40°，则∠A的度数是（ C ）
图X3－21－4
C
对点范例
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 80°
知识点1 圆周角定理
【例1】（课本P80随堂练习）如图X3－21－5，在☉O中，∠O＝50°，求∠A的度数.
图X3－21－5
课本母题
思路点拨：直接利用圆周角定理即可得出答案.
5. （课本P81练习）如图X3－21－6，A，B，C，D是☉O上的四点，且∠C＝100°，求∠BOD和∠A的度数.
图X3－21－6
母题变式
知识点2 圆周角定理的推论1
【例2】（课本P80习题）如图X3－21－7，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
课本母题
图X3－21－7
思路点拨：根据圆周角定理得到圆周角和圆心角的关系，然后进行等量代换即可.
解：∠ACB＝2∠BAC.
图X3－21－7
6. 如图X3－21－8，在☉O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝48°，求∠OAB的度数.
图X3－21－8
母题变式
创新设计
7. （创新题）如图X3－21－9，在☉O中，弦AB＝10，CD＝8，弦AB和CD相交于点E，连接AD和BC.
图X3－21－9
（1）求证：△AED∽△CEB；
（1）证明：在△AED和△CEB中，
∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△AED∽△CEB.
（2）当弦AB不动，弦CD移动时，是否存在一个位置，使CE＝DE？若存在，请求出BC∶DA的值；若不存在，请说明理由.
8. （创新变式）如图X3－21－10，☉O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交☉O于点E，连接BE与AC交于点F.
图X3－21－10
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
解：（1）BE平分∠ABC.
理由如下：∵CD＝AC，∴∠D＝∠CAD.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠EBC＝∠CAE，∴∠EBC＝∠D＝∠CAD.
∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB＝∠D＋∠CAD，
∴∠ABE＝∠EBC，即BE平分∠ABC.
（2）若AE＝6，BE＝8，求EF的长.
图X3－21－10
谢 谢！(共19张PPT)
第三章 圆
第28课时 弧长及扇形的面积
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 若☉O的内接正n边形的边长与☉O的半径相等，则n的值为（ C ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
温故知新 （限时3分钟）
2. 如图X3－28－1，正六边形ABCDEF内接于☉O，☉O的半径为1，则边心距OM的长为（ B ）
图X3－28－1
B
知识重点
3. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，则弧长为（ B ）
B. 2π cm
C. 4 cm
B
对点范例
知识重点
4. 已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（ D ）
B. 3π
C. 5π D. 12π
D
对点范例
知识点1 弧长计算
【例1】（课本P102习题）已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径.
思路点拨：设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程即可得.
课本母题
5. （课本P102习题）如图X3－28－2，一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升了10 cm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了多少度？（结果精确到1°）
母题变式
图X3－28－2
答：滑轮上某一点P约旋转了115°.
知识点2 扇形面积计算（弓形面积）
【例2】（课本P101随堂练习）如图X3－28－3，水平放置的一个油管的横截面半径为12 cm，其中有油的部分油面高6 cm，求截面上有油部分的面积（结果精确到0.1 cm2）.
课本母题
图X3－28－3
思路点拨：连接OA，OB，截面上有油部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.
解：如答图X3－28－1，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB交AB于点C，交☉O于点D.
答图X3－28－1
图X3－28－3
答图X3－28－1
图X3－28－3
6. 如图X3－28－4，AB是☉O的直径，弦AC＝6，BC＝8，∠ACB的平分线交☉O于点D，连接AD，求阴影部分的面积.
图X3－28－4
母题变式
解：如答图X3－28－2，连接OD.
答图X3－28－2
图X3－28－4
创新设计
7. （创新题）（2022衢州）如图X3－28－5，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连接BC，CD.
图X3－28－5
（1）求证：CD∥AB；
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积.
（2）解：如答图X3－28－3，连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
答图X3－28－3
图X3－28－5
答图X3－28－3
图X3－28－5
谢 谢！(共25张PPT)
第三章 圆
第24课时 直线和圆的位置关系（一）
目录
01
温故知新
02
知识重点
03
对点范例
04
课本母题
05
母题变式
06
创新设计
1. 平面直角坐标系中，点P（－3，4）与半径为5的☉O的位置关系是（ B ）
A. 在☉O内 B. 在☉O上
C. 在☉O外 D. 不能确定
B
温故知新 （限时3分钟）
2. 已知☉O的半径为1，点P到O的距离为R，且方程x2－2x＋R＝0有实数根，则点P（ D ）
A. 在☉O的内部
B. 在☉O上
C. 在☉O的外部
D. 在☉O的内部或圆上
D
A. 如图X3－24－1，☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
图X3－24－1
知识重点
（1）在图X3－24－1①中，直线l与☉O 相交 ，即d ＜ r，有 2 个公共点；
相交
＜
2
（2）在图X3－24－1②中，直线l与☉O 相切 ，即d ＝ r，有 1 个公共点，这条直线叫做圆的 切线 ；
（3）在图X3－24－1③中，直线l与☉O 相离 ，即d ＞ r，有 0 个公共点.
相切
＝
1
切线
相离
＞
0
图X3－24－1
3. 已知☉O的半径等于3，圆心O到直线l的距离为5，那么直线l与☉O的位置关系是（ C ）
A. 直线l与☉O相交
B. 直线l与☉O相切
C. 直线l与☉O相离
D. 无法确定
C
对点范例
B. 圆的切线 垂直 于过切点的半径.
垂直
知识重点
4. 如图X3－24－2，PA，PB是☉O的切线，A，B是切点.若∠P＝80°，则∠ABO的度数是（ A ）
图X3－24－2
A
对点范例
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
知识点1 直线与圆的位置关系
【例1】（课本P91习题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，OA＝m，☉O的半径为r，当r与m满足什么关系时，
课本母题
思路点拨：先用含m的式子表示出圆心O到直线AC的距离，再与半径r比较即可得到直线与圆的位置关系.
（1）AC与☉O相交？
（2）AC与☉O相切？
（3）AC与☉O相离？
答图X3－24－1
解：如答图X3－24－1，过点O作OD⊥AC于点D.
图X3－24－3
母题变式
解：如答图X3－24－3，过点O作OD⊥AC于点D.
答图X3－24－3
∴当0＜x＜2时，AC与☉O相交；当x＝2时，AC与☉O相切；当x＞2，AC与☉O相离.
图X3－24－3
知识点2 切线的性质应用
【例2】（课本P91习题）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图X3－24－4所示放置于桌面上，并量出AB＝6 cm.这张光盘的直径是多少？
课本母题
图X3－24－4
思路点拨：先根据切线的性质定理得到直角三角形，再根据直角三角形的边角关系求出光盘的半径，进而得到光盘的直径.
解：如答图X3－24－2，设光盘的圆心为O，光盘与三角尺的切点为C，与直尺的切点为B，连接OA，OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC.
答图X3－24－2
图X3－24－4
图X3－24－5
母题变式
解：如答图X3－24－4，连接AC.
答图X3－24－4
创新设计
7. （2022铜仁）如图X3－24－6，D是以AB为直径的☉O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F.
图X3－24－6
（1）求证：AB＝CB；
（1）证明：连接OD，如答图X3－24－5.
图X3－24－6
答图X3－24－5
∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵BC⊥DE，∴OD∥BC.
∴∠ODA＝∠C.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A.
∴∠A＝∠C.∴AB＝BC.
图X3－24－6
答图X3－24－5
∵∠OBD＋∠A＝∠FDB＋∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB.∴sin A＝sin∠FDB.
图X3－24－6
答图X3－24－5
8. （创新变式）如图X3－24－7，在△ABC中，以AC为直径的半圆O与BC交于点D，DE是半圆O的切线且DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.
图X3－24－7
∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE.
∵DE⊥AB，∴OD∥AB.
∴∠ODC＝∠B.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
∴∠B＝∠OCD.
∴AB＝AC.
答图X3－24－6
（1）求证：AB＝AC；
（1）证明：如答图X3－24－6，连接OD.
图X3－24－7
（2）若半圆O的半径为3，BE＝1，求tan F的值.
图X3－24－7
答图X3－24－6
谢 谢！
