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考点通关02 数轴上的动点问题分类练（4种类型）
类型一 动点与定值问题
1．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点．
(1) ， ；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；
(3)若点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
2．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
3．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
4．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点．
(1)___________，___________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；
(3)若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
5．阅读下面的材料：
如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度；
(2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？
(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
类型二 动点与最值问题
6．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
(1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）．
(2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________；
(3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位；
(4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________．
7．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．
8．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x当时，x＝ ；当代数式取得最小值时，此时最小值为 ．
（3）动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M、N两点之间的距离为2个单位？
9．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
10．数轴上两点之间的距离等于相对应的两数差的绝对值．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________；数轴上表示﹣2和﹣8的两点之间的距离是___________；
（2）数轴上表示数x和﹣1的两点之间的距离是2，那么x为_____________；
（3）若某动点表示的数为x，当式子|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，相应的x的范围是________．
（4）若某动点表示的数为x,已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为点A点B之间的一点（不与A,B重合），点对应的数为p．则式子|x﹣p|+|x﹣3|+|x﹣P﹣15|的最小值是________.
类型三 动点与存在性问题
11．如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
(1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数；
(2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数；
(3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？
12．已知下列有理数：－4，－2，4，－1，2.5，3
(1)在给定的数轴上表示这些数：
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数；
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数？若存在，请指出来．
13．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，例如图1中线段的长度可表示为：，，，……结论：数轴上任意两点表示的数分别、，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数）
(1)如图1，计算：______，______；
(2)如图2，点表示数，点表示数，点表示数，且，求点和点表示的数；
(3)在（2）条件下，在图2的数轴上是否存在点，使，若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由
14．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．
(1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________；
(2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由；
(3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，．
15．阅读与思考：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ；
(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为
②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由．
类型四 其他动点问题
16．已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）．
(1)直接写出a、b的值，______，______；
(2)点P碰到挡板时，t的值为______；
(3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______；
(4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由．
17．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1)______，______，______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则C点与表示数______的点重合；
(3)动点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向移动，当A，B，P中恰有一个点到其余两点的距离相等时（A，B，P三点互不重合），求点P移动的时间t的值．
18．（1）已知，化简：；
（2）是否有最小值？若有，请求出来，若没有，请说明理由；
（3）已知P为数轴上一动点，其对应的数为x，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？
（4）如图，数轴上点A，B，C分别表示，1，5，若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时B和C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随时间t的变化而变化？若改变，请说明理由，若不变，请求出其值．
19．已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值．
20．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；
(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
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考点通关02 数轴上的动点问题分类练（4种类型）
类型一 动点与定值问题
1．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点．
(1) ， ；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；
(3)若点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)，3
(2)0
(3)不改变，值是29
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）由题意可求得折叠点对应的数，再求点对应的数即可；
（3）分别表示出点、点、点运动后的数，再结合进行求解即可．
【详解】（1）解：，点向左移动3个单位长度到达点，向右移动5个单位长度到达点，
点表示的数为：，
点表示的数为：，
故答案为：，3；
（2）解：将数轴折叠，使得点与点重合，
折叠点对应的有理数为：，
点到折叠点的距离为：，
与点重合的点表示的数为：；
（3）解：的值不会随着的变化而变化，
理由如下：
点从点开始以3个单位长度/秒的速度向左运动，点从点开始以6个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以4个单位长度/秒的速度向右运动，
运动后点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
，，
，
的值不会随着的变化而变化，该值是29．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，读懂题意，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
2．已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数，，，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒．
(1)当时，点到点的距离 ______ ；此时点所表示的数为______ ；
(2)当点运动到点时，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后也停止运动，则点出发秒时与点之间的距离 ______ ；
(3)在（2）的条件下，当点到达点之前，请求出点移动几秒时恰好与点之间的距离为个单位？
【答案】(1)，
(2)3
(3)秒或秒
【分析】（1）利用线段的长点的移动速度点的移动时间，可求出的长；利用点表示的数点的移动速度点的移动时间，可求出点所表示的数；
（2）由点，的出发点、移动方向、移动速度及移动时间，可求出点出发秒时点，表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时的长；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，
当移动时间为秒时，；
又点表示有理数，
当移动时间为秒时，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）当点出发秒时，点表示的数为，点表示的数为，
此时．
故答案为：；
（3）当点的移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
根据题意得：，
即或，
解得：或．
答：在的条件下，当点到达点之前，点移动秒或秒时恰好与点之间的距离为个单位．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．如图：在数轴上，点A对应的数是，点B对应的数是16，两动点M、N同时从原点O出发，点M以每秒1个单位的速度沿数轴向点B运动；点N以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，到达点A后停留1秒，再从点A沿数轴向右到达点B后停止运动．设点M的运动时间为秒．
(1)当时，线段的长为________（直接填空）；当时，线段的长为________（直接填空）；
(2)在运动过程中，当点M与点N重合时，求t的值；
(3)当线段的长为7时，直接写出t的值．
【答案】(1)4，3
(2)
(3)8或9
【分析】（1）分别求出当时，当点M和点N表示的数，然后利用数轴上两点距离公式求解即可；
（2）先判断出当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，由此表示出运动t秒后点M和点N表示的数，再根据二者重合建立方程求解即可；
（3）分当点N向点A运动的过程时，当点N在点A停留时，点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到点B前，当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后，表示出点N和点M表示的数，再根据的长为7建立方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴；
当时，点N表示的数为，点N表示的数为，
∴；
故答案为：4，3；
（2）解：由题意得，当点M与点N重合时，点N肯定是在从A向B的运动过程中，此时运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得；
（3）解：当点N向点A运动的过程时，由题意得，
解得，不符合题意；
当点N在点A停留时，由题意得，，
解得，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N没有追上M时，由题意得，，
解得，不符合题意；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N追上M，且点N为到达点B前，由题意得，，
解得；
当点N从点A向点B运动过程中，且点N到达点B后停止运动，由题意得，，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点距离公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
4．如图，点对应的有理数为，点对应的有理数为，点对应的有理数为，且，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点．
(1)___________，___________；
(2)若将数轴折叠，使得点与点重合，求与点重合的点表示的数；
(3)若点从点开始以个单位长度/秒的速度向左运动，同时，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间秒，则的值是否随着的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)，
(2)
(3)不会随着的变化而改变，该值是
【分析】（1），点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，根据点的移动即可求解；
（2）根据（1）可知点与点对应的有理数，根据折叠的性质即可求解；
（3）根据各点运动的情况可以用含的式子表示出，，对应的有理数，根据两点之间的距离，分别表示出，，由此即可求解．
【详解】（1）解：，点向左移动个单位长度到达点，向右移动个单位长度到达点，
∴，，
故答案为：，．
（2）解：点对应的有理数是，点对应的有理数是，若将数轴折叠，使得点与点重合，
∴折叠点对应的有理数为，且点对应的有理数是，
∴点到折叠点的距离为，
∴与点重合的点表示的数为．
（3）解：的值不会随着的变化而改变．
∵点从点开始以每秒个单位长度的速度向左运动，
∴运动后对应的点为，
∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动后对应的点为，
∵点从点开始以个单位长度/秒的速度向右运动，
∴运动后对应的点为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着的变化而改变，该值是．
【点睛】本题主要考查数轴上动点的问题，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法，点与点之间的有理数表示方法是解题的关键．
5．阅读下面的材料：
如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．
请用上面材料中的知识解答下面的问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
(1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度；
(2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？
(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【答案】(1)数轴见解析，cm
(2)
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）根据题目中点的运动可直接得出点、、的位置，进而可得出的长度；
（2）根据“数轴上的点，越往右越大”可得出点A移动后所表示的数；
（3）先分别表示，点，点所对应的数，再表达两点间的距离，进而可表示，最后判断它的值是否变化即可．
【详解】（1）如图所示：
．
(cm)；
（2）将点A向右移动cm，则移动后的点表示的数为；
（3）的值不会随着t的变化而变化，
理由如下：
由题意可知，，点，点所对应的数分别为：，，，
由点的运动可知，点在点的右侧，点在点的右侧，
∴，
，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化．
【点睛】本题考查了数轴上点的运动，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
类型二 动点与最值问题
6．如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
(1)若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 ___________个单位（其中点C不与点A重合）．
(2)若在表示﹣1的点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长，小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步…按此规律继续跳下去，那么跳第99次时，应跳 ___________步，落脚点表示的数是 ___________；
(3)若移动A、B、C三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有 ___________种，其中移动所走的距离和最小的是 ___________个单位；
(4)若数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是 ___________．
【答案】(1)3
(2)197，
(3)3，7
(4)7
【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离；
（2）根据规律发现，所跳步数是奇数列，写出表达式，然后把n＝100代入进行计算即可求解，根据向左跳是负数，向右跳是正数，列出算式，然后两个数一组，计算后再求和即可，当跳了n次时，分n是偶数与n是奇数两种情况讨论求解；
（3）分为三种：移动B、C；移动A、C；移动A、B．然后计算每种情况移动所走的距离和即可；
（4）根据绝对值的意义和线段的性质，两点之间，线段最短，可知当 5≤x≤4时，|x＋1|＋|x 4|＋|x＋5|有最小值．
【详解】（1）解：由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为： 2、3，
所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个单位，
故答案为：3；
（2）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步，
…
∴第n次跳（2n 1）步，
当n＝99时，2×99 1＝198 1＝197，
此时，所表示的数是： 1 1＋3 5＋7 …＋195 197
＝ 1＋（ 1＋3）＋（ 5＋7）＋…＋（ 195＋197）
＝ 1 197＋2×
＝ 100；
故答案为：197， 100；
（3）有3种方法：①移动B、C，把点B向左移动2个单位长度，把C向左移动7个单位长度，移动距离之和为：2＋7＝9；
②移动A、C，把点A向右移动2个单位长度，把C向左移动5个单位长度，移动距离之和为：2＋5＝7；
③移动B、A，把点A向右移动7个单位长度，把B向左右移动5个单位长度，移动距离之和为：7＋5＝12．
所以移动所走的距离和最小的是7个单位，
故答案为：3，7；
（4）∵|x＋4|≥0， |x＋2|≥0，|x 3|≥0，
当x≥3，原式＝x＋4＋x＋2＋x﹣3＝3x＋3
最小值为x＝3时，3x＋3＝12，
当 2≤x＜3时，原式＝x＋4＋x＋2﹣x＋3＝x＋9
最小值为x＝ 2时，x＋9＝7，
当 4＜x＜ 2时，原式＝x＋4﹣x﹣2﹣x＋3＝ x＋5
最小值大于7，
当 x≤ 4时，原式＝﹣x﹣4﹣x﹣2﹣x＋3＝ 3x 3，
最小值为x＝ 4时， 3x 3＝9，
综上，的最小值是7，
故答案为：7．
【点睛】本题借助数轴考查了数轴上两点之间的距离的求解问题，以及数字变化规律的探讨问题，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析，从中理清问题变化的思路便不难求解，此题计算求解时一定要仔细认真．
7．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，．
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______．
【答案】(1)，9
(2)
(3)1，12
【分析】（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：-3；9；
（2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1，
∴AB中点表示的数为-1，
∴点C到AB中点的距离为10，
∴点C与数-1-10=-11表示的点重合，
故答案为：-11；
（3）解：由题意得
，
∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和，
如图3-1所示，当点P在A点左侧时
如图3-2所示，当点P在线段AB上时，
如图3-3所示，当点P在线段BC上时，
如图3-4所示，当点P在C点右侧时，
∴综上所述，当P与B点重合时，．
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．
8．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x当时，x＝ ；当代数式取得最小值时，此时最小值为 ．
（3）动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M、N两点之间的距离为2个单位？
【答案】（1）-3，1，9；（2）0或-6；12；（3）当t为2或6时M、N两点之间的距离为2个单位．
【分析】（1）根据，，，即可求出，再由，，以及数轴上点的位置进行求解即可；
（2）由题意得即，解方程即可；即表示P点到A和到C的距离之和，利用绝对值的几何意义进行求解即可；
（3）由题意可知M点表示的数为，N点表示的数为，由题意得：，由此进行资金即可
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由数轴上的位置可知，
∴，
∴，
故答案为：-3，1，9；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或-6；
∵，
∴即表示P点到A和到C的距离之和
图下图所示，当P在-3的左侧时，此时，
同理可以求出当P在9的右侧时，
如图，当P在A、C之间（包含A、C）此时，
∴的最小值为12，
故答案为：0或-6；12；
（3）由题意可知M点表示的数为，N点表示的数为，
由题意得：即，
解得或，
∴当t为2或6时M、N两点之间的距离为2个单位．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．点A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为3，a3＝﹣8．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）若点C为数轴上的一个动点，其对应的数记为x，试猜想当x满足什么条件时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小．请写出你的猜想，并说明理由；
（3）若P，Q为数轴上的两个动点（Q点在P点右侧），P，Q两点之间的距离为m，当点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和有最小值4时，m的值为 ．
【答案】（1）5；（2）当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5，见详解；（3）1或9
【分析】（1）先根据立方根的定义求出a，再根据两点之间的距离公式即可求解；
（2）当点C在数轴上A、B两点之间时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，依此即可求解；
（3）分两种情况：点P在点A的左边，点P在点B的右边，进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵a3＝﹣8．
∴a＝﹣2，
∴AB＝|3﹣（﹣2）|＝5；
（2）点C到A的距离为|x+2|，点C到B的距离为|x﹣3|，
∴点C到A点的距离与点C到B点的距离之和为|x+2|+|x﹣3|，
当距离之和|x+2|+|x﹣3|的值最小，﹣2＜x＜3，
此时的最小值为3﹣（﹣2）＝5，
∴当﹣2＜x＜3时，点C到A点的距离与点C到B点的距离之和最小，最小值为5；
（3）设点P所表示的数为x，
∵PQ＝m，Q点在P点右侧，
∴点Q所表示的数为x+m，
∴PA＝|x+2|，QB＝|x+m﹣3|
∴点P到A点的距离与点Q到B点的距离之和为：PA+QB＝|x+2|+|x+m﹣3|
当x在﹣2与3﹣m之间时，|x+2|+|x+m﹣3|最小，最小值为|﹣2﹣（3﹣m）|＝4，
①﹣2﹣（3﹣m）＝4，解得，m＝9，
②（3﹣m）﹣（﹣2）＝4时，解得，m＝1，
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
10．数轴上两点之间的距离等于相对应的两数差的绝对值．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________；数轴上表示﹣2和﹣8的两点之间的距离是___________；
（2）数轴上表示数x和﹣1的两点之间的距离是2，那么x为_____________；
（3）若某动点表示的数为x，当式子|x+1|+|x﹣2|取得最小值时，相应的x的范围是________．
（4）若某动点表示的数为x,已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为点A点B之间的一点（不与A,B重合），点对应的数为p．则式子|x﹣p|+|x﹣3|+|x﹣P﹣15|的最小值是________.
【答案】（1）3；（2）－3或者1；（3）在－1和2之间，包括－1和2；（4）15
【分析】（1）计算2和5，﹣2和﹣8的差值的绝对值，即可得出答案；
（2）计算-1+2，-1-2，即可得到x的值；
（3）结合数轴和两点间的距离进行分析；
（4）结合数轴和两点间的距离进行分析；
【详解】（1）2和5的两点之间的距离为5-2=3，﹣2和﹣8的两点之间的距离为-2-(-8)=6；
（2）-1+2=1，-1-2=-3，
∴x=-3或1；
（3）|x+1|+|x﹣2|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示-1、2两点的距离之和，显然在－1和2之间，包括－1和2时，距离之和最小.
故答案为在－1和2之间，包括－1和2；
（4）|x﹣p|+|x﹣3|+|x﹣p﹣15|的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示p、3、p+15三点的距离之和，
∵点为点A点B之间的一点（不与A,B重合）,
∴p＜3＜p+15，
p到p+15的距离为15，显然当x=3时，|x﹣p|+|x﹣3|+|x﹣p﹣15|的最小值为15.
【点睛】本题主要考查数轴两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值时解题的关键.
类型三 动点与存在性问题
11．如图，数轴上A，B两点对应的数分别．有一动点P从点A出发第一次向右运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．
(1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数；
(2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数；
(3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？
【答案】(1)-1
(2)1007
(3)琪琪的说法正确；理由见解析
【分析】（1）根据往右用加，往左用减，计算即可得出答案；
（2）根据往右用加，往左用减，找出运动时，点的规律，即可得出答案；
（3）点P在点A和点B之间，再分别求出PA和PB所表示的代数式，根据PB=3PA计算，即可得出答案．
【详解】（1）解：点P运动到第5次时，点P所对应的有理数为：
．
（2）当点P运动到第2021次时，点P所对应的有理数为：
（3）设点P对应的有理数的值为x，
∵点P在点A和点B之间，
∴PA=x-(-4)=x+4，PB=8-x，
∵PB=3PA，
∴，
解得：，
∴琪琪的说法正确．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的应用，数轴以及有理数的运算，综合性较强，难度系数较大．
12．已知下列有理数：－4，－2，4，－1，2.5，3
(1)在给定的数轴上表示这些数：
(2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数；
(3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数？若存在，请指出来．
【答案】(1)见解析
(2)存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2
(3)存在；－4和3；和
【分析】（1）将已知数表示在数轴上即可；
（2）根据相反数的定义，找出互为相反数的两个数，并写出这两个数之间的所有整数即可；
（3）根据数轴上两点的距离等于7，即可求得．
【详解】（1）解：将－4，，，－1，2.5，3表示在数轴上，如图所示：
（2）存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2．
（3）存在；
∵，，
∴两点之间的距离等于7的有：－4和3，和．
【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的定义，数轴上两点间的距离，进行数形结合是解题的关键．
13．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，例如图1中线段的长度可表示为：，，，……结论：数轴上任意两点表示的数分别、，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数）
(1)如图1，计算：______，______；
(2)如图2，点表示数，点表示数，点表示数，且，求点和点表示的数；
(3)在（2）条件下，在图2的数轴上是否存在点，使，若存在，请直接写出点表示的数；若不存在，请说明理由
【答案】(1)3，7
(2)点F表示的数为，点H表示的数为1
(3)或
【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；
（2）根据数轴上两点的距离得到，再由建立方程求解即可；
（3）设点Q表示的数为m，则，再由，得到方程，然后分m不同的取值范围进行去绝对值进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：3，7；
（2）解：∵点表示数，点表示数，点表示数，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点F表示的数为，点H表示的数为1；
（3）解：设点Q表示的数为m，
∴，
∵，
∴，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得（舍去）；
当时，则，
解得；
当时，则，
解得（舍去）；
综上所述，m的值为或，
∴点Q表示的数为或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，用数轴表示有理数，绝对值方程，熟知数轴上两点距离公式是解题的关键．
14．已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其对应的数为．
(1)如果点到点，点的距离相等，那么的值是________；
(2)数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和是？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由；
(3)如果点以每秒个单位长度的速度从点向右运动时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度也向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒，．
【答案】(1)；
(2)存在，或；
(3)或．
【分析】（1）根据列出关于x的方程求解即可；
（2）根据P点在N点右侧或在M点左侧分别求出即可；
（3）设经过t秒，则点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，得，求解即可．
【详解】（1）解：依题意得，
解得
故答案为：
（2）存在，理由如下：
因为到，的距离之和是，所以不可能在中间，
当在左侧，
，
解得：；
当在的右边，
，
解得：，
故．
（3）依题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为，
因为，
，
解得．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴；关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．
15．阅读与思考：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ；
(3)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为
②请你画出数轴，探究：是否存在数x，使？如果存在，则在数轴上表示出来，并写出x的值；如果不存在，简要说明理由．
【答案】(1)3，4
(2)
(3)①7；②存在，数轴见解析，x为5或
【分析】（1）（2）根据数轴上A、B两点之间的距离的表达式计算出绝对值；
（3）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为和两种情况讨论．
【详解】（1）解：根据题意知：
2和5两点之间的距离是，
1和的两点之间的距离是，
（2）x和的两点之间的距离表示为；
（3）①当时，；
②当时，，
解得：，
当时，．
解得：．
∴或．
即表示数轴上到4和距离之和为9，
这样的x值为5或．
【点睛】本题主要考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．
类型四 其他动点问题
16．已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，到点A停止，设点P运动的时间为t（秒）（t＞0）．
(1)直接写出a、b的值，______，______；
(2)点P碰到挡板时，t的值为______；
(3)当时，点P表示的有理数为______；当时，点P表示的有理数为______；
(4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)6；
(3)4，5；
(4)或 ．
【分析】（1）由绝对值的非负性即可得出结论；
（2）求出点A与点B之间的距离为，再根据，即可求解；
（3）当时，点P表示的有理数为，当时，点P到达挡板后从B点出发运动了1秒，即点P表示的有理数为；
（4）分两种情况讨论：当时， ，当时，点P表示的数是 ，则有，分别解方程即可 ．
【详解】（1）解：
，
，
故答案为：；
（2）解：点A表示的数为，点B表示的数为8，
，
点P碰到挡板时，t的值为，
故答案为：6；
（3）解：当时，点P表示的有理数为，
当时，点P表示的有理数为；
故答案为：4，5；
（4）解：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等，理由如下：
当时，点P表示的数为，
，
解得，
当时，点P表示的数是 ，
则有，
解得，
综上所述，t的值为或 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴上动点问题，解题的关键是能用含t的代数式正确的表示出点运动后所表示的数．
17．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1)______，______，______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则C点与表示数______的点重合；
(3)动点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴的负方向移动，当A，B，P中恰有一个点到其余两点的距离相等时（A，B，P三点互不重合），求点P移动的时间t的值．
【答案】(1)，，8
(2)
(3)1或4或7
【分析】（1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解；
（2）由题意容易得出折叠点表示的数是，再根据8与的距离可得答案；
（3）分点P在点B右边、点P在点A与点B之间和点P在点A左边三种情况求解即可．
【详解】（1）∵与互为相反数，
∴，
∴
即 ，
∵b是最大的负整数，
∴．
故答案为：，，8；
（2）当与重合时，折叠点是，
∴与点C点重合的点表示的数为：
故答案为：；
（3）根据题意可知，，，
①当点P在点B右边时，若，则，
所以点P表示的数是5，
∴，
∴（秒）；
②当点P在点A与点B之间时，若，则，
所以点P表示的数是，
∴，
∴（秒）；
③当点P在点A左边时，若，则，
所以点P表示的数是，
∴，
∴（秒）；
综上可得，t的值为1或4或7．
【点睛】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
18．（1）已知，化简：；
（2）是否有最小值？若有，请求出来，若没有，请说明理由；
（3）已知P为数轴上一动点，其对应的数为x，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？
（4）如图，数轴上点A，B，C分别表示，1，5，若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时B和C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随时间t的变化而变化？若改变，请说明理由，若不变，请求出其值．
【答案】（1）6；（2）有；6；（3）有；2023；（4）不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由见解析
【分析】（1）由已知，得：，，再根据绝对值的性质进行化简；
（2）当时，最小值，就是到5的距离．
（3）在数轴上一点x到与2022距离之和的最小值，所以当时，它的最小值是；
（4）先根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示、，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴；
（2）表示在数轴上一点x到与5距离之和，
所以它的最小值是；
（3），
即在数轴上一点x到与2022距离之和的最小值，
所以当时，它的最小值是，
有最小值为2023；
（4）的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查数轴、非负数的性质，理解绝对值的非负性以及数轴表示数的方法是正确解答的关键．
19．已知多项式的常数项是a，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点A与点B之间的距离记作．
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据多项式的次数和常数项的定义，即可进行解答；
（2）用点A到原点的距离加上点B到原点的距离即可；
（3）根据数轴上两点之间的距离，将和的长度表示出来，进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵多项式，次数为30，常数项为，
∴．
（2）∵，
∴点A表示，点B表示30，
∴．
（3）∵经过t秒后，点P运动到数对应的点，
点A运动到数对应的点，
点B运动到数对应的点，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
或，
则，
解得：．
综上：或．
【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法．
20．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；
(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；
(2)或；
(3)，或，或，．
【分析】（1）根据距离公式进行求解即可；
（2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可；
（3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为，
或，
解得或．
故答案为：或；
（2）解：∵圆的半径为，
此圆的周长，
当圆向左滚动时点表示的数是；
当圆向右滚动时点表示的数是．
故答案为：或；
（3）解：∵，
∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧．
①当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
②当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
③当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
综上所述，，或，或，．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
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