福州市六校联考2022-2023学年高二下学期期末考试
数学答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．
1．B 2．A 3．C 4．B
5．C 6．D 7．D 8．C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
9．AB 10．BC 11．AB 12．ACD
二、填空题：每小题5分，满分20分．
13． 14．1
15．， 16．
（注：第15题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（1）在中，由正弦定理得， 1分
所以， 2分
因为， 3分
所以； 4分
（2）由（1）得， 5分
由题设，，即为等腰三角形，
所以， 7分
，所以的面积
． 10分
18．解：（1）证明：连接.因为是边长为2的正方形，所以，
因为，所以，，
所以，则. 2分
因为，所以.
因为，所以平面， 4分
因为平面，所以平面平面. 5分
（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴
建立如图所示的空问直角坐标系. 6分
则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则
设平面的法向量为，则，令，则. 9分
， 11分
记平面和平面夹角为，则. 12分
19．解：（1）由题意可得， 2分
解得，，则，. 4分
故. 6分
（2）由（1）可得，则. 8分
故
10分
12分
解：（1），所以，． 2分
所以曲线在点处的切线方程为． 4分
（2）由题设，．所以． 5分
当时，因为， 7分
所以．所以在上单调递增． 8分
（3）． 9分
证明如下：设．则．由（2）知在上单调递增，所以．
所以，即在上单调递增． 11分
所以，即． 12分
解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得：， 3分
解得：，，， 4分
椭圆的标准方程为. 5分
当直线的斜率不为时，设直线的方程为， 6分
，，的中点为.联立
整理得：， 7分
由题意可知：，则，，
. 8分
为的中点，，，即.直线的方程可设为，
令得：，则，
. 10分
当直线的斜率为时，，，则. 11分
综上所述：为定值，且定值为.. 12分
22．解：（1）的定义域为， 1分
当时，，在上单调递减； 2分
当时，令，又因为，可解得 3分
单调递增，单调递减； 5分
（2）由（1）知当时，所以，即 . 7分
即当时，， 9分
将不等式累加后，得到： 10分
， 11分
即. 12分福州市六校联考2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
（满分150分 完卷试卷：120分钟）
班级 姓名 座号
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3. 设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知边长为1的正方形，设，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 函数是（ ）
A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
6. 设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 已知ABC中，角A，B满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A．将一组数据中的每个数据都乘以2后，平均数也变为原来的2倍
B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数都相同
C．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
D．若甲组数据的方差为5，乙组数据的方差为4.7，则这两组数据中较稳定的是甲
10. 已知，，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为2
C．的最大值是1 D．的最小值是1
11. 在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，，则（ ）
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值是
C. 异面直线与所成的角是
D. 四棱锥的体积与其外接球的体积的比值是
12. 已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 复数，则________．
14. 已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边三角形，则________．
15. 设，其中．当时，________；当时，的一个取值为________．
16. 若不等式有唯一解，则的值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （满分10分）
如图，在中，，，平分交于点，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
18. （满分12分）
如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
19. （满分12分）
在递增的等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20. （满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：在上单调递增；
（3）判断与的大小关系，并加以证明．
21. （满分12分）
已知椭圆：的离心率为，且上的点到右焦点的距离最长为．
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，的中垂线与轴交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
22．（满分12分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明: ．
