黑龙江省哈尔滨69中学2023-2024学年九年级上学期数学假期学情反馈测试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2023九上·哈尔滨开学考）下列曲线中表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量×与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，因此C选项中的曲线，表示y是x的函数，故C选项符合题意；
A、B、D选项中的曲线，不表示y是x的函数，故A、B、D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可一 一判断得出答案.
2．（2017·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC= = ，
则cosB= = ，
故选A
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
3．（2023九上·哈尔滨开学考）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
4．（2023九上·哈尔滨开学考）在矩形中，，则点到对角线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，
∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，
∴3×4=5AE，
∴AE=，
即点A到对角线BD的距离为.
故答案为：A.
【分析】由矩形性质得AD=BC=4，∠BAD=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，进而根据等面积法建立方程可求出AE的长.
5．（2023九上·哈尔滨开学考）有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元.设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设平均每次降价的百分率x，由题意，
得100（1-x）2=81.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
6．（2023九上·哈尔滨开学考）一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=2OA=2OB，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB=5cm，
∴AC=BD=10cm.
故答案为：C.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得BD=AC=2OA=2OB，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABO是等边三角形，由等边三角形的三边相等可得AO=BO=AB=5cm，从而即可得出该矩形对角线的长了.
7．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高(单位：米)为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴，
又∵BC=20米，∠C=37°，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，由∠C的正切函数可直接求出AB的长.
8．（2023九上·哈尔滨开学考）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②.
根据以上的操作，若，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图②，过点M作MG⊥AD于点G，
∴∠AGM=∠MGF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=12，
∴四边形ABMG是矩形，
∴BM=AG，GM=AB=8，
由折叠知AF=AB=8，FM=MC，
设BM=AG=x，则GF=AF-AG=8-x，MF=MC=BC-BM=12-x，
在Rt△GMF中，GM2+GF2=FM2，即82+（8-x）2=（12-x）2，
解得x=2，
即BM=2.
故答案为：C.
【分析】过点M作MG⊥AD于点G，由矩形的性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=12，根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABMG是矩形，由矩形的对边相等得BM=AG，GM=AB=8，由折叠知AF=AB=8，FM=MC，设BM=AG=x，则GF=AF-AG=8-x，MF=MC=BC-BM=12-x，在Rt△GMF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
9．（2017·鄞州模拟）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC，
∴，A正确；
因为DF//BE，
所以△ADF~△ABE，
所以，B正确；
∵DF//BE，
∴，
又∵
，C正确；
∵DE//BC，
∴△ADE~△ABC，
∴，
而，
∴D错误.
故选D.
【分析】根据平行线分线段成比例，也可证明三角形相似，再根据相似三角形，可以得到各边比例相等的关系.
10．（2023九上·哈尔滨开学考）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差(米)与甲出发时间(分)之间的函数关系如图所示.下列说法：①乙先到达青少年宫：②乙的速度是甲速度的2.5倍；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
∴甲的运动速度为：720÷9=80 (米/分)，
乙在甲出发9分钟后出发，第15分钟时乙追上了甲，
∴乙运动时间为：15-9=6(分钟)，运动距离为：15×80=1200(米)，
∴乙的运动速度为：1200÷6=200(米/分)，
∵200÷80=2.5，
∴乙的速度是甲的速度的2.5倍，故②正确；
从第15分钟至第19分钟两人之间距离越来越远，而第19分钟后，两人之间的距离越来越近，说明乙第19分钟的时候已经到达终点，则乙先到达科技馆，故①正确；
乙从开始出发到达到终点共用时间为：19-9=10(分钟)，运动总距离为：10×200=2000(米)，
而甲行完全程公用时间为：2000÷80=25(分钟)，∴a的值为25，故④错误；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520(m)， b=2000-1520=480，故③正确，综上正确的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】图象从左至右共分为了四段，第一段表示的是甲先出发9分钟，共走了720米，得出甲的运动速度；第二段是第9分钟至第15分钟这段，表示的情景是乙在第9分钟的时候出发，第15分钟的时候乙追上了甲，据此可求出乙的速度；第三段是第15分钟至19分钟，表示的情景是乙反超甲并到达了科技馆，最后一段表示的情景是甲继续前行直至到达科技馆，从而根据路程、速度、时间三者的关系即可一 一解答，得出答案.
二、填空题(每题3分,共30分)
11．（2023九上·哈尔滨开学考）中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册.数据16000000用科学记数法表示为 .
【答案】1.6×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1600000=1.6×107.
故答案为：1.6×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．（2023九上·哈尔滨开学考）若方程的一个根为1，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程kx2-9x+8=0的一个根为1，
∴k-9+8=0，
解得k=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根的概念，将x=1代入方程kx2-9x+8=0，可求出k的值.
13．（2023九上·哈尔滨开学考）直角三角形两条直角边长分别为1和2，则这个直角三角形斜边的中线为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为：，∴该直角三角形斜边上的中线的长为：.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理算出直角三角形的斜边的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
14．（2021八上·岑溪期末）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠0
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】函数y= 中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求解即可.
15．（2023九上·哈尔滨开学考）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=(2-k)x+1中，y随x的增大而增大，
∴2-k＞0，
解得k＜2.
故答案为：k＜2.
【分析】对于一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解可得答案.
16．（2023九上·哈尔滨开学考）与的相似比为2：3，则与的周长比为 .
【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的周长之比等于2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比可直接得出答案.
17．（2023九上·哈尔滨开学考）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，按照这个规律，方程的解为 .
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得(x-1)(x-1+4)=0，
∴x-1=0或x-1+4=0，
解得x1=1，x2=-3.
故答案为：x1=1，x2=-3.
【分析】根据新定义运算法则列出方程(x-1)(x-1+4)=0，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程可求出原方程的解.
18．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为2，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵CD∥OA，
∴∠DBO=∠AOB=45°，∠BCO=∠AOC=22.5°，
∵∠BOC=∠AOB-∠AOC=22.5°，
∴∠BOC=∠BCO=22.5°，
∴OB=BC，
在Rt△OBD中，∠D=90°，∠DBO=45°，
∴DB=OD=2，
∴OB=，
∴BC=OB=，
∴CD=DB+BC=，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为.
故答案为：.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DBO=∠AOB=45°，∠BCO=∠AOC=22.5°，进而根据角的和差可推出∠BOC=∠BCO，由等角对等边得OB=BC，在Rt△OBD中，由勾股定理算出OB的长，从而再根据线段的和差算出CD的长，此题得解.
19．（2019八上·宝鸡月考）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 ．
【答案】42或32
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
，
在Rt△ACD中，
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故答案是：42或32．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在中，是外一点，连接BD和，则线段的长为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，延长FA至点G，使AG=CD=1，连接BG，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC，BC=2BF，
∵∠FAB+∠BAG=180°，∠BDC+∠∠BAC=180°，
∴∠BDC=∠BAG，
在△ABG与△DBC中，
∵CD=AG，∠BDC=∠BAG，BD=AB，
∴△ABG≌△DBC（SAS），
∴BC=BG，
在Rt△ABF中，tan∠ABC=，
设则，
∴BG=BC=6x，，
在Rt△BFG中，BG2=FG2+BF2，
∴，
解得，(舍），
∴BC=6x=.
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，延长FA至点G，使AG=CD=1，连接BG，由等腰三角形的三线合一得∠CAF=∠BAF=∠BAC，BC=2BF，由同角的补角相等得∠BDC=∠BAG，从而用SAS判断出△ABG≌△DBC，得BC=BG，由∠ABC的正切函数可设则，BG=BC=6x，，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
三、解答题（其中21-22题各7分,23-24各8分,25-27各10分,共60分)
21．（2023·黑龙江）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式=，
∵，
∴原式=.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而将除法转变为乘法，约分化简；接着代入特殊锐角三角函数值求出m的值，再将m的值代入化简后的式子按二次根式的混合运算的运算顺序计算可得答案.
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上.
（1）在方格纸上画以为斜边的等腰Rt；
（2）在方格纸中画以为斜边的Rt，点在小正方形的顶点上，，连接，并直接写出线段的长.
【答案】（1）解：如图，△ABE就是所求的以AB为斜边的等腰Rt△ABE；
（2）解：如图，△CDF就是所求的三角形，
.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由勾股定理算出AB，进而根据等腰直角三角形的性质可得：AE、BE是长为3，宽为1的矩形的对角线，从而利用方格纸的特点可确定出点E的位置，连接AE、BE即可；
（2）根据tan∠DCF=，由正切函数的定义可得CF=2DF，由勾股定理可得CF2+DF2=CD2，即DF2+(2DF)2=CD2，据此可求出FD及CF的长，从而利用方格纸的特点可确定CF是长为4，宽为2的矩形的对角线，DF是长为2，宽为1的矩形的对角线，据此确定出点F的位置，再连接CF、DF即可；最后根据勾股定理算出EF即可.
23．（2023九上·哈尔滨开学考）阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c，有如下关系：.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.
解：是一元二次方程的两个实数根，
.
则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则= ， .
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两根分别为m，n，
.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）方程2x2+3x-1=0中，∵a=2，b=3，c=-1，
∴，；
故答案为：，；
【分析】（1）找出方程中a、b、c的值，进而根据与可直接得出答案；
（2）利用（1）的结论可得m+n及mn的值，进而根据完全平方公式的恒等变形得m2+n2=(m+n)2-2mn，最后整体代入计算可得答案.
24．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
25．（2023九上·哈尔滨开学考）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元
（2）若设日销售量为，每千克应涨价元，请写出与的函数关系式，并求出销售量最大时，每天盈利多少
【答案】（1）解：设每千克应涨价x元，
则，
解得或，
为了使顾客得到实惠，所以，
答： 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）解：(1≤x≤6），
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值，
每天盈利为：元.
答：每千克涨价1元时，每天的销售数量最大，此时每天的盈利为5280元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克应涨价x元，则每千克水果的利润为（10+x）元，每天的销售数量为（500-20x）千克，进而根据每天的利润=每千克水果的利润×每天销售水果的数量列出方程，求解并检验可得答案；
（2）根据每天的销售数量=500减去因为涨价而减少的销售数量建立出S关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
26．（2023九上·哈尔滨开学考）正方形ABCD中，点在BC上，点在CD上，连接AE、BF交于点，且
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，点在CD边上，且.求证：；
（3）如图2，在(2)的条件下，若，求的长.
【答案】（1）解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
设
∵∠BAE=2∠CBF，
∴，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBF=90°-，∠AGB=180°-∠BAE-∠ABG=90°-，
∴∠ABG=∠AGB，
又∵∠DAG=90°-2，
∴∠AGD=（180°-∠AGD）÷2=45°+，
∴∠DGF=180°-∠AGB-∠AGD=45°；
（2）证明：延长CB至点P，使BP=DM，连接AP，延长DC、AE交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABP=90°，AB∥CD，AD∥BC，
又∵BP=DM，
∴△ADM≌△ABP（SAS），
∴AM=AP，∠DAM=∠PAB=，
∴∠PAE=∠PAB+∠BAE=2+，
∵AB∥CD，
∴∠AMD=∠BAM=4，∠BAE=∠Q=2，
∴∠EAM=∠BAM-∠BAE=2，
∴∠BAE=∠MAE=2a，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA=2+=∠PAE，
∴PA=PE=AM，
∴AM=PE=PB+BE=BE+DM；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠Q=2，
∴∠EAM=∠BAM-∠BAE=2，
∴∠MAE=∠Q=2，
，
∵AM-CM=7，
∴QM-CM=CQ=7，设CF=x，
，
，
∴DQ=DC+CQ=x+13，AQ=AG+QG=2x+13，
在Rt△ADQ中，∵AD2+DQ2=AQ2，
∴（x+6）2=（x+13）2=（2x+13）2，
解得x=2，即CF=2.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，设从而根据角的和差及三角形的内角和可推出∠ABG=∠AGB=90°-，由等角对等边及等量代换得AG=AD，再由三角形的内角和定理及等边对等角可表示出∠AGD的度数，最后根据平角的定义可算出∠DGF的度数；
（2）延长CB至点P，使BP=DM，连接AP，延长DC、AE交于点Q，易得AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABP=90°，AB∥CD，AD∥BC，从而用SAS证出△ADM≌△ABP，由全等三角形性质得AM=AP，∠DAM=∠PAB=，进而由平行线的性质及角的和差可推出∠DAE=∠BEA=2+=∠PAE，由等角对等边得PA=PE=AM，最后再根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）由平行线的性质及角的和差可推出∠MAE=∠Q，由等角对等边得AM=AQ，结合已知可求出CQ=7，设CF=x，由平行线的性质、对顶角相等及（1）中结论可推出∠QGF=∠QFG，由等角对等边可得FQ=GQ，从而用含x的式子表示出DQ、AQ、DC、AD、AG，进而在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
27．（2023九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点.
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点在轴负半轴上，点在线段上，若，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式(直接写出的取值范围)；
（3）如图3，在(2)的条件下，延长PQ交射线BA于点，过点作交轴于点，若，求点的坐标.
【答案】（1）解：∵令直线y=-x+3中的x=0，得y=3，
∴A(0，3)，
∵直线AC⊥AB，
∴设直线AC的解析式为y=x+b，
将点A(0，3)代入得b=3，
∴直线AC的解析式为：y=x+3；
（2）解：如图，过点Q作QM⊥y轴于点M，
∵点P在y轴的负半轴上，且P点的纵坐标为t，
∴P（0，t），
∵令直线y=-x+3中的y=0，得x=3，
∴B(3，0），
∵令直线y=x+3中的y=0，得x=-3，
∴C(-3，0），
∵A(0，3)，C(-3，0），
∴OA=OC，
∴∠CAO=45°，
在Rt△AQM中，
∵∠CAO=45°，∠AMQ=90°，AQ=d，
∴，
∴，
∵PQ=PB，
∴，
解得(舍）或，
∴（t＜0）；
（3）解：如图，过点E作EM⊥x轴于M，交BP的延长线于N，过点Q作QR⊥OA于R，
，
，
又∵∠QRP=∠BOP=90°，BP=PQ，
∴Rt△PQR≌Rt△BPO（HL），
∴∠DBP=∠DPO，
∴∠BPD=∠BPO+∠DPO=∠BPO+∠DBP=90°，即EP⊥BP，
∵EF⊥EP，
∴EF∥BP，
∵EM⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴EN∥PF，
∴四边形ENPF是平行四边形，
∴EF=PN，
∵∠BEM=∠BAO=∠ABO=45°，
∴EM=BM，
∵∠EMD=∠BMN=90°，
∴∠MED+∠N=∠MBN+∠N=90°，
∴∠MED=∠MBN，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴ED=BN，
，
∴设，则，
，，
，
，
，
解得(舍)，
∴，
，
，
当时，，
∴点Q的坐标为（-1，2）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）令直线y=-x+3中的x=0，算出对应的y的值，可求出点A的坐标，由互相垂直的直线中比例系数的乘积为-1可设设直线AC的解析式为y=x+b，进而将点A的坐标代入可求出b的值，从而求出直线AC的解析式；
（2）过点Q作QM⊥y轴于点M，由题意易得P（0，t），由直线与纵坐标交点的坐标特点可求出B(3，0），C(-3，0），从而可得OA=OC，则∠CAO=45°，由等腰直角三角形的性质用含d的式子表示出QM的长，进而根据直线上点的坐标特点可用含d的式子表示出点Q的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式及PB=PQ建立方程，求解可得d关于t的函数解析式；
（3）过点E作EM⊥x轴于点M，交BP的延长线于点N，过点Q作QR⊥OA于点R，由等腰直角三角形的性质及（2）小题结论易得AR=QR=OP=t，从而利用HL判断出Rt△PQR≌Rt△BPO，得∠DBP=∠DPO，推出EP⊥BP，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥BP，EN∥PF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ENPF是平行四边形，进而得EF=PN，由ASA判断出△EMD≌△BMN，得ED=BN，设EF=2m，DP=x，用含m、x的式子表示出BP、PE，由等角的同名三角函数值相等建立比例式，从而可用含m的式子表示出x，然后根据∠DBP的正切函数可求出OP的长，从而可得点Q的横坐标，至此就不难求出点Q的坐标了.
1 / 1黑龙江省哈尔滨69中学2023-2024学年九年级上学期数学假期学情反馈测试卷
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2023九上·哈尔滨开学考）下列曲线中表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·哈尔滨开学考）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
4．（2023九上·哈尔滨开学考）在矩形中，，则点到对角线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023九上·哈尔滨开学考）有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元.设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023九上·哈尔滨开学考）一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为，且这个角所对的边长为，则矩形的对角线长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高(单位：米)为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·哈尔滨开学考）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点恰好落在点处，得到折痕，如图②.
根据以上的操作，若，则线段的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
9．（2017·鄞州模拟）如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·哈尔滨开学考）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差(米)与甲出发时间(分)之间的函数关系如图所示.下列说法：①乙先到达青少年宫：②乙的速度是甲速度的2.5倍；③；④.其中正确的有（ ）个.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分,共30分)
11．（2023九上·哈尔滨开学考）中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册.数据16000000用科学记数法表示为 .
12．（2023九上·哈尔滨开学考）若方程的一个根为1，则 .
13．（2023九上·哈尔滨开学考）直角三角形两条直角边长分别为1和2，则这个直角三角形斜边的中线为 .
14．（2021八上·岑溪期末）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
15．（2023九上·哈尔滨开学考）在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是 .
16．（2023九上·哈尔滨开学考）与的相似比为2：3，则与的周长比为 .
17．（2023九上·哈尔滨开学考）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，按照这个规律，方程的解为 .
18．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数恰为2，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数为 .
19．（2019八上·宝鸡月考）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 ．
20．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在中，是外一点，连接BD和，则线段的长为 .
三、解答题（其中21-22题各7分,23-24各8分,25-27各10分,共60分)
21．（2023·黑龙江）先化简，再求值：，其中．
22．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点均在小正方形的顶点上.
（1）在方格纸上画以为斜边的等腰Rt；
（2）在方格纸中画以为斜边的Rt，点在小正方形的顶点上，，连接，并直接写出线段的长.
23．（2023九上·哈尔滨开学考）阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c，有如下关系：.
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值.
解：是一元二次方程的两个实数根，
.
则.
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则= ， .
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
24．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形中，为对角线，，于点E，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长，交边的延长线于点F，交边于点G，连接，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与相似，但不全等的三角形．
25．（2023九上·哈尔滨开学考）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元
（2）若设日销售量为，每千克应涨价元，请写出与的函数关系式，并求出销售量最大时，每天盈利多少
26．（2023九上·哈尔滨开学考）正方形ABCD中，点在BC上，点在CD上，连接AE、BF交于点，且
（1）如图1，连接，求的度数；
（2）如图2，点在CD边上，且.求证：；
（3）如图2，在(2)的条件下，若，求的长.
27．（2023九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作交轴于点.
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点在轴负半轴上，点在线段上，若，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式(直接写出的取值范围)；
（3）如图3，在(2)的条件下，延长PQ交射线BA于点，过点作交轴于点，若，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量×与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，因此C选项中的曲线，表示y是x的函数，故C选项符合题意；
A、B、D选项中的曲线，不表示y是x的函数，故A、B、D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可一 一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC= = ，
则cosB= = ，
故选A
【分析】利用锐角三角函数定义求出cosB的值即可．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0中，a=1，b=m-2，c=-3，
∴△=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（-3）=（m-2）2+12，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-3=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；故算出方程根的判别式的值，进而结合偶数次幂的非负性即可判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，
∵S△ABD=AB×AD=BD×AE，
∴3×4=5AE，
∴AE=，
即点A到对角线BD的距离为.
故答案为：A.
【分析】由矩形性质得AD=BC=4，∠BAD=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=5，进而根据等面积法建立方程可求出AE的长.
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设平均每次降价的百分率x，由题意，
得100（1-x）2=81.
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程即可.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=2OA=2OB，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=BO=AB=5cm，
∴AC=BD=10cm.
故答案为：C.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得BD=AC=2OA=2OB，然后根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABO是等边三角形，由等边三角形的三边相等可得AO=BO=AB=5cm，从而即可得出该矩形对角线的长了.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴，
又∵BC=20米，∠C=37°，
∴AB=BC×tan37°=20tan37°.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，由∠C的正切函数可直接求出AB的长.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图②，过点M作MG⊥AD于点G，
∴∠AGM=∠MGF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=12，
∴四边形ABMG是矩形，
∴BM=AG，GM=AB=8，
由折叠知AF=AB=8，FM=MC，
设BM=AG=x，则GF=AF-AG=8-x，MF=MC=BC-BM=12-x，
在Rt△GMF中，GM2+GF2=FM2，即82+（8-x）2=（12-x）2，
解得x=2，
即BM=2.
故答案为：C.
【分析】过点M作MG⊥AD于点G，由矩形的性质得∠A=∠B=90°，AD=BC=12，根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形ABMG是矩形，由矩形的对边相等得BM=AG，GM=AB=8，由折叠知AF=AB=8，FM=MC，设BM=AG=x，则GF=AF-AG=8-x，MF=MC=BC-BM=12-x，在Rt△GMF中，由勾股定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
9．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵DE//BC，
∴，A正确；
因为DF//BE，
所以△ADF~△ABE，
所以，B正确；
∵DF//BE，
∴，
又∵
，C正确；
∵DE//BC，
∴△ADE~△ABC，
∴，
而，
∴D错误.
故选D.
【分析】根据平行线分线段成比例，也可证明三角形相似，再根据相似三角形，可以得到各边比例相等的关系.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
∴甲的运动速度为：720÷9=80 (米/分)，
乙在甲出发9分钟后出发，第15分钟时乙追上了甲，
∴乙运动时间为：15-9=6(分钟)，运动距离为：15×80=1200(米)，
∴乙的运动速度为：1200÷6=200(米/分)，
∵200÷80=2.5，
∴乙的速度是甲的速度的2.5倍，故②正确；
从第15分钟至第19分钟两人之间距离越来越远，而第19分钟后，两人之间的距离越来越近，说明乙第19分钟的时候已经到达终点，则乙先到达科技馆，故①正确；
乙从开始出发到达到终点共用时间为：19-9=10(分钟)，运动总距离为：10×200=2000(米)，
而甲行完全程公用时间为：2000÷80=25(分钟)，∴a的值为25，故④错误；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520(m)， b=2000-1520=480，故③正确，综上正确的有①②③，共3个.
故答案为：C.
【分析】图象从左至右共分为了四段，第一段表示的是甲先出发9分钟，共走了720米，得出甲的运动速度；第二段是第9分钟至第15分钟这段，表示的情景是乙在第9分钟的时候出发，第15分钟的时候乙追上了甲，据此可求出乙的速度；第三段是第15分钟至19分钟，表示的情景是乙反超甲并到达了科技馆，最后一段表示的情景是甲继续前行直至到达科技馆，从而根据路程、速度、时间三者的关系即可一 一解答，得出答案.
11．【答案】1.6×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1600000=1.6×107.
故答案为：1.6×107.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵方程kx2-9x+8=0的一个根为1，
∴k-9+8=0，
解得k=1.
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根的概念，将x=1代入方程kx2-9x+8=0，可求出k的值.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理可得该直角三角形的斜边长为：，∴该直角三角形斜边上的中线的长为：.
故答案为：.
【分析】首先利用勾股定理算出直角三角形的斜边的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
14．【答案】x≠0
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】函数y= 中自变量x的取值范围是x≠0．
故答案为：x≠0．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，据此列式求解即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=(2-k)x+1中，y随x的增大而增大，
∴2-k＞0，
解得k＜2.
故答案为：k＜2.
【分析】对于一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此并结合题意列出关于字母k的不等式，求解可得答案.
16．【答案】2：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为2∶3，∴△ABC与△DEF的周长之比等于2∶3.
故答案为：2∶3.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比可直接得出答案.
17．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得(x-1)(x-1+4)=0，
∴x-1=0或x-1+4=0，
解得x1=1，x2=-3.
故答案为：x1=1，x2=-3.
【分析】根据新定义运算法则列出方程(x-1)(x-1+4)=0，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式等于0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程可求出原方程的解.
18．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵CD∥OA，
∴∠DBO=∠AOB=45°，∠BCO=∠AOC=22.5°，
∵∠BOC=∠AOB-∠AOC=22.5°，
∴∠BOC=∠BCO=22.5°，
∴OB=BC，
在Rt△OBD中，∠D=90°，∠DBO=45°，
∴DB=OD=2，
∴OB=，
∴BC=OB=，
∴CD=DB+BC=，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为.
故答案为：.
【分析】由二直线平行，内错角相等得∠DBO=∠AOB=45°，∠BCO=∠AOC=22.5°，进而根据角的和差可推出∠BOC=∠BCO，由等角对等边得OB=BC，在Rt△OBD中，由勾股定理算出OB的长，从而再根据线段的和差算出CD的长，此题得解.
19．【答案】42或32
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
，
在Rt△ACD中，
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ACD中，，
∴BC=9﹣5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
故答案是：42或32．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
20．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，延长FA至点G，使AG=CD=1，连接BG，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC，BC=2BF，
∵∠FAB+∠BAG=180°，∠BDC+∠∠BAC=180°，
∴∠BDC=∠BAG，
在△ABG与△DBC中，
∵CD=AG，∠BDC=∠BAG，BD=AB，
∴△ABG≌△DBC（SAS），
∴BC=BG，
在Rt△ABF中，tan∠ABC=，
设则，
∴BG=BC=6x，，
在Rt△BFG中，BG2=FG2+BF2，
∴，
解得，(舍），
∴BC=6x=.
故答案为：.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，延长FA至点G，使AG=CD=1，连接BG，由等腰三角形的三线合一得∠CAF=∠BAF=∠BAC，BC=2BF，由同角的补角相等得∠BDC=∠BAG，从而用SAS判断出△ABG≌△DBC，得BC=BG，由∠ABC的正切函数可设则，BG=BC=6x，，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而此题得解.
21．【答案】解：原式=，
∵，
∴原式=.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，同时将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而将除法转变为乘法，约分化简；接着代入特殊锐角三角函数值求出m的值，再将m的值代入化简后的式子按二次根式的混合运算的运算顺序计算可得答案.
22．【答案】（1）解：如图，△ABE就是所求的以AB为斜边的等腰Rt△ABE；
（2）解：如图，△CDF就是所求的三角形，
.
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）由勾股定理算出AB，进而根据等腰直角三角形的性质可得：AE、BE是长为3，宽为1的矩形的对角线，从而利用方格纸的特点可确定出点E的位置，连接AE、BE即可；
（2）根据tan∠DCF=，由正切函数的定义可得CF=2DF，由勾股定理可得CF2+DF2=CD2，即DF2+(2DF)2=CD2，据此可求出FD及CF的长，从而利用方格纸的特点可确定CF是长为4，宽为2的矩形的对角线，DF是长为2，宽为1的矩形的对角线，据此确定出点F的位置，再连接CF、DF即可；最后根据勾股定理算出EF即可.
23．【答案】（1）；
（2）解：一元二次方程的两根分别为m，n，
.
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）方程2x2+3x-1=0中，∵a=2，b=3，c=-1，
∴，；
故答案为：，；
【分析】（1）找出方程中a、b、c的值，进而根据与可直接得出答案；
（2）利用（1）的结论可得m+n及mn的值，进而根据完全平方公式的恒等变形得m2+n2=(m+n)2-2mn，最后整体代入计算可得答案.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴、、，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即可得到；
（2）利用相似三角形的判定方法求解即可。
25．【答案】（1）解：设每千克应涨价x元，
则，
解得或，
为了使顾客得到实惠，所以，
答： 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）解：(1≤x≤6），
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值，
每天盈利为：元.
答：每千克涨价1元时，每天的销售数量最大，此时每天的盈利为5280元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每千克应涨价x元，则每千克水果的利润为（10+x）元，每天的销售数量为（500-20x）千克，进而根据每天的利润=每千克水果的利润×每天销售水果的数量列出方程，求解并检验可得答案；
（2）根据每天的销售数量=500减去因为涨价而减少的销售数量建立出S关于x的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质即可解决此题.
26．【答案】（1）解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
设
∵∠BAE=2∠CBF，
∴，
∴∠ABG=∠ABC-∠CBF=90°-，∠AGB=180°-∠BAE-∠ABG=90°-，
∴∠ABG=∠AGB，
又∵∠DAG=90°-2，
∴∠AGD=（180°-∠AGD）÷2=45°+，
∴∠DGF=180°-∠AGB-∠AGD=45°；
（2）证明：延长CB至点P，使BP=DM，连接AP，延长DC、AE交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABP=90°，AB∥CD，AD∥BC，
又∵BP=DM，
∴△ADM≌△ABP（SAS），
∴AM=AP，∠DAM=∠PAB=，
∴∠PAE=∠PAB+∠BAE=2+，
∵AB∥CD，
∴∠AMD=∠BAM=4，∠BAE=∠Q=2，
∴∠EAM=∠BAM-∠BAE=2，
∴∠BAE=∠MAE=2a，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA=2+=∠PAE，
∴PA=PE=AM，
∴AM=PE=PB+BE=BE+DM；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠Q=2，
∴∠EAM=∠BAM-∠BAE=2，
∴∠MAE=∠Q=2，
，
∵AM-CM=7，
∴QM-CM=CQ=7，设CF=x，
，
，
∴DQ=DC+CQ=x+13，AQ=AG+QG=2x+13，
在Rt△ADQ中，∵AD2+DQ2=AQ2，
∴（x+6）2=（x+13）2=（2x+13）2，
解得x=2，即CF=2.
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，设从而根据角的和差及三角形的内角和可推出∠ABG=∠AGB=90°-，由等角对等边及等量代换得AG=AD，再由三角形的内角和定理及等边对等角可表示出∠AGD的度数，最后根据平角的定义可算出∠DGF的度数；
（2）延长CB至点P，使BP=DM，连接AP，延长DC、AE交于点Q，易得AB=AD，∠D=∠ABC=∠ABP=90°，AB∥CD，AD∥BC，从而用SAS证出△ADM≌△ABP，由全等三角形性质得AM=AP，∠DAM=∠PAB=，进而由平行线的性质及角的和差可推出∠DAE=∠BEA=2+=∠PAE，由等角对等边得PA=PE=AM，最后再根据线段的和差及等量代换可得结论；
（3）由平行线的性质及角的和差可推出∠MAE=∠Q，由等角对等边得AM=AQ，结合已知可求出CQ=7，设CF=x，由平行线的性质、对顶角相等及（1）中结论可推出∠QGF=∠QFG，由等角对等边可得FQ=GQ，从而用含x的式子表示出DQ、AQ、DC、AD、AG，进而在Rt△ADQ中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
27．【答案】（1）解：∵令直线y=-x+3中的x=0，得y=3，
∴A(0，3)，
∵直线AC⊥AB，
∴设直线AC的解析式为y=x+b，
将点A(0，3)代入得b=3，
∴直线AC的解析式为：y=x+3；
（2）解：如图，过点Q作QM⊥y轴于点M，
∵点P在y轴的负半轴上，且P点的纵坐标为t，
∴P（0，t），
∵令直线y=-x+3中的y=0，得x=3，
∴B(3，0），
∵令直线y=x+3中的y=0，得x=-3，
∴C(-3，0），
∵A(0，3)，C(-3，0），
∴OA=OC，
∴∠CAO=45°，
在Rt△AQM中，
∵∠CAO=45°，∠AMQ=90°，AQ=d，
∴，
∴，
∵PQ=PB，
∴，
解得(舍）或，
∴（t＜0）；
（3）解：如图，过点E作EM⊥x轴于M，交BP的延长线于N，过点Q作QR⊥OA于R，
，
，
又∵∠QRP=∠BOP=90°，BP=PQ，
∴Rt△PQR≌Rt△BPO（HL），
∴∠DBP=∠DPO，
∴∠BPD=∠BPO+∠DPO=∠BPO+∠DBP=90°，即EP⊥BP，
∵EF⊥EP，
∴EF∥BP，
∵EM⊥x轴，y轴⊥x轴，
∴EN∥PF，
∴四边形ENPF是平行四边形，
∴EF=PN，
∵∠BEM=∠BAO=∠ABO=45°，
∴EM=BM，
∵∠EMD=∠BMN=90°，
∴∠MED+∠N=∠MBN+∠N=90°，
∴∠MED=∠MBN，
∴△EMD≌△BMN（ASA），
∴ED=BN，
，
∴设，则，
，，
，
，
，
解得(舍)，
∴，
，
，
当时，，
∴点Q的坐标为（-1，2）.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）令直线y=-x+3中的x=0，算出对应的y的值，可求出点A的坐标，由互相垂直的直线中比例系数的乘积为-1可设设直线AC的解析式为y=x+b，进而将点A的坐标代入可求出b的值，从而求出直线AC的解析式；
（2）过点Q作QM⊥y轴于点M，由题意易得P（0，t），由直线与纵坐标交点的坐标特点可求出B(3，0），C(-3，0），从而可得OA=OC，则∠CAO=45°，由等腰直角三角形的性质用含d的式子表示出QM的长，进而根据直线上点的坐标特点可用含d的式子表示出点Q的坐标，进而根据平面内两点间的距离公式及PB=PQ建立方程，求解可得d关于t的函数解析式；
（3）过点E作EM⊥x轴于点M，交BP的延长线于点N，过点Q作QR⊥OA于点R，由等腰直角三角形的性质及（2）小题结论易得AR=QR=OP=t，从而利用HL判断出Rt△PQR≌Rt△BPO，得∠DBP=∠DPO，推出EP⊥BP，由同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得EF∥BP，EN∥PF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ENPF是平行四边形，进而得EF=PN，由ASA判断出△EMD≌△BMN，得ED=BN，设EF=2m，DP=x，用含m、x的式子表示出BP、PE，由等角的同名三角函数值相等建立比例式，从而可用含m的式子表示出x，然后根据∠DBP的正切函数可求出OP的长，从而可得点Q的横坐标，至此就不难求出点Q的坐标了.
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