3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共39张PPT）

章节：第三章 圆锥曲线的方程
章节引言
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．
如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?
如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线
椭圆
抛物线
双曲线
圆
圆锥曲线
圆锥曲线与科技、生产以及人类生活有着紧密的关系。以上的图片以及生活中很多例子都能说明圆锥曲线在生活中有着广泛的运用！
为什么会有这样广泛的运用？我们将可以从他们的几何性质及其性质中得到答案！
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊。当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数的方法研究圆锥曲线。
本章我们继续采用坐标法，在研究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题与实际问题。进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。
章节：第三章 圆锥曲线的方程
标题：3.1.1椭圆及其标准方程
课时：1课时
目
录
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1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
PART 01
教学目标
环节1：教学目标分解
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}教学目标
素养目标
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
数学抽象数学建模
数形结合
逻辑推理
直观想象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.能利用椭圆的简单几何性质解决椭圆的简单问题.
环节2：教学重难点
重点：
1.掌握椭圆的定义
2.掌握椭圆的标准方程
难点：椭圆的标准方程的探究
PART 02
新课讲授
1.椭圆的定义
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类的生活中具有广泛的运用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？
我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
椭圆
情景一：
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点????1，????2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
观察：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
?
F1
F2
M
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离不变
概念1：
我们把平面内与两个定点????1，????2的距离的和等于常数（大于????1????2）的点的轨迹叫做椭圆．
?
MF1+MF2=2a ; (2a>2c)
?
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(一般用2c表示)，焦距的一半称为半焦距(用c表示).
C
F1
F2
M
问题1：当????,????的大小变化时，得到的图像是什么？
?
情景二：
C
F1
F2
M
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
（1） 必须在平面内;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
（2）两个定点---两点间距离确定;
问题2
(1)已知A(?3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么?
?
(2)已知A(?3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么?
?
(3)已知A(?3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么?
?
椭圆
线段AB
不存在
概念2：
小结:(1)若|????????1|+|????????2|>|????1????2|,????点轨迹为椭圆.
?
(2)若|????????1|+|????????2|=|????1????2|,????点轨迹为线段.
?
(3)若|????????1|+|????????2|<|????1????2|,????点轨迹不存在.
?
2.求椭圆的标准方程
情景三：
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标准方程
追问1：我们该如何建系？
C
F1
F2
M
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
O
x
y
????1
?
????2
?
????
?
????
?
????
?
O
x
y
F1
F2
M
“对称”、“简洁”
设M(????,????)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2????(????>0)，那么焦点????1，????2的坐标分别为（?????，0)，(????，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点????1，????2的距离的和等于2????.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
????=????????????1+????????2=2????. 因为
????????1=????+????2+????2，????????2=?????????2+????2，
所以????+????2+????2+?????????2+????2= 2????.
?
????1
?
????2
?
????
?
????
?
????
?
设
限
代
????+????2+????2+?????????2+????2= 2????. ①为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得????+????2+????2= 2??????????????2+????2 ②
?
对方程②两边平方，得
????+????2+????2=4????2?4?????????????2+????2+?????????2+????2.
整理，得????2?????????=?????????????2+????2. ③
对方程③两边平方，得
????4?2????2????????+????2????2=????2????2?2????2????????+????2????2+????2????2.
整理，得????2?????2????2+????2????2=????2????2?????2. ④
将方程④两边同除以????2????2?????2，得????2????2+????2????2?????2=1.
由椭圆的定义可知,2????>2????>0，即????>????>0，所以????2?????2>0.
?
由图可知，????????1=????????2=????，
????????1=????????2=????，????????=????2?????2，
令b=????????=????2?????2，
那么方程????2????2+????2????2?????2=1
????2????2+????2????2=1????>????>0.
?
????1
?
????2
?
????
?
????
?
????
?
????
?
椭圆的标准方程
概念3：
????2????2+????2????2=1????>????>0叫做椭圆的标准方程.
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：????1?(?????,0)，????2?(????,0)
?
F1
F2
M
0
x
y
问题4：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？
问题4：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？
情景四：
此时椭圆的方程是????2????2+????2????2=1????>????>0
?
焦点????1，????2坐标分别是0,?????， 0,?????
?
F1
F2
M
0
x
y
追问：以上的两种标准方程有怎样的特征？
(1)焦点在x轴上：????????????????+????????????????=????????>????>????
?
(2)焦点在y轴上：????????????????+????????????????=????????>????>????
?
1.方程特征：焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；
方程的左边是平方和，右边是1.
2.判断焦点在哪轴上的方法：看????2，????2项的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上
?
3.????,????,????间的关系：????2=????2?????2,????最大，????,????大小不确定
?
F1
F2
x
y
P
F1
F2
0
x
y
课堂例题
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(?2,0)，并且经过点(52,?32)，求它的标准方程.
?
l
解：由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为????2????2+????2????2=1(????>????>0).
由椭圆的定义知????=2，2????=(52+2)2+(?32)2+(52?2)2+(?32)2=210，
所以????=10.所以????2=????2?????2=10?4=6.
所以，所求椭圆的标准方程为????210+????26=1.
?
课堂例题
点????在圆????2+????2=4上运动，点????的运动引起点????运动．我们可以由????为线段????????的中点得到点????与点????坐标之间的关系式，并由点????的坐标满足圆的方程得到点????的坐标所满足的方程.
?
建设限代化
例2 如图，在圆????2+????2=4上任意取一点????，过点????作????轴的垂线段????????，????为垂足.当点????在圆上运动时，线段????????的中点????的轨迹是什么？为什么？(当点????经过圆与????轴的交点时，规定点????与点????重合.)
?
解：设点????的坐标为(????,????)，点????的坐标为(????0,????0)，
则点????的坐标为(????0,0).由点????是线段????????的中点，
得????=????0，????=????02.
因为点????(????0,????0)在圆????2+????2=4上，所以????02+????02=4. ①
把????=????0，????0=2????代入方程①，
得????2+4????2=4，即????24+????2=1.
所以点????的轨迹是椭圆.
?
问题5 由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
????=????0，????=????????0
?
????=????????0，????=????0
?
课堂例题
建设限代化
例3.如图，在????，????两点的坐标分别为(?5,0)，(5,0).直线????????，????????相交于点????，且它们的斜率之积是?49，求点????的轨迹方程.
?
解：设点????的坐标为(????,????)，因为点????的坐标为(?5,0)，
所以直线????????的斜率为????????????=????????+5(????≠?5).
?
由已知，有yx+5×yx?5=?49(x≠±5)，
?
化简，得点M的轨迹方程为x225+x21009=1(x≠±5).
点M的轨迹是除去(?5,0)，(5,0)两点的椭圆.
?
PART 03
新课小结
1、椭圆定义:平面内到两个定点????1、????2的距离之和等于常数（大于|????1????2|）的点的轨迹叫做椭圆。
?
????????????+????????????=???????? ; (????????>????????)
?
2、椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上：????????????????+????????????????=????????>????>????
?
(2)焦点在y轴上：????????????????+????????????????=????????>????>????
?
PART 04
作业巩固
课本P109练习
课本P109练习
课本P109练习
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