人教A版高中数学 选择性必修一 第三单元 《3.1.1椭圆及其标准方程》同步分层练习（word含解析）

人教A版高中数学选择性必修一
《3.1.1 椭圆及其标准方程》同步分层练习
【基础篇】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆
2．若椭圆的右焦点为，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）
A． B． C．6 D．8
3.若椭圆2a2x2-ay2=2的一个焦点是(-2，0)，则a=（ ）
A． B． C． D．
4.已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
5．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）
A．7 B．10 C．17 D．19
6．（多选题）已知P是椭圆上一点，是其两个焦点，
则的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为　　　　　.
8.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则点M的纵坐标为
　　　　　.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，，，则______．
10．如图所示，分别为椭圆的左右焦点，点P在椭圆上，的面积为的正三角形，则的值为　　　　　.
三、解答题
11．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
12. 已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣，0），且过点D（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若已知点A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程．
【提高篇】
一、选择题
1．曲线方程的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
2.如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(　　)
A.(3,4) B. C. D.
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（ ）
A． B．（）
C． D．（）
5．（多选题）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为12 B．
C．点P到x轴的距离为 D．
6．（多选题）设P是椭圆C:+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,则(　　)
A.|PF1|+|PF2|=2 B.-2<|PF1|-|PF2|<2 C.1≤|PF1|·|PF2|≤2 D.0≤≤1
二、填空题
7．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则_ _．
8. 已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是_ _．
9.如图把椭圆的长轴AB分成8等分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=　　.
10．已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点.若，，则椭圆C的方程为　　　　　.
三、解答题
11.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
12．如图,椭圆C:=1(a>b>0)经过点M,且点M到椭圆的两焦点的距离之和为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.
同步练习答案
【基础篇】
一、选择题
1．【答案】C
【解析】对于选项，，故到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；对于选项，到点的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；对于选项，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；对于选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．故选：C
2．【答案】B
【解析】由椭圆方程可知 根据椭圆的定义可知，，的周长为.
3.【答案】C
【解析】由原方程可得，因为椭圆焦点是(-2，0)，所以，解得，
因为，即，所以，故选：C
4.【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，
∴椭圆的方程是，故选B．
5．【答案】ABC
【解析】由题意可得，则，故．因为点P在椭圆E上，所以，所以，故，由于，所以，故的可能取值为7，10，17．
6．【答案】BCD
【解析】设，则，且，在中，由余弦定理可得，因为，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为，所以的大小可能为．故选：BCD
二、填空题
7.【答案】+x2=1
【解析】由已知2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+x2=1.
8.【答案】±
【解析】∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点,∴OM为△PF1F2的中位线,∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是3或-3,∵点P在椭圆上,∴=1,即y2=,∴y=±.∴点M的纵坐标为±.
9．【答案】
【解析】根据椭圆的定义：，
在焦点中，由余弦定理可得：，
，则，所以，.
10．【答案】
【解析】的面积为的正三角形，，
解得．代入椭圆方程可得：，与联立解得：．
三、解答题
11．【解析】 (1)由焦距是4可得c=2,
且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a==8,
所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.
又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为=1或=1.
12. 【解析】（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，
∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），
∴a=2，c=，可得b=1，因此，椭圆的标准方程为．
（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），
由根据中点坐标公式，可得，∵点P（x0，y0）在椭圆上，
∴可得，化简整理得，
∴线段PA中点M的轨迹方程是．
【提高篇】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】曲线方程，所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程，其中，所以，，所以，所以曲线方程的化简结果为.故选D项.
2.【答案】D
【解析】因为方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,解得3．【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B
4.【答案】B
【解析】设由两点间斜率公式可得 由斜率与倾斜角关系,结合可得，变形可得，当时,C与A或B重合,不合题意所以点C的轨迹方程为（）故选:B
5．【答案】BCD
【解析】由椭圆方程知，所以，所以，于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得，
所以，解得，故，故B选项正确；设点到轴的距离为，则，所以，故C选项正确；，故D选项正确．故选：BCD.
6．【答案】ACD
【解析】椭圆C:+y2=1,可得a=,b=c=1,P是椭圆C:+y2=1上任意一点,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=2,A正确;-2≤|PF1|-|PF2|≤2,所以B错误;
设P点坐标为(cos θ,sin θ),
则|PF1|·|PF2|=
=2-cos2θ∈[1,2],所以C正确;
因为=(cos θ+1,sin θ)·(cos θ-1,sin θ)=2cos2θ-1+sin2θ=cos2θ∈[0,1],所以D正确.
二、填空题
7．【答案】
【解析】由椭圆方程得：，，．三角形顶点和，顶点在椭圆上，，由正弦定理可知
8. 【答案】
【解析】由已知，得，所以又,根据椭圆的定义，点P的轨迹是为焦点，以6为实轴长的椭圆，所以，，所以，所以点P的轨迹方程为：.
9.【答案】35
【解析】由已知得，如图，是椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，，，又，∴．故答案为35．
10．【答案】
【解析】设，则，，由椭圆定义知，所以，所以，故点为椭圆的上（下）顶点，设，由，得，点在椭圆上，故，解得，又由，可得，故椭圆方程为.
三、解答题
11.【解析】 (1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),设椭圆M的方程为=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-(舍),a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,得y0=±.
又=1,所以,x0=±,
所以点P有4个,它们的坐标分别为.
12．【解析】(1)∵点M到椭圆的两焦点的距离之和为2,
∴2a=2,解得a=.又椭圆C经过点M,
∴=1,解得b2=1.
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)∵线段RS的中垂线l的斜率为,
∴直线RS的斜率为-2,
∴可设直线RS的方程为y=-2x+m.
联立得9x2-8mx+2m2-2=0.
设点R(x1,y1),S(x2,y2),P(x0,y0),
∴x1+x2=,y1+y2=-2x1+m-2x2+m=-2(x1+x2)+2m=-2·+2m=,
则x0=,y0=.
∵,∴y0=x0,∴点P在直线y=x上,
又点O(0,0),M也在直线y=x上,
∴P,O,M三点共线.
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