(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］下列4个实数中,最小的数是( )
D
A. B. C. D.
[解析] , , , .故选D.
2.［探究点一］点 是 角的终边与单位圆的交点,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由三角函数定义知 .
3.［探究点二］当 为第二象限角时, 的值是( )
C
A.1 B.0 C.2 D.
[解析] 为第二象限角, , ,
,
故选C.
4.［探究点三］ 的值等于( )
A
A. B. C. D.
[解析] .
5.［探究点三］ 的值为_____.
[解析]
.
6.［探究点一］在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负
半轴重合，终边过点 ，则 _ __； _____.
[解析] 角 终边过点 ， ，
， ， ，
.
7.［探究点一］已知角 终边上任意一点 （不与原点 重合）的坐标为 ,点
与原点 的距离为 ,且 ,求 , .
解 由题意知 ,由三角函数定义,得 .
又 ,所以 .
因为 ,所以 .
当 时, ,此时 , .
当 时, ,此时 , .
B级 关键能力提升练
8.点 从 出发,沿单位圆按逆时针方向运动 弧长到达点 ,则点 的坐标为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由题意知圆心角 , 角的终边与单位圆的交点坐标为 ,故选A.
9.若角 的终边经过点 ,则下列结论一定正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 角 的终边经过点 , 由三角函数的定义可知
符号不确定,故A,B均错误； ,故C正确,D错误.故选C.
10.在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点 ，且 ,则 等
于( )
A
A.1 B. C.1或 D.1或
[解析] 由题意得 ,化简得 ,解得 或1.当
时，点 在第三象限， ，与题意不符，舍去.
经验证 符合题意，故选A.
11. 是第三象限角,且 ,则 为( )
B
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为 是第三象限角,
所以 , ，
所以 , ，
所以 为第二或第四象限角.
又因为 ,所以 .
所以 为第二象限角.
12.函数 的定义域是________________________________.
,
[解析] 由 , ,得 为第二象限角或终边在 轴正半轴上的角或终边在 轴负半轴上的角,所以 , .
13.已知角 的顶点为坐标原点 ,始边为 轴的非负半轴,若 是角 终边上一
点,且 ,则 ____, ____.
[解析] 易知 , .
根据任意角三角函数的定义,得 ,
解得 或 （舍去）,所以 .
14.求下列各式的值:
（1） ;
解 原式 .
（2） .
原式
.
C级 学科素养创新练
15.（多选题）已知角 是第一象限角,则下列结论中正确的是( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 由角 是第一象限角,即 , ,得
, , ，所以角 的终边在 轴上方,所
以 , 的正负不确定，角 是第一或第三象限角,则 ,
的正负不确定.(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］化简 的结果是( )
D
A. B. C. D.
[解析]
2.［探究点一（角度3）］（多选题）已知 是三角形一内角,若 ,则
的值为( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 是三角形一内角, .
又 ,
.
且 , , ,
的符号不确定,
,
.
3.［探究点一（角度2）］已知 ,则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 ,
则 .故选B.
4.［探究点一（角度2）］若 ,则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] , ,
.故选A.
5.［探究点一（角度1）］若 是第三象限角且 ,则 _____,
_ ___.
[解析] 是第三象限角且 ,
, .
6.［探究点二］已知 为第二象限角,则 ___.
0
[解析] 由题可知 ,
所以原式 .
因为 是第二象限角,所以 , ,
所以 .
7.［探究点三（角度1）］求证: .
证明 .
8.［探究点三（角度2）］已知 ,求证: .
证明 因为 ,所以 ,
原式 .
B级 关键能力提升练
9.已知 是三角形的一个内角,且 ,那么这个三角形的形状为( )
B
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
[解析] ,
,即 ,
.
又 是三角形的一个内角, .
三角形为钝角三角形.
10.已知 , ,则 ( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 由 得 ,
即 , .
又 , , .
11.已知 ,则 等于( )
B
A. B. C.2 D.
[解析] 由题可知 , .
因为 ,
所以 .
12.若 ,且 ,则角 的取值范围是
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由已知 , , .
又 , .
13.（多选题）化简 的值可以为( )
ABCD
A. B.1 C. D.3
[解析] 原式 .
当 为第一象限角时，上式值为3；
当 为第二象限角时，上式值为1；
当 为第三象限角时，上式值为 ；
当 为第四象限角时，上式值为 .
14.已知 是第二象限角,且 , ,则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. 或 D.
[解析] 是第二象限角,
,故选D.
15.已知 , ,则 ____.
[解析] ,
.
, ,
.
16.设 ，且 ，若 ，则 ___.
1
[解析] 因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
由 ，
则 ，
所以 .
17.（1）计算 和 , 的值,你有什么发现？
解
.
（2）计算 , , 的值,你有什么发现？
解
.
（3）证明: , .
证明 .
（4）推测 , 与 的关系,不需证明.
解 推测 .
C级 学科素养创新练
18.设 是第三象限角,问是否存在实数 ,使得 , 是关于 的方程
的两个根？若存在,求出实数 ;若不存在,请说明理由.
解 假设存在实数 满足条件,则由题设得 .①
为第三象限角,
, , ,②
.③
又 , .
把②③代入上式得 ,
即 ,解得 , .
不满足条件①,舍去；
不满足条件 ,舍去.
故满足题意的实数 不存在.(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 三角函数的概念
1.概念
前提
单位圆
定义 正弦函数
余弦函数
正切函数
三角 函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
点 的纵坐标
点 的横坐标
点 的纵坐标与横坐标的比值
续表
2.三角函数的解析式和定义域如下表所示
类型 解析式 定义域
正弦函数 _ __
余弦函数 _ __
正切函数
过关自诊
1.三角函数值的大小与点 在角 终边上的位置是否有关？
提示 三角函数值是比值,它的大小与点 在角 终边上的位置无关,只与角 的终边
位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
2.[北师大版教材习题] 已知角 的终边经过点 ,则 _ _____,
_ ______.
知识点2 三角函数值的符号
, , 在各象限的符号如下:
名师点睛
正弦函数值的符号取决于角 终边上一点 的纵坐标 的符号，点 在 轴
上方为正，下方为负；余弦函数值的符号取决于点 横坐标 的符号，在 轴右侧为
正，左侧为负；正切函数值符号取决于点 横、纵坐标符号，同号为正，异号为负.
过关自诊
1.若 ,则 为第几象限角？
提示 由 可知 为第一或第三象限角, 可以为任意象限角.
2.（多选题）下列选项结果为负数的是( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 角的终边在第三象限,故 ； 角的终边在第二象
限,故 ； , 角的终边在第三象限,故 ;
.故选 .
知识点3 诱导公式一
（1）语言表示:终边相同的角的______三角函数的值相等.
（2）式子表示:
______，
______，
_ _____，其中 .
同一
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）一个三角函数值能找到无数个角与之对应.( )
√
（2）若两个角 , 的正弦值相等,那么 .( )
×
2.计算: ___.
2
[解析] 原式
.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用三角函数的定义求三角函数值
【例1】 求解下列各题:
（1）若角 的终边与单位圆的交点是 ,则 __, _ ____,
_ _____;
[解析] 依题意, ,解得 ,
于是 , , .
（2）已知角 的终边经过点 ，且 ,则
_ ___;
[解析] 角 的终边经过点 ，
,解得 ,
, , ,
则 .
（3）已知角 的始边与 轴的非负半轴重合,终边在射线 上,则
_ _.
[解析] 角 的始边与 轴的非负半轴重合,终边在射线 上,设
终边上一点 , 为坐标原点 .
不妨令 ,则 ,
, , ,
.
规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况
（1）若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函
数值.
（2）若已知角 终边上一点 是单位圆上的点,则 ,
， .
（3）若已知角 终边上一点 （不与原点重合）不是单位圆上一点,则先
求 ,再求 , .
（4）若已知角 终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
变式训练1（1） 已知角 的终边经过点 ,则 ____, _____,
_ __.
[解析] 因为 ,所以点 在单位圆上.由三角函数的定义知
, , .
（2）已知角 的终边上有一点 ,且 ,求 , 的值.
解 由已知,得 ,
解得 或 .
①当 时, , ;
②当 时, , ;
③当 时, , .
探究点二 三角函数值符号的运用
【例2】（1） 若 ,且 ,则角 是( )
C
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 由 可知 , 异号,从而 为第二或第三象限角.由 可知 , 异号,从而 为第三或第四象限角.综上可知, 为第三象限角.故选C.
（2）判断下列各式的符号:
① ;
解 , 分别为第二、第三象限角,
, ， .
② .
, 是第二象限角, .
又 是第三象限角, ， .
规律方法 判断三角函数值在各象限符号的攻略
（1）基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
（2）关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
（3）注意：用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号.
变式训练2 ［北师大版教材习题］在单位圆中,确定下列三角函数值的符号:
（1） ;
解 因为 角的终边在第二象限,所以 .
（2） ;
因为 , 的终边在第三象限,所以 .
（3） ;
因为 的终边在第三象限,所以 .
（4） .
因为 角的终边在第四象限,所以 .
探究点三 诱导公式一的应用
【例3】 求下列各式的值:
（1） ;
解 原式
.
（2） .
原式
.
规律方法 诱导公式一的应用策略
（1）诱导公式一可以统一写成 或
的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等;
（2）利用它可把任意角的三角函数值转化为 范围内的角的三角函数值，
以便实现把角大化小,负化正.
变式训练3 求下列三角函数值：
（1） ;
解 .
（2） ;
.
（3） ;
.
（4） .
本节要点归纳(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 同角三角函数的基本关系
1.平方关系
（1）公式: ；
（2）语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1.
2.商数关系
（1）根据三角函数定义，当 时，有 ；
（2）语言叙述:同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切.
名师点睛
1.这里的“同角”应作广义上的理解，如 与 、 与 是同角， 与
是同角，即“同角”的概念与角的表达形式无关，如 ，
恒成立.
2. 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ，
前者是角 的正弦的平方，后者是角 的正弦，两者是不同的.
过关自诊
1.同角三角函数基本关系中,角 是否是任意角？
提示 平方关系中的角 是任意角,除法关系中的角 并非任意角, , .
2.若 ,则 的值为多少
提示 由 ,则 ,所以 .
3.已知 是第四象限角, ,则 _____.
[解析] 由题意知 .
4.若 ,且 为第四象限角,则 _______.
[解析] 因为 为第四象限角,且 ,
所以 ,
所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用同角三角函数的基本关系式求值
角度1.已知某个三角函数值，求其余三角函数值
【例1】（1） 已知 ,求 , 的值；
解 , 是第一或第二象限角.
当 为第一象限角时， , ;
当 为第二象限角时, , .
（2）已知 ，求 , 的值.
, 是第二或第三象限角.
当 是第二象限角时, , ;
当 是第三象限角时， , .
规律方法 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤
第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；
第二步：依据角的终边所在象限分类讨论；
第三步：利用同角三角函数基本关系式，求出其余三角函数值.
角度2.已知 ，求关于 和 的齐次式的值
【例2】 已知 ，则
（1） ____;
[解析]
（2） __;
[解析] .
（3） ___.
1
[解析]
.
规律方法 已知 ，求关于 和 的齐次式的值的基本方法
（1）形如 的分式，可将分子、分母同时除以 ；形如
的分式，可将分子、分母同时除以 ，将正、余弦转化
为正切，从而求值.
（2）形如 的式子，可将其看成分母为1的分式，
再将分母1变形为 ，转化为形如 的分式求解.
角度3.利用 ， 与 之间的关系求值
【例3】 已知 , ，求 的值.
解 ,①
将其两边同时平方，得 ,
.
, ， .
,
.②
由①②得 , ,
.
规律方法 1.由 ,
可知如果已知 , , 三个式子中任何一个的值，那
么就可以利用平方关系求出其余的两个.
2. 的符号的判定方法
（1） 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 的终边落在
直线 上时， ，即 ；当 的终边落在直线
的上半平面区域内时， ，即 ；当 的终边落在直线
的下半平面区域内时， ，即 .如图1所示.
（2） 的符号的判定方法：由三角函数的定义知，当 的终边落在
直线 上时， ，即 ；当 的终边落在直线
的上半平面区域内时， ，即 ；当 的终边
落在直线 的下半平面区域内时， ,即 .如图2所
示.
变式训练1（1） 若 ,则 ( )
B
A. B.2 C. D.
[解析] 易知 , .
（方法1）由
解得
所以 .
（方法2）因为 ,所以 ,
则 ,即 ,
所以 ,解得 .
（方法3）设 ，则 ，
代入题设 ，得 .
当 ,即 时， , 与题意矛盾，所
以 ,所以 ,所以 .又 ,所以 ,即
.
（2）已知 ，求 的值；
解 由题中等式易知 ,
则 ,整理得
,即 ,
解得 或 .
（3）已知 ，求 的值.
解 将 两边同时平方，得 ,从而可得 ,
故 .
探究点二 应用同角三角函数的基本关系式化简
【例4】 化简下列各式:
（1） ;
解 .
（2） （其中 是第二象限角）.
因为 是第二象限角,所以 .
故
.
规律方法 三角函数式的化简过程中常用的方法
（1）利用同角三角函数的基本关系，减少函数名称,达到化简的目的.
（2）对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.
（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 ,以降低函数次数,达到化简的目的.
变式训练2 化简:
（1） ；
解 .
（2） ；
原式
.
（3） .
因为 ，所以 .
（方法1）原式 .
（方法2）原式
.
探究点三 应用同角三角函数的基本关系式证明恒等式
角度1.一般恒等式的证明
【例5】 求证: .
证明 （方法1） 左边
右边.
原等式成立.
（方法2） 右边 ,
左边
,
左边 右边,原等式成立.
规律方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；
（4）变更命题法，如要证明 ，可证 或证 等；
（5）比较法，即设法证明“左边-右边 ”或“ （右边 ）”.
变式训练3 证明: .
证明 由题可知 , ,则左边
右边，所以原等式成立.
角度2.给出限制条件的恒等式的证明
【例6】 已知 ，求证： .
证明 由 ,可得 ,即 ,
故有 ,
整理得 ,
即 ,
展开得 ,即 .
规律方法 证明含有条件的三角恒等式时，常用方法有：①直推法：从条件直推到结论；②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；③换元法.
变式训练4 已知 ,求证： .
证明 设 , ,则 , .
由 ,得 ,
化简得 ， ,
.
本节要点归纳
