(共24张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 诱导公式五、六
______
______
______
_______
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式五
公式六
名师点睛
诱导公式一~六可以概括为 的三角函数值,等于 的同名（ 是偶数时）或异名（ 是奇数时）三角函数值,前面加上一个将 看成锐角时原函数值的符号,口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1） .( )
×
（2） .( )
×
（3）若 ,则 .( )
√
（4）若 为第三象限角,则 .( )
×
2. 的值为___.
0
[解析]
3.已知 , 为第二象限角,则 ____.
[解析] .
4. _____.
44.5
[解析]
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用诱导公式化简求值
【例1】（1） 已知 ,则 的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] .
（2）已知 ,则 的值为__.
[解析] .
变式探究1 将例 的条件中的“ ”改为“ ”,求 的值.
解 .
变式探究2 将例 增加条件“ 是第一象限角”,求 的值.
解 因为 是第一象限角,所以 是第四象限角.
又 ,所以 是第一象限角,
所以 ,所以 .
规律方法 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是“负化正，大化小，化到锐角再查表”.
探究点二 利用诱导公式证明三角恒等式
【例2】 求证: .
证明 左边
,
右边 ,
左边 右边,故原等式成立.
规律方法 三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握三角函数的相关公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
变式训练1 求证: .
证明 左边
右边,故原等式成立.
探究点三 诱导公式在三角形中的应用
【例3】 在 中，若 , ，
求 的三个内角.
解 由已知得
由 ，得 ,化简得 ,
.
当 时， .
又 ， 是三角形的内角，
, .
.
当 时， .
又 , 是三角形的内角，
, , ，不符合题意.
综上可知, , , .
规律方法 在 中，常用到以下结论：
,
,
其中 ,
,
.
探究点四 诱导公式的综合应用
【例4】 已知 ，求下列各式的值：
解 由 ,
得 ,①
将①两边同时平方，得 ,
故 .
, , , .
（1） ;
, .
（2） .
.
规律方法 利用互余（互补）关系的求值问题的解题步骤
（1）定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有
与 ， 与 ， 与 等；常见的互补关系有 与
， 与 等.
（2）定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.
（3）得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到
答案.
变式训练2 若 的终边与单位圆交于点 ,且 为第二象限角,试求
的值.
解 由题意知 ,得 ,因为 为第二象限角,所以 ,所以
,所以 , .
原式 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）诱导公式的推导.
（2）利用诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳:公式法、角变换、化归思想.
3.常见误区:（1）函数符号的变化;（2）角与角之间的内在联系和角变换.(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 诱导公式二、三、四
1.诱导公式二
（1） 是点 关于______的对称点（如图所示）.
（2）诱导公式二: _______, ________,
_ _____.
原点
2.诱导公式三
（1） 是点 关于_ ____的对称点（如图所示）.
（2）诱导公式三: _ ______, ______, ________.
轴
3.诱导公式四
（1） 是点 关于_ ____的对称点（如图所示）.
（2）诱导公式四:
, ________, ________.
轴
1.公式一至四的概念：
， ， 的三角函数值，等于 的同名函数值，前面加上
一个把 看成锐角时原函数值的符号.
2.判断函数值的符号时，虽然把 看成锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导
公式， 可以为任意角；对于正切的诱导公式， 的终边不能落在 轴上，即
.
3.公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示.
名师点睛
过关自诊
1.公式四除了利用 的终边与 的终边关于 轴对称推导外,还可以如何推导？
提示 借助公式二、三,如： .
2.如何理解“函数名不变，符号看象限”？
提示 “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符
号.如 ，若把 看成锐角，则 在第三象限，所以取负号，故
3.下列式子正确的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A,令 ,得 ,所以A错误；对于选项B,令 ,得 ,所以B错误；对于选项C,令 ,得 ,所以C错误;易知D正确.
4.已知 ,则 _ ___.
5.［北师大版教材例题］画出下列各组中的两个角的终边与单位圆的交点,说出它们的对称关系.
（1） 与 ;
解 如图①, 与 的终边与单位圆的交点关于原点对称;
（2） 与 ;
如图②, 与 的终边与单位圆的交点关于 轴对称;
（3） 与 ;
如图③, 与 的终边与单位圆的交点关于 轴对称;
（4） 与 .
如图④, 与 的终边与单位圆的交点关于 轴对称.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 给角求值问题
【例1】 计算：
（1） ___;
1
[解析] 原式 .
（2） _ ___.
[解析] .
规律方法 利用诱导公式解决给角求值问题的基本步骤
变式训练1 计算：
（1） ；
解 原式 .
（2） .
原式 .
探究点二 给值（式）求值问题
【例2】（1） 若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，
，
.
（2）已知 ，则 ____.
[解析] ，
.
变式探究 例2（2）中，若求 呢？
解
规律方法 解决给值（式）求值问题的策略
（1）解决给值（式）求值问题，首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
变式训练2 已知 ，则 的值等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意 ，
， .
易知 ,故 .故选B.
探究点三 三角函数的化简求值问题
【例3】 化简:
（1） ;
解
（2） .
原式 .
规律方法 利用诱导公式一至四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的.
（2）化简时函数名不发生改变,但要注意函数的符号有没有改变.
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简,一般采用切化弦,有时也可以弦化切.
（2）化简: .
解 原式 .
变式训练3（1） 已知 ,则 的值为( )
A
A. B. C. D.1
[解析] 因为 ,所以原式
.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）特殊关系角的终边对称性.
（2）诱导公式二～四.
2.方法归纳:公式法、角变换、化归思想.
3.常见误区:符号的确定.(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］计算 的值是( )
D
A. B. C. D.
[解析] .故
选D.
2.［探究点一］ 的值是( )
A
A. B. C. D.
[解析] .
3.［探究点二］已知 ,且 是第四象限角,那么 的值是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .
又 是第四象限角,所以 ,
所以 .故选B.
4.［探究点二］已知 ,则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .
5.［探究点三］若 是角 终边上一点,则 的值为____.
[解析] 由题意知 ,原式 .
6.［探究点二］已知 ,则 ____,
_ _.
[解析] ,
.
7.［探究点三］已知 ，求:
的值.
解 , ，
原式
.
B级 关键能力提升练
8. 的值为( )
D
A. B.0 C. D.1
[解析] 原式
.
9.在 中, 的值等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由于 ,所以 .
所以 .
10. ( )
A
A. B. C. D.
[解析] .
11.已知 , ,那么 的值为( )
D
A.2 B. C. D.
[解析] 因为 ,
所以 , .因为 ,
所以 , ,可得 .
故选D.
12.（多选题）已知 ,则 的值可以为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,
所以 ,所以 为第一或第四象限角,
所以 ,
所以 .
13.（多选题）已知 ,下列式子中不成立的有( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] , ,
,
,故 不成立.
14.（多选题）已知 ,则 的值可以为( )
BD
A. B. C.1 D.2
[解析] 当 为偶数时, ;当 为奇数时, .故
选 .
15.已知 , , ,则 , , 的大小关系是__________.
（用“ ”表示）
[解析] 因为 ,
, ,所以 .
16.已知 ，则 ___, _____,
___, _ ______.
0
[解析] ，
, , , ,
, , , ，
，且 是以8为周期的周期函数,则 .
17.已知 ,求下列各式的值:
解 由 ,得 .
（1） ；
原式 .
（2） .
原式 .
18.化简: .
解 原式 .
（1）当 为奇数,即 时,原式
;
（2）当 为偶数,即 时,原式
.
故原式
C级 学科素养创新练
19.已知 则 的值为____.
[解析] 因为 ,
,所以
.
20.在 中,若 , ,求
的三个内角.
解 由题意得 , ,平方相加得 ,所以
.又因为 ,所以 或 .当 时, .因为
,所以 ,所以 , 均为钝角,不合题意,舍去,所以 , ,
所以 ,所以 .
综上所述, 的三个内角为 , , .(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］若 ,则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] , ，
.
2.［探究点一］已知 ,则 等于( )
A
A. B. C. D.
[解析]
3.［探究点三］在 中, ,则 的值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在 中, , ,
.
又 , .
4.［探究点一］已知 ,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] , .故
选C.
5.［探究点四］ 为锐角, ,
,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由条件可得 ,①
.②
可得 ,即 .
又 , 为锐角,
所以 , .
6.［探究点一］若 ,且 是第四象限的角,则 _ _____，
_ _____.
[解析] 因为 是第四象限的角,
所以 ,
于是 .
7.［探究点四］若 ,则 ___.
[解析] ,则 .
8.［探究点二］求证: .
证明 左边
右边.
所以原等式成立.
B级 关键能力提升练
9.已知 ,则 等于( )
B
A. B. C. 或 D.
[解析] ,即 ,
,
.
10.计算 等于( )
C
A.89 B.90 C. D.45
[解析] ,
, ,
.
11.已知 ,且 ,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得 ,
所以 ,所以
.
12.已知角 的终边上有一点 ,则 的值为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为角 终边上有一点 ,
所以 , ,
所以 .故选A.
13.（多选题）在 中,下列等式恒成立的是( )
BD
A. B.
C. D.
[解析] ,故A不正确；
,故B正确；
,故C不正确，D正确.
故选 .
14.（多选题）定义:角 与 都是任意角，若满足 , ，则称
与 “广义互余”.已知 ，则下列角 中，可能与角 “广义互余”的
是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] ，
， .
若 , ，则 , .
A中， ，
故A符合条件；
B中， ，
故B不符合条件；
C,D中， ,故C符合条件,D不符合
条件.
15.若 ,则 等于( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,
.
16.已知 ,则 ____, __.
[解析] ，
.
17.已知 ,则 __.
[解析] 因为 ,
所以 ，
所以原式 .
18.已知 ,则 的值为____.
[解析] 原式 .
19.已知角 的终边经过点 .
（1）求 的值;
解 角 的终边经过点 ,
（ 是坐标原点）, .
（2）求 的值.
,
由三角函数定义知 ,故所求式子的值为 .
C级 学科素养创新练
20.已知角 的终边经过点 , 且 为第二象限角.
（1）求 的值；
解 由三角函数定义可知 ,解得 为第二象限角,
.
（2）若 ,求 的值.
由（1）知 ,又 ,
.
