3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共51张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共51张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-26 14:09:12 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
人教A版数学选择性必修第一册
3.1.1椭圆及其标准方程
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板
的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
一半
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的 动点P满足，=2，其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为 ,0).
=2. ①
①，我们将其左边一个根式移到右边，得
对方程两边平方，得=
整理，得= ③
对方程③两边平方，得=
整理得 ④
将方程④两边同除以，得 ⑤
由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以.
观察图，你能从中找出表示，的线段吗？
由图可知，=，=c
令,那么方程⑤就是
(>>0) ⑥
称⑥式为焦点在轴上的椭圆方程.
设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：
（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？
（2）能否通过 (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？
(>>0),称焦点在轴上的椭圆方程.
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c关系 b2=a2-c2
1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1或=1
2. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
A.(±,0) B.(0,±) C. D.
解析: (1) 易得为D选项.
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,
结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.
答案:(1)D (2)D (3)C
例1. 已知 是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）
直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
【答案】B
【解析】对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．
故选：B．
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1．若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1.
例2.（1）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B．(0,2) C． D．
（2）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．且
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.综上：实数的取值范围是且，故选：D
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示
焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围.
跟踪训练2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，
即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
例3.（1）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C （2）A
【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C．
（2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，所以根据余弦定理可得：
|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1 t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，∴∠F1PF2＝3．故选A．
跟踪训练3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
(3)动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹.
【解】(1)答案x2＋＝1 解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点
知x0＝2x，y0＝2y，又＋ ＝1，所以，即x2＋ ＝1.
(2)由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝ .
∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.
【解析】(3)如图，设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合， 由此得,将上式两边平方，并化简，得，即：
5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解:如图所示,连接MA.
由题意知点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),
故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
且2a=5,c=1,
课程结束
人教A版数学选择性必修第一册
3.1.1椭圆及其标准方程
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板
的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2 ，
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
一半
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的 动点P满足，=2，其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为 ,0).
=2. ①
①，我们将其左边一个根式移到右边，得
对方程两边平方，得=
整理，得= ③
对方程③两边平方，得=
整理得 ④
将方程④两边同除以，得 ⑤
由椭圆的定义可知>>0 ，即>>0，所以.
观察图，你能从中找出表示，的线段吗？
由图可知，=，=c
令,那么方程⑤就是
(>>0) ⑥
称⑥式为焦点在轴上的椭圆方程.
设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0. 以 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：
（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？
（2）能否通过 (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式？
(>>0),称焦点在轴上的椭圆方程.
2.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c关系 b2=a2-c2
1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1或=1
2. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )
A.(±,0) B.(0,±) C. D.
解析: (1) 易得为D选项.
(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,
结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.
答案:(1)D (2)D (3)C
例1. 已知 是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是（ ）
直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
【答案】B
【解析】对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．
故选：B．
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
跟踪训练1．若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1.
例2.（1）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
B．(0,2) C． D．
（2）方程表示椭圆，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．且
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.
（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.综上：实数的取值范围是且，故选：D
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示
焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．
椭圆，必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围.
跟踪训练2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是，
即且，故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.
例3.（1）已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知是椭圆上一点， 为椭圆的两焦点，且，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C （2）A
【解析】（1）的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，由椭圆的定义可得：的周长是．故选：C．
（2）由椭圆的标准方程可得：a＝5，b＝3，∴c＝4，
设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2＝10①，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，所以根据余弦定理可得：
|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2＝（2c）2＝64，
整理可得：t12+t22﹣t1t2＝64，②把①两边平方得t12+t22+2t1 t2＝100，③
所以③﹣②得t1t2＝12，∴∠F1PF2＝3．故选A．
跟踪训练3．已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
(3)动点到定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点点的轨迹.
【解】(1)答案x2＋＝1 解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点
知x0＝2x，y0＝2y，又＋ ＝1，所以，即x2＋ ＝1.
(2)由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，
∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.
∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，
∴a＝，c＝1 ，∴b2＝a2－c2＝－1＝ .
∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.
【解析】(3)如图，设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合， 由此得,将上式两边平方，并化简，得，即：
5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解:如图所示,连接MA.
由题意知点M在线段CQ上,
从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.
又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.
又A(1,0),C(-1,0),
故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,
且2a=5,c=1,
课程结束