2023-2024学年上海市某校高二（上）摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市某校高二（上）摸底数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列结论命题中正确的是( )
A. 对任意， B. 任意且，
C. 函数，的最小值是 D. 函数，无最大值
2. 设是正整数，，在数列中，“且”是“是数列的最大项”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 函数在区间内的零点个数是( )
A. B. C. D.
4. 已知向量与的夹角为，且，向量满，且，记向量在向量与方向上的投影数量分别为，现有两个结论：若，则；的最大值为则正确的判断是( )
A. 不成立，成立 B. 成立，不成立
C. 成立，成立 D. 不成立，不成立
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 若区间是不等式解集的子集，则实数的取值范围是______ ．
6. 已知复数，则的共轭复数 ______ ．
7. 已知，，则______．
8. 设集合，，则 ______ ．
9. 若记，则可用表示为______ ．
10. 若不等式对所有实数恒成立，则实数的取值范围是______ ．
11. 设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是______．
12. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的值为 ．
13. 已知复数满足，且，则复数 ______ ．
14. 设，若对任意，都有，则的最小值为______ ．
15. 在中，已知是的外心，若，则______．
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设，求函数的最小正周期、单调增区间、最大值以及取得最大值时相应的值，并求方程在区间上的解．
18. 本小题分
设关于的不等式常数、为实数的解集为．
若集合，求实数、的值；
设，，记关于的不等式的解集为若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19. 本小题分
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系以海里为单位长度，则救援船恰好在失事船正南方向海里处，如图，现假设：
失事船的移动路径可视为抛物线；
定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为
当时，写出失事船所在位置的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．
问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
20. 本小题分
已知点满足，，且点的坐标为．
求过点、的直线的方程；
试用数学归纳法证明：对于任意，，点都在中的直线上；
试求数列、的通项公式．
21. 本小题分
已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，恒成立，则称函数为区间上的“有界变差函数”．
试判断函数是否为区间上的“有界变差函数”，若是，求出的最小值；若不是，说明理由；
若与均为区间上的“有界变差函数”，证明：是区间上的“有界变差函数”；
证明：函数不是上的“有界变差函数”．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，A正确；
当时，，显然错误；
当时，单调递增，当时函数取得最小值，C错误；
在上单调递增，当时函数取得最大值，D错误．
故选：．
由已知结合对勾函数的单调性及基本不等式检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，是正整数，且，故在数列中，
若是数列的最大项，则且，即且，
若且，则不一定是数列的最大项，
故“且”是“是数列的最大项”的必要不充分条件．
故选：．
根据数列最大项的定义直接判断即可．
本题考查数列最大项的定义，考查充要条件的判定，属基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点的个数以及零点存在性定理的应用，属于基础题．
根据函数在区间内单调递增，，可得函数在区间内有唯一的零点．
【解答】
解：由于函数在区间内单调递增，
又，，
所以，
故函数在区间内有唯一的零点，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由，解得，
当时，，
由得，，
即，
由得，
因为，
假设，则可求出，
代入中，等号不成立，故错误；
设，
因为，
由向量共线定理可知，点在线段上，如图，
设，则，
因为，
所以，
即，
所以，
，
而要想保证最大，只需最小，
由余弦定理可得：，
当且仅当时等号成立，
所以最小值为，
所以最大值为，
故的最大值为，正确；
故选：．
根据及与的夹角为求出，假设成立，求出与，代入后发现等式不成立，故错误；
利用向量共线定理可知，点在线段上，再结合可得：，利用投影公式求出，只需求出最大值，利用面积公式和基本不等式求出最大值为，进而求出最大值．
本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．
5.【答案】
【解析】解：由，得或，
即或，
又区间是不等式解集的子集，
则．
故答案为：．
先解不等式，再根据题意即可得到的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
的共轭复数
故答案为：
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求出共轭复数．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
则，
故答案为：
由的值，及的范围，判断出为负数，利用同角三角函数间基本关系求出的值即可．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：函数在上单调递增，且，
，
即，
函数在上单调递增，且，
，
即，
．
故答案为：．
根据幂函数和反比例函数的单调性求出集合，，再结合集合的交集运算求解．
本题主要考查了幂函数和反比例函数的单调性，考查了集合的基本运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
利用对数的运算法则、换底公式能求出结果．
本题考查对数的运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由绝对值的几何意义得，
不等式对所有实数恒成立，
，
故实数的取值范围是为．
故答案为：．
根据绝对值的几何意义可得，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向，利用向量的数量积公式及向量共线的充要条件求出的范围．
本题考查向量夹角的范围问题．通过向量数量积公式变形可以解决．但要注意数量积为负，夹角包括钝角和平角两类．
【解答】
解：夹角为钝角
即解得
当两向量反向时，存在使
即
解得
所以 的取值范围
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．
由条件利用正弦定理求得，，再由余弦定理求得 的值．
【解答】
解：在中，
，，
，
由可得，．
再由余弦定理可得 ，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：由题意可设，，为实数，
则，所以，则，
又由可得：，
联立可得：，，
所以
故答案为：
先求出复数的关系式，然后利用复数的运算性质以及已知建立方程，联立即可求解．
本题考查了复数的运算性质以及模的运算公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：的周期：，
对任意，都有，
即，应分别为函数的最小值和最大值，
所以，，故．
故答案为：．
由解析式知周期，而对任意，都有，即，应分别为函数的最值，可知为半周期的整数倍，故．
本题考查了正弦函数的周期，结合函数周期且在上不等式恒成立，求最小值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
又，
，
，
．
故答案为：．
根据题设，建立关于，的方程组，解出即可求得的值．
本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当时，
当时，；
当时，；
当时，．
由于函数是定义在上的奇函数，
即可画出在上的图象，如图所示：
当时，的最小值为，当时，
的最大值为，
由于，，
故函数的图象不能在函数的图象的上方，
结合图二可得，即，求得，
故答案为：
当时，分类讨论化简函数的解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象．结合条件：，，可得，由此求得的范围．
本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，属于中档题．
17.【答案】解：，
所以最小正周期；
令，，则，，
所以的单调增区间为，；
当，即，时，取得最大值；
由，知，
方程等价于，即，
所以，即，
所以方程在区间上的解为．
【解析】利用三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析，即可得解．
本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：若关于的不等式常数、为实数的解集为，
则和是关于的方程的两根．所以，解得：．
当，时，不等式即为，解得：，集合．
关于的不等式即，即，
若“”是“”的充分条件，则，
当，即时，集合，不符合题意；
当，即时，集合，若，则且，解得；
当，即时，集合，若，则且，解得．
综上所述，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是．
【解析】由解集，结合韦达定理算出、的值；
根据“”是“”的充分条件，可知是的子集，由此列式算出的取值范围．
本题考查集合间的关系、一元二次不等式的解法，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：时，的横坐标，代入抛物线方程中，得的纵坐标分
由，得救援船速度的大小为海里时．分
由，得，故救援船速度的方向为北偏东弧度．分
设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为
由，整理得分
因为，当且仅当时等号成立，所以，即．
因此，救援船的时速至少是海里才能追上失事船．分
【解析】时，确定的横坐标，代入抛物线方程中，可得的纵坐标，利用，即可确定救援船速度的大小和方向；
设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为，从而可得，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．
本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．
20.【答案】解：由的坐标为知，，．
所以，．
所以点的坐标为，
所以直线的斜率为，
直线方程为，即．
证明：当时，
成立．
假设时，成立，
则
，
当时，命题也成立．
由知，对，都有，
即点在直线上．
由知，，所以，
所以，
因为，，，，，猜想，；
用数学归纳法证明如下：因为时，，假设时成立，即，
则时，，
所以时也成立，
所以对于任意都成立，即．
所以．
【解析】由的坐标可得，，求出点的坐标，再求过点，的直线的方程；
利用数学归纳法进行证明；
由得，代入中，利用、求出、，猜想，利用数学归纳法证明猜想成立，再代入求得．
本题考查了直线的方程和数学归纳法应用问题，也考查了数列的递推公式应用问题，是中档题．
21.【答案】解：，
因为，所以，
因此函数是上的增函数，
设，
，
显然存在常数，对区间的任意划分：
恒成立，
所以函数是区间上的“有界变差函数”，的最小值为；
证明：因为与均为区间上的“有界变差函数”，
所以存在常数，，对区间的任意划分：
恒成立，
因此对区间的任意划分：
，
，
因此是区间上的“有界变差函数”；
证明：取区间的一个划分：
，
则有：
，
所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：
，满足，
以函数不是上的“有界变差函数“．
【解析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；
根据题中定义，结合绝对值的性质进行证明即可；
根据特殊角的余弦函数值，结合有界变差函数的定义进行证明即可．
本题考查了正弦型函数的单调性和有界变差函数的定义，属于中档题．
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