福建省泉州市永春县华侨中学2023-2024学年九年级上学期期初数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·永春开学考）设点在第二象限，且，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2，
∵点P（x，y）在第二象限，
∴点P的横坐标是负数，纵坐标是正数
∴x=-5，y=2，
∴点P的坐标是（-5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数；结合正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解.
2．（2023九上·永春开学考）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（m-1）x+m-2的图象不经过第二象限，
∴，
解得：1＜m≤2，
故答案为：D.
【分析】（1）一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限.
（2）一元二次不等式组的解法：①解不等式组中的各不等式；②取各不等式解集的交集，即得一元二次不等式组的解集.根据以上知识进行分析即可得出结论.
3．（2023九上·永春开学考）已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据：，，，，，的平均数和中位数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，
∴，
即a1+a2+a3+a4+a5=5a；
根据平均数的定义可知：，
将这组数据按照从小到大排列为：0，a5，a4，a3，a2，a1，
由于有偶数个数，
∴中位数为：；
故答案为：D.
【分析】计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数.平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.根据以上知识进行计算即可得出答案.
4．（2023九上·永春开学考）如图，是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数图象上，在等腰三角，，且三角形的面积为，则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：过A点作AC⊥OB，如图：
∵AB=AO，AC⊥OB，
∴BC=CO；
∵点A在反比例函数（k≠0）图象上，
∴设点A为，
则BO=2CO=2m，
∵三角形△OAB的面积为12，
又∵，且反比例函数在第二象限．
∴k=-12.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形三线合一：在等腰三角形（包括等边三角形）中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合.可得BC=CO；设点A 的坐标，根据三角形的面积公式可求得，结合反比例函数经过第二象限可得k＜0，解得出结论.
5．（2023·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
分式方程的解是负数，
，
，
又，
，
，
，
且.
故答案为：D.
【分析】先解分式方程求出方程的解，再利用方程解的范围要求计算出m的取值范围，易错点在于需要考虑分式有意义的条件.
6．（2023九上·永春开学考）已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：若a1=2，则
，
，
，
，
······，
∴an的值按照2，-3，，，·······，4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4=505······3，
∴ a2023的值是，
故答案为：A.
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解即可得出结论.
7．（2023九上·永春开学考）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：； ；；成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
又∵∠ADC=60°，
∵∠ABE=∠ADC=60°，
∴∠BEA=∠BAE=∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵，
∴，
∴BE=CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=2∠ECA=60°，
∴∠ECA=30°，
∴∠CAD=∠ECA=30°，
故①正确；
∵∠EAC=∠ECA=30°，∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠EAC+∠BAE=30°+60°=90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形对应边平行且相等可得AD∥BC，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠BEA；根据角平分线的定义可得∠DAE=∠BAE，推得∠BEA=∠BAE，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得△ABE是等边三角形；根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BE=AE；结合题意推得BE=CE=AE，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等可得∠EAC=∠ECA，求得∠AEB=2∠ECA=60°；即可求得∠CAD=∠ECA=30°.结合题意求得∠BAC=90°，即可得到AC⊥AB，根据平行四边形的面积公式即可求得S ABCD=AB AC.
8．（2023九上·永春开学考）如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB=BC=6，∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是正方形，
∴∠BCG=90°，BC=CG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG+∠BCE=45°，
延长AB到BH使BH=DG，
在△CDG与△CHB中，
∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH=CD，∠BCH=∠GCD，
∴∠DCE=∠HCE，
在△CEH和△CED中，
∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE=EH=BE+DG，
设BE=x，则BH=DG=5-x，AE=AB-BE=6-x，
∴AD=AG-DG=6-（5-x）=1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（1+x）2+（6-x）2=52，
解得x=2或3．
∴BE=2或3．
故答案为：D.
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四个角都是直角，四条边相等可得∠BCG=90°，BC=CG，推得∠DCG+∠BCE=45°，根据如果两个三角形的两边分别相等，且夹角相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等可推得∠DCE=∠HCE，DE=EH=BE+DG，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可列方程求解得出答案.
9．（2023九上·永春开学考）平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点P（m，m+3），
∴点P是直线y=x+3上的动点，
作点Q（0，0）关于直线y=x+3的对称点N（-3，3），连接MN交直线y=x+3于点P，如图，
则PQ=PN，
∴PQ+PM=PN+PM=MN为最小值，
由两点间距离公式得：，
∴PQ+PM的最小值为5．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等，作点Q（0，0）关于直线y=x+3的对称点N（-3，3），连接MN交直线y=x+3于点P，则MN的长即为PQ+PM的最小值，根据两点间的距离公式进行求解即可.
10．（2020七下·重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=30°，AC=2AB= ，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE= = .
故答案为：B.
【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．（2023九上·永春开学考）如图，菱形中，于点，交于，若为中点，且，则到边的距离为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，过F作FG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，∠BAC=∠DAC，
∴EF=DF，
∵BE⊥AD，E为AD中点，
∴AB=DB，，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=∠EBA=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
即F到AB边的距离为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可得AB=AD=4，∠BAC=∠DAC；根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EF=DF；结合题意可得AB=AD=DB；根据有三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都是60°可求得∠DAC=30°；根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可求解.
13．（2023九上·永春开学考）若一组数据，，，的平均数为，方差为，则另一组数据，，，的平均数是 ，方差是 ．
【答案】18；2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故答案为：18；2.
【分析】本题考查了方差与平均数：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为，方差为a2S2.
14．（2023九上·永春开学考）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：若，，，四个点的“积和”运算满足：，若，，，为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以，，，为顶点的四边形的结论：
四边形可以是平行四边形；
四边形可以是菱形；
四边形可以是矩形；
四边形不可能是正方形；
其中正确的 写出所有正确结论的序号
【答案】①③④
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵A B=B C=C D=D B，
∴x1y1+x2y2=x2y2+x3y3=x3y3+x4y4=x4y4+x2y2，
∴x1y1=x2y2=x3y3=x4y4，
∴点A，B，C，D在同一个反比例函数的图象上，
则OA=OB=OC=OD，
∴AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵AC与BD不是垂直的关系，
∴四边形ABCD不可能是菱形和正方形；
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
∴以A，B，C，D为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形．
故答案为：①③④.
【分析】根据定义可求得点A，B，C，D在同一个反比例函数的图象上，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形可推得四边形ABCD不可能是菱形；根据对角线相等的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，即可得出结论.
15．（2023九上·永春开学考）如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OB，OD，AE，延长BD交y轴于M，如图：
∵同底等高的两个三角形的面积相等，
∴S△ABD=S△BOD，
又∵，
即；
同理：，
∴S△ACE=S△ABD=2，
∵，
即，
∴，
故答案为：.
【分析】根据同底等高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△BOD，根据反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|；可求得，，即可求得，同理求得，根据， 即可求得.
16．（2023九上·永春开学考）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QK⊥BC于K．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，
又∵∠PEQ=90°，QK⊥BC，
即∠B=∠QKE=∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEK=90°，∠QEK+∠EQK=90°，
∴∠PEB=∠EQK，
∵EP=EQ，∠PEB=∠EQK，∠B=∠QKE，
∴△PBE≌△EKQ（AAS），
∴BE=QK=1，
∴点Q在直线BC的上方到直线BC的距离为1的直线l上运动，
将△ADM绕点D顺时针旋转60°得到△NDP′，连接AN，P′N，P′M，
∵AD=DN，∠ADN=60°，DM=DP′，∠MDP′=60°，
则△ADN，△P′DM都是等边三角形，
∴MA=P′N，MD=MP′，
∴MA+MQ+MD=P′N+MP′+QM，
过点N作NH⊥直线l于H，
根据垂线段最短可知，当N，P′，M，Q共线且与NH重合时，P′N+MP′+QM的值最小，即MA+MQ+MD的值最小，
点N到AD的距离为，
，
故最小值为
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角都是直角推得∠B=∠QKE=∠PEQ=90°，求得∠PEB=∠EQK，根据两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BE=QK=1，根据旋转的旋转可得AD=DN，∠ADN=60°，DM=DP′，∠MDP′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得MA=P′N，MD=MP′，即可得到MA+MQ+MD=P′N+MP′+QM，根据连接直线外一点和直线上的点中，垂线段最短可得当N，P′，M，Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小，结合勾股定理即可得出结论.
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·永春开学考）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方；零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1；绝对值：负数的绝对值是其相反数；负整数指数幂：正数a的-r次幂(r为任何正数)定义为a的r次幂的倒数；根据以上定义进行计算，合并同类项即可得出结论.
18．（2022八下·薛城月考）先化简，在求值：，再从三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：原式
要使分式有意义，不能取1和-1，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
19．（2023九上·永春开学考）某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，用元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多本．
（1）求打折前每支笔的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共件，笔袋每个原售价为元，两种物品都打八折，若购买总金额不低于元，问最多购买多少支笔？
【答案】（1）解：设笔打折前售价为，则打折后售价为，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：打折前每支笔的售价是元
（2）解：设购买笔件，则购买笔袋件，
由题意得：
解得：，
答：最多购买支笔．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，列等式，求解即可得出答案；
（2）利用购买总金额不低于400元，列出不等关系，求解即可得出答案.
20．（2023九上·永春开学考）如图，在直角坐标系中，，．
（1）①画出线段关于轴对称线段；
②将线段绕点顺时针旋转一个角，得到对应线段，使得轴，请画出线段；
（2）判断四边形的形状： ．
（3）若直线平分中四边形的面积，请直接写出实数的值．
【答案】（1）解：线段如图所示；
线段如图所示；
（2）解：∵由图可知，AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵A（0，4），C（3，0），
∴平行四边形ABCD的中心坐标为，
代入直线得，，
解得：.
【分析】（1）①先根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可；
②根据轴对称的性质找出点A关于直线x=3的对称点，即为所求的点D；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质：平分四边形面积的直线经过平行四边形的中心，求出AC的中点坐标，代入直线y=kx，即可求解.
21．（2023九上·永春开学考）四边形是矩形，四边形是正方形，，点在线段的左侧，连接，．
（1）如图，若点在边上时，，，求的长．
（2）如图，连接，若，，求证：三点，，在同一直线上．
【答案】（1）解：如图，作于点，
∵四边形是正方形，点在边上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
（2）证明：如图，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，，
点、点都在线段的垂直平分线上，
三点，，在同一直线上．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质：正方形的每条边都相等，每个角都是直角可得，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AF=2，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形底边上的高，斜边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得AH=FH=EH=1，求得DH=2，根据勾股定理求得，即可求解；
（2）根据矩形的性质：矩形的四个角是直角；正方形的性质：正方形的每条边都相等可得AE=AG，∠EAG=∠DAB=90°，推得∠DAE=∠BAG，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=AB，推得BA=BF，根据线段垂直平分线的判定：如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，可推得点B，点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，即可得出结论.
22．（2023·眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，
设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求一次函数解析式，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）联立解析式即可得到一次函数与反比例函数的交点坐标，再根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可求解；
（3）设直线交y轴于点，先根据A和B的坐标结合坐标系中两点间的距离即可得到，，，进而根据勾股定理即可求出m的值，进而得到点M的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
23．（2023九上·永春开学考）如图
（1）当时，当 时，有最小值，且最小值为 ；
（2）设，，求的最小值，并指出当取得该最小值时对应的的值；
（3）在平面直角坐标系中，点，点点是函数在第一象限内图象上的一个动点，过点作垂直于轴，垂直于轴，垂足分别为点，设点的横坐标为，四边形的面积为求和之间的函数关系式，并判断出当的值最小时，说明四边形是何特殊四边形．
【答案】（1）1；2
（2）解：，，
，
，
根据的结论可知，
当时，的最小值为，
即当时，的最小值为
（3）解：，
和之间的函数关系式为；
四边形是菱形，理由如下：
当时，的值最小，此时，，
，，
，，
又，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时，，
∵，
∴；
当时，有最小值，
此时，即x=1，
故答案为：1；2.
【分析】（1）将原式变为，根据偶次方的非负性即可得到最小值为2，即可求解；
（2） 先将原式进行化简，然后根据（1）的结论即可求解；
（3） 根据割补法求出四边形ABCD的面积，结合（1）的结论求得S最小时，x=3，根据运用菱形的判定：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可得出结论.
24．（2023九上·永春开学考）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
（1）已知，，则 ；
（2）已知，，求证：；
（3）已知其中、、互不相等，求的值．
【答案】（1）-1
（2）证明：由题意，，
．
．
．
．
．
．
（3）解：由得：，
由得：，
把代入得：，
．
．
同理得：，
，
．
、、互不相等，
，
．
【知识点】分式的化简求值；等式的性质；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1），，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为：-1.
【分析】（1）根据等式分別求出b，的值，求得a与c的关系式，代入计算即可；
（2）根据等式求出的值，根据 ，即可证明；
（3）根据等式的性质求出ab+2和b的值，求出，同理求得， ，推得，结合题意求一元二次方程的解即可得出结论.
25．（2023九上·永春开学考）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
（1）求出直线的“旋转垂线”的解析式；
（2）若直线的“旋转垂线”为直线求证：；
（3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，度，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图，
由得：，，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
设的解析式为：，
，
，
直线的“旋转垂线”的解析式是：.
（2）证明：如图，
当时，，
当时，，
，
，，
同理可得：，，
由，得，
，
，
，
；
（3）解：如图，
作，作，作于，
，，
直线的解析式为：，
由得，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点的纵坐标是，
当时，，
，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
当时，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）求出y=-x+5与x，y轴的交点坐标，然后求得旋转后的点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式即可得出结果；
（2）分别求出l1和l2与x，y轴交点坐标，根据“旋转垂线“的定义列等式，求解即可；
（3）先根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求得直线AC的解析式，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=OA，从而得出点D的纵坐标是-6，进而求得点C的坐标，待定系数法求得BC的解析式，即可求得点P的坐标．
1 / 1福建省泉州市永春县华侨中学2023-2024学年九年级上学期期初数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·永春开学考）设点在第二象限，且，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·永春开学考）若一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·永春开学考）已知个正数，，，，的平均数是，且，则数据：，，，，，的平均数和中位数是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2023九上·永春开学考）如图，是坐标原点，点在轴上，点在反比例函数图象上，在等腰三角，，且三角形的面积为，则的值（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2023九上·永春开学考）已知一列均不为的数，，，，满足如下关系：，，，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·永春开学考）如图， 的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接，下列结论：； ；；成立的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．（2023九上·永春开学考）如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
9．（2023九上·永春开学考）平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020七下·重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2 ，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4 +3 B．2 C．2 +6 D．4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2021八下·铁锋期末）要使函数 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023九上·永春开学考）如图，菱形中，于点，交于，若为中点，且，则到边的距离为 ．
13．（2023九上·永春开学考）若一组数据，，，的平均数为，方差为，则另一组数据，，，的平均数是 ，方差是 ．
14．（2023九上·永春开学考）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的，两点，规定其坐标“积和”运算为：若，，，四个点的“积和”运算满足：，若，，，为不在坐标轴上的四个不相同的点，则下列关于以，，，为顶点的四边形的结论：
四边形可以是平行四边形；
四边形可以是菱形；
四边形可以是矩形；
四边形不可能是正方形；
其中正确的 写出所有正确结论的序号
15．（2023九上·永春开学考）如图，已知直线交轴于点，分别与函数和的图象相交于点，，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，连接，，若，，则 ．
16．（2023九上·永春开学考）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·永春开学考）计算：．
18．（2022八下·薛城月考）先化简，在求值：，再从三个数中选择一个你认为合适的数作为的值代入求值．
19．（2023九上·永春开学考）某校九年级准备购买一批笔奖励优秀学生，在购买时发现，每只笔可以打九折，用元钱购买的笔，打折后购买的数量比打折前多本．
（1）求打折前每支笔的售价是多少元？
（2）由于学生的需求不同，学校决定购买笔和笔袋共件，笔袋每个原售价为元，两种物品都打八折，若购买总金额不低于元，问最多购买多少支笔？
20．（2023九上·永春开学考）如图，在直角坐标系中，，．
（1）①画出线段关于轴对称线段；
②将线段绕点顺时针旋转一个角，得到对应线段，使得轴，请画出线段；
（2）判断四边形的形状： ．
（3）若直线平分中四边形的面积，请直接写出实数的值．
21．（2023九上·永春开学考）四边形是矩形，四边形是正方形，，点在线段的左侧，连接，．
（1）如图，若点在边上时，，，求的长．
（2）如图，连接，若，，求证：三点，，在同一直线上．
22．（2023·眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
（1）求反比例函数的表达式：
（2）当时，直接写出x的取值范围；
（3）在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2023九上·永春开学考）如图
（1）当时，当 时，有最小值，且最小值为 ；
（2）设，，求的最小值，并指出当取得该最小值时对应的的值；
（3）在平面直角坐标系中，点，点点是函数在第一象限内图象上的一个动点，过点作垂直于轴，垂直于轴，垂足分别为点，设点的横坐标为，四边形的面积为求和之间的函数关系式，并判断出当的值最小时，说明四边形是何特殊四边形．
24．（2023九上·永春开学考）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
（1）已知，，则 ；
（2）已知，，求证：；
（3）已知其中、、互不相等，求的值．
25．（2023九上·永春开学考）规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转，得到的直线称为的“旋转垂线”．
（1）求出直线的“旋转垂线”的解析式；
（2）若直线的“旋转垂线”为直线求证：；
（3）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是直线上一点，度，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵|x|=5，|y|=2，
∴x=±5，y=±2，
∵点P（x，y）在第二象限，
∴点P的横坐标是负数，纵坐标是正数
∴x=-5，y=2，
∴点P的坐标是（-5，2）.
故答案为：A.
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数；结合正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解.
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（m-1）x+m-2的图象不经过第二象限，
∴，
解得：1＜m≤2，
故答案为：D.
【分析】（1）一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.
①k＞0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y=kx+b的图象在二、三、四象限.
（2）一元二次不等式组的解法：①解不等式组中的各不等式；②取各不等式解集的交集，即得一元二次不等式组的解集.根据以上知识进行分析即可得出结论.
3．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，
∴，
即a1+a2+a3+a4+a5=5a；
根据平均数的定义可知：，
将这组数据按照从小到大排列为：0，a5，a4，a3，a2，a1，
由于有偶数个数，
∴中位数为：；
故答案为：D.
【分析】计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数.平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数.根据以上知识进行计算即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积
【解析】【解答】解：过A点作AC⊥OB，如图：
∵AB=AO，AC⊥OB，
∴BC=CO；
∵点A在反比例函数（k≠0）图象上，
∴设点A为，
则BO=2CO=2m，
∵三角形△OAB的面积为12，
又∵，且反比例函数在第二象限．
∴k=-12.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形三线合一：在等腰三角形（包括等边三角形）中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合.可得BC=CO；设点A 的坐标，根据三角形的面积公式可求得，结合反比例函数经过第二象限可得k＜0，解得出结论.
5．【答案】D
【知识点】分式有意义的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
分式方程的解是负数，
，
，
又，
，
，
，
且.
故答案为：D.
【分析】先解分式方程求出方程的解，再利用方程解的范围要求计算出m的取值范围，易错点在于需要考虑分式有意义的条件.
6．【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：若a1=2，则
，
，
，
，
······，
∴an的值按照2，-3，，，·······，4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4=505······3，
∴ a2023的值是，
故答案为：A.
【分析】通过分别计算a1，a2，a3，a4，a5，的值归纳出an的值出现规律进行求解即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
又∵∠ADC=60°，
∵∠ABE=∠ADC=60°，
∴∠BEA=∠BAE=∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵，
∴，
∴BE=CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=2∠ECA=60°，
∴∠ECA=30°，
∴∠CAD=∠ECA=30°，
故①正确；
∵∠EAC=∠ECA=30°，∠BAE=60°，
∴∠BAC=∠EAC+∠BAE=30°+60°=90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD=AB AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形对应边平行且相等可得AD∥BC，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠BEA；根据角平分线的定义可得∠DAE=∠BAE，推得∠BEA=∠BAE，根据有两个角是60°的三角形是等边三角形可得△ABE是等边三角形；根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BE=AE；结合题意推得BE=CE=AE，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两底角相等可得∠EAC=∠ECA，求得∠AEB=2∠ECA=60°；即可求得∠CAD=∠ECA=30°.结合题意求得∠BAC=90°，即可得到AC⊥AB，根据平行四边形的面积公式即可求得S ABCD=AB AC.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB=BC=6，∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是正方形，
∴∠BCG=90°，BC=CG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG+∠BCE=45°，
延长AB到BH使BH=DG，
在△CDG与△CHB中，
∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH=CD，∠BCH=∠GCD，
∴∠DCE=∠HCE，
在△CEH和△CED中，
∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE=EH=BE+DG，
设BE=x，则BH=DG=5-x，AE=AB-BE=6-x，
∴AD=AG-DG=6-（5-x）=1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（1+x）2+（6-x）2=52，
解得x=2或3．
∴BE=2或3．
故答案为：D.
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四个角都是直角，四条边相等可得∠BCG=90°，BC=CG，推得∠DCG+∠BCE=45°，根据如果两个三角形的两边分别相等，且夹角相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等可推得∠DCE=∠HCE，DE=EH=BE+DG，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可列方程求解得出答案.
9．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：∵点P（m，m+3），
∴点P是直线y=x+3上的动点，
作点Q（0，0）关于直线y=x+3的对称点N（-3，3），连接MN交直线y=x+3于点P，如图，
则PQ=PN，
∴PQ+PM=PN+PM=MN为最小值，
由两点间距离公式得：，
∴PQ+PM的最小值为5．
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等，作点Q（0，0）关于直线y=x+3的对称点N（-3，3），连接MN交直线y=x+3于点P，则MN的长即为PQ+PM的最小值，根据两点间的距离公式进行求解即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠ACB= = ，
∴∠ACB=30°，AC=2AB= ，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE= = .
故答案为：B.
【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求.
11．【答案】x≥ 且x≠1且x≠3
【知识点】分式有意义的条件；零指数幂；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵函数 有意义
∴自变量 必须满足 ．
解得 且 且 ．
故答案为： 且 且 ．
【分析】利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件及零指数幂有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，过F作FG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，∠BAC=∠DAC，
∴EF=DF，
∵BE⊥AD，E为AD中点，
∴AB=DB，，
∴AB=AD=DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，
∴∠DAC=∠BAC=∠EBA=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
即F到AB边的距离为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角可得AB=AD=4，∠BAC=∠DAC；根据角平分线上的点到两边的距离相等可得EF=DF；结合题意可得AB=AD=DB；根据有三条边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都是60°可求得∠DAC=30°；根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可求解.
13．【答案】18；2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故答案为：18；2.
【分析】本题考查了方差与平均数：如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，那么另一组数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为，方差为a2S2.
14．【答案】①③④
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵A B=B C=C D=D B，
∴x1y1+x2y2=x2y2+x3y3=x3y3+x4y4=x4y4+x2y2，
∴x1y1=x2y2=x3y3=x4y4，
∴点A，B，C，D在同一个反比例函数的图象上，
则OA=OB=OC=OD，
∴AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵AC与BD不是垂直的关系，
∴四边形ABCD不可能是菱形和正方形；
∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
∴以A，B，C，D为顶点的四边形可以是平行四边形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形．
故答案为：①③④.
【分析】根据定义可求得点A，B，C，D在同一个反比例函数的图象上，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形可推得四边形ABCD不可能是菱形；根据对角线相等的四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，即可得出结论.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连接OB，OD，AE，延长BD交y轴于M，如图：
∵同底等高的两个三角形的面积相等，
∴S△ABD=S△BOD，
又∵，
即；
同理：，
∴S△ACE=S△ABD=2，
∵，
即，
∴，
故答案为：.
【分析】根据同底等高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△BOD，根据反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|；可求得，，即可求得，同理求得，根据， 即可求得.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点Q作QK⊥BC于K．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，
又∵∠PEQ=90°，QK⊥BC，
即∠B=∠QKE=∠PEQ=90°，
∴∠PEB+∠QEK=90°，∠QEK+∠EQK=90°，
∴∠PEB=∠EQK，
∵EP=EQ，∠PEB=∠EQK，∠B=∠QKE，
∴△PBE≌△EKQ（AAS），
∴BE=QK=1，
∴点Q在直线BC的上方到直线BC的距离为1的直线l上运动，
将△ADM绕点D顺时针旋转60°得到△NDP′，连接AN，P′N，P′M，
∵AD=DN，∠ADN=60°，DM=DP′，∠MDP′=60°，
则△ADN，△P′DM都是等边三角形，
∴MA=P′N，MD=MP′，
∴MA+MQ+MD=P′N+MP′+QM，
过点N作NH⊥直线l于H，
根据垂线段最短可知，当N，P′，M，Q共线且与NH重合时，P′N+MP′+QM的值最小，即MA+MQ+MD的值最小，
点N到AD的距离为，
，
故最小值为
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角都是直角推得∠B=∠QKE=∠PEQ=90°，求得∠PEB=∠EQK，根据两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BE=QK=1，根据旋转的旋转可得AD=DN，∠ADN=60°，DM=DP′，∠MDP′=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得MA=P′N，MD=MP′，即可得到MA+MQ+MD=P′N+MP′+QM，根据连接直线外一点和直线上的点中，垂线段最短可得当N，P′，M，Q共线且与NH重合时，MA+MQ+MD的值最小，结合勾股定理即可得出结论.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方；零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1；绝对值：负数的绝对值是其相反数；负整数指数幂：正数a的-r次幂(r为任何正数)定义为a的r次幂的倒数；根据以上定义进行计算，合并同类项即可得出结论.
18．【答案】解：原式
要使分式有意义，不能取1和-1，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
19．【答案】（1）解：设笔打折前售价为，则打折后售价为，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：打折前每支笔的售价是元
（2）解：设购买笔件，则购买笔袋件，
由题意得：
解得：，
答：最多购买支笔．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据打折后购买的数量比打折前多10本，列等式，求解即可得出答案；
（2）利用购买总金额不低于400元，列出不等关系，求解即可得出答案.
20．【答案】（1）解：线段如图所示；
线段如图所示；
（2）解：∵由图可知，AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：平行四边形.
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵A（0，4），C（3，0），
∴平行四边形ABCD的中心坐标为，
代入直线得，，
解得：.
【分析】（1）①先根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数确定出点B的位置，然后连接AB即可；
②根据轴对称的性质找出点A关于直线x=3的对称点，即为所求的点D；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质：平分四边形面积的直线经过平行四边形的中心，求出AC的中点坐标，代入直线y=kx，即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，作于点，
∵四边形是正方形，点在边上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长是．
（2）证明：如图，连接，
四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上，
，，
点、点都在线段的垂直平分线上，
三点，，在同一直线上．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质：正方形的每条边都相等，每个角都是直角可得，，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AF=2，根据等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形底边上的高，斜边上的中线，顶角的角平分线三线合一可得AH=FH=EH=1，求得DH=2，根据勾股定理求得，即可求解；
（2）根据矩形的性质：矩形的四个角是直角；正方形的性质：正方形的每条边都相等可得AE=AG，∠EAG=∠DAB=90°，推得∠DAE=∠BAG，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=AB，推得BA=BF，根据线段垂直平分线的判定：如果一个点到线段两端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，可推得点B，点G、点E都在线段AF的垂直平分线上，即可得出结论.
22．【答案】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，
设直线交y轴于点，
∵，，
∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点P的坐标为或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）先运用待定系数法求一次函数解析式，再运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）联立解析式即可得到一次函数与反比例函数的交点坐标，再根据一次函数的图象和反比例函数的图象即可求解；
（3）设直线交y轴于点，先根据A和B的坐标结合坐标系中两点间的距离即可得到，，，进而根据勾股定理即可求出m的值，进而得到点M的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解。
23．【答案】（1）1；2
（2）解：，，
，
，
根据的结论可知，
当时，的最小值为，
即当时，的最小值为
（3）解：，
和之间的函数关系式为；
四边形是菱形，理由如下：
当时，的值最小，此时，，
，，
，，
又，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）当x＞0时，，
∵，
∴；
当时，有最小值，
此时，即x=1，
故答案为：1；2.
【分析】（1）将原式变为，根据偶次方的非负性即可得到最小值为2，即可求解；
（2） 先将原式进行化简，然后根据（1）的结论即可求解；
（3） 根据割补法求出四边形ABCD的面积，结合（1）的结论求得S最小时，x=3，根据运用菱形的判定：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可得出结论.
24．【答案】（1）-1
（2）证明：由题意，，
．
．
．
．
．
．
（3）解：由得：，
由得：，
把代入得：，
．
．
同理得：，
，
．
、、互不相等，
，
．
【知识点】分式的化简求值；等式的性质；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1），，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为：-1.
【分析】（1）根据等式分別求出b，的值，求得a与c的关系式，代入计算即可；
（2）根据等式求出的值，根据 ，即可证明；
（3）根据等式的性质求出ab+2和b的值，求出，同理求得， ，推得，结合题意求一元二次方程的解即可得出结论.
25．【答案】（1）解：如图，
由得：，，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
点绕点顺时针旋转后对应的点是，
设的解析式为：，
，
，
直线的“旋转垂线”的解析式是：.
（2）证明：如图，
当时，，
当时，，
，
，，
同理可得：，，
由，得，
，
，
，
；
（3）解：如图，
作，作，作于，
，，
直线的解析式为：，
由得，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
点的纵坐标是，
当时，，
，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
当时，，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）求出y=-x+5与x，y轴的交点坐标，然后求得旋转后的点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式即可得出结果；
（2）分别求出l1和l2与x，y轴交点坐标，根据“旋转垂线“的定义列等式，求解即可；
（3）先根据待定系数法求出直线AB的解析式，进而求得直线AC的解析式，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AD=OA，从而得出点D的纵坐标是-6，进而求得点C的坐标，待定系数法求得BC的解析式，即可求得点P的坐标．
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