安徽省芜湖市沈巷中学2023－2024学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题分，共40分）
1．（2023八上·芜湖开学考）已知点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上，且到y轴的距离等于4，那么点的坐标是（ ）
A．（4，2）或（－4，2） B．（4，－2）或（－4，－2）
C．（4，－2）或（－5，－2） D．（4，－2）或（－1，－2）
2．（2023八上·芜湖开学考）下列说法：①都是27的立方根；②的算术平方根是；③；④的平方根是；⑤－9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023八上·芜湖开学考）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4，如果，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·芜湖开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
5．（2023八上·芜湖开学考）如图，点B、D在线段AC上，，E是AB的中点，F是CD的中点，EF＝5，则AB的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2023八上·芜湖开学考）三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·芜湖开学考）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．以上都有可能
8．（2023八上·芜湖开学考）如图，（ ）
A．480 B．500° C．540° D．600°
9．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023八上·芜湖开学考）如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2021七下·西塞山期末）关于x的方程组 的解满足 ，则m的取值范围是 .
12．（2022八上·九龙开学考）如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
13．（2023八上·芜湖开学考）规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），若正方形ABCD经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为 ；对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为 ．
14．（2023八上·芜湖开学考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（2023八上·芜湖开学考）（1）计算：；
（2）解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数解．
16．（2023八上·芜湖开学考）解方程组：
（1）
（2）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（2023八上·芜湖开学考）已知，．
（1）求；
（2）现有，当a＝2，时，求C的值．
18．（2023八上·芜湖开学考） 如图所示，三角形ABC（记作△ABC）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是A（－2，1），B（－3，－2），C（1，－2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
⑴在图中画出；
⑵点的坐标分别为 ▲ 、 ▲ 、 ▲ ；
⑶求△ABC的面积；
⑷若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，请直接写出P点的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（2023八上·芜湖开学考）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
20．（2023八上·芜湖开学考）如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且于点O．延长DF交AB的延长线于点M．
（1）求证：；
（2）若，，求∠C，∠DFE的度数．
六、（本题满分12分）
21．（2020八上·重庆开学考）对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
七、（本题满分12分）
22．（2023八上·芜湖开学考）如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
八、（本题满分14分）
23．（2023八上·芜湖开学考）
（1）如图1，设，则 ；
（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点处，记为∠1，为∠2．
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上 ，
∴点M'的纵坐标为-2，
∵到y轴的距离等于4 ，
∴点M'的横坐标为±4，
∴点M'的坐标为（4，-2）或（-4，-2）。
故答案为：B。
【分析】首先根据点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上，求得点M'的纵坐标，再根据到y轴的距离等于4 ，可求得点M'的横坐标，即可求得点M'的坐标，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：①-3不是27的立方根，所以①不正确；②的算术平方根是，所以②不正确；③ ，所以③正确；④，所以的平方根是±2，所以④不正确；⑤-9是81的一个平方根，但不是算术平方根，所以⑤不正确。综上只有一个是正确的。
故答案为：A。
【分析】根据平方根，算术平方根及立方根的定义分别进行判断，即可得出正确答案的个数。
3．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据【a】的定义，可得，
解不等式可得5≤x＜7.
故答案为：A。
【分析】根据根据【a】的定义，可得，解不等式可求得x的解集，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组
解不等式①得： ，
解不等式②得：x＜4，
∴，
∵方程组恰有3个整数解，
∴，
∴-5＜m≤1；
又∵关于y的方程的解是非负数 ，
∴y=m+3≥0，
∴m≥-3，
∴-3≤m≤1，
∴所有符合条件的整数m有：-3，-2，-1，0，1。
∴-3-2-1+0+1=-5.
故答案为：B。
【分析】首先根据不等式组恰有3个整数解，得出-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，可得m≥-3，可得-3≤m≤1，即可求出所有的整数m，进一步求得整数解即可。
5．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD=，
∴AB=3BD，CD=4BD，
∵点E是AB的中点，点F是CD的中点，
∴BE=DF=2BD，
∴ED=
∴EF==5，
∴BD=2，
∴AB=6。
故答案为：B。
【分析】首先求得ED=，DF=2BD，从而得出EF=，进而得出=5，可求得BD=2，最后得出AB=3BD=6。
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵已知两边分别为：5和8，
∴第三边的取值范围是：3＜x＜13，
又∵x是最长边，
∴x≥8，
∴8≤x＜13。
故答案为：D。
【分析】先根据已知两边确定第三边的取值范围3＜x＜13，再根据x是最长边，从而得出8≤x＜13。
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设截取一个角后的多边形为n边形，根据题意得：
（n-2）×180°=1620°，
∴n=11.
如图所示的截取一个角后的三种情况：
①截取一个角后，多边形的边数不变；
②截取一个角后，边数减少1条边；
③截取一个角后，边数增加1条边。
∴原多边形的边数可能为11条，也可能为12条，还可能为10.
故答案为：D.
【分析】首先求出截取一个角后的多边形的边数，然后结合图形，根据不同的截取方法边数的变化，得出原来的多边形的边数即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解。如图，连接AD，EF，
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠OAD+∠ODA=∠OEF+∠OFE，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴∠OAD+∠2+∠3+∠5+∠1+∠ODA=360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE=360°，
在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠G=180°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE+∠FEG+∠EFG+∠G=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠OEF+∠FEG+∠OFE+∠EFG+∠7=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠4+∠6+∠7=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
故答案为：C。
【分析】连接AD，EF，可以把这7个角，分别归纳在四边形ABCD和△EFG中，从而可求得它们的和为360°+180°=540°。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：①
②
③∠O3=180°-（∠2+∠3）；
∴∠O1+∠O2+∠O3=180°+21°=201°。
故答案为：D。
【分析】根据三角形内角和定理及三角形外角和内角的关系得：从而得出∠O1+∠O2+∠O3=201°。
11．【答案】m＞-2
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：两个方程相减得x-y=m+2，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
则m+2＞0，
解得m＞-2，
故答案为：m＞-2.
【分析】将两方程相减得x-y=m+2，由x＞y可得x-y＞0，即得m+2＞0，求出解集即可.
12．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：设△ABC的面积是a
∵CE=2BE即
∴
又D是AC中点
∴
同理，
∴
∴a=12
故答案为12.
【分析】反复应用等底等高的三角形面积相等定理找到图形间的面积关系。
13．【答案】（-1，-3）；（－3，－3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：
点D的坐标为（3，3），
一次变换后坐标为（-3，-3），
两次变换后点D的坐标为（3，3），
3次变换后点D的坐标为（-3，-3），
......
∵2023为奇数，
∴对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为 （-3，-3）。
故第1空答案为：（-1，-3）；第2空答案为（-3，-3）。
【分析】根据图像变换规律，可得：变换一次，所得正方形各点的坐标与正方形ABCD各点的坐标关于原点对称，所以可得点A变换一次后的坐标为（-1，-3），变换两次后，又回到了原点，所以可以得出变换奇数次，各对应点与正方形ABCD各点关于原点对称，变换偶数次，则与正方形ABCD各点重合，故而得出变换2023次后，点D的坐标应与原正方形中点D关于原点对称，所以变换2023次后点D的坐标为（-3，-3）。
14．【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠PBD=α，则∠ABP=2α，
∴∠ABD=3α，
∵∠BDC=4∠ABD=12α，
∴∠BDE=6α，
∴∠PDC=6α，
∴∠P=∠BDE-∠PBD=5α，
∵∠Q=45°，
∴∠QAC+∠QCA=180°-45°=135°，
∴∠FAC+∠GCA=270°，
∴∠BAC+∠DCA=360°-270°=90°，
又∵∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，
∴12α=3α+90°，
∴α=10°，
∴∠P=5α=50°，
故第1空答案为：50.
【分析】设∠PBD=α，则∠ABP=2α，∠ABD=3α，∠BDC=4，∠ABD=12α，再根据角平分线的定义及三角形外角的性质，得出∠P=5α，然后根据∠Q=45°，推出∠BAC+∠DCA=90°，进而根据∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，得出12α=3α+90°，解方程，即可得出α=10°，即可得出∠P=50°。
15．【答案】（1）解：
=2+3--5+
=0；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：
该不等式组的整数解为：0，1，2，3．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据立方根，算术平方根以及实数的绝对值的性质，进行化简，然后再合并同类二次根式；
（2）分别解不等式①②，求得它们的解集，然后再求它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集。
16．【答案】（1）解：，
，
解得，
把代入①，得，
∴此方程组的解
（2）解：略
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（2）解：
整理①，得：，
②+③，得：6x=18，
∴x=3，
把x=3代入②，得：3×3+2y=10，
∴y=，
所以方程租的解为：.
【分析】（1）用加减消元法消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，可求得x的值，再把x的值代入方程①求得y的值，即可得出方程租的解；
（2）首先整理方程①，得：，再与②联合，利用加减消元法，先消去未知数y，求得x的值，再代入方程②求得y的值，即可得出方程租的解。
17．【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴
，
当a＝2，时，
．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算
【解析】【分析】（1）把B-A代换成两个多项式相减，然后去括号，合并同类项即可；
（2）根据已知条件2A+B-C=0，得：C=2A+B，然后把A和B代换成多项式，进行整式的化简，得出最简形式，然后把a=2，，代入化简后的代数式中，进行计算即可。
18．【答案】解：⑴ 如图，即为所求作．
⑵||．
⑶
⑷如图，满足条件的点P的坐标为（0，1）或（0，－5）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）把点A、B、C分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；
（2）根据点的平移和坐标的变化可得出点A1的坐标为（0，4），B1的坐标为（-1，1），点C1的坐标为（3，1）；
（4）设点P的坐标为（0，m），则丨m-（-2）丨=1-（-2），
∴m=1或m=-5，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，-5）。
【分析】（1）根据平移的方向和单位长度，找到点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；
（2）根据点的平移和坐标的变化可得出点A1、B1、C1的坐标；
（3）根据三角形的面积计算公式，求得三角形的面积即可；
（4）根据两个同底的三角形面积相等，从而得出两个三角形的高相等，设点P的坐标为（0，m），从而得出丨m-（-2）丨=1-（-2），进而求得m的值，即可得出点P的坐标。
19．【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整数部分，
∴．
（2）解：将a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）首先立方根的定义，求得a的值；再根据算数平方根的定义求得b的值，最后根据实数的估算可求出c的值；
（2）根据（1）的结果，代入3a-b+c中，先求出代数式的值，然后根据平方根的定义，得出它的平方根即可。
20．【答案】（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
∵，
∴∠C＝120°，
∵∠BAD＝108°，
∴∠ADC＝72°，
∴
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可求得 ，再根据角平分线的定义求得，然后根据平行线的判定定理即可得出AB∥DC；
（2）首先根据两直线平行，内错角相等，可求得∠C=120°；根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC=72°，再根据角平分线的定义得出∠CDF=36°，进一步根据三角形内角和定理求得∠DFE=180°-120°-36°=24°。
21．【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)①根据题目所给的运算顺序，将已知的两值代入即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；②将已知的运算代入不等式组即可得关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，再根据不等式组恰好有3个整数解，即可求出k的取值范围；
(2)根据题意可得出以a、b为系数关于x、y的关系式，由题意可求出a、b所满足的关系式即可.
22．【答案】解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以，
．
所以
．
所以．
又因为，，
，
，
所以．
所以和是相等的关系．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，可得=90°，得出：，再根据三角形外角的性质得出：，根据三角形内角和定理，得出，从而得出结论：∠BID=∠CIH。
23．【答案】（1）
（2）解：①②如图3，，理由是：∵，∴，∵，∴，∴；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）①如图2，猜想：，理由是：
由折叠得：
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图4，由题意知，
又∵，
，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得出∠1+∠2=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A，再根据三角形内角和定理，得出∠1+∠2=180°+∠A；
（2）①，首先由折叠性质得出，再根据邻补角的性质，得出∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED，从而得出∠1+∠2=2∠A；
②∠1-∠2=2∠A，如图3，AC与A'D的交点标为F，根据三角形外角的性质可推导出：∠1=∠2+∠A'+∠A，根据折叠的性质知，∠A=∠A'，从而得出：∠1-∠2=2∠A；
（3）如图4，由折叠性质和邻补角定义，得出，
再根据三角形内角和定理，得出：，进而得出：，即
1 / 1安徽省芜湖市沈巷中学2023－2024学年八年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题分，共40分）
1．（2023八上·芜湖开学考）已知点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上，且到y轴的距离等于4，那么点的坐标是（ ）
A．（4，2）或（－4，2） B．（4，－2）或（－4，－2）
C．（4，－2）或（－5，－2） D．（4，－2）或（－1，－2）
【答案】B
【知识点】点的坐标；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上 ，
∴点M'的纵坐标为-2，
∵到y轴的距离等于4 ，
∴点M'的横坐标为±4，
∴点M'的坐标为（4，-2）或（-4，-2）。
故答案为：B。
【分析】首先根据点M（3，－2）与点在同一条平行于x轴的直线上，求得点M'的纵坐标，再根据到y轴的距离等于4 ，可求得点M'的横坐标，即可求得点M'的坐标，即可得出答案。
2．（2023八上·芜湖开学考）下列说法：①都是27的立方根；②的算术平方根是；③；④的平方根是；⑤－9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：①-3不是27的立方根，所以①不正确；②的算术平方根是，所以②不正确；③ ，所以③正确；④，所以的平方根是±2，所以④不正确；⑤-9是81的一个平方根，但不是算术平方根，所以⑤不正确。综上只有一个是正确的。
故答案为：A。
【分析】根据平方根，算术平方根及立方根的定义分别进行判断，即可得出正确答案的个数。
3．（2023八上·芜湖开学考）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4，如果，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据【a】的定义，可得，
解不等式可得5≤x＜7.
故答案为：A。
【分析】根据根据【a】的定义，可得，解不等式可求得x的解集，即可得出答案。
4．（2023八上·芜湖开学考）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（ ）
A．－6 B．－5 C．－3 D．－2
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式组
解不等式①得： ，
解不等式②得：x＜4，
∴，
∵方程组恰有3个整数解，
∴，
∴-5＜m≤1；
又∵关于y的方程的解是非负数 ，
∴y=m+3≥0，
∴m≥-3，
∴-3≤m≤1，
∴所有符合条件的整数m有：-3，-2，-1，0，1。
∴-3-2-1+0+1=-5.
故答案为：B。
【分析】首先根据不等式组恰有3个整数解，得出-5＜m≤1；再根据方程的解是非负数，可得m≥-3，可得-3≤m≤1，即可求出所有的整数m，进一步求得整数解即可。
5．（2023八上·芜湖开学考）如图，点B、D在线段AC上，，E是AB的中点，F是CD的中点，EF＝5，则AB的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵BD=，
∴AB=3BD，CD=4BD，
∵点E是AB的中点，点F是CD的中点，
∴BE=DF=2BD，
∴ED=
∴EF==5，
∴BD=2，
∴AB=6。
故答案为：B。
【分析】首先求得ED=，DF=2BD，从而得出EF=，进而得出=5，可求得BD=2，最后得出AB=3BD=6。
6．（2023八上·芜湖开学考）三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵已知两边分别为：5和8，
∴第三边的取值范围是：3＜x＜13，
又∵x是最长边，
∴x≥8，
∴8≤x＜13。
故答案为：D。
【分析】先根据已知两边确定第三边的取值范围3＜x＜13，再根据x是最长边，从而得出8≤x＜13。
7．（2023八上·芜湖开学考）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（ ）
A．10 B．11
C．12 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设截取一个角后的多边形为n边形，根据题意得：
（n-2）×180°=1620°，
∴n=11.
如图所示的截取一个角后的三种情况：
①截取一个角后，多边形的边数不变；
②截取一个角后，边数减少1条边；
③截取一个角后，边数增加1条边。
∴原多边形的边数可能为11条，也可能为12条，还可能为10.
故答案为：D.
【分析】首先求出截取一个角后的多边形的边数，然后结合图形，根据不同的截取方法边数的变化，得出原来的多边形的边数即可。
8．（2023八上·芜湖开学考）如图，（ ）
A．480 B．500° C．540° D．600°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解。如图，连接AD，EF，
∵∠AOD=∠EOF，
∴∠OAD+∠ODA=∠OEF+∠OFE，
在四边形ABCD中，∠BAD+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴∠OAD+∠2+∠3+∠5+∠1+∠ODA=360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE=360°，
在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠G=180°，
∴∠2+∠3+∠5+∠1+∠OEF+∠OFE+∠FEG+∠EFG+∠G=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠OEF+∠FEG+∠OFE+∠EFG+∠7=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠4+∠6+∠7=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.
故答案为：C。
【分析】连接AD，EF，可以把这7个角，分别归纳在四边形ABCD和△EFG中，从而可求得它们的和为360°+180°=540°。
9．（2023八上·芜湖开学考）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在△AOD中：∠D=180°-∠DAO-∠AOD，
在△BOC中：∠B=180°-∠BCO-∠BOC，
∴∠B+∠D=180°-∠DAO-∠AOD+180°-∠BCO-∠BOC=360°-∠DAO-∠BCO-∠AOD-∠BOC，
∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠DAO=2∠PAO，∠BCO=2∠PCO，
又∠AOD=∠BOC，
∴∠B+∠D=360°-2∠PAO-2∠PCO-2∠AOD=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），
AP、CD的交点标为点E，
在△CPE中，
∠P=180°-∠PCO-∠CEP，
∵∠CEP=∠AOD+∠PAO，
∴∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，
∴∠P=（∠B+∠D）。
故答案为：B。
【分析】首先根据三角形内角和定理分别得出∠B=180°-∠BCO-∠BOC，∠D=180°-∠DAO-∠AOD，再根据角平分线的定义和对顶角的性质得出∠B+∠D=2（180°-∠PAO-∠PCO-∠AOD），然后在△CPE中，得出∠P=180°-∠PCO-∠CEP，再根据三角形外角的性质，得出∠P=180°-∠PCO-∠PAO-∠AOD，从而得出结论∠P=（∠B+∠D）。
10．（2023八上·芜湖开学考）如图：①②③中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则（ ）度．
A．84 B．111 C．225 D．201
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】
解：①
②
③∠O3=180°-（∠2+∠3）；
∴∠O1+∠O2+∠O3=180°+21°=201°。
故答案为：D。
【分析】根据三角形内角和定理及三角形外角和内角的关系得：从而得出∠O1+∠O2+∠O3=201°。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2021七下·西塞山期末）关于x的方程组 的解满足 ，则m的取值范围是 .
【答案】m＞-2
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：两个方程相减得x-y=m+2，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
则m+2＞0，
解得m＞-2，
故答案为：m＞-2.
【分析】将两方程相减得x-y=m+2，由x＞y可得x-y＞0，即得m+2＞0，求出解集即可.
12．（2022八上·九龙开学考）如图，中，E为边上一点，，点D为的中点，连接，取的中点F，连接，若四边形的面积是6，则的面积是 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：设△ABC的面积是a
∵CE=2BE即
∴
又D是AC中点
∴
同理，
∴
∴a=12
故答案为12.
【分析】反复应用等底等高的三角形面积相等定理找到图形间的面积关系。
13．（2023八上·芜湖开学考）规定：在平面直角坐标系xOy中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3），C（3，1），若正方形ABCD经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为 ；对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为 ．
【答案】（-1，-3）；（－3，－3）
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称；探索图形规律
【解析】【解答】解：
点D的坐标为（3，3），
一次变换后坐标为（-3，-3），
两次变换后点D的坐标为（3，3），
3次变换后点D的坐标为（-3，-3），
......
∵2023为奇数，
∴对正方形ABCD连续做2023次这样的变换，则点D变换后的坐标为 （-3，-3）。
故第1空答案为：（-1，-3）；第2空答案为（-3，-3）。
【分析】根据图像变换规律，可得：变换一次，所得正方形各点的坐标与正方形ABCD各点的坐标关于原点对称，所以可得点A变换一次后的坐标为（-1，-3），变换两次后，又回到了原点，所以可以得出变换奇数次，各对应点与正方形ABCD各点关于原点对称，变换偶数次，则与正方形ABCD各点重合，故而得出变换2023次后，点D的坐标应与原正方形中点D关于原点对称，所以变换2023次后点D的坐标为（-3，-3）。
14．（2023八上·芜湖开学考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 ．
【答案】50
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设∠PBD=α，则∠ABP=2α，
∴∠ABD=3α，
∵∠BDC=4∠ABD=12α，
∴∠BDE=6α，
∴∠PDC=6α，
∴∠P=∠BDE-∠PBD=5α，
∵∠Q=45°，
∴∠QAC+∠QCA=180°-45°=135°，
∴∠FAC+∠GCA=270°，
∴∠BAC+∠DCA=360°-270°=90°，
又∵∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，
∴12α=3α+90°，
∴α=10°，
∴∠P=5α=50°，
故第1空答案为：50.
【分析】设∠PBD=α，则∠ABP=2α，∠ABD=3α，∠BDC=4，∠ABD=12α，再根据角平分线的定义及三角形外角的性质，得出∠P=5α，然后根据∠Q=45°，推出∠BAC+∠DCA=90°，进而根据∠BDC=∠ABD+∠DCA+∠BAC，得出12α=3α+90°，解方程，即可得出α=10°，即可得出∠P=50°。
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（2023八上·芜湖开学考）（1）计算：；
（2）解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数解．
【答案】（1）解：
=2+3--5+
=0；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：
该不等式组的整数解为：0，1，2，3．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据立方根，算术平方根以及实数的绝对值的性质，进行化简，然后再合并同类二次根式；
（2）分别解不等式①②，求得它们的解集，然后再求它们解集的公共部分，即可得出不等式组的解集。
16．（2023八上·芜湖开学考）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
解得，
把代入①，得，
∴此方程组的解
（2）解：略
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（2）解：
整理①，得：，
②+③，得：6x=18，
∴x=3，
把x=3代入②，得：3×3+2y=10，
∴y=，
所以方程租的解为：.
【分析】（1）用加减消元法消去未知数y，得到关于x的一元一次方程，可求得x的值，再把x的值代入方程①求得y的值，即可得出方程租的解；
（2）首先整理方程①，得：，再与②联合，利用加减消元法，先消去未知数y，求得x的值，再代入方程②求得y的值，即可得出方程租的解。
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（2023八上·芜湖开学考）已知，．
（1）求；
（2）现有，当a＝2，时，求C的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴
，
当a＝2，时，
．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算
【解析】【分析】（1）把B-A代换成两个多项式相减，然后去括号，合并同类项即可；
（2）根据已知条件2A+B-C=0，得：C=2A+B，然后把A和B代换成多项式，进行整式的化简，得出最简形式，然后把a=2，，代入化简后的代数式中，进行计算即可。
18．（2023八上·芜湖开学考） 如图所示，三角形ABC（记作△ABC）在方格中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三个顶点的坐标分别是A（－2，1），B（－3，－2），C（1，－2），先将△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到．
⑴在图中画出；
⑵点的坐标分别为 ▲ 、 ▲ 、 ▲ ；
⑶求△ABC的面积；
⑷若y轴有一点P，使△PBC与△ABC面积相等，请直接写出P点的坐标．
【答案】解：⑴ 如图，即为所求作．
⑵||．
⑶
⑷如图，满足条件的点P的坐标为（0，1）或（0，－5）．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）把点A、B、C分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；
（2）根据点的平移和坐标的变化可得出点A1的坐标为（0，4），B1的坐标为（-1，1），点C1的坐标为（3，1）；
（4）设点P的坐标为（0，m），则丨m-（-2）丨=1-（-2），
∴m=1或m=-5，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，-5）。
【分析】（1）根据平移的方向和单位长度，找到点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；
（2）根据点的平移和坐标的变化可得出点A1、B1、C1的坐标；
（3）根据三角形的面积计算公式，求得三角形的面积即可；
（4）根据两个同底的三角形面积相等，从而得出两个三角形的高相等，设点P的坐标为（0，m），从而得出丨m-（-2）丨=1-（-2），进而求得m的值，即可得出点P的坐标。
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（2023八上·芜湖开学考）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，
∴，，
∴，，
∵c是的整数部分，
∴．
（2）解：将a＝5，b＝2，c＝3代入得：，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值
【解析】【分析】（1）首先立方根的定义，求得a的值；再根据算数平方根的定义求得b的值，最后根据实数的估算可求出c的值；
（2）根据（1）的结果，代入3a-b+c中，先求出代数式的值，然后根据平方根的定义，得出它的平方根即可。
20．（2023八上·芜湖开学考）如图，四边形ABCD中，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，且于点O．延长DF交AB的延长线于点M．
（1）求证：；
（2）若，，求∠C，∠DFE的度数．
【答案】（1）证明：∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴，，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴．
∵，
∴∠C＝120°，
∵∠BAD＝108°，
∴∠ADC＝72°，
∴
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可求得 ，再根据角平分线的定义求得，然后根据平行线的判定定理即可得出AB∥DC；
（2）首先根据两直线平行，内错角相等，可求得∠C=120°；根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠ADC=72°，再根据角平分线的定义得出∠CDF=36°，进一步根据三角形内角和定理求得∠DFE=180°-120°-36°=24°。
六、（本题满分12分）
21．（2020八上·重庆开学考）对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】(1)①根据题目所给的运算顺序，将已知的两值代入即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值；②将已知的运算代入不等式组即可得关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，再根据不等式组恰好有3个整数解，即可求出k的取值范围；
(2)根据题意可得出以a、b为系数关于x、y的关系式，由题意可求出a、b所满足的关系式即可.
七、（本题满分12分）
22．（2023八上·芜湖开学考）如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．
【答案】解：因为AI、BI、CI为三角形ABC的角平分线，
所以，
．
所以
．
所以．
又因为，，
，
，
所以．
所以和是相等的关系．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，可得=90°，得出：，再根据三角形外角的性质得出：，根据三角形内角和定理，得出，从而得出结论：∠BID=∠CIH。
八、（本题满分14分）
23．（2023八上·芜湖开学考）
（1）如图1，设，则 ；
（2）把三角形纸片ABC顶角A沿DE折叠，点A落到点处，记为∠1，为∠2．
①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ；
②如图3，请你写出∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 ．
【答案】（1）
（2）解：①②如图3，，理由是：∵，∴，∵，∴，∴；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）①如图2，猜想：，理由是：
由折叠得：
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）如图4，由题意知，
又∵，
，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得出∠1+∠2=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A，再根据三角形内角和定理，得出∠1+∠2=180°+∠A；
（2）①，首先由折叠性质得出，再根据邻补角的性质，得出∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED，从而得出∠1+∠2=2∠A；
②∠1-∠2=2∠A，如图3，AC与A'D的交点标为F，根据三角形外角的性质可推导出：∠1=∠2+∠A'+∠A，根据折叠的性质知，∠A=∠A'，从而得出：∠1-∠2=2∠A；
（3）如图4，由折叠性质和邻补角定义，得出，
再根据三角形内角和定理，得出：，进而得出：，即
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