2.2基本不等式(第二课时) 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
2.2 基本不等式（第二课时）
基本不等式的应用
第二章 一元二次函数、方程和不等式
一
二
三
学习目标
掌握基本不等式及其变形公式
利用基本不等式解决生活中简单的最值问题
利用基本不等式解决几何最值问题
学习目标
复习回顾
上节课学习的主要内容有哪些？
1、重要不等式与基本不等式的内容：
2、基本不等式的应用条件：
一正、二定、三相等
3、基本不等式的应用：
求最值
新课导入
基本不等式在解决实际问题中有广泛的运用，是解决最大（小）值问题的有利工具。
我们这节课将在掌握基本不等式的内容后进一步学习，运用于生活中的实例。
另外，我们还要学习一些利用基本不等式解决不同类型的数学问题。
新知探究：基本不等式的实际应用
例1 (1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.
解: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m, y m，篱笆的长度为2(x+y)m.
(1) 由已知得xy= 100.
当且仅当 时，等号成立
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
此时x=y=10.
x=y
例1（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.
解: (2) 由已知得2(x+y)= 36，则
矩形菜园的面积为xy m2.
x+y=18
当且仅当x=y时，等号成立
即x=y=9
因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2.
（利用基本不等式解决实际问题）
设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”）
新知探究：基本不等式的实际应用
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 m， m，水池的总造价为z元。根据题意，有
由容积为4800 m3，可得
因此
所以，
当，上式等号成立，此时z。
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价为297600元。
新知探究：基本不等式的实际应用
典型例题：拼凑法求最值
例3
关键：凑项构造“积定”
例4 已知 ,求 的最大值.
解：因为 ,所以 ,
所以
当且仅当 ,即 时,等号成立，
所以 的最大值为 .
典型例题：拼凑法求最值
≤
跟踪练习
暗含和定：x+(10-x)=10
构造和定：4x2+(1-4x2)=1
构造和定：3x+(3-3x)=3
和一定积最大
暗含和定：(3-x)+(x+5)=8
典型例题：常数代换法求最值
例5 （1）已知 ,则 的最小值为( )
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
（2）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_ __.
解： 因为 , , ,
所以 ,
当且仅当 ,即 , 时，等号成立.
所以 的最小值为24.故选C.
解
，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为17.
关键:添1构造“积定”
16
9
例6
典型例题：常数代换法求最值
典型例题：利用基本不等式证明不等式
例7(1) 已知 , 都是正数，求证： ；
易得 （当且仅当 时，等号成立），
（当且仅当 时，等号成立），
则 （当且仅当 时，等号成立）.
证明
例7（2） 已知 ， ， 均为正数，且 ，求证： .
证明 ， ， ，且 ，
，当且仅当 时，取“ ”,
.
典型例题：利用基本不等式证明不等式
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
2.利用基本不等式求最值时，
注意把握 “一正，二定，三相等”
1. 基本不等式