陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题
1．（2023高二下·鄠邑期末）若满足，且为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2023高二下·鄠邑期末）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高二下·鄠邑期末）（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·鄠邑期末）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小
B．残差平方和变小
C．变量x，y负相关
D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱
5．（2023高二下·鄠邑期末）展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．
6．（2023高二下·鄠邑期末）用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于 时”，应假设（ ）
A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于
C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于
7．（2023高二下·鄠邑期末）随机变量ζ的分布列如下图，若则（ ）
A．6 B．2 C．0 D．
8．（2023高二下·鄠邑期末）7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（ ）种.
A．56种 B．84种 C．112种 D．28种
9．（2023高二下·鄠邑期末）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023高二下·鄠邑期末）如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．函数在上的图象越来越陡
B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零
D．在区间上单调递增
11．（2023高二下·鄠邑期末）某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·鄠邑期末）若函数 存在极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为 ．
14．（2023高二下·鄠邑期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
15．（2023高二下·鄠邑期末）由下列事实：
，
，
，
.
……
可得到第个等式合理的猜想是 .
16．（2023高二下·鄠邑期末）一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和.
17．（2023高二下·鄠邑期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
抽取人数 10 20 25 15 18 7 5
有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2
（1）若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计
参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（2023高二下·鄠邑期末）已知函数.
（1）若函数在点处的切线倾斜角为，求a的值；
（2）若在上单调递增，求a的最大值.
19．（2023高二下·鄠邑期末）某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：
月份 1 2 3 4 5 6
昼夜温差(C) 10 11 13 12 8 6
就诊人数(个) 22 25 29 26 16 12
该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(参考公式和数据：
)
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；
（2）已知选取的是1月与6月的两组数据.
①请根据2到5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想
20．（2023高二下·鄠邑期末）在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项.
21．（2023高二下·鄠邑期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：
8 9 10
0.4 0.4 0.2
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
22．（2023高二下·鄠邑期末）已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）证明：在上单调递减；
（3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 得， 为纯虚数，求得
故答案为：D.
【分析】先根据复数除法运算求出，由 为纯虚数得的实部为0，进而求解.
2．【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、 ，，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数求导公式逐一判断.
3．【答案】A
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解： 的几何意义是以为圆心，1为半径在第一象限圆弧和坐标轴围成的面积，.
故答案为：A.
【分析】 的几何意义是以为圆心，1为半径在第一象限圆弧和坐标轴围成的面积，只需求圆面积的四分之一.
4．【答案】B
【知识点】线性相关；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、去掉 后， x，y 的线性相关性加强，相关系数r变大，A错误；
B、残差平方和变小，B正确；
C、散点的分布是从左下到右上，变量x，y正相关，C错误；
D、解释变量x与预报变量y的相关性变强，D错误.
故答案为：B.
【分析】利用散点图分析数据，去掉 后， x，y 的线性相关性加强，根据相关系数r，残差平方和相关性关系定义判断选项.
5．【答案】C
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解： 展开式的通项为，令，得 项的系数为，即，解得a= - 2.
故答案为：C.
【分析】先求 展开式的通项，令求得项的系数等于160进而求出a的值.
6．【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于 ”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于 ”，即反证法时应假设：四个内角都大于
故答案为：
【分析】利用反证法的证明方法得出假设的选项。
7．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得 ，求得，，
又 ， .
故答案为：A.
【分析】根据随机变量的数学期望与方差的定义求解.
8．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：将7支不同的笔分为2，5两组，有种放法；将7支不同的笔分为3，4两组，有种放法，共有种不同的放法 .
故答案为：A.
【分析】先将7支不同的笔分为2，5；3，4两类，再放入不同的笔筒，结合分类加法计算原理求解
9．【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：设向右移动次数为，则，由从0移动到2共移动6次，可知需向右移动4次，向左移动2次，，.
故答案为：C.
【分析】设向右移动次数为，其服从二项分布，进而计算求解.
10．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由导函数的图象可知，在 上单调递增，原函数 在的图象越来越陡，A确
B、左、右侧函数值均为正，不是函数的极值点，B正确；
C、当时，函数值大于0， 在处切线的斜率大于零，C错误；
D、当时，函数值大于0，在上单调递增 ，D正确.
故答案为：C.
【分析】根据导函数的图象与原函数之间的关系，逐一判断选项.
11．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：在女生甲被选中的情况下，基本事件总数，男生乙被选中包含的基本事件个数，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.
故答案为：B.
【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙被选中包含的基本事件个数，结合条件概率的计算方法求解即可.
12．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 .
由题意可知，函数 在定义域 上存在极值点，
由 可得 ，令 ，则 ，
则实数 的取值范围为函数 在 上的值域且满足 ，
对于二次函数 ，当 时， ，
对于二次方程 ，即 ， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导令计算出，构造函数结合二次函数的性质即可求出即，结合根的情况由判别式即可求出a的取值范围。
13．【答案】(k3+5k)+3k(k+1)+6
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】应注意从
变换出归纳假设内容，即 ，变形得
【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析计算即可，难度不大
14．【答案】0.1
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，正态分布密度曲线关于直线对称， .
故答案为： 0.1 .
【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解.
15．【答案】
【知识点】归纳推理；分析法和综合法
【解析】【解答】解：由题意得第i个等式的左边第一项为，第二项每一项的次数都为i，字母a的降幂排列字母b是生幂排列，第i个等式的右边为
第n个等式为 .
故答案为： .
【分析】根据题目等式的特征归纳出第n个等式.
16．【答案】②
【知识点】最小二乘法
【解析】【解答】解：根据最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和 最小.
故答案为： ② .
【分析】根据最小二乘法的定义判断.
17．【答案】（1）解：因为年龄在[70，80）之间抽取的人数为5，有意向购买的人数为2，
从5人中抽取2人的所有基本事件为共种，其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有种，故所求概率为
（2）解：由题意填写2×2列联表为
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75
无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25
总计 55 45 100
所以，
所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】(1)利用古典概型概率公式求解；
(2)根据题意填写2x2列联表，进而计算 ，对照临界值表得出结论.
18．【答案】（1）解：，
函数在点处的切线倾斜角为，则有，
∴；
（2）解：由在上单调递增，可得在上恒成立.
即在上恒成立，
令，
，
解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
∴，即a的最大值为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题意得 ，进而求解a的值；
(2)由 在上单调递增得在上恒成立即 ，令 ， 利用导数求得到a的最大值.
19．【答案】（1）解：设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为，每种情况都是可能出现的，
其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种
所以，则.
（2）解：①由数据求得，，
由公式求得，，
所以，所以关于的线性回归方程为.
②当时，，；
同样，当时，，.
所以，该协会所得线性回归方程是理想的.
【知识点】线性回归方程；回归分析；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)利用列举法和古典概型公式求解；
(2)① 求出 ，， 代入公式求 ，，进而得线性回归方程； ② 利用回归方程分析探究.
20．【答案】（1）解：选①：由题意得，
即，
解得或（负值舍去）；
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.
由，即，
解得
（2）解：展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得，
则常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】 (1)选①，由题意得展开求解n；选②，令得所有项系数的和为0，所以进而求解n；
(2)根据二项展开式的通项公式得 ，令代入求得常数项.
21．【答案】（1）解：两次都命中8环的概率为
两次都命中9环的概率为
两次都命中10环的概率为
设该运动员两次命中的环数相同的概率为
（2）解：的可能取值为8，9，10
，
，
，
的分布列为
8 9 10
0.16 0.48 0.36
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1)分别计算此人连续两次命中8，9，10环的概率，全部相加得即可；
(2) 的可能取值为8，9，10 ，根据独立事件概率乘法公式计算每个取值对应的概率，得到分布列，进而计算数学期望.
22．【答案】（1）解：令，
的定义域为，，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，，
即当时，.
（2）证明：，
，
当时，，则在上单调递减.
（3）证明：设，
，由（2）知在上单调递减，
∵，，
根据零点存在性定理可得；
存在唯一实数使得，
当时，，即则在上单调递增，
当时，，即则在上单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，
∵，，，
∴在和上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有2个实数根.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)令 ， 利用导数研究函数的单调性证明 ；
(2) 对 求导，由时， 得到 在上单调递减；
(3)设 ，对求导，得 ，结合（2）和零点存在性定理证明 方程有且仅有2个实数根.
1 / 1陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题
1．（2023高二下·鄠邑期末）若满足，且为纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：由 得， 为纯虚数，求得
故答案为：D.
【分析】先根据复数除法运算求出，由 为纯虚数得的实部为0，进而求解.
2．（2023高二下·鄠邑期末）下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、 ，，A错误；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据基本初等函数求导公式逐一判断.
3．（2023高二下·鄠邑期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】定积分的简单应用；利用定积分求封闭图形的面积
【解析】【解答】解： 的几何意义是以为圆心，1为半径在第一象限圆弧和坐标轴围成的面积，.
故答案为：A.
【分析】 的几何意义是以为圆心，1为半径在第一象限圆弧和坐标轴围成的面积，只需求圆面积的四分之一.
4．（2023高二下·鄠邑期末）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小
B．残差平方和变小
C．变量x，y负相关
D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱
【答案】B
【知识点】线性相关；散点图；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、去掉 后， x，y 的线性相关性加强，相关系数r变大，A错误；
B、残差平方和变小，B正确；
C、散点的分布是从左下到右上，变量x，y正相关，C错误；
D、解释变量x与预报变量y的相关性变强，D错误.
故答案为：B.
【分析】利用散点图分析数据，去掉 后， x，y 的线性相关性加强，根据相关系数r，残差平方和相关性关系定义判断选项.
5．（2023高二下·鄠邑期末）展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．
【答案】C
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解： 展开式的通项为，令，得 项的系数为，即，解得a= - 2.
故答案为：C.
【分析】先求 展开式的通项，令求得项的系数等于160进而求出a的值.
6．（2023高二下·鄠邑期末）用反证法证明命题“平面四边形四个内角中至少有一个不大于 时”，应假设（ ）
A．四个内角都大于 B．四个内角都不大于
C．四个内角至多有一个大于 D．四个内角至多有两个大于
【答案】A
【知识点】反证法与放缩法
【解析】【解答】“平面四边形四个内角中至少有一个不大于 ”的否定形式为：“平面四边形四个内角中都大于 ”，即反证法时应假设：四个内角都大于
故答案为：
【分析】利用反证法的证明方法得出假设的选项。
7．（2023高二下·鄠邑期末）随机变量ζ的分布列如下图，若则（ ）
A．6 B．2 C．0 D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得 ，求得，，
又 ， .
故答案为：A.
【分析】根据随机变量的数学期望与方差的定义求解.
8．（2023高二下·鄠邑期末）7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（ ）种.
A．56种 B．84种 C．112种 D．28种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：将7支不同的笔分为2，5两组，有种放法；将7支不同的笔分为3，4两组，有种放法，共有种不同的放法 .
故答案为：A.
【分析】先将7支不同的笔分为2，5；3，4两类，再放入不同的笔筒，结合分类加法计算原理求解
9．（2023高二下·鄠邑期末）数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2的位置的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：设向右移动次数为，则，由从0移动到2共移动6次，可知需向右移动4次，向左移动2次，，.
故答案为：C.
【分析】设向右移动次数为，其服从二项分布，进而计算求解.
10．（2023高二下·鄠邑期末）如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．函数在上的图象越来越陡
B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零
D．在区间上单调递增
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由导函数的图象可知，在 上单调递增，原函数 在的图象越来越陡，A确
B、左、右侧函数值均为正，不是函数的极值点，B正确；
C、当时，函数值大于0， 在处切线的斜率大于零，C错误；
D、当时，函数值大于0，在上单调递增 ，D正确.
故答案为：C.
【分析】根据导函数的图象与原函数之间的关系，逐一判断选项.
11．（2023高二下·鄠邑期末）某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：在女生甲被选中的情况下，基本事件总数，男生乙被选中包含的基本事件个数，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.
故答案为：B.
【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙被选中包含的基本事件个数，结合条件概率的计算方法求解即可.
12．（2023高二下·鄠邑期末）若函数 存在极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 .
由题意可知，函数 在定义域 上存在极值点，
由 可得 ，令 ，则 ，
则实数 的取值范围为函数 在 上的值域且满足 ，
对于二次函数 ，当 时， ，
对于二次方程 ，即 ， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导令计算出，构造函数结合二次函数的性质即可求出即，结合根的情况由判别式即可求出a的取值范围。
13．（2023高二下·鄠邑期末）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为 ．
【答案】(k3+5k)+3k(k+1)+6
【知识点】数学归纳法的应用
【解析】【解答】应注意从
变换出归纳假设内容，即 ，变形得
【分析】本题主要考查了数学归纳法，解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析计算即可，难度不大
14．（2023高二下·鄠邑期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 .
【答案】0.1
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，正态分布密度曲线关于直线对称， .
故答案为： 0.1 .
【分析】由正态分布曲线的对称性直接求解.
15．（2023高二下·鄠邑期末）由下列事实：
，
，
，
.
……
可得到第个等式合理的猜想是 .
【答案】
【知识点】归纳推理；分析法和综合法
【解析】【解答】解：由题意得第i个等式的左边第一项为，第二项每一项的次数都为i，字母a的降幂排列字母b是生幂排列，第i个等式的右边为
第n个等式为 .
故答案为： .
【分析】根据题目等式的特征归纳出第n个等式.
16．（2023高二下·鄠邑期末）一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小.①总偏差平方和；②残差平方和；③回归平方和.
【答案】②
【知识点】最小二乘法
【解析】【解答】解：根据最小二乘法求回归方程，是为了使残差平方和 最小.
故答案为： ② .
【分析】根据最小二乘法的定义判断.
17．（2023高二下·鄠邑期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80]
抽取人数 10 20 25 15 18 7 5
有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2
（1）若从年龄在[70，80）的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表（填写在答题卡上），并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
总计
参考数据：，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：因为年龄在[70，80）之间抽取的人数为5，有意向购买的人数为2，
从5人中抽取2人的所有基本事件为共种，其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有种，故所求概率为
（2）解：由题意填写2×2列联表为
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 总计
有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75
无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25
总计 55 45 100
所以，
所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；2×2列联表
【解析】【分析】(1)利用古典概型概率公式求解；
(2)根据题意填写2x2列联表，进而计算 ，对照临界值表得出结论.
18．（2023高二下·鄠邑期末）已知函数.
（1）若函数在点处的切线倾斜角为，求a的值；
（2）若在上单调递增，求a的最大值.
【答案】（1）解：，
函数在点处的切线倾斜角为，则有，
∴；
（2）解：由在上单调递增，可得在上恒成立.
即在上恒成立，
令，
，
解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，
∴，即a的最大值为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题意得 ，进而求解a的值；
(2)由 在上单调递增得在上恒成立即 ，令 ， 利用导数求得到a的最大值.
19．（2023高二下·鄠邑期末）某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：
月份 1 2 3 4 5 6
昼夜温差(C) 10 11 13 12 8 6
就诊人数(个) 22 25 29 26 16 12
该院确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(参考公式和数据：
)
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；
（2）已知选取的是1月与6月的两组数据.
①请根据2到5月份的数据，求出就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程；
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想
【答案】（1）解：设“抽到相邻两个月的数据”为事件，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别为，每种情况都是可能出现的，
其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种
所以，则.
（2）解：①由数据求得，，
由公式求得，，
所以，所以关于的线性回归方程为.
②当时，，；
同样，当时，，.
所以，该协会所得线性回归方程是理想的.
【知识点】线性回归方程；回归分析；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)利用列举法和古典概型公式求解；
(2)① 求出 ，， 代入公式求 ，，进而得线性回归方程； ② 利用回归方程分析探究.
20．（2023高二下·鄠邑期末）在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答.条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项.
【答案】（1）解：选①：由题意得，
即，
解得或（负值舍去）；
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0.
由，即，
解得
（2）解：展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得，
则常数项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】 (1)选①，由题意得展开求解n；选②，令得所有项系数的和为0，所以进而求解n；
(2)根据二项展开式的通项公式得 ，令代入求得常数项.
21．（2023高二下·鄠邑期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：
8 9 10
0.4 0.4 0.2
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：两次都命中8环的概率为
两次都命中9环的概率为
两次都命中10环的概率为
设该运动员两次命中的环数相同的概率为
（2）解：的可能取值为8，9，10
，
，
，
的分布列为
8 9 10
0.16 0.48 0.36
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；概率分布列
【解析】【分析】(1)分别计算此人连续两次命中8，9，10环的概率，全部相加得即可；
(2) 的可能取值为8，9，10 ，根据独立事件概率乘法公式计算每个取值对应的概率，得到分布列，进而计算数学期望.
22．（2023高二下·鄠邑期末）已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）证明：在上单调递减；
（3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根.
【答案】（1）解：令，
的定义域为，，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，，
即当时，.
（2）证明：，
，
当时，，则在上单调递减.
（3）证明：设，
，由（2）知在上单调递减，
∵，，
根据零点存在性定理可得；
存在唯一实数使得，
当时，，即则在上单调递增，
当时，，即则在上单调递减，
所以在处取得极大值也是最大值，
∵，，，
∴在和上各有一个零点，
即当时，方程有且仅有2个实数根.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)令 ， 利用导数研究函数的单调性证明 ；
(2) 对 求导，由时， 得到 在上单调递减；
(3)设 ，对求导，得 ，结合（2）和零点存在性定理证明 方程有且仅有2个实数根.
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