(共22张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解对数的概念，掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化，能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地，如果 ，且 ，那么数 叫做以 为底
的对数，记作__________，其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
2.两种特殊的对数:
名称 定义
常用对数
自然对数
10
名师点睛
“ ”同 、-、×等符号一样，表示一种运算，即已知一个底数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面.
过关自诊
1.为什么 ,且 中 时才能有意义？
提示 依据对数的定义,若 ,且 ,则 ,对于 ,且 ,
不论 取何实数总有 ,故需 .
2.对数式 与 的意义一样吗？
提示 表示以3为底2的对数, 表示以2为底3的对数,意义不一样.
3.在对数式 中,实数 的取值范围是____________.
[解析] 由题意可知 解得 ,且 .
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
（1）当 ， 时， .
（2）对数恒等式： .
2.对数的基本性质
（1）负数和0没有对数.
（2）对于任意的 ，且 ，都有 ， ， .
名师点睛
1.对数恒等式的特点:（1）指数中含有对数形式；（2）同底，即幂的底数和对数的底数相同；（3）其结果为对数的真数.
2. ， 可简述为“1的对数等于0，底的对数等于1”.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）只有负数没有对数.( )
×
（2）底数不同的两个对数值可能相等.( )
√
2.（1）式子 的值是( )
D
A. B. C. D.3
（2）若 ,则 ___.
2
[解析] 由已知得 ,故 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化:
（1） ;
解 .
（2） ;
.
（3） ;
.
（4） .
.
规律方法 将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
变式训练1 将下列指数式与对数式互化:
（1） ;
解 .
（2） ;
,即 .
（3） ;
,即 .
（4） ;
.
（5） ,且 , .
,且 , .
探究点二 利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中 的值:
（1） ;
解 ,
, ,
（2） ;
, , .
（3） ;
, , .
（4） .
, ,
规律方法 求对数式 ,且 , 中的有关量的方法：
将 写成指数式 后将 写成以 为底的指数幂 ,则 ,即 .
变式训练2 求下列各式中的 值:
（1） ;
解 ,
, .
（2） ;
, , , .
（3） ；
, ,即 , .
（4） .
, .
探究点三 利用对数的基本性质与对数恒等式求值
【例3】 求下列各式中 的值:
（1） ;
解 , , .
（2） ;
, , .
（3） .
由 得 ,解得 .
规律方法 1.利用对数性质求解两类问题的解法:
（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外,逐步脱去“ ”后再求解,如求
的值,先求 的值,再求 的
值.
（2）注意结论的应用：若 ,则 ；若 ,则
，其中 ,且 .
2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式
,且 , 的应用.
变式训练3 求下列各式中 的值:
（1） ;
解 , , .
（2） ;
, , .
（3） .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）对数的概念.
（2）两种特殊对数：常用对数、自然对数.
（3）指数式与对数式的互化.
（4）对数恒等式及对数的基本性质.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的取值范围.(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］ ( )
C
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 原式 .
2.［探究点一］已知 , 为正实数,则( )
D
A. B.
C. D.
3.［探究点一］ ( )
C
A.1 B.4 C.5 D.7
[解析] 原式 .
故选C.
4.［探究点二］已知 , ,则 的值为( )
A
A.3 B.8 C.4 D.
[解析] 由 得 ,
.
5.［探究点三］已知 ,且 ,则实数 的值为( )
D
A.6 B.9 C.12 D.18
[解析] , , ,
, , , , .
6.［探究点一］设 , 且 , , .试用 , 表示
________.
[解析] , ,
.
7.［探究点二］ ___.
3
[解析]
.
8.［探究点四］2021年长征号运载火箭成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送
入预定轨道,在考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 （单位: ）和燃料的质量
（单位: ）、火箭（除燃料外）的质量 （单位: ）满足的函数关系是
.若火箭的最大速度为 ,试求燃料质量与火箭质量（除燃
料外）的比值.（参考数据: ）（保留小数点后三位有效数字）
解 由 ,可得 ,所以
.
所以燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值为0.018.
B级 关键能力提升练
9.设 , ,则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] , ,
, , .故选
D.
10.（多选题）设 , , 都是正数，且 ，那么( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 由题意,设 ,则 , , .
由 ,可得 ,因为
,故A正确,B错误;
, ,故
,故C错误;
, ,故 ,故D正
确.
11.已知 ,若 , ,则 ___, ___.
4
2
[解析] ,
或 .
, , .
, , .
, , .
12.解下列对数方程.
（1） ；
解 由 ,
得
即
解得 或 （舍）.
（2） .
由 ,且 ,得 ,令 ,得
,即 ,
解得 或 .当 时,可得 ,即 ；
当 时,可得 ,即 .
经检验 , 均符合题意.
故原方程的解为 或 .
13.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低
对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量 （单位： ）与过滤时间
（单位： ）间的关系为 （ , 均为非零常数, 为自然对数的底数）,
其中 为 时的污染物数量.若经过 过滤后还剩余 的污染物.
（1）求常数 的值；
解 由已知得当 时, ；
当 时, .于是有 ,解得 （或 ）.
（2）试计算污染物减少到 至少需要多长时间.（精确到 ）
（参考数据： , , , ,
）
由（1）知 ,当 时,有 ,解得
.故污染物减少到 至少需要 .
C级 学科素养创新练
14.已知 ,若 .
（1）试用 , 表示 ；
解 由换底公式,得 ,
所以 .
当 时, ,所以 .
所以 .
（2）若当 时, 有最小值8,求 和 的值.
,因为 , ,所以当 时, .所以 ,此时
.(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］方程 的解是( )
A
A. B. C. D.9
[解析] , , .
2.［探究点二］ 等于( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] .故选B.
3.［探究点一］（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是( )
ABD
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
[解析] 应转化为 .
4.［探究点三］（多选题）下列式子中正确的是( )
AB
A. B.
C.若 ,则 D.若 ,则
[解析] , ,A正确；
, ,B正确；
若 ,则 ,C不正确；
若 ,则 ,D不正确.
5.［探究点三］若 ,则 ___.
1
[解析] 由 得 ,即 ,所以 .
6.［探究点一］将下列指数式与对数式互化:
（1） ；
解 ；
（2） ；
；
（3） ；
；
（4） .
.
7.［探究点二］求下列各式的值:
（1） ;
解设 ,则 ,即 ,
, ,即 .
（2） ;
设 ,则 .
,即 .
（3） .
设 ,则 ,即 , .
设 ,则 ,
.
B级 关键能力提升练
8.若 , 且 ,则 的值是( )
C
A.15 B.75 C.45 D.225
[解析] 由 ,得 ,由 ,得 ,
.
9.函数 的定义域是( )
A
A. B. ,
C. D.
[解析] 要使函数有意义，则 解此不等式组可得 且 且 ,
故函数的定义域是 .故选A.
10.对于 ,且 ,下列说法正确的是( )
C
①若 ,则 ；②若 ,则 ；③若
,则 ；④若 ,则 .
A.①② B.②③④ C.② D.②③
[解析] ①中若 , 小于或等于0时, 不成立；②正确；③中 与 也可能互为相反数，所以错误；④中当 时错误.
11.（多选题）下列函数中,与 是同一个函数的是( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 的定义域为 ,值域为 ,函数 的定义域为 ,故是同一函数；
函数 ,与 解析式、值域均不同,故不是同一函数；函数
,且定义域为 ,对应关系相同，故是同一函数； 的定义
域为 ,与函数 的定义域不相同,故不是同一函数.
故选 .
12.已知 ,则 , 的大小关系是( )
A
A. B. C. D.不确定
[解析] 因为 ,
所以 .所以 .
又因为 ,所以 .所以 .
因为 ，所以 .故选A.
13. 的值等于_____.
[解析]
14.若正数 , 满足 ,则 _____.
108
[解析] 设 ,则 , , ,即 , , ,
, .
15.已知 ,求证： 或 .
证明 设 ,则 , ,因此 .因为 , , 所以 ,即 .
当 时, ；当 时, ,即 .
综上可知 或 .
C级 学科素养创新练
16.解关于 的方程 .
解设 ,则原方程可化为 ,
解得 或 ,所以 或 ,
所以 或 .
17.若 ,试确定 , ,
的大小关系.
解由 ,得 , ,
由 ,得 , ,
由 ,得 , , ,因为 ,
， ,且 ,所以 .(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解对数运算性质，并能运用运算性质化简、求值.
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能运用运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数的运算性质
条件
性质
名师点睛
1.逆向应用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简.
2.对于每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成
立.如 是存在的，但 与 均不存在,不能写成
.
3.性质（1）可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况，即
.
其中 ,且 , , .
过关自诊
1.求值: .
解 原式
.
2.［北师大版教材习题］用 , , 表示下列各式:
（1） ;
解 .
（2） ;
.
（3） .
.
知识点2 对数换底公式
，且 ； ； ，且 .
名师点睛
1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进
行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条
件来确定，一般换成以10为底或以 为底的对数.
3.任何对数均可用常用对数表示，即 ,且 , .
4.任何对数均可用自然对数表示，即 ,且 , .
过关自诊
1.对数换底公式 ,且 ; ; ,且 中，对新的底数
该怎样理解？
提示 新的底数 是一个大于零且不等于1的任意常数,与原来的底数 没有关系.
2. ___.
4
[解析] .
3. ___.
2
[解析] 原式 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值:
（1） ;
解 （方法1）原式 .
（方法2）原式 .
（2） .
原式 .
规律方法 对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
（1）“收”,将同底的两个对数的和（差）收成积（商）的对数;
（2）“拆”,将积（商）的对数拆成对数的和（差）.
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯 在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
变式训练1 计算下列各式的值：
（1） ；
解 .
（2） .
原式 .
探究点二 换底公式的应用
【例2】 ［北师大版教材例题］计算:
解 根据对数的换底公式,得
（1） ;
.
（2） ;
.
（3） , ,且 , .
.
规律方法 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式训练2 计算:
（1） ;
解 原式 .
（2） .
原式 .
探究点三 有附加条件的对数求值问题
【例3】（1） 若 ,且 ,求 的值.
解 由题意得， ,且 ,
, .
, .
.
（2）已知 , , 是不等于1的正数，且 ， ,求 的值.
设 ,由题意得， ,且 .
, , 是不等于1的正数，
, , .
, , .
, , .
, ,
即 .
规律方法 有附加条件的求值问题的解题策略
带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化进行解题.
变式训练3（1） 若 ,求 的值.
解 , ,
,
.
（2）已知 ,求证: .
证明 设 ,由题意得， ,且 .
则 , , .
所以 , , .
故 .
探究点四 对数运算在实际中的应用
【例4】 物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压 帕作
为参考声压，把所要测量的声压 （单位：帕）与参考声压 的比值取常用对数后乘20
得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝 .分贝值
在60以下为无害区，说明声音环境优良， 为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝 与声压 的函数关系式.
解 由已知得 （其中 ）.
（2）某地声压 帕，则该地为以上所说的什么区？
当 时， （分贝）.
40分贝小于60分贝,所以此地为声音无害区.
（3）假若某精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某工作人员用仪器测得其中
一次掌声的声压级达到了90分贝，试求此时会场内的声压是多少.
附： .
由题意，得 ,则 ,
所以 （帕）,
即此时会场内的声压约是0.63帕.
规律方法 解决对数应用题的一般步骤
变式训练4 一台机器原价20万元，由于磨损，该机器每年比上一年的价值降低 ，
问经过多少年这台机器的价值为8万元？
解 设经过 年，这台机器的价值为8万元,则 ,即 ,
两边取以10为底的对数，得 （年）.
所以约经过10年这台机器的价值为8万元.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）对数的运算性质.
（2）换底公式及换底公式的推论.
2.方法归纳:“1”的代换、统一底数法.
3.常见误区:
（1）要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件；（2）注意换底公式成立的
条件.
