(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] , ,当 时, ；当 时, ,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值总是异号.故选 .
2.［探究点一］若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分
法计算,其参考数据如下：
那么方程 的一个近似根（精确度 ）为( )
A
A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5
[解析] 由表格中参考数据可得 , ,又因为题中要求精
确度为 ,所以近似根为 ,故选A.
3.［探究点一］（多选题）已知函数 在区间 上有唯一的零点,其中 ,在
用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为 , , ,则下列
说法正确的是( )
ABD
A.函数 在区间 内可能有零点 B.函数 在区间 内可能有零点
C.函数 在 内无零点 D.函数 的零点可能是
[解析] 根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在
或 中,或 ,故选 .
4.［探究点三］ 的近似值（精确度 ）为_____________________.
（答案不唯一）
[解析] 令 .
因为 , ,所以方程 在区间 上有实数解,如此
下去, , , ,
.因为 ,所以我们
可以选取区间 内的任意一个数作为方程 的一个近似解.例
如,可以选取1.625作为方程 的一个近似解.
即1.625为满足精确度0.1的 的近似值.
5.［探究点二］已知函数 在 上单调递增,用二分法求方程
的正根（精确度 ）.
解 由于函数 在 上单调递增,故在 上也单调递增,因此 的正根最多有一个.
因为 , ,所以方程的正根在 内,取 为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
0.5 0.732
0.25
0.375 0.328
0.124
0.021
因为 ,所以方程的正根的近似值为 ,即 的正根约为 .
6.［探究点三］已知函数 .
（1）证明： 有且只有一个零点；
证明 令 ,则 , , ,
,即 在 上是增函数, 至多有一个零
点.
又 , ,
,即 在 内有一个零点.
在 上有且只有一个零点.
（2）求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于 .
解 , ,取 , ,
,即 零点 .
取 ,则 .
.
又 , 满足题意的区间为 .
B级 关键能力提升练
7.在用二分法求 的近似值的过程中,可以构造函数 ,我们知道
,所以 ,要使 的近似值满足精确度为 ,则对区间 至
少二等分的次数为( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 设要计算 次,则 满足 ,即 .故计算4次就可满足要求.
所以将区间 至少等分的次数为4.故选B.
8.用二分法求方程 在 上的根时,取中点 ,则下一个有根区间为
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令 ,因为 ,
,
,
所以下一个有根区间为 .故选D.
9.（多选题）若函数 的图象是连续的，且函数 的唯一零点同时在区间
， ， ， 内，则与 符号不同的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 由二分法的步骤可知：①零点在区间 内，则有 ，不妨设
， ，取中点2;②零点在区间 内，则有 ，则
， ，取中点1;③零点在区间 内，则有 ，则
， ，取中点 ;④零点在区间 内，则有 ，则
， ，取中点 ;⑤零点在区间 内，则有 ，则
， ，所以与 符号不同的是 ， ， .
10.已知 在区间 上有一个零点 ,则 ___.若用二分
法求 的近似值（精确度 ）,则至少需要将区间等分___次.
1
7
[解析] 在 上为减函数,
又 , ,
所以 的零点 ,故 .
设至少需等分 次,则 且 ,解得 ,故至少需等分7次.
11.证明函数 , 有零点,并指出用二分法求零点的近似值
（精确度小于 ）时,至少需要进行多少次函数值的计算.
解 因为 , ,所以
,所以函数 在区间 上有零点 .
至少需要进行3次函数值的计算,理由如下：
取区间 的中点 ,且 ,所以
.
取区间 的中点 ,
且 ,
所以 .
取区间 的中点 ,
且 ,
所以 .
因为 ,所以区间 的中点 即为零点的近似
值,即 ,所以至少需进行3次函数值的计算.
C级 学科素养创新练
12.已知函数 .
（1）判断函数 在区间 上的单调性,并用定义证明.
解 函数 在区间 上是增函数.
理由如下：令 ,由于 ,即
,
故函数 在区间 上是增函数.
（2）函数 在区间 内是否有零点？若有零点,用二分法求
零点的近似值（精确度 ）；若没有零点,请说明理由.
（参考数据： , , , ,
, ）
易知 在 内是单调递增的.
, ,
,
函数 在区间 内有且只有一个零点.
,
, 函数的零点在
内.
,
零点的近似值为 .（函数 的零点近似值取区间 中的任意一个
数都可以）(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 ,要增长到原来的
倍,需经过 年,则函数 的图象大致是( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为 ,由题意知 ,即
,所以函数 的图象大致为D中图象.
2.［探究点三］有一组实验数据如下:
1.99 3.00 4.00 5.10 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当 时,选项A中的 ,
选项B中的 ,
选项C中的 ,
选项D中的 ,故选C.
3.［探究点二］（多选题）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 ，
而这种溶液最初的杂质含量为 ，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 ，则
使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据: ， ）
( )
BC
A.6 B.9 C.8 D.7
[解析] 设经过 次过滤，产品达到市场要求，则 ，即 ，
由 ，即 ，得 .
4.［探究点三］某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第
三个月销售了400台,第四个月销售了790台,第五个月销售了1 600台,则下列函数模型中
能较好地反映销量 与投放市场的月数 之间关系的是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
5.［探究点一］已知某个病毒经 可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为
（其中 为常数, 表示时间,单位: , 表示病毒个数）,则 ______,经过 ,
1个病毒能繁殖_______个.
1 024
[解析] 当 时, ,
, ,
当 时, .
6.[探究点二·2023山东济南历下期末] 某健身机构推出线上服务,健身教练进入直播间,
线上具有获客、运营、传播等便利,线下具有器械、场景丰富等优势,线上线下相互赋能,
成功吸引新会员、留住老会员.据机构统计,当直播间吸引粉丝量不低于2万人时,其线下
销售健身卡的利润 （单位:万元）随粉丝量 （单位:万人）的变化情况如下表所示.根
据表中数据,我们用函数模型 进行拟合,建立 关于 的函数解析式.
请你按此模型估测,当直播间的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为_ __万
元.
3 5 9
[解析] 由题意得 经过 , ,则将
代入 中,得 解得
函数模型为 .
当 时, .
故当直播间的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为 万元.
7.［探究点一］物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温
度是 ,经过一定时间 后的温度是 ,则 ,其中 表示环境温
度, 称为半衰期.现有一杯用 热水冲的速溶咖啡,放在 的房间中,如果咖啡降
温到 需要 ,那么降温到 时,需要多少时间？（参考数据: ,
）
解 由题意知 ,
即 ,解得 .
故 .
当 时,代入上式,得 ,即 .
两边取对数,求得 .
因此,降温到 约需要 .
B级 关键能力提升练
8.某化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产 ,二月份比一月份减产 ,则二月
份产量为( )
B
A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨
[解析] 因为化工原料厂原来月产量为100吨,月份增产 ,所以一月份的产量为
（吨）.又因为二月份比一月份减产 ,
所以二月份的产量为 （吨）.故选B.
9.已知比较适合生活的安静环境的声强级 （噪音级）为 分贝（符号： ）,
声强 （单位： ）与声强级 （单位： ）的函数关系式为 ,
为常数 .某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为 ,声强级为 ,驶进市
区附近降低速度后的声强为 ,声强级为 ,若要使该高铁驶入市区时的
声强级达到安静环境要求,则声强的最大值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知 解得 , ,所以
,所以当 取最大值40时, 取得最大值
,故选B.
10.（多选题）[2023山东济南历下期末] 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称
美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种
相互转化、相对统一的和谐美.定义:圆 的圆心在原点,若函数的图象将圆 的周长和
面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆 的一个“太极函数”,则下列说法正确的是
( )
BD
A.对于圆 ,其“太极函数”有且只有1个
B.函数 是圆 的一个“太极函数”
C.函数 不是圆 的“太极函数”
D.函数 是圆 的一个“太极函数”
[解析] 对于选项A,圆 的“太极函数”不止一个,故选项A错误;
对于选项B,由于函数 当 时, ；
当 时, ,故 为奇函数,
所以根据对称性可知函数 为圆 的一个“太极函数”,故选项B
正确;
对于选项C,函数 的定义域为 , ,
也是奇函数,故函数 是圆 的“太极函数”,故选项C错误;
对于选项D,函数 的定义域为 ,
,
也是奇函数,故函数 是圆 的“太极
函数”,故选项D正确.故选 .
11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,
经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为 为浓度单位,
表示百万分之一 ,经检验知,该地下车库一氧化碳浓度 （单位： ）与排气
时间 （单位：分钟）之间存在函数关系 为常数 ，则 _ _；若空气
中一氧化碳浓度不高于 为正常,那么至少需要排气____分钟才能使这个地下车
库中一氧化碳含量达到正常状态.
32
[解析] 函数 为常数 经过点 ,
,解得 .故 .
由 ,解得 .
故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
12.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表：
震级/里氏 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度 和震级 的模拟函数关系可以选用 （其中 , 为常数）.利用
散点图可知 的值等于_ _.（取 进行计算）
[解析] 由记录的部分数据可知 时, , 时,
.
所以
,得 , .
所以 .
13.如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质
的剩留量 与净化时间 （单位：月）的近似函数关系：
, ,且 .有以下叙述：
①第4个月时,剩留量会低于 ；②每月减少的有害物质量都
相等；③若剩留量为 , , 所经过的时间分别是 , , ,则
①③
.
其中所有正确的叙述是______.（填序号）
[解析] 由图象可得,当 时, ,即 ,
解得 .故 .
所以当 时,有害物质的剩余量为 ,所以①正确；
第一个月的减少量为 ；
第二个月的减少量为 ,显然两者不同,所以②错误；
③由已知 , , ,所以 ,即
,所以 ，故③正确.
14.为了给广大市民提供优质的饮用水,某矿泉水厂特别重视生产过程的除杂质工序,过
滤前水含有杂质 （其中 为常数）,每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少 ,设
水过滤前的量为1,过滤次数为 时,水的杂质含量为 .
（1）写出 与 的函数关系式；
解 因为每经过一次过滤均可使水的杂质含量减少 ,所以每次过滤后所含的杂质是前一
次的 ,故 , .
（2）假设出厂矿泉水的杂质含量不能超过 ,问至少经过几次过滤才能使矿泉
水达到要求？（参考数据： , ）
设至少经过 次过滤才能使矿泉水达到要求,则
,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,又 ,所以 .
故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求.
C级 学科素养创新练
15.某地区为响应上级号召,在2022年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房面积的年平均增长率只能达到 .
（1）设经过 年后,该地区的廉价住房面积为 万平方米,求 的表达式,并求此
函数的定义域.
解 经过1年后,廉价住房面积为 ；
经过2年后为 ；……
经过 年后,廉价住房面积为 ,
所以 .
（2）作出函数 的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房面积能
达到300万平方米？
作函数 的图象,如
图所示.
作直线 ,与函数 的图象交
于 点,则 , 点的横坐标 的值就是函数
值 时所经过的时间 的值.因为 ,则
取 ,即经过9年后,该地区的廉价住房面积能达到
300万平方米.(共25张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 二分法
1.定义:对于在区间 上______________且_____________的函数 ，通
过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下:
（1）确定零点 的初始区间 ，验证 ；
（2）求区间 的中点 ；
图象连续不断
（3）计算 ，并进一步确定零点所在的区间:
①若 （此时 ），则 就是____________；
②若 （此时 ），则令______；
③若 （此时 ），则令______.
（4）判断是否达到精确度 若 ，则得到零点近似值 （或 ）；否则
重复步骤（2）～（4）.
函数的零点
过关自诊
1.是否所有的函数的零点都可以用二分法求解？
提示 不是,只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零点左右函数值异号时,才能应用“二分法”求函数零点.
2.[2023湖北荆州期末] 下列函数图象与 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零
点的是( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 由二分法的定义知,若函数 在区间 上连续,且满足 ,则
可以利用二分法求函数 的零点的近似值,故选项A不能用二分法求图中函数零点.
故选A.
3.用二分法求函数 的一个正实数零点时,经计算 , ,
,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
B
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
[解析] 由题意可知函数的零点在区间 内,四个选项中只有0.7满足
.故选B.
4.[2023辽宁沈阳月考] 已知函数 在 上有零点,用二分法
求零点的近似值（精确度小于 ）时,至少需要进行___次函数值的计算.
4
[解析] 设对区间 二等分 次,初始区间长度为1,
第1次计算后区间长度为 ；
第2次计算后区间长度为 ；
第3次计算后区间长度为 ；
第4次计算后区间长度为 .
故至少计算4次.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 二分法概念的理解
【例1】（1） 若二次函数 存在零点，且能够利用二分法求得此
零点，则实数 的取值范围是_ _______.
[解析] 由题意知， ,即 .
（2）若函数 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数
据如下:
则方程 的一个近似解（精确度 ）可以为( )
C
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
[解析] 由参考数据可知 ,
且 ,所以当精确度为0.1时,可以将 作为函数
零点的一个近似值,也即为方程 的一个近似解.
规律方法 1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.
变式训练1（1） 下列函数中不能用二分法求零点的是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 因为 ,所以在零点的左右两侧函数值同号,不
能用二分法求其零点,故选C.
（2）用二分法求函数 在区间 上的唯一零点近似值时,已知 ,
取区间 的中点 ,计算得 ,则函数零点所在的区间是
( )
B
A. B. C. D.无法确定
[解析] 由 , 知 .
故函数零点所在的区间是 .
探究点二 用二分法求函数的零点的近似值
【例2】 求函数 的负零点的近似值（精确度 ）.
解 由于 , ,故取区间 作为计算的初始区间.用二
分法逐次计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数值（近似值）
1.25
由于 ,
所以函数的一个近似负零点可取 .
变式探究 求本例中的精确度改为0.2时,负零点的近似值.
解 由【例2】的表格可知,区间 的长度为 ；区
间 的长度 ,所以这个区间的两个端点
值就可以作为其近似值,所以其近似值可取 .
规律方法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图
（1）依据图象估计零点所在的初始区间 （这个区间既要包含所求的解,又要
使其长度尽可能地小,区间的端点尽量为整数）.
（2）取区间端点的平均数 ,计算 ,确定有解区间是 还是 ,逐步缩
小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求（这个过程中应及时检验所得区间端
点差的绝对值是否达到给定的精确度）,才终止计算,得到函数零点的近似值（为了比较
清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法）.
探究点三 转化与化归思想在二分法中的应用
【例3】 求 的近似值（精确度 ）.
解 设 ,则 .令 ,
则函数 零点的近似值就是 的近似值.
以下用二分法求其零点的近似值.
由于 , ,故可以取区间 为计算的初始区间.用二分法逐
次计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数值 （近似值）
1.5 1.375
1.25
1.375
由于区间 的长度为
,
所以 的近似值可以取 .
规律方法 1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的
零点,通过二分法求解.
2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度
.
变式训练2 求 的近似值（精确度 ）.
解 设 ,则 .令 ,则函数 零点的近似值就是 的近
似值.由于 , ,因此可取区间 为计算的初始区间.
用二分法逐次计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数值（近似值）
1.5
1.25
1.375
因为区间 的长度为 ,所以 的近似值可以取 .
续表
探究点四 二分法的实际应用
【例4】 现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平（无砝码）,限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称？
解 先在天平左右各放4个球.有两种情况：
（1）若天平平衡,则“坏球”在剩下的4个球中.
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端,
①若仍平衡,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重；
②若不平衡,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端,无论平还是不平,均可确定“坏球”.
（2）若不平衡,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能.
①若平衡,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻；
③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个（左右各一）,“坏球”是其中之一（暂不知是轻还是重）.
显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重.
规律方法 二分法在实际问题中的应用
二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛,在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用.
变式训练3 在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币（质量小一点）,
现在只有一架天平,则应用二分法的思想,最多称___次就可以发现这枚假币.
3
[解析] 从26枚金币中取18枚,将这18枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,（1）若天平不平衡,则假币一定在质量小的那9枚金币里面.从这9枚金币中拿出6枚,然后将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡,则假币一定在质量小的那3枚金币里面,从含有假币的3枚金币里取两枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.（2）若天平平衡,则假币在剩下的8枚金币里,从这8枚金币中取6枚,将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,假币在剩下的两枚里,将这两枚金币放在天平两端，质量小的为假币.若天平不平衡,假币在质量小的3枚里.在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右两端,即可找到假币.综上可知,最多称3次就可以发现这枚假币.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）二分法的定义.
（2）利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤.
（3）二分法在实际问题中的应用.
2.方法归纳:转化与化归、二分法.
3.常见误区:二分法并不适用于求所有零点,只能用于求函数的变号零点.(共35张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解函数零点的定义，并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系.
3.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的零点
（1）代数定义:对于一般函数 ，我们把使 的_______叫做函数
的零点.
（2）几何定义:函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数
的图象与 轴的公共点的________.
（3）方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与
轴有公共点.
实数
横坐标
过关自诊
1.二次函数 当 满足什么条件时没有零点？
提示 当 时没有零点.
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
3.若2是函数 的零点,则 _ _.
[解析] 由 ,得 .
知识点2 零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是一条________________，且有
,那么，函数 在区间 内至少有一个零点,即存在 ,
使得 ,这个 也就是方程 的解.
名师点睛
定理要求具备两个条件：①函数在区间 上的图象是连续不断的；
.两个条件缺一不可.
连续不断的曲线
过关自诊
1.若函数 在区间 内有零点，则一定有 吗？
提示 不一定,如函数 在区间 内有零点0,但是 .
2.若 ,则 在 上有零点吗
提示 不一定.
3.若 在 上具有单调性,且 ,则 在 内有几个零点
提示 有且只有一个.
4.函数 的零点是( )
B
A. B. C.1 D.0
5.［北师大版教材例题］方程 在区间 上有没有解 为什么
解 设函数 ,在区间 上有
, .
又因为函数 的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理可知方程 在区间 内有解,即在区间 上有解,故方程 在区间 上有解.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
（1） ;
解 令 ,解得 或 .
所以函数的零点为 ,1.
（2） ;
令 ,即 ,解得 .
所以函数的零点为 .
（3） .
令 ,即 ,解得 .所以函数的零点为2.
规律方法 1.因为函数 的零点就是方程 的实数解,也是函数 的图象与 轴公共点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令 ,通过求方程 的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数 的图象,图象与 轴公共点的横坐标即为函数的零点.
2.求函数零点时要注意零点是否在函数定义域内.
变式训练1 已知函数 的零点是1和2,求函数
的零点.
解 由题意知函数 的零点为1和2,则1和2是方程
的实数解.所以有 解得
所以函数 的解析式为 .
令 ,得 .
所以函数 的零点为0.
探究点二 函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
（1） ;
解 令 ,得 ,因此 或 ,解得 或
.
又因为函数 的定义域为 ,所以 不是函数 的零点,故函数 有
2和1两个零点.
（2） ;
（方法1）令 ,得 ,即 ,解得 ,故
函数 只有一个零点.
（方法2）令 ,得 ,设 ,
,在同一坐标系中分别画出函数 和 的图象如图所
示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数 只有一个零点.
（3） .
（方法1） ,
, 在 内必
定存在实根.
又 在区间 内为增函数,故
有且只有一个零点.
（方法2）令 , ,在同一平面直
角坐标系中作出 与 的图象如图所示.
由图象知 和 的图象有且只有一个公共点,即
有且只有一个零点.
规律方法 判断函数零点个数的常用方法
（1）解方程 ,方程 解的个数就是函数 零点的个数.
（2）直接作出函数 的图象,图象与 轴公共点的个数就是函数 零点的个数.
（3） ,得 ,在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 零点的个数.
（4）若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2（1） 若函数 没有零点,则实数 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题知，函数 没有零点,则 ,解得 ,故选B.
（2）函数 的零点的个数为( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 函数对应的方程为 ,所以原函数
零点的个数即为函数 与 的图象交点个
数.在同一平面直角坐标系中,作出两函数的图象（如图所
示）.由图象知，函数 与 的图象只有
一个交点，即方程 有一个根,故函数
有一个零点.
探究点三 判断函数零点所在的区间
【例3】（1） 二次函数 的部分对应值如下表：
0 1 2 3 4
6 6
不求 , , 的值,判断方程 的两根所在区间是( )
A
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
[解析] 易知 的图象是一条连续不断的曲线,又 ,所以 在 内有零点,即方程 在 内有根,同理,方程 在 内有根.故选A.
（2）[2023河南洛阳期末] 若函数 ,则 的零点所在区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 在 内单调递增, 在 内单调递增,
函数 在 内单调递增.
, ,
, .
, ,即 ,
,
的零点所在区间是 .故选C.
规律方法 确定函数 零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程 易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连续,再看是否有 .若 ,则函数 在区间 内必有零点.
（3）数形结合法：通过画函数图象,观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断.
变式训练3（1） 函数 的零点所在的一个区间是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知 在 内单调递增， ,
, ,
在 内有零点.
（2）若方程 的实根在区间 上,则 ( )
C
A. B.1 C. 或1 D.0
[解析] 由题意知 ,且 ,则原方程即为
,在同一平面直角坐标系中作出函数
与 的图象,如图所示,由图象可知原方程
有两个根,一个在区间 内,一个在区间 内,所以
或 .故选C.
探究点四 已知零点个数求参数的取值范围
【例4】 已知函数 若 存在2个零点,则
的取值范围是_ _________.
[解析] 函数 存在2个零点,即关于 的方
程 有2个不同的实根,即函数 的图象与直线
的图象有2个交点.作出直线 与函数
的图象,如图所示,由图可知, ,解得 .
规律方法 已知函数有零点（方程有根）求参数的方法
（1）直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）
确定参数的取值范围.
（2）数形结合法：先对 的解析式变形，将 转化为
, 的图象易画出 ，在同一平面直角坐标系中画出函数 ,
的图象，然后利用数形结合思想求解.
变式训练4 已知 是实数，函数 ,若函数 有且仅有两
个零点，则实数 的取值范围是_ _______.
[解析] 函数 有且仅有两个零点，
即函数 与 的图象有且仅有两个交
点.
分别作出函数 与 的图象，如图所
示.
由图易知，当 时，两函数的图象有且仅有两个不同的交点，故实数 的取值范围是 .
探究点五 二次函数的零点问题
【例5】 关于 的方程 ,求 为何值时:
解 令 .
（1）方程有一个正根和一个负根
当原方程有一个正根和一个负根时, 的图象对应的草图可能如图①,②所示.
图①
因此原方程有一个正根和一个负根等价于 或 解得 .
所以当 时,原方程有一个正根和一个负根.
图②
（2）方程的两个根都大于1
当原方程的两个根都大于1时, 对应的草图可能如图③,④所示.
图③
图④
因此原方程的两个根都大于1等价于
或 无解.
所以不存在实数 ,使原方程的两个根都大于1.
规律方法 此类题可利用数形结合求解,由判别式、根与系数的关系列不等式组求解.
变式训练5 已知方程 ,求 为何值时:
（1）方程有唯一实数根？
解 当 时,方程变为 ,即 ,符合题意;当 时,令
,解得 .
所以当 或 时,方程有唯一实数根.
（2）方程的一个根大于1,一个根小于1
令 .
因为方程的一个根大于1,一个根小于1.
的草图可能如图①,②所示.
图①
所以必须有 或 解得 .
所以当 时,方程的一个根大于1,一个根小于1.
图②
本节要点归纳(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.体会如何借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 常见的函数模型
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）指数型函数模型
（4）对数型函数模型
（5）幂型函数模型
（6）分段函数模型
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）某种商品进价为每件360元,按进价增加 出售,后因库存积压降价,若按原售价
九折出售,则每件还能获利.( )
×
（2）某种产品每件定价80元,每天可售出30件,若每件定价120元,则每天可售出20件,如
果每天售出件数 （单位：件）是定价 （单位：元）的一次函数,则这个函数解析式
为 .( )
√
（3）某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个, ,现有2个这样的细胞,分裂 次
后得到细胞的个数 与 的函数关系是 .( )
×
2.幂函数一定比一次函数增长速度快吗？
提示 幂函数的指数与一次函数的一次项系数不确定,两者的增长速度不能比较.
知识点2 拟合函数模型
1.应用拟合函数模型解决问题的基本进程
2.解决函数实际应用题的步骤
第一步:分析、联想、转化、抽象;
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;
第三步:解答数学问题,求得结果;
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.
而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即
可在此基础上迎刃而解.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )
√
（2）在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
×
（3）对数函数增长模型比较适合于描述增长速度越来越平缓的变化规律.( )
√
2.某商场在销售空调旺季的4天内每天的利润如下表所示：
时间/天 1 2 3 4
利润/千元 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个描述这种空调销售情况的函数模型，用 （单位：千元）表示第 天的利
润，则应是下列函数中的( )
B
A. B. C. D.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 指数型函数模型
【例1】 一片森林原来的面积为 ,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,
当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积
的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 .
（1）求每年砍伐面积的百分比;
解 设每年砍伐面积的百分比为 ,则 ,即 ,解
得
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年？
设经过 年剩余面积为原来的 ,则 ,即 , ,解得
,故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）今后最多还能砍伐多少年？
设从今年开始,最多还能砍伐 年,则 年后剩余面积为 .
令 ,即 , , ,解得 .故今后最多还
能砍伐15年.
规律方法 1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示
为 （其中 为原来的基础数, 为增长率, 为时间）的形式.
2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型
函数模型.
变式训练1 ［人教B版教材例题］按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方
案的通知》（国发 号）的要求,到2020年,全国二氧化硫排放总量要控制在1
580万吨以内,要比2015年下降 .假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的
百分比都相等,2015年后第 年的二氧化硫排放总量最大值为 万吨.
（1）求 的解析式;
解 设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为 ,因为 表示2015
年的排放总量,所以由题意可知 , ,1,2,3,4,5.
又因为 所以 , ,从而
, ,1,2,3,4,5.
（2）求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内（精确到1万吨）.
由（1）可知 ,因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制
在1 632万吨以内.
探究点二 对数型函数模型
【例2】 科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度 （单位:瓦/平方
米）有关.在实际测量时,常用 （单位:分贝）来表示声音强弱的等级,它与声音的强度
满足关系式: （ 是常数）,其中 瓦/平方米.如风吹落叶沙沙
声的强度 瓦/平方米,它的强弱等级 分贝.
（1）已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的 马路
10 90
求 和 的值;
解 将 瓦/平方米, 瓦/平方米代入 ,得
,即 , .
（2）为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音
强度 的最大值.
由题意得 ,得 ,
得 ,即 ,
即 .
故此时声音强度 的最大值为 瓦/平方米.
规律方法 1.基本类型：有关对数型函数模型的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解.
2.求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.
变式训练2 某化工厂每一天中污水污染指数 与时刻 （时）的函数关系为
, ,其中 为污水治理调节参数，且
.
（1）若 ,求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
解 因为 ,则 .
当 时， ,得 ,即 .
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
（2）规定每天中 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染
指数不超过3，则调节参数 应控制在什么范围内？
设 ,则当 时， .
设 , ,
则
显然 在 上是减函数，在 上是增函数，
则 ,
因为 , ,
则有 解得 ,
又 ,故调节参数 应控制在 内.
探究点三 拟合函数模型的应用题
【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最
大积雪深度 与当年灌溉面积 .现有连续10年的实测资料,如下表所示:
年序
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
年序
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
续表
（1）描出灌溉面积 随积雪深度 变化的数据点 ;
解 数据点分布如图①所示.
图①
（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型 ,并作出其图象;
图②
从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假
设灌溉面积 和最大积雪深度 满足线性函数模型
, 为常数, .
取其中的两组数据 , ,
代入 ,得
解得 , .
这样,我们得到一个函数模型 .作出函数图象如图
②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明
它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
（3）根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为 ,则可以灌溉的土地面积是多少
由（2）得当 时, ,即当最大积雪深度为 时,可以灌溉土地 .
规律方法 对于此类实际应用问题,关键是先建立适当的函数关系式,再解决数学问题,然后验证并结合问题的实际意义作出回答,这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:
（1）能够根据原始数据、表格,描出数据点.
（2）通过数据点,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般是不会发生的.因此,使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
（3）根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
（4）利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
变式训练3 某篮球运动员为了测试自己的投篮最佳距离,他在每个测试点投篮30次,得到
投篮命中数量 （单位：个）与测试点投篮距离 （单位：米）的部分数据如下表：
3 5 6 8
25 29 28 20
为了描述球员在测试点投篮命中数量 与投篮距离 的变化关系,现有以下三种 函数模型供选择： , , .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由,同时求出相应的函数解析式；
解 由表中数据可知, 先单调递增后单调递减,
与 都是单调函数,
不符合题意；
先单调递增后单调递减,
符合题意.
由表格数据得
解得 .
（2）在第（1）问的条件下,若函数 在闭区间 上的最大值为29,最小值为4,求
的取值范围.
由（1）知 ,故对称轴为 ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
, , ,
又 时, 或10, .
综上所述, ,故 的取值范围是 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）常见函数模型及其应用.
（2）拟合函数模型及其应用.
2.方法归纳:数学拟合.
3.常见误区:
（1）容易忽视实际问题中自变量的取值范围;（2）易忘记实际数学问题中对结论的检验问
题.(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］函数 的零点是( )
B
A. B.1 C. D.
[解析] 由 ,得 ,解得 .
2.［探究点三］若函数 的零点所在区间为 ,则
( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为函数 在 上单调递增,且 ,
,
所以函数的零点在区间 内.
又因为函数的零点在区间 内,所以 .
故选A.
3.［探究点二］已知函数 则函数 的零点个数是
( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 根据题意，令 ,解得 , ,当 时,符合题意;
令 ,无解,故函数 只有两个零点,故选C.
4.［探究点二］（多选题）若函数 的图象在 上连续不断，且满足 ，
， ，则下列说法正确的是( )
AC
A. 在区间 内一定有零点 B. 在区间 内一定没有零点
C. 在区间 内可能有零点 D. 在区间 内一定有零点
[解析] 因为 ， ， ，所以 ，因为函数 的图象在 上连续不断，由零点存在定理，可得 在区间 内一定有零点.又 ，因此无法判断 在区间 内是否有零点.
5.［探究点四］函数 的一个零点在区间 内,则实数 的取值范围
是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 易知 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线且 ,即
,即 ,解得 .
6.［探究点四］若方程 有两个不相等的实数解 , ,且
,则实数 的取值范围是_ ____________.
[解析] 因为方程 有两个不相等的实数
解 , ,且 ,
所以设 ,画出函数 的大致图象，
如图所示.
结合图象知 ,且 ,且
,所以 .
故实数 的取值范围为 .
7.［探究点五］已知函数 对任意的实数 恒有零点，求实数
的取值范围.
解 令 ,
因为函数 对任意的实数 恒有零点，
故不论 取何值，方程 恒有解，
即 ,
即 对任意的实数 恒成立.
, .
实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
8.已知函数 的零点在区间 上,则 的取值范围为
( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 由题意,函数 是定义域上的增函数,又由函数
在区间 上存在零点,则满足
即
解得 ,即实数 的取值范围为 ,故选D.
9.已知函数 则 的零点个数为( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令 ,
当 时, ,解得 或 （舍去）；
当 时, ,解得 .所以 有2个实数解,即函数 的零点个数
为2.故选C.
10.已知实数 是函数 的一个零点,若 ,则( )
B
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 因为 与 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,且 ,所以当 时,有 ,即 , .故选B.
11.已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
123.56 21.45 11.45
则下列说法正确的是( )
B
A.函数 在区间 上有3个零点
B.函数 在区间 上至少有3个零点
C.函数 在区间 上至多有3个零点
D.函数 在区间 上无零点
[解析] 由题中表格可知, , , .
由函数零点存在定理知，函数 在区间 , , 上分别至少存在1个零点，所以函数 在区间 上的零点至少有3个.
虽然 ,但函数 在 上也有可能存在一个或多个零点.同理，在 上也如此.
12.已知 ,并且 , 是函数 的两个零点，则实数 , ,
, 的大小关系可能是( )
C
A. B. C. D.
[解析] , 是函数 的两个零点，
.
又 ,结合二次函数的图象（如图所示）可知
, 必在 , 之间.故选C.
13.已知函数 若 恰有两个零点,则正数 的取值范
围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 若 恰有两个零点,可得 ,解
得 ； ,可得 或 ,由 , , 无解；
由 , ,可得 .综上可得 的取值范围是 .故选C.
14.已知函数 , , 的零点依次为 , , ,
则 , , 的大小关系是_ _________.
[解析] 画出函数 , , , 的
图象,如图所示.
观察图象可知,函数 , ,
的零点依次是点 , , 的横坐标,由图
象可知 .
15.已知函数 若 ,则 ____,若关于
的方程 有两个不同的实根,则实数 的取值范围为_ ____.
[解析] 由方程 ,得 或 解得 . 关于 的方程
有两个不同的实根等价于 的图象与 的图象有两个不同的交点,
观察图象可知, 当 时,符合题意.
16.已知函数 .
（1）当 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点
解 函数有两个零点,则对应方程 有两个不相等的实数根,易知
,即 ,解得 .由 ,解得 ；由 ,解得 .
故当 时,函数有两个零点；当 时,函数有一个零点；当 时,函数无零点.
（2）若函数其中一个零点是0,求 的值.
由题意知0是方程 的根,故有 ,解得 .
（3）若 有两个实数根,且一个根大于2,一个根小于2,求实数 的取值范围.
由题意可得 ,即 ,则 .
故实数 的取值范围为 .
C级 学科素养创新练
17.已知函数 有两个零点.
（1）若函数的两个零点分别是 和 ,求 的值;
解 和 是函数 的两个零点,
和 是方程 的实数解.
则 解得 .
此时 ,故 .
（2）若函数的两个零点分别是 和 ,求 的取值范围.
由题意知 和 是方程 的实数解,
则
在区间 内的取值范围为 .
故 的取值范围为 .
