(共7张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
课程标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 对数函数
1.对数函数的概念
（1）一般地，函数__________________________叫做对数函数，其中 是自变量，
定义域是________.
（2）指数函数 ,且 与对数函数 ,且 互
为反函数.它们的定义域与值域正好互换.
2.两种特殊的对数
特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作 ；称以无理
数 为底的对数函数为自然对数函数，记作 .
,且
1.判断一个函数是不是对数函数的依据:（1）形如 ；（2）底数 满足 ,且 ；（3）真数为 ，而不是 的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知， 可化为 ，由指数函数的性质可知在对数函数中，有 ,且 ， ， .
名师点睛
过关自诊
1.函数 的图象与函数 的图象有什么关系？
提示 关于直线 对称.
2.下列函数表达式中,对数函数的个数为( )
； ； ； ；
； ； .
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由于①中自变量出现在底数上,所以①不是对数函数；由于②中底数 不能
保证 ,且 ,所以②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为 , ,
所以⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中 的系数为2,所以⑥也不是对数函数.只有③
④符合对数函数的定义.故选B.(共22张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.通过作图，借助数学软件体会并了解指数函数、幂函数、对数函数的增长特性.
2.掌握幂函数与对数函数、幂函数与指数函数的增长差异，并能解决相关问题.
3.能正确地选择函数模型解决实际问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 三种常见函数模型的增长速度比较
函数
________ ________ ________
图象的变化 增长速 度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 增长结果 增函数
增函数
增函数
名师点睛
1.对数函数 在区间 上，随着 的增长，增长得越来越慢，
图象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定变化范围内， 可能会大于
，但是由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时就会有
.
2.对于指数函数 和幂函数 ，在区间 上，
无论 比 大多少，尽管在 的一定变化范围内， 会小于 ，但由于 的增长快
于 的增长，因此总存在一个 ,当 时，就会有 .
3.当底数 时，由于指数函数 的值增长非常快，称这种现象为“指数爆炸”.
过关自诊
［北师大版教材习题］对于函数 与
（1）通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数;
解 画出函数 与 的图象（图略）,可知这两个函数图象有两个交点.
（2） 比 增长得快,通过分析它们的图象解释其含义.
由函数图象可知, 增长的越来越快, 也是增长的越来越快,但比 增长的慢.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 几种函数模型增长的差异
【例1】（1） 下列函数中，增长速度最快的是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 比较指数函数、幂函数、对数函数和一次函数的图象，指数函数增长最快.
（2）四个自变量 , , , 随变量 变化的数据如下表：
1 5 10 15 20 25 30
2 26 101 226 401 626 901
2 32 1 024 32 768
2 10 20 30 40 50 60
2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于 呈指数增长的变量是_ __.
[解析] 以指数爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出，四个变量 ,
, , 均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增
长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量 关于 呈指数增长.
规律方法 常见的函数模型及增长特点
（1）线性函数模型：线性函数模型 的增长特点是直线上升，
其增长速度不变.
（2）指数函数模型:能用指数型函数 ， , 为常数， ,
表达的函数模型，其增长特点是随着自变量 的增大，函数值增长的速度越来
越快，常称之为“指数爆炸”.
（3）对数函数模型：能用对数型函数 ， ， 为常数,
, , 表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着
的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
（4）幂函数模型：能用幂型函数 ， ， 为常数， ,
表达的函数模型，其增长情况由 和 的取值确定.
变式训练1 下列函数中，随 的增大函数值增长速度最快的是( )
A
A. B. C. D.
探究点二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
【例2】 已知函数 和 的图象如图,设两个函数
的图象相交于点 和 ,且 .
（1）请指出图中曲线 , 分别对应哪一个函数；
解 根据指数函数与幂函数的增长速度知: 对应函数 , 对应函数 .
（2）若 , ,且 , ,指出 ,
的值,并说明理由.
依题意知 和 是使两个函数的函数值相等的自变量 的值.当 时, ,即
;
当 时, ;
当 时, .
因为 , , , ,
所以 ,即 .
又因为 , , , ,
, , , ,
,所以 ,即 .
综上可知, , .
变式探究 在例2的条件下，结合函数图象,判断 , , , 的大小.
解 , , , , ,
, .从图象上可以看出,当 时,
,
.
当 时, , .
又 , .
规律方法 比较函数增长快慢的方法:（1）利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;（2）借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;（3）通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
探究点三 不同函数模型的实际应用
角度1.增长曲线的选择
【例3】 高为 、满缸水量为 的鱼缸的轴截面如图所示.若鱼缸水深为 时鱼缸内水
的体积为 ，则函数 的大致图象是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 当 时，体积是 ，故排除A，C项. 由0到 变化的过程中， 的变化
刚开始时增长速度越来越快，后来增长速度越来越慢，综合分析可知选B项.
规律方法 函数增长快慢对函数曲线的影响
随着自变量的增大，如果函数值增长得越来越快，则函数的图象越来越“陡”，类似于指数函数的图象;如果函数值增长得越来越慢，则函数的图象越来越“缓”，类似于对数函数的图象.
变式训练2 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开
始时，漏斗盛满液体，经过 漏完.已知圆柱中液面上升的速度
是一个常量， 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 与下落时间
（单位： ）的函数关系表示的图象只可能是( )
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由题可知液体漏入桶中的速度是常量，即圆锥体中减少的液体体积与时间成正
比，故 下降的速度是逐渐加快.在 图中，图象在某点的斜率表示该点的速度，
只有B项斜率增大，因此B项正确.
角度2.函数模型的选择与应用
【例4】 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为 ，
， .为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一
个函数来模拟月产量 与月序数 之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数
， ， 均为待定系数， 或指数型函数
, , 均为待定系数， ，现在已知该厂这种新产品在第四
个月的月产量为 ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解 根据题意可列方程组
解得
所以 .①
同理 .②
再将 分别代入①式与②式得 ，
.
与 相比， 在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数
比①式更好，故选用指数型函数 作为模拟函数较好.
规律方法 函数模型的实际应用
指数、对数函数模型在实际问题中有广泛应用，可根据增长的快慢特征选择、建立函数模型，再利用指数、对数运算解决问题，已经给出函数模型的，则直接代入相应的数据计算解决.
变式训练3 某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买其中的一种债券，你认为应购买哪种？
解 A种债券的收益是每 100元一年到期收益3元;B种债券的半年利率为 ，所以1
00元一年到期的本息和为 （元）,收益为5.68 元;C种债券
的利率为 ,100元一年到期的本息和为 （元），收益为
3.09元.通过以上分析，应购买B种债券.
本节要点归纳
1.知识清单：
三种函数模型的增长差异：幂型函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长
模型.
2.方法归纳:数形结合、化归与转化、数学建模.
3.常见误区:
（1）实际问题中容易忽视函数的定义域；（2）易对于函数的增长快慢和大小辨别不清.(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］若函数 的定义域是 ,则函数 的值域为
( )
A
A. B. C. D.
[解析] ,
, ,即 ,故函数
的值域为 .故选A.
2.［探究点四］已知函数 ，且 的图象过点 和
,则 在定义域上是( )
A
A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
[解析] 将点 和 的坐标代入函数解析式,有 解得 和
,则有 .由于定义域是 ,则函数不具有奇偶性.易知
函数 在定义域上是增函数.
3.［探究点四］对数函数 与 的图象如图,
则( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
4.［探究点三］若函数 是函数 ,且 的反函数,其图象经过
点 ,则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 的反函数为 ,又此函数图象经过点 ,因此
,解得 ,所以
5.［探究点五］已知 , , ,则( )
D
A. B. C. D.
[解析] , , ,
.故选D.
6.［探究点一］函数 为对数函数,则 的值是_ ___.
[解析] 由函数 为对数函数,可得 解得 .
7.［探究点四］已知对数函数 的图象经过点 .
（1）求 的解析式；
解 设 ,且 .
由题意得 ,故 ,解得 或 .
又因为 ,所以 .
故 .
（2）若 ,求 的取值范围;
因为 ,所以当 时, ,
即 的取值范围为 .
（3）若函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称,求 的解析式.
因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称,所以 .
B级 关键能力提升练
8.（多选题）已知 ,且 ,函数 , , 在同一平面直角
坐标系中的图象不可能是( )
ABD
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
9.将 的图象先,再作关于直线 对称的图象,可得到函数
的图象( )
D
A.向上平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度
[解析] 的反函数是 ,所以将 的图象向下平移1个单位长度，得 .
10.函数 的定义域为 ,则实数 的值为( )
C
A.0 B.10 C.1 D.
[解析] 由已知,得 的解集为 ,由 ,得 ,又当 时, ,所以 .故选C.
11.（多选题）已知函数 ,则下列说法正确的是( )
AB
A.函数 的图象与 轴有两个交点
B.函数 的最小值为
C.函数 的最大值为4
D.函数 的图象关于直线 对称
[解析] 令 ,即 ,得 或
,即 或 ,即选项A正确；
由 ,即函数 的最小值为
,无最大值,即选项B正确,选项C错误；
显然 ,函数 的图象不关于直线
对称,选项D错误.故选 .
12.已知函数 的最小值为 ,则 的取值范围是__________.
[解析] 当 时, ,
当 的最小值为 时, ,
.
13.已知函数 直线 与函数 的图象有两个不同的交点,则
的取值范围是_ _____.
[解析] 函数 的图象如图所示,要使直线 与 的图象有
两个不同的交点,则 .
14.已知实数 , 满足等式 ,给出下列五个关系式：
; ; ; ; .其中可能正确的关系
式是________.
②④⑤
[解析] 实数 , 满足等式 ,即
在 处的函数值和 在
处的函数值相等,当 时,
,此时⑤成立；作直线 ,由
图象知,此时 ,可得 , ,
由此知②成立,①不成立;作出直线 ,由图象知,
此时 ,可得 , ,由此知④成立,③不成立.综上知正确的关
系式为②④⑤.
15.设 ,且 ,其图象经过点 , 的图象与 的图象关
于直线 对称.
（1）若 , ,求 的值；
解 因为 ,且 的图象经过点 ,所以 ,所以
, 所以 .
因为 , ,所以 , ,
所以 ,所以 ,所以 .
（2）若 在区间 上的值域为 ,且 ,求 的值.
因为 的图象与 的图象关于直线 对称,所以 ,且为增函数,所以 在区间 上的值域为 .
因为 ,所以 ,所以 ,则 .
C级 学科素养创新练
16.设函数 的定义域为 .
解 由题意 .
（1）若 , ,求实数 的取值范围；
由 , 可得
化简得 解得 .
所以 的取值范围为 .
（2）若 ,求实数 的取值范围.
由 可得 恒成立.
当 时,不等式可化为 ,解得 ,显然不符合题意；
当 时,由二次函数的图象可知 ,且 ,即
化简得 解得 .
所以 的取值范围为 .(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］已知 在区间 上单调递减,则 的取值范围为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题设知 ,则 在区间 上单调递减.因为
在区间 上单调递减,所以 在定义域内是增函数,且 .
因此 故 .
2.［探究点三］函数 在定义域内( )
A
A.是增函数 B.是减函数 C.先增后减 D.先减后增
[解析] 当 时, 和 都是增函数,所以 是增函数；当 时, 和 都是减函数,所以 是增函数.故选A.
3.［探究点三］已知函数 ,若 在 上为减函数,则 的取
值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由于函数 在 上为减函数,且函数 为增函
数,则函数 在 上为减函数,所以 ,得 ,且
在 上恒成立,则 ,解得 .因此实数 的取值范围是 .
故选B.
4.［探究点二］已知函数 的值域为 ,则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. 或 D. 或
[解析] 令 ,由 的值域为 ,得 取到所有正数，所以对于函数 ，其中 ,即 或 .
5.［探究点一］设 ,函数 ,则使得 的 的取值范
围为_ ___________.
[解析] 由于 在 上为减函数,则由题意得 ,即 .
由于 ,可得 .
6.［探究点一］已知定义域为 的偶函数 在区间 上是增函数,且 ,
则不等式 的解集是_ _____.
[解析] 由题意可知,
7.[探究点四·2023浙江温州期末] 黑嘴鸥被世界自然保护联盟列为易危物种,全球种群总
数量约2万只.研究发现黑嘴鸥的飞行速度（单位: ）可以表示为函数
,其中 表示黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数.已知黑嘴鸥在飞往某海湾的
过程中,最低飞行速度为 ,最高飞行速度为 ,求黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数
的取值范围.
解 当 时,得 ,得 ,当 时,得 ,得 ,
所以黑嘴鸥每秒耗氧量的单位数的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
8.若函数 的图象如图所示,其中 , 为常数,则函数 的
图象大致是( )
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
√
[解析] 由 的图象可知 , ,
的图象可选D.
9.已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 令 ，则 ,当且仅当 时,等
号成立.
则 .
值域为 ， 可取到 的每一个数，
, ,故选D.
10.已知函数 ,则 ( )
D
A.是奇函数,且在 上单调递增 B.是奇函数,且在 上单调递减
C.是偶函数,且在 上单调递增 D.是偶函数,且在 上单调递减
[解析] 由函数 ,得 解得 ,函数
的定义域为 .因为 ,所以函数 为
偶函数.又 ,令 ,则 在 上单调递减,函数
为增函数,故函数 在 上单调递减.故选D.
11.（多选题）关于函数 ,有下列结论,其中正确的是( )
ABD
A.其图象关于 轴对称
B. 的最小值是
C.当 时, 单调递增；当 时, 单调递减
D. 的单调递增区间是 ,
[解析] ,且 , 是偶函数,选项A正确；
令 ,当且仅当 时,取等号, 在 上单调递增,
则 ,所以 的最小值为 ,选项B正确；
当 时,令 ,易知 的单调递减区间是 ,单调递增区间
是 , 在 上单调递增,所以 在 上单调递减,在
上单调递增,选项C错误；
根据偶函数的对称性, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 的
单调递增区间是 , ,选项D正确.故选 .
12.已知函数 ,且 ,当 时恒有 ,则 的取值范围是
_ ___________.
[解析] 当 时, 在区间 上单调递增,由 ,得 ;
当 时, 在区间 上单调递减,且 ,得 .
故 的取值范围是 .
13.已知函数 的图象关于原点对称,其中 为常数.
（1）求 的值；
解 函数 的图象关于原点对称,
,即 ,解得 或 （舍）.
（2）若当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
,
当 时, ,
当 时, 恒成立,
.
实数 的取值范围是 .
14.已知实数 满足 ,求函数 的值域.
解 , .令 ,则 , ,
当 时, ;当 时, .
故函数的值域为 .
C级 学科素养创新练
15.（多选题）已知 ,则 , 满足下列关系的是( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知 , ,
,即 ；
,
，故A,B正确；
,故C错误;
,故D正确.故选 .(共30张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
图象
性质 性质
续表
名师点睛
1.对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数 的分类讨论.
2.当底数 时，图象在第一象限内越接近 轴， 越大；当底数 时，图象在第四象限内越接近 轴， 越小.
3.分析对数函数 ,且 的图象，需找三个关键点: , , .
过关自诊
1.下列函数中,在区间 内不是增函数的是( )
D
A. B. C. D.
2.若对数函数的图象过点 ,则此对数函数的解析式为_ _________.
[解析] 设该对数函数为 ,且 ,
, , 此对数函数的解析式为 .
3.函数 的图象必经过定点_ _______.
4.［人教B版教材例题］已知 ,求 的取值范围.
解 因为 的定义域为 ,而且是减函数,所以由已知有 ,
即 解得 .
所以 的取值范围是 .
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对数函数的概念
【例1】（1） 已知对数函数 ,则 ___.
2
[解析] 由对数函数的定义可得 ,即 ,也就是
,解得 或 .又因为 ,且 ,所以 .
（2）已知对数函数 的图象过点 .
①求 的解析式；
解 由题意设 ,且 ,由函数图象过点 可得 ,即
,
所以 ,解得 ,故 .
②解方程 .
方程 ,即 ,所以 .
规律方法 1.对数函数是一个形式定义：
2.对数函数解析式中只有一个参数 ,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个
条件即可求出.
[解析] 由题意可知
解得 .
变式训练1（1） 若函数 是对数函数,则 ___.
4
（2）点 和 在同一个对数函数图象上,则 _ _.
[解析] 设对数函数为 ,且 .
则由题意可得 ,即 ,
所以 ,即 .
所以 ,故由 在函数图象上可得 ,所以
.
探究点二 与对数函数有关的定义域、值域问题
【例2】（1） 函数 的定义域为__________________
,且
[解析] 要使函数有意义,需 即 且 .
函数的定义域为 ,且 .
（2）已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域是________.
[解析] 已知函数 的值域为 ,
,即 ,化简可得 .再由
可得 ,故函数 的定义域为 , .
规律方法 求解与对数函数有关的函数的定义域的方法
（1）求与对数函数有关的函数的定义域时,除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外,还要根据对数函数自身的特点满足以下要求：一是要对数的真数大于零；二是要注意对数的底数；三是根据底数的取值结合函数的单调性,转化为关于真数的不等式求解.
（2）遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.
变式训练2 求下列函数的定义域:
（1） ；
解 由题得
解得 .
所以函数的定义域为 .
（2） .
由题得 且 ，则 ,解得 .故函数的
定义域为 .
探究点三 指数函数与对数函数关系的应用
【例3】 已知函数 ,若函数 是 的反函数，则 ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 是 的反函数， .
, .
规律方法 涉及指数和对数函数互为反函数问题，一定注意前提是“同底数”，且它们的
图象关于直线 对称;反之，两个函数图象关于直线 对称，则这两个函数互
为反函数.
变式训练3 函数 与 互为反函数，则 的定义域为_________.
[解析] （方法1） 的反函数是 ,所以
,其定义域满足 ,即 .故定义域为 .
（方法2）因为原函数的定义域与其反函数的值域相同， 的值域为
,
所以 的定义域为 ，所以 ,解得 ,所以函数 的定
义域为 .
探究点四 对数函数的图象
【例4】 作出函数 的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单
调区间.
解 先画出函数 的图象（如图①）.
图①
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数 的图象（如图②）.
图②
最后把 的图象在 轴下方的部分对称翻折到 轴上方（原来在 轴上方
的部分不变）,即得出函数 的图象（如图③）.
图③
由图易知其定义域为 ,值域为 ,单调递减区间为 ,单调递增区间为
.
规律方法 求解与对数函数有关的函数图象问题,首先应明确对数函数 ,且 的图象特征,结合函数解析式以及函数图象的变换规律求解.
（1）一般地,函数 （ , 为实数）的图象是由函数 的图象沿 轴向左或向右平移 个单位长度,再沿 轴向上或向下平移 个单位长度得到的.
（2）含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地, 的图象是关于直线 对称的轴对称图形；函数 的图象与 的图象在 的部分相同,在 的部分关于 轴对称.
变式训练4 画出下列函数的图象,并根据图象写出函数的定义域与值域以及单调区间：
（1） ；
解 函数 的图象如图①.其定义域为 ,值域为 ,在区间
上单调递增.
图①
（2） .
图②
, 是偶函数,其图象如图②所示.其定义域
为 ,值域为 ,函数的单调递增区间为 ,
单调递减区间为 .
探究点五 利用对数函数的性质比较大小
【例5】 下列不等式一定成立的是（其中 ,且 ）( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 对于选项A,因为 和1的大小关系不确定,无法确定对数函数的单调性,故A不一
定成立；
对于选项B,因为以 为底的对数函数是减函数,又 ,故B成立；
对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,又 ,故C不成立；
对于选项D, , ,故D不成立.故选B.
规律方法 比较两个对数式大小的常用方法
（1）当底数相同、真数不相同时，直接利用对数函数的单调性进行比较.
（2）当底数不同，真数相同时，可根据图象与底数的关系所反映出的规律比较，常数形结合.
（3）当底数和真数都不相同时，可考虑引进第三个数（常用“0”或“1”）分别与之比较，然后通过第三个数的传递进行比较.
变式训练5 比较下列各组中两个值的大小:
（1） , ;
解（单调性法）因为 在 上是增函数,且 ,
所以 ,即 .
（2） , ;
（中间量法）因为 , ,
所以 .
（3） , ,且 .
（分类讨论法）当 时,函数 在定义域内是增函数,则有 ;
当 时,函数 在定义域内是减函数,则有 .
综上所述,当 时, ;
当 时, .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）对数函数的概念.
（2）反函数.
（3）对数函数的图象与性质及应用.
2.方法归纳:待定系数法、分类讨论、数形结合.
3.常见误区:容易忽视对数函数中隐含的条件,如真数大于0,底数大于0且不等于1.(共26张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］下列函数中,增长速度越来越慢的是( )
B
A. B. C. D.
2.［探究点二］（多选题）有一组实验数据如表所示：
1 2 3 4 5
1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 由所给数据可知 随 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数
增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.
3.［探究点一］（多选题）下面对函数 与 在区间 上
的衰减情况的说法中错误的有( )
ABD
A. 的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快
B. 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越慢
C. 的衰减速度越来越慢， 的衰减速度越来越慢
D. 的衰减速度越来越快， 的衰减速度越来越快
[解析] 在平面直角坐标系中画出 与 图象如下图所
示，由图象可判断出衰减情况为 衰减速度越来越慢，
衰减速度越来越慢.
4.［探究点三（角度1）］某天0时,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中
午时他的体温基本正常（正常体温为 ）,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜
才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0时至24时）体温变化情况
的图象是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 观察图象A,体温逐渐降低,不符合题意;图象B不能反映“下午他的体温又开始上升”;图象D不能体现“下午他的体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫了”.综上,只有C是正确的.
5.［探究点一］函数 与函数 ,当 从1增加到 时，函数的增量分别
是 与 ,则 _ __ （填“ ”“ ”或“ ”）.
[解析] 由这两个函数的图象可知，指数函数增长得快些，所以 .
6.［探究点三（角度2）］某企业常年生产一种出口产品,根据近几年的数据显示,该产
品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第 年与年产量 （单位：万件）
之间的关系如下表所示：
1 2 3 4
4.00 5.58 7.00 8.44
若 近似符合以下三种函数模型之一： , ,
.
（1）找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2017年和2019年的数据求出相应的解析式；
解 符合条件的是 ,
理由：若模型为 ,
则由 ,得 ,即 ,此时 , ,
,与已知相差太大,不符合.若模型为 ,则 是减函数,与已
知不符合.
由已知得 解得
所以 ,
（2）因受到影响,2024年的年产量比预计减少 ,试根据所建立的函数模型,求出2024
年的年产量.
2024年预计年产量为 ,2024年实际年产量为 . 所以2024年的年产量为9.1万件.
B级 关键能力提升练
7.下图为某种植物 年内的植株高度，根据这些数
据用一个函数模型来描述这种植物在 年内的生长
规律,下列函数模型中符合要求的是( )
B
A. , ，且
B. , ,且
C.
D.
[解析] 由散点图可知,植物高度增长越来越缓慢,故选择对数模型,即B符合.故选B.
8.当 时, , , 的大小关系是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 在同一坐标下作出函数 , , 的图象,由图象知,D正确.
9.（多选题）某地一年内的气温 （单位: ）与时间 （单位：月份）之间的关系
如图所示.已知该年的平均气温为 ,令 表示时间段 内的平均气温,不能正
确反映 与 之间的函数关系的图象有( )
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
√
√
√
[解析] 由题图知,当 时, ,故C不正确;当 时, ,故D不正确;在大于6的某一段时间平均气温大于 ,故B不正确.
10.（多选题）已知函数 , , ,则下列关于这三个函数的描述中,正
确的是( )
BD
A.随着 的逐渐增大, 增长速度越来越快于
B.随着 的逐渐增大, 增长速度越来越快于
C.当 时, 增长速度一直快于
D.当 时, 增长速度有时快于
[解析] 在同一坐标系内画出函数 , ,
的图象，如图所示：
对于A，随着 的逐渐增大， 增长速度不是越来越
快于 ,故A错误；对于B，随着 的逐渐增大， 增
长速度越来越快于 ,故B正确；对于C，当
时， 增长速度不是一直快于 ,故C错
误；对于D，当 时， 增长速度有时快于
,故D正确；
故选 .
11.甲、乙、丙、丁同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程 关
于时间 的函数关系式分别为 , , ,
，有以下结论:
①当 时，甲在最前面；
②当 时，乙在最前面；
③当 时，丁在最前面，当 时，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲.
其中正确结论的序号为________.
③④⑤
[解析] 路程 关于时间 的函数关系式分别为
, , , .
它们对应的函数模型分别是指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型和对数型
函数模型.
当 时， , ，则①不正确；
当 时， , ,则②不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，画出四个函数的图象
（图略），可知当 时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而当
时，丁在最前面，当 时，丁在最后面，则③正确；
结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能在最前面，也不可能在最
后面，则④正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，若运动的时间足够长，则最前面的物体一定是按
照指数型函数运动的物体，即一定是甲，则⑤正确.
12.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个
月其覆盖面积约为 ,经过3个月其覆盖面积约为 .现水葫芦覆盖面积 （单
位： ）与经过 个月的关系有两个函数模型 与
可供选择.（参考数据： , ）
（1）试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式；
解 的增长速度越来越快, 的增长
速度越来越慢，
依题意应选函数 ,则
解得
故 .
（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？
设经过 个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,则
,则 ,
故 .
,故 .
即约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
C级 学科素养创新练
13.（多选题）已知函数 , , ,
,则下列结论正确的是( )
AD
A.函数 和 的图象可能有两个交点
B. ,当 时,恒有
C.当 时, ,
D.当 时,方程 有解
[解析] 对于A,指数函数 与一次函数 都过 ,但
在 增大时呈爆炸式增长,故还会出现一个交点,如图所示,所以函数
和 的图象有两个公共点,故A正确；
对于B,取 , ,当 时,
,此时 ,故B错误；对于C,当 时,指数
函数 与对数函数 互为反函数,两函数图象关于直线 对
称,如图所示,
由图可知, ,有 恒成立,故C错误；
对于D,当 时, , ,由 知, ,且两个
函数都过点 , ,即方程 有解,故D正确.故选 .
