(共28张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的
单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 指数函数的概念
1.一般地，函数 ,且 叫做指数函数.
其中指数 是自变量，定义域为 .
2.指数函数的特征:
（1）底数 ，且 ；
（2）指数幂的系数是1.
名师点睛
根据指数函数的定义，只有形如 ,且 的函数才叫指数函数，
如 ， 都不是指数函数.
过关自诊
1.指数函数为什么要规定 ，且 ？
提示 如果 ，那么 对某些 值没有意义，如 无意义；
如果 ，那么当 时， ，当 时， 无意义；
如果 ， 是个常数函数，没有研究的必要.
所以规定 ，且 ，此时 可以是任意实数.
2.给出下列函数:
； ； ； ； .其中,指数函数的
个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 只有③是指数函数.故选B.
知识点2 指数函数的图象和性质
指数函数的图象和性质
图象
性质
续表
过关自诊
1.指数函数 ,且 的图象“升”“降”主要取决于什么？具体变化特征是什么？
提示 指数函数 ,且 的图象“升”“降”主要取决于字母 .当 时,
图象具有上升趋势,当 时,底数 的值越大,函数图象“越陡”，函数值增长得越快；
当 时,图象具有下降趋势，且 时,底数 的值越小,函数减少得越快.
2.指数函数 的定义域是_ __,值域是________.
[解析] 由指数函数 的图象和性质可知定义域为 ,值域为 .
3.［人教B版教材例题］利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:
（1） 与 ;
解 与 都是以0.8为底的幂值,由于 这个函数在实数集 上是减
函数,且 ,所以 .
（2） 与 .
与 都是以2.5为底的幂值,由于 这个函数在实数集 上是增函数,且 ,所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 指数函数的概念
【例1】（1） 如果指数函数 的图象经过点 ,那么 等于____.
64
[解析] 设 ,且 , 其图象过点 , .
.
（2）已知函数 是指数函数,求 的值.
解 由 是指数函数,可得 解得 故
.
规律方法 指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1 下列以 为自变量的函数中，是指数函数的为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 为正实数，A是指数函数；B式中， ，B不是指数函数；C式中，指数位置不是 ，C不是指数函数；D式中，自变量不在指数上，D不是指数函数.
探究点二 指数函数的图象的应用
角度1.指数型函数图象过定点问题
【例2】 已知函数 ,且 的图象一定过点 ,则点 的坐标
是_ ______.
[解析] 当 ,即 时, 恒成立,故函数 的图象恒过点 .
变式 探究本例中的函数改为 后,求 的图象过的定点坐标.
解 令 ,得 ,此时 故函数 的图象过定点 , .
规律方法 指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数 ,且 的图象恒过定点 ,所以对于函数 , , 均为常数,且 , ,且 ,若 ,则 的图象过定点 .
角度2.指数型函数图象的识别
【例3】 函数 的图象如图所示,其中 , 为常
数,则下列结论正确的是( )
D
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 由于 的图象单调递减,所以 ,又 ,所以 ,即 , .故选D.
规律方法 指数型函数图象问题的处理技巧
（1）抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象过定点、特殊点的函数的值的符号等；
（2）利用图象变换,如函数图象的平移变换（左右平移、上下平移）；
（3）利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况,单调性决定函数图象的走势.
变式训练2 ［北师大版教材习题］已知三个指数函
数 , , 的图象如图.
（1）试比较 , , 的大小;
解 观察图象可知,当 时, ,即
.
（2）指数函数的底数越大,它的图象与直线 的交点的纵坐标是越大还是趋近于0
底数越大,图象与直线 的交点的纵坐标越大.
角度3.画指数型函数的图象
【例4】 画出函数 的图象，这个图象有什么特征？你能根据图象指出它的值
域和单调区间吗？
解
其图象由 和 的图象合并而成.
和 的图象关于 轴对称,
原函数的图象关于 轴对称.由图象可知值域是 ,单调递增区间是 ,单调
递减区间是 .
规律方法 指数函数 与 ,且 的图象关于 轴对称.
处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三
是利用函数的奇偶性与单调性.
变式训练3 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数 的图象经过怎样的变换得到的.
（1） ;
解 如图①， 的图象是由 的图象向右平移1个单位长度得到的.
图①
（2） ;
如图①， 的图象是由 的图象向上平移1个单位长度得到的.
（3） ;
如图①， 的图象与 的图象关于 轴对称.
（4） .
图②
函数 为偶函数，图象关于 轴对称，且其在 上的图
象与 的图象一致，可得 的图象如图②所示.
探究点三 利用指数函数的单调性比较幂值大小
【例5】 [2023江苏无锡期末] 已知 , , ,则 , , 的大
小关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , , ,函数 是 上的增函数,
.
而 在 上单调递减, .
综上可得, .故选B.
规律方法 比较幂的大小的常用方法
变式训练4 （多选题）下列式子不正确的是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 由指数函数的单调性可知 ,则A错误；
由指数函数的单调性可知 , ,即
,则B错误；
由幂函数的单调性可知 ,则C正确；
由幂函数、指数函数的单调性可知 , ,即
,则D正确.故选 .
本节要点归纳(共22张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］若 ,则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 函数 在 上为减函数,所以 ,所以 .故选A.
2.［探究点二］（多选题）若指数函数 ，且 在区间 上的最
大值和最小值的和为 ，则 的值可能是( )
AB
A.2 B. C.3 D.
[解析] 当 时，指数函数 在 上单调递增，所以 在区间 上
的最大值 ，最小值 .
所以 ，解得 或 （舍去）.
当 时，指数函数 在 上单调递减，所以 在区间
上的最大值 ，最小值 ，所以 ，解得 （舍去）或
.
综上， 或 .
3.［探究点一］设 ,且 ,则( )
C
A. B. C. D.
[解析] , , .
又 , .
, ,又 , , ，故 .故选C.
4.［探究点三］若函数 ,且 满足 ,则 的单调递
减区间是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,解得 ,故 .令 ,因为
在 上单调递增,
所以 的单调递减区间是 .故选B.
5.［探究点三］若函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围是
_ ________.
[解析] 由复合函数的单调性知，函数 在 内单调递增,所以 ,解得 .
6.［探究点二］已知函数 的图象经过点 ,其中 ,且 .
（1）求 的值；
解 因为函数 的图象经过点 ,所以 .
（2）求函数 的值域.
由（1）得 ,
当 时,函数 取最大值2,故 ,
所以函数 .
故函数 的值域为 .
B级 关键能力提升练
7.（多选题）已知函数 ,下面说法正确的有( )
AC
A. 的图象关于原点对称
B. 的图象关于 轴对称
C. 的值域为
D. , ,且 ,
[解析] 对于选项A, ,定义域为 ,
,
是奇函数,图象关于原点对称,故A正确；
对于选项B, , , 的图象不关于
轴对称,故B错误；
对于选项C, ,
令 , , ,易知 ,故 的值域为
,故C正确；
对于选项D, ,令 , , ,函数
在 上单调递增,且 在 上单调递增,
在 上单调递增,故 , ,且 , 不成立,
故D错误.故选 .
8.[2023新高考Ⅰ] 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得
，所以 的取值范围是 .故选D.
9.（多选题）若函数 ,且 的图象经过第一、三、四象限,则
下列选项正确的有( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 因为函数 ,且 的图象经过第一、三、
四象限,所以其大致图象如图所示.
由图象可知该函数为增函数,所以 .
当 时, .故选 .
10.若函数 的值域为 ,则 的取值范围为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 当 时, ,当 时, .
函数 的值域为 ,
即 ,故选B.
11.设偶函数 满足 ,则当 时， ________；当
时，不等式 的解集为_ __________________.
，或
[解析] 设 ,则 ,
.
又 为偶函数， .
于是 可化为 或
解得 或 .
12.已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数 满足
,则 的取值范围是_ _____.
[解析] 由题意知函数 在区间 上单调递减,又 是偶函数，则不等式 可化为 ,则 , ,解得 .故答案为 .
13.已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性;
解 因为函数 的定义域是 ,且 ,所以 是奇函数.
（2）证明 是其定义域内的增函数.
证明 ,在定义域 内任取 , ,且 ,则
, ,设
,且知函数 在其定义域内为增函数,所以当 时,
又因为 , ,
所以 ,即 ,
故 在其定义域内是增函数.
14.设函数 , .
解 设 ,则 ,
（1）当 时，解不等式 ;
当 时, ,
或 .
, , , ,
不等式的解集为 .
（2）当 时, 存在最小值 ，求 的值.
当 时，必有函数 的图象的对称轴 ,即
,故函数 的最小值为 ,
, 由于关于 的函数 单调递增，故最多有一个实根，而
当 时， , 的值为1.
C级 学科素养创新练
15.已知函数 在区间 上有最大值4和最小值1.设
.
（1）求 , 的值;
解 ,
因为 , 的图象的对称轴为直线 ,所以 在区间 上单调递增,
故 解得
（2）若不等式 在 上有解,求实数 的取值范围.
由（1）可得 ,
所以 可化为 ,
化为 .
令 ,则 .
因为 ,所以 .
记 ,因为 ,
故 ,所以实数 的取值范围是 .(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023广东湛江月考] 如果函数 和 都是指数
函数,则 ( )
D
A. B.1 C.9 D.8
[解析] 根据题意可得 , ,则 .故
选D.
2.［探究点三］已知 , , ,则 , , 的大小关系正确的是
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,而 ,即 , , 所以 .故选C.
3.［探究点二（角度 ）］如果函数 的图象经过第一、二、三象限,不经
过第四象限,则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 函数 的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限,则 ,即 ,解得 .故选B.
4.［探究点二（角度2）］函数 ,且 的图象可能是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 当 时, 是增函数, ,则函数 的图象与 轴的交点
在 轴的下方,故选项A不正确; 的图象与 轴的交点是 ,故选项B不正
确;当 时, 是减函数, 的图象与 轴的交点是 ,又
,故选项D不正确,选项C正确.
5.［探究点二（角度2）］已知 , ，则函数 的图象不经
过第____象限.
三
[解析] ，指数函数 单调递减， ，将函数 的图象向下平移 个单位长度，得到 的图象，可知图象不过第三象限.
6.［探究点三］已知 ,则 , , 从大到小的顺序是_ ____________.
[解析] 先比较 , ,由于 ,函数 为减函数,故 ,再比较 , ,由于 ,函数 在 上单调递增,故 .
综上, .
7.[探究点二（角度1）·2023上海青浦期末] 已知 ,且 ,函数 的
图象恒过一个定点,此定点的坐标为_ _____.
[解析] 当 时, ,
的图象一定经过定点 .
8.［探究点二（角度3）］已知函数 .
（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；
解 函数 在区间 上单调递增,
的最大值为 , 的最小值为 .
（2）若方程 在区间 内有解,求实数 的取值范围.
方程 在区间 内有解即函数 与函数 的图象在区间 内
有交点.
函数 在区间 内单调递增,
, ,即实数 的取值范围为 .
B级 关键能力提升练
9.已知指数函数 的图象经过点 ,那么这个函数的图象也经过点( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设 , 且 .
,解得 ,即 .
, , , .故D正确.
10.已知函数 则 等于( )
B
A.4 B. C. D.
[解析] ,
.
11.函数 ，且 , , 的图象可能为( )
C
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由题意易知，函数 为偶函数，且 ,排除A，B.当 时，
函数图象如选项C所示.当 时，函数图象在区间 上单调递增，但图象应该是
下凸的，排除D.故选C.
12.[2023江西丰城期末] 已知偶函数 则满足 的
实数 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 当 时, 单调递增,
又由函数 为偶函数,故当 时, 单调递减.
若 ,则 ,解得 .
故选C.
13.定义 , , 为 , , 中的最大值，设 , , ，则 的
最小值是( )
C
A.2 B.3 C.4 D.6
[解析] 画出函数 , , 的图象，
如图所示.
由图可知，函数 在 处取得最小值4.故选C.
14.已知 , .若对任意 ,总存在 ,使得
成立,则实数 的取值范围是_ _______.
[解析] 由 的单调性可知 的最小值为 ,又 在 上单调递减,故 的最小值为 ,由题意得 ,即 .
15.已知函数 ,且 的图象经过点 ， .
（1）求 ,并比较 与 的大小；
解 由已知得 , ,解得 ,故 在 上单调递减,
且 , .
（2）求函数 的值域.
令 ,
在 上单调递减，
.
, 的值域是 .
16.已知函数 ,且 .
（1）若 的图象如图①所示,求 , 的值;
解 因为函数 的图象过点 , ,
所以 解得 ,
.
（2）若 的图象如图②所示,求 , 的取值范围;
由 为减函数可知 的取值范围为 ,
因为 ,所以 ,
所以 的取值范围为 .
（3）在（1）中,若 有且仅有一个实数解,求出 的取值范围.
由题图①可知 的图象如图所示.
由图可知使 有且仅有一个实数解的 的取值范围
为 ,或 .
C级 学科素养创新练
17.（多选题）已知函数 是定义在 上
的奇函数,当 时, 的图象如图所示,那么满足
不等式 的 的可能取值是( )
AC
A. B. C.1 D.3
[解析] 因为函数 是定义在 上的奇函数,由题意,画出函数 在
的图象如图所示,在同一坐标系内画出 的图象,
因为 ,所以 ,又 ,即 与 交于 , 和 两点.
由图象可得 的解满足 或 .
又定义域为 ,所以 .
故选 .
18.设 , .
（1）在同一平面直角坐标系中作出 , 的图象；
解 函数 , 的图象如图所示.
（2）计算 与 , 与 , 与 的值,从中你能得到什么结论？
, ；
, ；
, .
从以上计算的结果看,当指数函数的底数互为倒数,自变量取值互为相反数时,其函数值相等.(共15张PPT)
1
重难探究·能力素养全提升
01
重难探究·能力素养全提升
探究点一 指数不等式的解法
【例1】（1） 已知 ,求实数 的取值范围；
解 在 上是减函数，
由已知得 ,即 .
故 的取值范围是 .
（2）若 ,且 ,求函数 的定义域.
要使函数 有意义，则 ,即 .
当 时，由 知 ,此时 ;
当 时，由 知 ,此时 .
综上可知，当 时，函数的定义域为 ;
当 时，函数的定义域为 .
规律方法 指数不等式的求解方法
（1）形如 的不等式，借助函数 的单调性求解，如果 的取值不确
定，需分 与 两种情况进行讨论.
（2）形如 的不等式，注意将 转化为以 为底数的指数幂的形式，再借助
函数 的单调性求解.
（3）形如 的不等式，利用函数图象求解.
（4）形如 （或 ）的不等式，可利用换元法将其转化为一
元二次不等式求解.
变式训练1 如果 ,且 ,求 的取值范围.
解 ①当 时, ,
,解得 .
②当 时, ,
,解得 .
综上所述,当 时, ；当 时, .
探究点二 与指数函数有关的定义域、值域问题
【例2】 求下列函数的定义域和值域.
（1） ;
解 由题意知 , ,
函数的定义域为 .
,
,
函数的值域为 .
（2） .
由题意知 , , ,
函数的定义域为 .
, ,
, , 函数的值域为 .
规律方法 求与指数函数有关的函数的定义域和值域的一般方法
（1）求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是 型还是
,且 型，前者的定义域是 ，后者的定义域与 的定义
域一致. 的定义域由 的值域在 的定义域内决定，因此
求 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式（组）.
（2）求与指数函数有关的函数的值域时，一方面要考虑函数的定义域和单调性，
另一方面要注意指数函数的值域是 .一般地，对于 0,且 型
函数，要先换元，令 ,求出 的定义域 ，再求出 的值域 ，
然后画出 的草图或利用函数的单调性，求出原函数的值域.
变式训练2 求下列函数的定义域和值域：
（1） ;
解 由题意知，定义域为 .
,
.
又 ,
函数 的值域为 .
（2） .
由题意知，定义域为 .
,令 ,则 ,且 .
又 （当且仅当 ,即 时等号成立）,
,故函数值域为 .
探究点三 指数型复合函数的单调性
【例3】（1） 求函数 的单调区间.
解 设 ,
则 在 上单调递减，在 上单调递增.又 是
上的减函数，
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
（2）已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范
围.
设 ,指数函数 在 上单调递减，根据复合函数
单调性同增异减的原则可知函数 在区间 上单调递减.
由于函数 的图象开口向上，且对称轴为直线 ,
要使函数 在区间 上单调递增，则 ,即 .
故 的取值范围为 .
变式探究 本例（1）中函数改为“ ”呢？
解 类似于例题（1）的解法，设 ,则 在 上单
调递减，在 上单调递增.
又 在 上是增函数，所以函数 的单调递增区间为 ,单
调递减区间为 .
规律方法 指数型复合函数单调性的判断方法
令 , ,如果复合的两个函数 ,且 与
的单调性相同，那么复合后的函数 在 上是单调递增的；如果两者的单
调性不同（即一增一减），那么复合后的函数 在 上是单调递减的.
本节要点归纳
