(共13张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］下列各命题中是真命题的是( )
D
A.1弧度就是 的圆心角所对的弧长 B.1弧度是长度等于半径的弧长
C.1弧度是 的弧与 的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
2.［探究点二］将 化成 的形式是( )
B
A. B. C. D.
[解析] , ,故 化成
的形式为 .
3.［探究点四］某市在创建全国文明城市活动中,计划在某老旧小区内建立一个扇形绿
化区域.若该区域的半径为20米,圆心角为 ,则这块绿化区域占地_ ____平方米.
[解析] 化为弧度为 ，则这块绿化区域占地面积为 （平方米）.
4.［探究点四］在扇形中,已知半径 为8,弧长 为12,则圆心角 是_ _弧度,扇形面积
是____.
48
[解析] ,
5.［探究点三］如图所示,用弧度制表示顶点在
原点,始边重合于 轴的非负半轴,终边落在阴
影部分的角的集合.
解 （1）将阴影部分看成是由 逆时针旋转到 所形成,故满足条件的角的集合为
.
（2）将终边为 的一个角 改写为 ,此时阴影部分可以看成是由 逆时针旋转
到 所形成,故满足条件的角的集合为 .
（3）将题干图中 轴下方的阴影部分看成是由 轴上方的阴影部分旋转 而得到,
所以满足条件的角的集合为 .
（4）与第（3）小题的解法类似,将第二象限的阴影部分旋转 后可得到第四象限
的阴影部分,所以满足条件的角的集合为 .
B级 关键能力提升练
6.下图（阴影部分）能表示集合 中角的范围的是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 为偶数时,集合对应的区域为 轴非负半轴及第一象限内直线 左上的部
分（包含边界）； 为奇数时，集合对应的区域为 轴非正半轴及第三象限内直线
右下的部分（包含边界）.
7.已知扇形的周长是 ,当扇形面积最大时,扇形的圆心角的大小为( )
D
A. B. C.1 D.2
[解析] 设扇形半径为 ,弧长为 .
扇形的周长为 ,
,
即 , ，
.
当半径为 时,扇形的面积最大为 ，此时 .
设扇形的圆心角为 ,则 .
故选D.
8.（多选题）下列转化结果正确的是( )
ABD
A. 化成弧度是 B. 化成角度是
C. 化成弧度是 D. 化成角度是
[解析] 对于A, ,正确;
对于B, ,正确;
对于C, ,错误;
对于D, ,正确.
9.（多选题）圆的一条弦的长度等于半径长,则这条弦所对的圆周角的弧度数为
( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 设该弦所对的圆周角为 ,则其圆心角为 或 .
由于弦长等于半径长,所以 或 ,解得 或 .
10.若角 的终边与角 的终边关于直线 对称，且
,则 _ ___________________.
或 或 或
[解析] 如图所示，设角 的终边为 ， 关于直线 对
称的射线为 ，则以 为终边且在0到 之间的角为 ,故
以 为终边的角的集合为 .
, , .
, , ,0,1， , , , .
C级 学科素养创新练
11.如图,动点 , 从点 出发,沿圆周运动,点 按逆时针方向
每秒转 弧度,点 按顺时针方向每秒转 弧度,求 , 第一次相
遇时所用的时间及 , 点各自走过的弧长.
解 如图,设 , 第一次相遇（点 ）时所用的时间是 秒,则 ,解
得 ,即 , 第一次相遇时所用的时间为4秒.
点走过的弧长为 , 点走过的弧长为 .(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.
2.掌握象限角的概念，并能用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 任意角
1.角的概念:一条______绕着它的端点______所成的图形.
2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
类型 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做__________,就称它形成了一个零角
射线
旋转
逆时针
顺时针
任何旋转
3.相等角与角的加减
（1）相等角:设角 由射线 绕端点 旋转而成，角 由射线 绕端点
旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
（2）相反角:我们把射线 绕端点 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做
互为相反角.角 的相反角记为 .
（3）设 ， 是任意两个角.我们规定，把角 的终边旋转角 ，这时终边所
对应的角是 .
名师点睛
角的概念推广后，其大小可以任意取值.把角放在平面直角坐标系中进行研究，对
于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，且具有代数和几何双重意义.
过关自诊
1.始边与终边重合的角一定是零角吗？
提示 不一定.只有始边没进行任何旋转，终边与始边重合的角才是零角.
2.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即 .
3.［北师大版教材习题］钟表的分针每小时转一圈,它的变化是周期变化吗
解 因为任意指定表盘边缘的一个位置,每间隔一小时,分针会重复出现在这一位置,所以是周期变化.
知识点2 象限角与终边相同的角
1.象限角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合.那么，
角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
2.终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
, ,即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与
整数个周角的和.
名师点睛
对于集合 ， 的理解应注意三点:
（1） 是任意角.
（2）“ ”有三层含义.
①特殊性,每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性,表示所有与角 终边相同的角（包括 自身）.
③从几何意义上看， 表示角的终边按一定的方向旋转的圈数， 取正整数时，
逆时针旋转； 取负整数时，顺时针旋转； 时，没有旋转.
（3）集合中“ ”与“ ”之间用“ ”连接，如 应看成
，表示与 的角终边相同的角.
过关自诊
1.相等的角终边相同吗？反过来，终边相同的角相等吗？
提示 相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，
它们相差 的整数倍.
2.与 角终边相同的角是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为所有与 角终边相同的角都可以表示为 , ,
取 ,得 .
3.［北师大版教材例题］判定下列各角是第几象限角:
（1） ;
解 因为 角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.
（2） ;
因为 ,所以 角与 角的终边相同,而 角的终边
在第三象限,所以 角是第三象限角.
（3） .
因为 ,而 角的终边在第二象限,所以
角是第二象限角.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 任意角的概念
【例1】 （多选题）下列说法不正确的是( )
CD
A.三角形的内角不一定是第一、二象限角 B.始边相同，终边相同的角不一定相等
C.钝角比第三象限角小 D.小于 的角是钝角、直角或锐角
[解析] A中 角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正确；B中始边相同，终
边相同的角不一定相等,如 和 ，故B正确；C中钝角是正角,而第三象限角
可以是负角,故C不正确；D中零角或负角小于 ,但它既不是钝角,也不是直角或锐
角,故D不正确.
规律方法 理解与角的概念有关问题的关键
正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.
变式训练1（1） 经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是( )
B
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而
, ,故钟表的时针和分针转过的角度分别是 ,
.
（2）给出下列四个命题： 是第四象限角； 是第三象限角；
是第二象限角； 是第一象限角.其中真命题有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 因为 , ,
, ，所以这四个命题都
是真命题.
探究点二 坐标系中角的表示
角度1.终边相同的角
【例2】 写出与 角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式
的元素 写出来.
解 与 角终边相同的角的集合为 , .
因为 ，所以 ,
解得 .又 ，所以 或 .
当 时， ;当 时， .
综上所述， 或 .
规律方法 求与已知角 终边相同的角时，要先将这样的角表示成 的形式，然后采用赋值法求解或通过解不等式确定 的值，求出满足条件的角.
角度2.终边在某条直线上的角的集合
【例3】 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
（1）&1&
解 在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 和 .又所有与
角终边相同的角的集合为 , ,所有与 角终边
相同的角的集合为 , ,于是，终边在直线 上的
角的集合为 , .
（2）&2&
在 范围内，终边在直线 上的角有两个，即 和 ，因此，终边在直线 上的角的集合为 , , , .
（3）&3&
终边在直线 上的角的集合为 , ,由（2）可知终边在
直线 上的角的集合为 , ,故所求角的集合为
, ,
, ,
, .
规律方法 终边落在特定位置上的角的集合
终边落在 轴的非负半轴上的角的集合为 , ;
终边落在 轴的非正半轴上的角的集合为 , ;
终边落在 轴上的角的集合为 , ;
终边落在 轴的非负半轴上的角的集合为 , ;
终边落在 轴的非正半轴上的角的集合为 , ;
终边落在 轴上的角的集合为 , ;
终边落在坐标轴上的角的集合为 , .
角度3.区域角的求解
【例4】 如图所示，写出顶点在原点，始边为 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的
角的集合（包括边界）.
（1）&4&
解 对于阴影部分，先取 这一范围，再结合其规律性可得终边落在阴影部
分内的角的集合为 , .
（2）&5&
对于阴影部分，先取 这一范围，再结合其规律性可知终边落在阴影部分内的角的集合为 , .
变式探究1 若将例4改为如图所示的图形,那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合是什么？
解 在 范围内,阴影部分表示的范围为 ,则所有满足条件的
角 的集合为 , .
变式探究2 若将例4改为如图所示的图形,那么终边落在阴影部分的角的集合是什么？
解 在 范围内,终边落在阴影部分的角为
与 ,所以所有满足题意的角 的集合为
,
,
,
,
, .
规律方法 区域角的写法
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步：
（1）借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界；
（2）按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的 或 范围内的角 和 ;
（3）分别将起始边界、终止边界的对应角 , 加上 的整数倍，即可求得区域角.
探究点三 确定角 及 的终边所在的象限
【例5】 已知 是第二象限角：
（1）求角 的终边所在的象限；
解 （方法1） 是第二象限角,
,
.
当 为偶数时,令 ,得
,则 是第一象限角；
当 为奇数时,令 ,得 ,则 是
第三象限角.
故角 的终边在第一或第三象限.
（方法2）如图,先将各象限分成2等份,再从 轴正半轴的上方起,按逆时针方向,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为角 的终边所在的区域,故角 的终边在第一或第三象限.
（2）求角 的终边所在的象限.
，
,
角 的终边在第三或第四象限或在 轴的非正半轴上.
规律方法 角 或 的终边所在象限的判断方法
（1）用不等式表示出角 或 的范围；
（2）用旋转的观点确定角 或 的终边所在象限.
例如： , .
由 ,角 的终边每次逆时针旋转 可得角 终边的位置.
表示角的范围时要注意实线边界与虚线边界的差异.
变式训练2 若 是第一象限角,则 是( )
D
A.第一象限角 B.第一或第四象限角 C.第二象限角 D.第二或第四象限角
[解析] 因为 是第一象限角,所以 , ,所以
, ,
所以 是第一或第三象限角.
又因为角 与 的终边关于 轴对称,
所以 是第二或第四象限角.
本节要点归纳(共25张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.
2.能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制.
3.掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会应用公式解决简单的问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 度量角的两种单位制
角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制
1度的角
弧度制 定义 以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符
号_ ____表示
度
半径长
过关自诊
1.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示 不相等.因为在大小不同的圆中，由于半径不同，长度为1的弧所对的圆心角也不同.
2.（多选题）下列说法错误的是( )
BD
A.半圆所对的圆心角是
B.1弧度就是 的圆心角所对的弧
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
知识点2 弧度数的计算与互化
1.弧度数的计算
（1）正角：正角的弧度数是一个______.
（2）负角：负角的弧度数是一个______.
（3）零角：零角的弧度数是___.
（4）在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 ,那么 _ _.
正数
负数
0
2.角度与弧度的换算
3.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
弧度 0
度
弧度
过关自诊
1.对于角度制和弧度制,在具体的应用中,两者可混用吗？如何书写才是规范的？
提示 角度制与弧度制是两种不同的度量角的单位制,在表示角时不能混用,例如
, 等写法都是不规范的,应写为
, .
2.时针经过一小时,转过了( )
B
A. B. C. D.
[解析] 时针经过一小时,转过 , .
知识点3 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 ,弧长为 ,面积为 , 为其圆心角,则
类型
扇形的弧长
扇形的面积
过关自诊
1.扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
提示 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上,扇形可看作是曲边三角形,弧是底边,半径是底边上的高.
2.已知半径 为1的扇形的面积 为 ,则扇形的圆心角 为___.
[解析] 由 ,得 ,所以 .
3.［北师大版教材习题］设扇形的弧长 为 ,半径 为 ,求这个扇形的面积 .
解 因为 , ,所以 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 弧度制的概念
【例1】 （多选题）下列说法中正确的有( )
ABC
A.弧度制使角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1 度的角是周角的 ，1弧度的角是周角的
C.根据弧度制的定义， 一定等于 弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小有关
[解析] 无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径大小无关，而是与弧长和半径的比值有关，故D项错误.
规律方法 1.不管是以“弧度”还是以“角度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小
无关的定值.
2.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和
弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.
3.以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“ ”通常省略不写，但以度为单位表
示角的大小时，“度”或“ ”不能省去.
4.以弧度为单位度量角时，常把弧度数写成 的形式.若无特别要求，不
必把 写成小数，如 ，不必写成 .
探究点二 角度与弧度的互化
【例2】 将下列角度与弧度进行互化:
（1） ；
解 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
规律方法 角度制与弧度制互化的关键与方法
（1）关键：抓住互化公式 是关键；
（2）方法：角度数 弧度数；弧度数× 角度数；
（3）角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练1（1） 将 化成弧度为_ ________.
[解析] .
（2）将 化为角度是_______.
[解析] .
探究点三 用弧度表示角或范围
【例3】 用弧度表示终边落在图中所示阴影部分（不包括边界）的角的集合.
解 终边在直线 上的角为 , ，终边在 轴上
的角为 , ,
从而终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
规律方法 用弧度制表示角应注意的问题:
（1）用弧度表示区域角,实质是角度表示区域角在弧度制下的应用,必要时,需进行
角度与弧度的换算.注意单位要统一,角度数与弧度数不能混用.
（2）在表示角的集合时,可以先写出一周（如 ～ , ）内的角,再加上
, .
（3）终边在同一直线上的角的集合可以合并为 ;终边在相
互垂直的两条直线上的角的集合可以合并为 ,在进行区间的合
并时,一定要做到准确无误.
变式训练2 以弧度为单位,写出终边在直线 上的角的集合.
解 在0到 范围内,终边在直线 上的角有两个,即 和 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
,
所有与 终边相同的角构成的集合为
,
所以终边在直线 上的角的集合为 .
探究点四 弧长公式与扇形面积公式的应用
【例4】（1） 已知扇形的周长为 ,圆心角为 ,求该扇形的面积;
解 设扇形的半径为 ,弧长为 ,由圆心角为 ,依据弧长公式可得 ,从而扇形的周长为 ,解得 ,则 ，故扇形的面积 .
（2）已知扇形的周长为 ,面积等于 ,求其圆心角的弧度数.
设扇形的圆心角弧度数为 ,弧长为 ,半径为 ,则有
解得 或
当 时, ,不符合题意,舍去;
当 时, ，符合题意.
综上,圆心角的弧度数为 .
变式探究 例4（1）中,将条件“圆心角为 ”去掉,求该扇形面积的最大值.
解 设扇形的弧长为 ,半径为 ,圆心角为 ,则有 ,于是
,易知 .
扇形面积 .
因为 ,所以当 时,该扇形面积的最大值 ,此时 ,
.故当扇形半径为 ,圆心角为 时,扇形面积最大，最大值为
.
规律方法 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
（1）扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积 ,弧长 ,圆心角 ,半径 ,已知其中的两个量就能求得剩余的两个量（通过方程组求得）.
（2）在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
（3）注意扇形圆心角弧度数的取值范围是 ,实际问题中注意据此进行取舍.
本节要点归纳(共15张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列说法中,不正确的是( )
ABC
A.第二象限角都是钝角
B.第二象限角大于第一象限角
C.若角 与角 不相等,则 与 的终边不可能重合
D.若角 与角 的终边在一条直线上,则
[解析] 是第二象限角,但不是钝角,A错误；
是第二象限角, 是第一象限角,但 ,B错误；
, , ,但二者终边重合,C错误；
若角 与 的终边在一条直线上,则二者的终边重合或相差 的整数倍,故 ,D正确.故选 .
2.［探究点二（角度1）］与 角的终边相同的角的集合是( )
B
A. , } B. , }
C. , } D. , }
[解析] 因为 ,所以 角与 角的终边相同,所以与 角的终边相同的角为 , .故选B.
3.［探究点二（角度1）]（多选题）角 的终边落在( )
AC
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 当 时, , 为第三象限角;
当 时, , 为第一象限角.
综上，角 的终边落在第一象限或第三象限.
4.[探究点三·2023陕西西安临潼月考] 若角的终边落在第三象限,则角 的终边落在
_____________象限.
第二或第四
[解析] 角的终边落在第三象限,
, ,
则 , ,
当 取偶数时,角 的终边落在第二象限,
当 取奇数时,角 的终边落在第四象限,
故角 的终边落在第二或第四象限.
5.［探究点二（角度2）］已知角 , 的终边关于直线 对称，且 ,
则 _ _____________________.
,
[解析] 在 范围内， 角的终边关于直线 对称的射线的对应角为 ，所以 , .
6.［探究点二（角度2）］终边在坐标轴上的角的集合为_ ____________________.
,
[解析] 终边在 轴上的角的集合为 , },终边在 轴上的角的集合为 , },所以终边在坐标轴上的角的集合为 , }
7.［探究点二（角度3）］已知角 的终边在图中阴影部分所表
示的范围内（不包括边界）,写出角 的集合.
解 在 范围内,终边落在阴影部分内的角为 或 ,
故所有满足题意的角 的集合为 , , , }.
B级 关键能力提升练
8.（多选题）下列四个结论正确的是( )
ABC
A. 角是第四象限角 B. 角是第三象限角
C. 角是第二象限角 D. 角是第四象限角
[解析] 角是第四象限角,A正确；因为 ,所以 角是第
三象限角,B正确；因为 , ,所以 角是第
二象限角,C正确；因为 ,所以 角是第一象限角,D错误.
故选 .
9.已知集合 , , , ,则 ,
之间的关系为( )
B
A. B. C. D.
[解析] , ;
, ,
.
10.（多选题）已知 第一象限角 ， 锐角 ， 小于 的角 ，那么
， ， 的关系是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 除了锐角，还包括其他角，比如 角，所以A选项错误；
锐角是小于 的角，故B选项正确；
锐角是第一象限角，故C选项正确；
A, , 中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选 .
11.（多选题）已知角 的终边在 轴的上方,那么角 可能是( )
AC
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] 因为角 的终边在 轴的上方,所以 , ,则有 , .故当 , 时, , , 为第一象限角；当 , 时, , , 为第三象限角.故选 .
12.终边落在直线 上的角的集合是________________________________.
，
[解析] 在 范围内，终边落在直线 上的角有两个，即 角与
角.
又所有与 角终边相同的角构成的集合 ， ，
所有与 角终边相同的角构成的集合 ， ，于
是，终边落在直线 上的角的集合 ，
， ， ｝.
C级 学科素养创新练
13.已知集合 , ,
, },求 .
解 , },
当 时, , }.
又 , },
, }.
当 时, , },
又 , },
, }.
或
, }.
