(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］已知 , ,记 , ,则 与 的大小
关系是( )
B
A. B.
C. D. 与 的大小关系不确定
[解析] ,
, ,
,即 .故选B.
2.［探究点二］设实数 ， , ,则( )
A
A. B. C. D.
[解析] ， , ,
,
,即 .
3.［探究点三（角度 ）］设 ,则下列不等式一定成立的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,
, .
又 , .
.
4.［探究点三（角度3）］若 , ,那么 的范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] , ,
又 , .
5.［探究点一］（多选题）下列说法错误的是( )
ABD
A.某人月收入 （单位：元）不高于2 000元可表示为“ ”
B.小明的身高为 ,小华的身高为 ,则小明比小华矮可表示为“ ”
C.变量 不小于 可表示为“ ”
D.变量 不超过 可表示为“ ”
[解析] 对于A, 应表示为 ,故A错误；对于B, , 应满足 ,故B错误；C正确；对于D,应表示为“ ”,故D错误.
6.［探究点三（角度 ）］若 , ，求证： .
证明 因为 ,所以 .因为 ,所以 ,所以 ,所以 .
B级 关键能力提升练
7.（多选题）下列四个条件中,能推出 成立的有( )
ABD
A. B. C. D.
[解析] 由 ,得 ,不等式 两边同时除以 ，得 ,D正确；
, , , , , , 正确；又正数
大于负数,A正确; , , 错误.
8.已知 , ,则下列不等式中一定成立的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 , ,
所以 , ,所以 , .
所以由 可得 一定成立.
9.（多选题）若正实数 , 满足 ,则有下列结论，其中正确的有( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] A中，由于 , 为正实数，且 ,两边乘 得 ,故A选项错误；
B中，由于 , 为正实数,且 ,所以 ,故B选项正确；
C中，由于 , 为正实数，且 ,所以当 时，
,则 ,所以 成立，
故C选项正确；
D中，由于 , 为正实数，且 ,所以 ,取倒数得 ,故D选
项正确.
10.（多选题）设 , 为实数，满足 , ,则下列结论错误的是
( )
BD
A. B. C. D.
[解析] , , ,A正确；
, , ,B错误；
, , ,C正确；
, , ,D错误.故选 .
11.能说明“若 ,则 ”为假命题的一组 , 的值依次为____________________
（写出一组，答案合理即可）.
1, （答案不唯一）
[解析] 易知当 时,“若 ,则 ”为假命题，不妨取 , .
12.如果一个直角三角形的斜边长等于5,求这个直角三角形面积的最大值.
解 设直角三角形的斜边长为 ,直角边长分别为 , ,由题意知 ,则 ,
则三角形的面积 ,
, ,当且仅当 时，等号成立，则三角形的面
积 ,即这个直角三角形面积的最大值等于 .
13.已知 ，且 ,试比较：
（1） 与 的大小；
解 因为 ，且 ,所以 ,
则 ,
所以 .
（2） 与 的大小.
因为 ,
所以 .
C级 学科素养创新练
14.设 ,且1是一元二次方程 的一个实根,则 的取值范围为
_ ________________.
[解析] 是一元二次方程 的一个实根, ,得
.
, , , , .由题意知， ，
,则 ,即 得
则不等式等价为 即 即 .
综上, 的取值范围为 .
15.对于四个正数 , , , ,如果 ,那么称 是 的“下位序对”.
（1）对于2,3,7,11,试求 的“下位序对”；
解 ,
的“下位序对”是 .
（2）设 , , , 均为正数,且 是 的“下位序对”,试判断 , , 之间的大小关系.
是 的“下位序对”, .
, , , 均为正数,
,即 ,
.同理可得 .
综上, .(共33张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.会用不等式组表示不等关系.
2.能够用作差法比较两个数或式的大小.
3.掌握等式的性质.
4.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
5.会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 不等式与不等关系
1.不等式的定义所含的两个要点.
（1）不等符号 , , , 或 .
（2）所表示的关系是不等关系.
2.不等关系中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字语言 大于 大于等于 小于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
符号语言
过关自诊
不等式“ ”有几层含义,如何理解？
提示 不等式“ ”有两层含义,一是 ,二是 ,两者中有一个成立,则不等式就是成立的,如“ ”“ ”均是正确的.
知识点2 实数的大小比较
比较实数 , 的大小的依据
它们的差与0
名师点睛
比较实数（式）大小的方法
方法 作差法 作商法
依据
应用范围 数（式）的大小不明显，作 差后可化为积或商的形式 同号两数比较大小
过关自诊
1.如果给定实数 与 ，那么如何比较它们的大小呢？
提示 通常是通过判断它们的差 与0的大小关系来比较它们的大小.当 与 同号
且都不为0时，也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小.
2.［北师大版教材习题］试比较下面各组中两式的大小：
（1） 与 ;
解 .因此，
.
（2） 与 .
.因此, .
知识点3 重要不等式
, , _ __ ,当且仅当______时，等号成立.
过关自诊
1.已知 , ,则( )
A
A. B.
C. D. , 的大小关系不确定
2.已知 , ,若 ,则 的最小值是___,当且仅当 _ ___时,取得最小值.
2
[解析] 根据 ,故 ,当且仅当
,即 时等号成立.
3. , , 的证明用了实数的什么性质？
提示由于 ,因此不等式的证明利用了“任意实数的平方不小于0”的性质,这是作差后判断符号常用的方法.
知识点4 不等式的性质
等式性质与不等式性质的比较
等式的性质 不等式的性质
等式的性质 不等式的性质
续表
名师点睛
对不等式性质的理解
（1）性质3（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.
（2）性质4（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.
（3）性质5（即同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.
（4）性质6和性质7（即同向同正可乘性，可乘方性），即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.
（5）性质1和性质3是双向推导，其他是单向推导.
过关自诊
1.[2023北京丰台期末] 下列说法正确的是( )
B
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 , ,则 D.若 , ,则
2.“ ”成立的条件是什么？ 的条件能去掉吗？
提示 成立的条件是“ 为大于1的自然数,且 ”.不能，假如去掉“ ”这个条
件,取 , , ,那么就会出现 的错误结论.
3.［人教B版教材习题］求证：如果 , ,那么 .
证明 .因为 ,所以 .
而 ,因此 ,所以 ,即
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】 用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 ,要求菜园
的面积不小于 ,靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系.
解 由题意知 ,菜园的另一边长为 ,因此菜园面积 ,由
题意可知， ,
即 ,所以题中不等关系可用不等式组表示为
变式探究 例1中,若改为矩形菜园的长、宽都不能超过 ,对面积没有要求,则 应满
足的不等关系是什么？
解 因为 ,所以 .又因为 ,且 ,所以 .
规律方法 利用不等式表示不等关系时的注意点
（1）必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用不等式来表示,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示；
（2）在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一；
（3）待比较的量中涉及特殊的数集要标明.
变式训练1 ［北师大版教材习题］有如图所示的两种广告牌：图①由两个等腰直角三
角形构成，图②是一个矩形.试用直观的方法比较这两个广告牌面积的大小，并将这种
大小关系用含字母 , 的不等式表示出来.
图①
图②
解 设图①,图②中两个广告牌面积分别为 , ,由图形可得 ,即表示为
.
探究点二 代数式大小的比较
【例2】 [2023广东广州期末] 求解下列问题:
（1）已知 ,比较 和 的大小；
解 因为 ,
所以 .
（2）已知 ,比较 与 的大小.
因为 ,所以 , , ,所以 .
规律方法 用作差法比较代数式大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法，一般步骤是:（1）作差.（2）变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等.（3）定号，即确定差的符号.（4）下结论，写出两个代数式的大小关系.
变式 训练2比较 与 （ ,且 ）的大小.
解 .因为
,所以当 时， ,即 ;
当 时， ,即 .
探究点三 不等式性质的应用
角度1.应用不等式性质判断命题真假
【例3】 对于实数 , , ，判断下列命题真假：
（1）若 ,则 ;
解 由 ,可得 , ,从而有 .故该命题为真.
（2）若 ,则 ;
因为 ,所以 ，因此 ，于是 .故该
命题为真.
（3）若 , ,则 , ;
由 ，可知 .因为 ,所以 ,于是 .又因为 ,
所以 , .故该命题为真.
（4）若 ,则 .
依题意取 , ,则 , ,显然 .故该命题为假.
规律方法 1.解决这类问题时，通常有两种方法：一是直接利用不等式的性质，进行推理，看根据条件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中经常采用这种办法.
2.注意正确的倒数法则，应该是 , ，不能误认为是 ,在应用时不能出错.
变式训练3（1） 若实数 , 满足 ,则下列不等式中不成立的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 , , ,则 , ,所以
,故选项 正确;取 , ,则 ,则 , ,此时
,故选项B错误.
故选B.
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
ACD
A.若 , ,则 B.若 , ,则
C.若 ,则 , D.若 ,则 , ,
[解析] 根据不等式的同向可加性得A正确；当 , 时, 成立,故B错误；不等式两边同加一个数不等式符号不变,故C正确； ,则 ,存在 ,使得 成立,故D正确.故选 .
角度2.应用不等式性质证明不等式
【例4】 若 , , ，求证： .
证明（方法1）
.
, ,
, , , .
, .
, .
又 ,
,即 .
（方法2） , .
, .
.
两边同乘 ,得 .
又 , .
变式探究 在例4条件不变的情况下,求证： .
证明 , .
, , .
又 , .
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明.
角度3.利用不等式性质求取值范围
【例5】 已知 , ,试求 ， 与 的取值范围.
解 , , , .
, .
又 , ,
即 .故 的取值范围是 , 的取值范围为 , 的取值范围是 .
变式探究 在例5条件不变的情况下，求 的取值范围.
解 , ,而 ,
,即 .
故 的取值范围是 .
规律方法 利用不等式的性质可以解决取值范围问题，当题目中出现两个变量求取值范围时，要注意两个变量是相互制约的，不能分割开来，应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求出取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）不等式与不等关系.
（2）实数的大小比较.
（3）重要不等式.
（4）不等式性质的应用.
2.方法归纳:作差法、公式法、配方法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
