(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为( )
D
A.1 B. C.2 D.4
[解析] ， ， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为4.
2.［探究点三］已知 ,则当 取最大值时, 的值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,
,当且仅当 ,即 时，等号成立.
3.［探究点一］（多选题）若 , 且 ,则下列不等式恒成立的是
( )
CD
A. B. C. D.
[解析] A项： , ,当且仅当 时，等号成立.
, ,A错误；
B项： ,当且仅当 时,等号成立,
故B项错误；
C项： ,当且仅当 时,等号成立,故C项正确；
D项： , ,当且仅当 时,等号成立, 项正确.
故选 .
4.[探究点三·2023江西丰城期末] 设 , ,且 ,则 的最小值是( )
A
A.1 B.2 C. D.
[解析] 因为 , ,且 ,
所以 , , ,当且仅当 ,即 时,
等号成立.
故选A.
5.[探究点一·2023安徽芜湖期末] 《几何原本》第二卷中的几何代
数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题
的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证
明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点 在半圆 上,且
D
A. B.
C. D.
,点 在直径 上运动.过点 作 交半圆 于点 .设 ,
,则由 可以直接证明的不等式为( )
[解析] 如图，连接 , .因为 , ,
所以 , .
所以 .
由圆的性质知 ,
由三角形相似易得 ,
所以 ,
由 可得, .
故选D.
6.［探究点三］已知 ，则 的最小值为____.
[解析] , ，当且仅当 时，等号成
立.
7.［探究点四］已知正实数 , 满足 ,则 的最大值为___, 的最
大值为___.
2
3
[解析] 正实数 , 满足 ,则 ,当且仅当
即 , 时,等号成立,故 的最大值为2.
,当且仅当 ,且
,即 , 时,等号成立,故 的最大值为3.
8.［探究点三］设 , ,且不等式 恒成立，求实数 的最小值.
解 因为 , ,所以原不等式可化为 ,所以
.因为 ,当且仅当 时，等号成立.所以 的
最大值为 .所以 ,即 的最小值为 .
9.［探究点二］已知 ， ， 为正数,求证： .
证明 左边 ,
, 为正数,
（当且仅当 时，等号成立）；
（当且仅当 时，等号成立）； （当且仅当 时，等号成
立）.
从而 （当且仅当 时，等号成立）.
,即 .
10.[探究点四·2023北京石景山期末] 下列是一道利用基本不等式求最值的习题:
已知 , ,且 ,求 的最小值.
小明和小华两名同学都巧妙地用了“ ”,但结果并不相同.
小明的解法:因为 ,所以
,而 ,
.那么 ,则最小值为 .
小华的解法:因为 ,所以 ,而
,则最小值为 .
（1）你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误？
解 小华的解法正确,小明的解法错误.
（2）请说明你判断的理由.
在小明的解法中, ,当等号成立时 ； ,当
等号成立时 ,那么 取得最小值 时, ,这与条件
是相矛盾的,所以小明的解法错误.
小华的解法中, ,等号成立的条件为 ,即 ,再由已知条件
,即可解得满足条件的 , 的值,所以小华的解法正确.
B级 关键能力提升练
11.（多选题）下列四个说法中,正确的是( )
BCD
A. ,且 ,
B. ,使得
C.若 , ,则
D.若 , ,且 ,则 的最大值为9
[解析] 对于A,当 时不成立；对于B,当 时成立,B正确；对于C,若 ,
,则 ,可化为 ,当且仅当
时,等号成立,C正确；对于D, , , ,当且仅
当 时，等号成立，
,D正确.故选 .
12.[2023重庆永川期末] 已知 , ,若不等式 恒成立,则 的最大值
为( )
C
A.9 B.12 C.16 D.10
[解析] 由已知 , ,不等式 恒成立,所以 恒
成立,令 ，则问题转化为求 的最小值,
,当且仅当 ,即
时，等号成立.
所以 , 的最大值为16.故选C.
13.（多选题）对于 , ,下列不等式正确的是( )
BCD
A. B.
C. D.
[解析] 当 , 时,因为 ,所以 ,当且仅当 时，等号
成立,故A不正确；显然B,C,D均正确.
14.已知当 时，代数式 取得最小值 ,则 ( )
C
A. B.2 C.3 D.8
[解析] ,由 ,得 , ,所以由基本不
等式得 ,当且仅当 ,即 时，
等号成立.所以 , , .
15.[2023山东滕州校级期末] 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首
先把“ ”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“ ”和“ ”符号,并逐步被
数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ,则
的最小值为( )
A
A.6 B.4 C.3 D.2
[解析] ,
因为 ,所以 ,且 , .
所以 ,
当且仅当 ,即 , 时,等号成立,
故 的最小值为6.
故选A.
16.已知 ，则 与 的大小关系是_____________________.
[解析] ,
, ,
.
当且仅当 时,等号成立.
17.已知不等式 对任意正实数 , 恒成立，求正实数 的最小值.
解 ,
, , , ,
,
当且仅当 时，等号成立.
要使 对任意正实数 , 恒成立，只需 恒成立即
可.
,即 ,
,故正实数 的最小值为4.
C级 学科素养创新练
18.若 , ,且点 在反比例函数 的图象上,则 的最小
值是___.
8
[解析] 点 在反比例函数 的图象上,
,即 .
, ,
,
,
当且仅当 , ,即 , 时，等号成立.由 ,
,解得 , 或 , .所以
的最小值是8.(共29张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 基本不等式
我们称不等式 为基本不等式，其中 _____, _____,当且仅当 时，
等号成立.
名师点睛
1.基本不等式与不等式 的异同
不等式
适用范围
文字叙述 两数的平方和不小于它们 积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的
几何平均数
等号成立的条件
2.基本不等式的变形
（1） ,当且仅当 时，等号成立；
（2） ,当且仅当 时，等号成立.
第一个变形体现了两正数的积与两正数和的平方之间的关系.当不等式的一端为定
值时，另一端就可以取最值.
基本不等式有多种变形，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用又可变形应用.
一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本
不等式处理.
过关自诊
1.当 , 时,下列不等关系成立的是____（填序号）.
； ； ； .
③
2.在上节课中，我们学习了一个重要不等式：若 , ，则 （当且仅
当 时，等号成立）.如果 , ,我们用 ， 分别代替不等式中的 ，
，可得到什么形式？
提示 得到 .
3.当 , 时,由 你能得到哪些变形式？
提示 将不等式的两边分别同时除以 并且移项后可以得到 ,同理将不等式
的两边分别同时除以 并且移项后可以得到 ,将上述两式左右两边分别相加
后可得 （当且仅当 时，等号成立）.
4.［北师大版教材习题］已知 ,求证： .
证明 当 时， ,
当且仅当 ，即 时，等号成立.
知识点2 利用基本不等式求最值
基本不等式与最值
已知 , 都是正数.
（1）若 （和为定值），则当 时，积 取得最大值 .
（2）若 （积为定值），则当 时，和 取得最小值 .
名师点睛
利用基本不等式求最值的注意事项
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相
等，这三个条件缺一不可.
一正：各项必须为正数.例如，求代数式 的最值时，不能直接用
.取特殊值 , ,可见 的最小值不为2，产生错
误的原因是这里的 不一定为正数.只有各项为正数时才能利用基本不等式.
二定：积或和为定值.积为定值和有最小值；和为定值积有最大值.为了利用基本不
等式，有时对给定的代数式要进行适当变形.例如：
（1）当 时, ,当且仅当 时，等
号成立.
（2）当 时, ,当且仅当
时，等号成立.
三相等：等号能否取到.例如, 中，虽然 与 的积为定
值1，但是当 时，有 不成立.所以 中等号
不成立，即此时不能用基本不等式求最值.
另外，在连续使用公式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次
等号成立的字母取值存在且一致.
过关自诊
［人教B版教材习题］已知 ,求 的最小值，并说明 为何值时 取得最小值.
解 因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时，等号成
立.
即当 时， 取得最小值 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 对基本不等式的理解
【例1】 （多选题）设 , ,下列不等式恒成立的是 ( )
ABC
A. B.
C. D.
[解析] A中，由于 ,
,故选A；
B中，由于 , , ,当且仅当 时，等号
成立，故选B；
C中，由于 , ,
,当且仅当 时，等号成立，故选C；
D中，当 时，不能直接应用基本不等式，故D不正确.
规律方法 应用基本不等式时要注意以下三点:
（1）各项或各因式均为正；
（2）和或积为定值；
（3）各项或各因式能取得相等的值.即“一正、二定、三相等”.
变式训练1 下列结论正确的是( )
B
A.若 ,且 ,则 B.当 时,
C.当 时, 的最小值为2 D.若 ， ,则
[解析] 对于选项A,当 时, 显然不成立；对于选项B,符合应用基本不等
式的三个基本条件“一正,二定,三相等”；对于选项C,忽视了验证等号成立的条件,即
,则 ,均不满足 ；对于选项D,令 , ，不等式不成立.
探究点二 利用基本不等式证明不等式
【例2】（1） 已知 , , 为不全相等的正实数,求证: .
证明 , , ,
, , .
,
即 .
, , 为不全相等的正实数, 等号不成立.
.
（2）已知 , , 为正实数,且 ,求证: .
, , 为正实数,且 ,
,当且仅当 时，等号成立，同理可得 ,
.
由上述三个不等式两边均为正实数,分别相乘,得
.
当且仅当 时,等号成立.
故 .
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意事项
（1）利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的目的.
（2）注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
（3）解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
（4）在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1”替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练2 已知 , 均为正实数.若 ,求证：
（1） ；
证明 , 均为正实数,且 ,
, .
,当且仅当 时,等号成立.
（2） .=
, 都是正实数,且 ,
,当且仅当 , 时,等号成立.
,
即 .
探究点三 利用基本不等式求最值
【例3】（1） 已知 ,则 的最小值为( )
A
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] ,
,当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 取得最小
值6.
（2）已知 , ,且 ，则 的最小值为___.
4
[解析] 因为 , ，且 ,所以 ,当且仅当 ,
即 , 时,等号成立.
变式训练3 已知 , ，且 ，求 的最大值.
解 , ， ,解得 ,当且仅当 ,即 , 时等号成立.此时 取得最大值1.
探究点四 基本不等式的变形应用
【例4】 已知 , , ,求证：
（1） ；
证明 , , , ,
,
当且仅当 时,等号成立 .
（2） .
（方法1） , , ,
,同理, ,
当且仅当 时,等号成立 .
（方法2） .
由（1）知, ,
故 ,当且仅当 时,等号成立.
规律方法 几个重要的不等式
（ , ,当且仅当 时,等号成立）.
（ , 同号,当且仅当 时,等号成立）.
（ , ,当且仅当 时,等号成立）.
（ , ,当且仅当 时,等号成立）
变式训练4（1） [2023湖北荆州期末] 已知正数 , 满足 ,则 的最小值
为( )
B
A.6 B.8 C.16 D.20
[解析] 因为正数 , 满足 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 , 时,等号成立.
所以 的最小值为8.故选B.
（2）[2023上海长宁期末] 已知一个直角三角形的两直角边之和为 ,则该直角三
角形面积的最大值是_ _______.
[解析] 设直角三角形的两直角边分别为 , ,
由直角三角形的两直角边之和为20可得，
,当且仅当 时,等号成立,
,
故直角三角形的面积 ,
故两直角边之和为20的直角三角形的面积的最大值为50.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）基本不等式和基本不等式的变形.
（2）利用基本不等式求最值,注意体会“和定积最大,积定和最小”这一结论.
2.方法归纳:配凑法、常值代换法.
3.常见误区:
使用基本不等式或基本不等式的变形形式时,要注意等号成立的条件.
