(共22张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］不等式 的解集为( )
C
A. B. ,或
C. D. ,或
[解析] 不等式 等价于
解得 .
故不等式的解集为 .
2.[探究点一·2023陕西宝鸡质检] 若集合 ,
,则 等于( )
B
A. B. C. D.
[解析] ,
.
又 且 ,则 ,2.即 .
3.［探究点一］不等式 的解集是( )
B
A. ，或 B. ，或
C. D.
[解析] 由 ,得 ,
因为方程 的两根为 ,5,
所以不等式 的解集为 ，或 .
4.［探究点二（角度3）］若不等式 对一切实数 恒成立,则实数
的取值范围是( )
C
A. B. ,或
C. D.
[解析] 当 时,不等式为 ,满足题意；
当 时,需满足
解得 .
综上, 的取值范围为 .
5.［探究点二（角度1）]（多选题）不等式 的解集是
,对于系数 , , ,下列结论正确的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 由不等式 的解集是 可得 ,且方程
的两个根为 ,2,所以 ,所以 , ,
故A正确,D错误；由 ,则 ,故C正确；依题意二次函数 的
图象开口向下,且二次函数的图象与 轴的两个交点横坐标是 ,2,因此当 时,
,故B正确.故选 .
6.［探究点二（角度2）］二次函数 的部分对应值如下表:
0 1 2 3 4
6 0 0 6
则关于 的不等式 的解集是_ ___________________.
,或
[解析] 根据表格可以画出二次函数 的图象
如图.由图象得关于 的不等式 的解集是
,或 .
7.[探究点二（角度3）·2023吉林梅河口期末] 若关于 的不等式
的解集为 ,则实数 的取值范围是_ _______________.
[解析] 因为关于 的不等式 的解集为 ,所以当 ,即 时,不等式化为 ,显然恒成立,符合题意；当 ,即
时, 解得 .
综上,实数 的取值范围是 .
8.［探究点三］某产品的总成本 （单位：万元）与产量 （单位：台）之间的函数关
系是 ,若每台产品的售价为25万元,则生产者不
亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是_____台.
150
[解析] 依题意得 ,整理得 ,解得 或 （舍去）.因为 ,所以 ,即生产者不亏本时的最低产量是150台.
B级 关键能力提升练
9.不等式 的解集是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得 解得 ,故选C.
10.若关于 的不等式 的解集中恰有4个正整数，则实数 的
取值范围为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 原不等式可化为 ,若 ,则解得 ,不等式的解集中不可能有4个正整数；若 ,则不等式的解集为空集，不合题意；
若 ,则解得 ,所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3，4，5，6，所以 .故实数 的取值范围是 .
11.在 上定义运算“ ”: ,则满足 的实数 的取值
范围为( )
B
A. B.
C. ,或 D.
[解析] 根据给出的定义得,
.
又 ,则 ,
故 的取值范围是 .
12.（多选题）若不等式 的解集是 的子集,则实
数 的取值可以是( )
AD
A. B.0 C. D.
[解析] 当 时,不等式 化为 ,解得 ,不满足题意；
当 时,由于不等式 的解集是 的子集,
则 ,解方程 ,
即 ,解得 , .
由题意可得 ,解得 .故 选项满足题意, 选项不满足题意.故
选 .
13.若 ，不等式 恒成立,则实数 的最小值为_ ___.
[解析] 令 ,若 ，不等式 恒成立,
则有 ，或 或
解得 ,实数 的最小值为 .
14.已知不等式 的解集为 ,或 .
（1）求 , 的值；
解 因为不等式 的解集为 ,或 ,所以 与 是方程 的两个实数根， 且 .
由根与系数的关系，得 解得
（2）解不等式 .
由（1）知不等式 可化为 ,即
.
当 时，不等式 的解集为 ;
当 时，不等式 的解集为 ;
当 时，不等式 的解集为 .
15.已知集合 , .若“ ”是“ ”的必要不充分条
件,给出如下三个条件： , ,
.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的 存在,求出 的取
值范围.
解 ,
若“ ”是“ ”的必要不充分条件,则集合 是集合 的真子集,
若选①, ,则 且等号不能同时成立，解得 ,
即 的取值范围为 .
若选②, ,则 且等号不能同时成立，无解，故 不存
在.
若选③, ,则 且等号不能同时成立，不等式组无
解.
即不存在 满足“ ”是“ ”的必要不充分条件.
C级 学科素养创新练
16.在 上定义运算: .若不等式 对任意实数 恒成
立,则实数 的最大值为_ _.
[解析] 原不等式等价于 ,
即 对任意 恒成立.
因为 ,
所以 ,解得 .
17.已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 .
（1）若 ,求实数 的取值范围.
解 由题意 ,解得 ,所以 的取值范围是 .
（2）求不等式的解集 .
当 时，不等式化为 , ;
当 时，不等式化为 .
当 且 时，因为 ,
所以 ,或 ；
当 时， ;
当 时，不等式化为 , .
（3）是否存在实数 ,使得上述不等式的解集 中只有有限个整数？若存在，求出使
得 中整数个数最少的 的值；若不存在，请说明理由.
存在 满足题意.
由（1）知，当 时， 中整数的个数为无限个；
当 时， 中整数的个数为有限个.
因为 ，所以 ,当且仅当 时，等号成立，
所以当 时， 中整数的个数最少.(共40张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.了解一元二次不等式的现实意义.
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次
不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联
系.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式
（1）概念：我们把只含有______未知数,并且未知数的最高次数是___的不等式,称
为一元二次不等式.
（2）__________：
（3）解集：一般地,使某个一元二次不等式成立的 的值叫做这个不等式的解,一
元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
一个
2
一般形式
名师点睛
1.一元二次不等式的二次项系数 有 或 两种，注意 .当 时，
我们通常将不等式两边同乘 ，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意
不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.
2.一元二次不等式一定为整式不等式，例如, 就不是一元二次不等式.
3.理解一元二次不等式的定义时，还需了解下列概念.
（1）如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式称为同解不等式；
（2）将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1） 是一元二次不等式. ( )
×
（2）若 是不为0的常数,则 是关于 的一元二次不等式. ( )
√
（3）不等式 是一元二次不等式. ( )
×
2.从未知数的个数以及未知数的最高次数看，不等式 , ,
, 等有什么共同特点？
提示 它们只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
3. 可看作一元二次不等式吗？
提示 可以,把 看作常数, 看作未知数,则是关于 的一元二次不等式；把 看作常数, 看作未知数,则是关于 的一元二次不等式.
知识点2 一元二次不等式的解法
二次函数与一元二次方程的解、不等式的解集的对应关系
没有实数根
_ ___________________
_ ________________ _ __ _ __
,或
续表
名师点睛
分式不等式的解法
（1）分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形，都可
化为标准形式 （或 ）或 （或 ）（其中 , 为整式，且
不为0）.
（2）分式不等式的解法
解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.
化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 的形式.
将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表：
分式不等式 同解不等式
过关自诊
1.什么叫二次函数 的零点？零点是点吗？
提示 把使 的实数 叫做二次函数 的零点.零点不是
点,是一个实数.
2.一元二次不等式 恒成立的含义是什么,系数 , , 之间有什么关系？
提示 一元二次不等式 恒成立的含义是指不等式的解集为 ,系数 , , 之间的关系是 且 .
3.［人教B版教材例题］求不等式 的解集.
解 因为 ,
所以原不等式等价于 ,因此所求解集为 .
4.［北师大版教材习题］参考下图，画出当 时， 的求解思路.
一元二次不等式 的求解方法，如图所示.
解 的求解思路如图所示.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式.
（1） ；
解 方程 的解是 , .
因为对应的二次函数 的图象是开口向上的抛物线,
所以原不等式的解集是 .
（2） ；
不等式可化为 .
因为方程 的判别式 ,
所以方程 的解是 , .
因为函数 的图象是开口向上的抛物线,
所以原不等式的解集是 .
（3） ；
方程 的解是 ,函数 的图象是开口向上的
抛物线,所以原不等式的解集是 .
（4） .
因为方程 的判别式 ,所以方程 无解.又因为函数 的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为 .
规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
变式训练1 解下列不等式.
（1） ;
解 不等式可化为 ,对于方程 ,因为 ，且
二次函数 的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是 .
（2） ;
因为方程 的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是 .
（3） .
不等式 可化为 .因为方程 的两个根是 ,1，且函数 的图象开口向上，
所以不等式的解集是 .
探究点二 含参数的一元二次不等式问题
角度解1.已知一元二次不等式的解集求参数值
【例2】 若关于 的一元二次不等式 的解集为 ,或 ,
求关于 的不等式 的解集.
解 由题意知
所以
代入不等式 中得 ,即 ,化
简得 ,解得 ,故所求不等式的解集为 .
规律方法 1.一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的根，要充分利
用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系，对于关于 的一元二次不等式
;当 时，其解集是 ,或 ;当
时，其解集是 .
变式训练2 已知关于 的不等式 的解集为 ,求关于 的
不等式 的解集.
解 关于 的不等式 的解集为 , ,2是关于 的方
程 的两根.
所以 解得
将其代入所求不等式 ,得 .由 ，得
，解得 或 .故 的解集为 ,
或 .
【例3】 ［北师大版教材例题］求关于 的不等式 的解集，其
中 是常数.
解 依题意知方程 的实数根为 , ,且一元二次函数
的图象是开口向上的抛物线.
（1）当 时，如图①，一元二次函数 的图象与 轴从左
至右有两个交点 与 .
图①
所以原不等式的解集为 .
角度2.含参数的一元二次不等式的解法
（2）当 时，如图②,一元二次函数 的图象与 轴只有一
个交点 .
图②
所以原不等式的解集为 .
（3）当 时，如图③，一元二次函数 的图象与 轴从左
至右有两个交点 与 .所以原不等式的解集为 .
图③
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ;
当 时，原不等式的解集为 ;
当 时，原不等式的解集为 .
规律方法 解含参数的一元二次不等式的步骤
变式训练3 若 ,解关于 的不等式 .
解 方程 的根为 ， .
①当 时, ,解不等式得 或 ；
②当 时, ,不等式为 ,解得 ；
③当 时, ,解不等式得 或 .
综上可知,当 时,不等式的解集为 ,或 ；
当 时,不等式的解集为 ；
当 时,不等式的解集为 ,或 .
角度3.不等式的恒成立问题
【例4】（1） 已知关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
解 当 时,原不等式化为 ,显然符合题意.
当 时,令 , 恒成立, 函数 图象都在
轴的下方,即开口向下,且与 轴无交点.
解得 .
综上,实数 的取值范围是 .
（2）当 时,关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
令 .
当 时 恒成立,
的根一个小于1,另一个大于2.
得
实数 的取值范围是 .
规律方法 1.如图①,关于 的一元二次不等式 在 上恒成立
一元二次不等式 的解集为 二次函数
的图象恒在 轴上方
图①
图②
2.如图②，关于 的一元二次不等式 在 上恒成立 一元二次不等式 的解集为 二次函数
的图象恒在 轴下方
3.含参数的一元二次不等式在某一范围恒成立问题,求解时主要有两种方法：一种是将参数分离,转化为恒成立问题；另一种是利用二次不等式对应的二次方程根的分布及数形结合思想求解.
变式训练4 [2023山西太原月考] 设函数 .
（1）若 对于一切实数 恒成立,求 的取值范围；
解 若 ,原不等式化为 ，显然恒成立；若 ,则
.
的取值范围为 .
（2）对于 , 恒成立,求 的取值范围.
因为对于 , 恒成立,
即 恒成立,
,
又 , .
函数 在 时的最小值为 , 只需 即可.
的取值范围为 .
探究点三 一元二次不等式的实际应用
【例5】 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续
往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某
种路面上，某种型号汽车的刹车距离 （单位： ）与汽
车的车速 （单位： ）满足下列关系：
（ 为常数，且 ），做了两次刹车实验，有关实验
数据如图所示，其中
（1）求 的值.
解 由题意得
解得 .因为 ,所以 .
（2）要使刹车距离不超过 ，则行驶的最大速度是多少？
由于刹车距离不超过 ，即 ，
所以 ，因此 ，
解得 .因为 ，所以 ，
即行驶的最大速度为 .
变式探究 例5中，条件不变，若该型号的汽车在某一限速为 的路段发生了交通
事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离大于 ，试问该车是否超速行驶？
解由题意知 ,即 ，即 ，解得
或 .由于 ,所以速度 ，因此该车超速行驶.
规律方法 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
（1）理解题意，搞清量与量之间的关系.
（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）一元二次不等式的概念.
（2）解一元二次不等式的常见方法：图象法、代数法.
（3）含参数的一元二次不等式问题.
（4）利用一元二次不等式解决实际问题.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论、化归与转化.
3.常见误区:（1）忽略二次项系数的符号;（2）利用一元二次不等式解决实际问
题时,应注意实际意义.
