(共38张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 子集与真子集
1. 图
用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 图.
名师点睛
对 图的理解
（1）表示集合的 图的边界是封闭曲
线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线.
（2）用 图表示集合的优缺点：
优点是能够呈现清晰的视觉形象，即能够直观地表示集合之间的关系；
缺点是在不太严格意义下用以表示集合的一种草图，集合元素的公共特征不明显.
2.子集与真子集
概念 定义 符号表 示 图形表示 性质
子集
任意一个
真子 集
续表
1.对子集的理解
（1）“ 是 的子集”的含义：集合 中的任意一个元素都是集合 中的元素，即
由任意 ,能推出 .
（2）若 ，则 有以下三种情况：
是空集；
是由 的部分元素组成的集合；
是由 的全部元素组成的集合.
故不能简单地认为“若 ，则 是由 的部分元素组成的集合”.
名师点睛
2.对真子集的理解
（1）真子集的概念也可以叙述为：若集合 ，存在元素 ，且 ,则称集合 是集合 的真子集.
（2）集合 是集合 的真子集，需要满足以下两个条件： .集合 是集合 的子集； .存在元素 ,且 .所以，如果集合 是集合 的真子集，那么集合 一定是集合 的子集，反之不成立.
（3）任何集合都一定有子集，一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
过关自诊
1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”？
提示 不能.“ 是 的子集”的定义中“集合 中的任意一个元素都是集合 的元素”,即
对任意 都能推出 .注意“任意一个元素”而不是某个或某些元素.
2.符号“ ”与符号“ ”有什么区别？
提示 符号“ ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“ ”表示元素与集合之间的从
属关系.
3.集合 与集合 有什么区别？
提示 或 .因此若集合 是集合 的子集包含两个方面： 或
.
4.已知集合 ,3, , ,则 ___,集合 的真子集有___个.
2
7
[解析] , ,
集合 的真子集有 （个）.
知识点2 集合相等
一般地，如果集合 的______________都是集合 的元素，同时集合 的_______
_______都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作_______.
也就是说，若 ___ ，且 ___ ，则 .
任何一个元素
任何一个元素
名师点睛
对集合相等的理解
（1） 的图形表示如右：
（2）集合 与集合 相等，就是集合 与集合 中的元素完全一致.
（3）集合“ ”可类比实数中的结论“若 ，且 ，则 ”,即“若
，且 ，则 ”.
（4）若 ，则有 ，且 .
过关自诊
1.本书1.1中，我们是如何定义两个集合相等的？
提示 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
2.若 , , , , , ,且 ,则 _ ___, ___.
0
[解析] 由两个集合相等可知 , .
知识点3 空集
一般地,我们把不含有__________的集合叫做空集，记为___，并规定：空集是任
何集合的子集，即 .
任何元素
名师点睛
有限集合的子集问题
若有限非空集合 中含有 个元素，则有：
（1）集合 的子集的个数为 ;
（2）集合 的真子集的个数为 ;
（3）集合 的非空子集的个数为 ;
（4）集合 的非空真子集的个数为 .
例如，集合 ， 的元素个数为2，其子集个数为 ,子集分别为 ，
， ， ， ；真子集个数为 ,真子集分别为 ， ， ；非空子
集个数为 ，非空子集分别为 ， ， ， ；非空真子集个数为
，非空真子集分别为 ， .
过关自诊
1. ， 之间有什么区别与联系？
提示 是含有一个元素0的集合， 是不含任何元素的集合，因此 .
2.若 ,能不能看成集合 是集合 中部分元素组成的集合？
提示 不能.因为当 时, ,但 中不含任何元素；当 时,有 ,但
中含有 中所有元素.
3.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征？
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
4.集合 , , 的所有非空子集为______________________________________,其中它
的非空真子集有___个.
, , , , , , , , , , ,
6
[解析] 集合 , , 的非空子集有 , , , , , , , , , , , ,其中除 , , 外,剩余都是 , , 的非空真子集,共6个.
知识点4 子集与真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得：
（1）空集是任何集合的子集，______；
（2）任何一个集合是它自身的子集，即_______；
（3）空集只有一个子集，即它自身；
（4）对于集合 ， ， ，由 ， 可得_______；
（5）对于集合 ， ， ，由 ， 可得_ ______.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）空集是任何集合的真子集.( )
×
（2）非空集合至少有两个子集.( )
√
（3） .( )
√
（4）一个集合可能是它本身的真子集.( )
×
（5）若 , ,则 .( )
×
2.若 ,则 _ _____________.
或
[解析] 由条件知集合 中一定含有元素1和2,故集合 可能是 或 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 集合的子集、真子集问题
【例1】（1） 集合 ,且 的非空真子集的个数为( )
D
A.31 B.30 C.15 D.14
[解析] 因为集合 ,且 ,可化简为 ,
所以该集合的非空真子集的个数为 .
（2）已知集合 , ,则集合 _______.若集合 满足
,则集合 _ ______.
[解析] 因为解方程 ,得 或 ,所以集合 , ,
因为集合 满足 ,所以集合 .
（3）已知集合 , , ,试写出 的所有子集.
解 因为 , , ,所以 , , .所以 的子集
有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， .
规律方法 1.求集合的子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点
（1）要注意两个特殊的子集： 和自身；
（2）按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
变式训练1（1） 若 ,则满足条件的集合 的个数为( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 因为集合 是集合 的真子集,同时集合 又是集合 的子集,所以满足条件的集合 有 , 和 .
（2）已知集合 ,且 中至少含有一个奇数,则满足条件的集合 的个数为
( )
B
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 由题知， ，2， ，且 中至少含有一个奇数，故集合 , , , , ，共5个.
（3）［人教B版教材例题］写出集合 的所有子集和真子集.
解 集合 的所有子集是 , , , , , , , .在上述子集中，除去集合 本身，即 ，剩下的都是 的真子集.
探究点二 集合之间关系的判断
【例2】 判断下列集合间的关系：
（1） , .
解 集合 ,用数轴表示集合 , 如下图所示,可知 .
（2） , .
由题得 , ,而当 时, 是奇数,
是整数,故 .
（3） , .
集合 表示直线 上点的纵坐标构成的集合,而集合 则表示直线 上
点的坐标构成的集合,所以 .
规律方法 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
变式训练2 ［北师大版教材习题］判断下列各组中两个集合之间的关系：
（1） 与 是6的正因数}；
解 因为 是6的正因数 ,所以 是6的正因数}.
（2） 与 .
因为 , , , 是偶数 ，所以 , .
探究点三 集合相等关系的应用
【例3】 已知集合 , , , ,2, ,且 ,求实数 , 的值.
解 , 集合 与集合 中的元素相同,
或
解得 或 或
验证得,当 , 时,与集合中元素的互异性相矛盾,舍去.故 , 的取值为
或
变式探究 若将例3中已知条件改为“集合 , , ,集合 , , ,且
”,求实数 , 的值.
解 , , .
又由集合中元素的互异性,可知 , ,
, ,故 ,即 .
此时 , , , , , ,
,解得 .
当 时, ,与集合中元素的互异性矛盾,
,即 .
规律方法 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一个集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程（组）求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不符合要求的解.
探究点四 由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合 , .
（1）若 ,试判断集合 , 之间是否存在子集关系；
解 若 ,则 .
如图在数轴上标出集合 , .
由图可知, .
（2）若 ,求实数 的取值范围.
由已知 .
①当 时, ,解得 .显然成立.
②当 时, ,解得 .
由已知 ,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可得 解得 .又因为 ,所以实数 的取值范围为
.
综上，实数 的取值范围为 .
变式探究 例4（2）中,是否存在实数 ,使得 ？若存在,求出实数 的取值范围；
若不存在，试说明理由.
解 不存在.理由如下，
因为 ,所以若 ,则 一定不是空集.
此时有 即 显然实数 不存在.
规律方法 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
（1）求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“ ”用实心点表示,不含“ ”用空心圈表示.
（2）涉及“ ”或“ ,且 ”的问题,一定要分 和 两种情况进行讨论,其中 的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）子集、真子集、集合相等的概念.
（2）集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题.
（3）由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:（1）容易忽略对集合是否为空集的讨论；（2）求参数范围时,端点
值能否取到容易出现错误.(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］下列集合中表示空集的是( )
D
A. B.
C. D.
[解析] A，B，C分别表示的集合为 ， ， ，
方程 无实数解，
表示空集.
2.［探究点二］（多选题）下列说法中，错误的是( )
ABC
A.空集没有子集 B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集 D.若 ，则
[解析] A错，空集含有本身一个子集；B错，如 只有一个子集；C错，空集不是空集的真子集；D正确，因为空集是任何非空集合的真子集.
3.［探究点一］已知集合 ,则集合 的真子集个数为( )
C
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 集合 的真子集有: , , , , , , ,共7个.
4.［探究点三］集合 , , , ,且 ,则实数 ( )
C
A.2 B. C.2或 D.4
[解析] , ,即 ,解得 或 .
5.［探究点四］已知集合 ,集合 .若
,则 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 当 时,要满足 ,只需
解得 ;
当 时,只需 ,解得 .
综上, 的取值范围为 .故选A.
6.［探究点四］已知集合 ,3, ,集合 , .若 ,则实数 ___.
2
[解析] 由 ,且 ,得 ,解得 .
经检验，符合题意.
7.［探究点四］已知集合 ,3, , , ,是否存在实数 ,使得 是 的
子集？若存在,求出集合 , ；若不存在,请说明理由.
解 存在.理由如下，因为 是 的子集,所以 中元素必是 中的元素,若 ,则
,符合题意.若 ,则 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 ,
此时 ,集合 中的元素不满足互异性.
综上所述,存在实数 ,使得 是 的子集,
此时 ,3, , .
B级 关键能力提升练
8.（多选题）已知集合 ,则下列集合中不是集合 的子
集的为( )
ABC
A. ,0, B. ,0,1,
C. D.
[解析] 集合 , ,0, ,集合 , ,集合 ,0, ,不难发现集合
中的元素 ,集合 中的元素 ,集合 中的元素 ,而集合 ,
0, 中的任意一个元素都在集合 中,所以 .故选 .
9.已知集合 满足 ,那么符合条件的集合 的个数为( )
D
A.5 B.6 C.7 D.8
[解析] 由题意可知:1, ,且 可包含 中的元素,所以集合 的个数即为集合 的子集个数,即为 （个）.
10.（多选题）已知集合 , ,若 ,则实数 的值可能是
( )
AC
A. B.1 C. D.2
[解析] 当 时, ,符合题意；若 ,由题意可得 ,若集合 为
集合 的子集,则 ,解得 ,没有选项满足该范围；若 ,由题意可得
,因为 ,此时 ,故选 .
11.已知集合 ,则集合 ______；若集合 满足 ,
则集合 _ _____.
[解析] 解方程 ,得 或 ,
集合
集合 满足 , 集合 .
12.设 , ,集合 , , , , ,则 _ ___.
[解析] 由题意,若 ,则 或 .
若 ,可得 ,解得 ,当 时,由 ,得到 ,不符合题意；当 时,由 ,得到 ,符合题意；若 ,则 ,得 ,不符合题意；
若 ,则 ,不符合题意.
综上, ,则 .
13.集合 ， ，
（1）当 时，求 的非空真子集个数;
解 当 时， ， ，0，1，2，3，4， ,
的非空真子集个数为 .
（2）当 时，不存在 使 与 同时成立，求实数 的取值范围.
，且 ， ，不存在 使 与 同时成立.
则①若 ，即 ，得 时满足条件.
②若 ，则要满足条件： 或 解得 .
综上，实数 的取值范围是 ,或 .
C级 学科素养创新练
14.已知集合 .
（1）若 ,求实数 的取值范围；
解 由题意得,方程 有实数解,
,得 .
实数 的取值范围是 .
（2）若 且 ,求实数 的取值范围.
, ,且 ,
当 时, ,得 ,满足 ；当 时,当
时, ,此时 ,满足 ,符合题意;
当 时, ,此时 中有两个元素,
若 ,则 ,从而 无解.
综上,实数 的取值范围为 .
