(共17张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］ , 是两个集合,则集合 ,且 可用阴影表示为( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 集合 ,且 ,结合选项知D正确.
2.［探究点二］设集合 , , ,且 ,0, ,则实数 等于( )
A
A. B.1 C.0 D.2
[解析] 由于 ,0, ,则 或 .
因为 ,所以 .所以必有 .
又 , ,则 .
3.[探究点一·2023新高考Ⅰ] 已知集合 , ,0,1, ， ，
则 ( )
C
A. , ,0, B. C. D.2
[解析] 因为 ，而 , ,0,1, ，所以 .故选C.
4.［探究点三］（多选题）若集合 ,则下列结论正确的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] , ,故A错误；
, ,故B正确；
集合与集合之间不能用“ ”连接,故C错误；
, ,则 ,故D正确.故选 .
5.［探究点一］（多选题）已知集合 ,集合 中有两个元素,且满足
,则集合 可以是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] ,且 ,
则 ,由于集合 中有两个元素,则 或 .
6.［探究点二］设 ,2, , , ,若 ,则实数 _ ___.
[解析] 因为 ,所以 .
当 时，解得 ,则 ,不满足集合中元素的互异性,不符合题意；
当 时，解得 或 ,
当 时不符合题意,当 时, ,此时 ,满足 .
综上所述， .
7.［探究点二］已知集合 ，或 , ,且 ,
,则 _ ___.
[解析] 如图所示,可知 , , .
8.［探究点三］已知集合 , .
（1）若 ,求实数 的取值范围；
解 , ,
解得 ,
实数 的取值范围是 .
（2）若 ,求实数 的取值范围.
当 时, 或者 ,解得 或 , 时,
,
实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
9.设 , 是非空集合,定义 ,且 ,已知
, ,则 等于( )
C
A. B.
C. ,或 D. ,或
[解析] 由题意知 , ,
,或 .
10.某班45名学生中,有围棋爱好者22人,足球爱好者28人,则同时爱好这两项的人最少有
( )
B
A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
[解析] 由题意可得 图，如图所示，由图可知，同时爱好这
两项的人最少有 人,故选B.
11.（多选题）满足集合 ,且 ,则集合 ( )
AC
A. B. C. D.
[解析] 集合 ,且 ,
集合 中一定有元素 , ,不能有元素 ,且元素 可能属于集合 ,也可能不属于集合 , 或 ,故选 .
12.设集合 , , ,且集合
,则 _ ___, ___.
2
[解析] ,
,由题意 , .
13.已知集合 , ,若 ,则实数 的
取值范围是_ __________________.
,或
[解析] , ,而 .
① ,即 时， ,满足题意；
② 解得 ;
③ 解得 .
综上可得， 的范围是 ,或 .
C级 学科素养创新练
14.设集合 , .
（1）若 ,求实数 的值；
解 由题得， , , .将 代入方
程 得 ,解得 或 .
当 时,集合 ,符合题意；
当 时,集合 , ,符合题意.
综上， 或 .
（2）若 ,求实数 的取值范围.
若 ,则 .
, 或 或 或 .
若 ,则 ,
解得 ；
若 ,则
即 不成立；
若 ,则
即 不成立；
若 ,则
即 不成立.
综上, 的取值范围是 .(共32张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 并集
文字语言 符号语言 图形语言
所有
或
对并集概念的理解
仍是一个集合， 由所有属于集合 或属于集合 的元素组成.
名师点睛
（2）并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取
其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的，“ 或
”包括下列三种情况： ,且 ; ,且 ; ,且 .可
用下图所示形象地表示.
（3）并集的运算性质
性质 说明
满足交换律
任何集合与空集的并集仍为集合本身
集合与集合本身的并集仍为集合本身
多个集合的并集满足结合律
并集关系与子集关系的转化
任何集合都是该集合与另一集合并集的子集
过关自诊
1.设集合 , ,则 ( )
A
A. B. C. D.
2.[2023黑龙江哈尔滨期末] 已知集合 , ,则
( )
D
A. B. C. D.
[解析] , ,
.
3.若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征？
提示 若两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集.
知识点2 交集
文字语言 符号语言 图形语言
所有
且
,且
对交集概念的理解
（1） 仍是一个集合， 由所有属于集合 且属于集合 的元素组成.
（2）对于“ ,且 ”,包含以下两层意思： 中的任一元
素都是 与 的公共元素； 与 的公共元素都属于 ，这就是文字定义中“所
有”二字的含义，如 ，2， ， ，3， ，则 ， ，而不是
或 .
（3）并不是任意两个集合总有公共元素，当集合 与集合 没有公共元素时，不
能说集合 与集合 没有交集，而是 .
（4）当 时， 和 同时成立.
名师点睛
（5）交集的运算性质
性质 说明
满足交换律
空集与任何集合的交集都为空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
多个集合的综合运算
满足分配律
交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
求两集合交集的注意点
（1）求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合元素的性质特征尽量明显化，然后根据交集的含义写出结果.
（2）在求与不等式有关的集合的交集运算时，数轴分析法直观清晰，因此，应重点考虑.
名师点睛
过关自诊
1.已知集合 , , ,则集合 中元素的个数
为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
2.［北师大版教材习题］已知集合 , ,求
, .
解 ,
.
3.若两个集合 , 的交集是空集,则两个集合有什么特征？
提示 若两个集合 , 的交集是空集,则两个集合中至少有一个集合是空集或者两个集合都不是空集,但是两个集合没有公共元素.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 集合的并集与交集运算
【例1】（1） 已知集合 ,集合 ,求
, .
解 集合 ,
.
集合 , , .
, ,1, .
（2）已知 , ,或 ,求 , .
, ,或 ，把集合
与 都表示在数轴上，如图.
,或 ， .
规律方法 求两个集合交集、并集的方法
若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用 图表示
出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的
合并元素,相同的元素只能写一次；若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,
利用数轴时,要注意端点的取舍及表示.
变式训练1（1） [2023北京海淀期末] 已知集合 , ,
, ,0, ,则 ( )
C
A. B. C. ,0, D. , ,0,1,
[解析] 集合 , , , ,0, ,则 ,0, .
（2）［北师大版教材例题］已知集合 , ，求
, .
解 在数轴上表示出集合 , （如图），则
;
.
探究点二 已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围
【例2】 已知 ,集合 , ,若 ,则实
数 的值为_ ______.
5或
[解析] , 且 ,
或 ,解得 或 .
当 时, ,9, , , , ,符合题意；
当 时, ,5, , 不满足集合中元素的互异性,故 ；
当 时, , , , ,4, ,符合题意.
综上可得 的值为5或 .
变式探究 例2中,将“ ”改为“ ”,其余条件不变,求实数 的值及
.
解 , .
或 ,解得 或 .
当 时, ,9, , , , ,
由于 , ,不符合题意,故 ；
当 时, ,5, , 不满足集合中元素的互异性,故 ；
当 时, , , , ,4, ,且 ,符合题意.
综上可得 .此时 , , ,4, .
规律方法 已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
（1）若 ,求 的取值范围；
图①
解 , ,且 ,把集合
与 都表示在数轴上，如图①所示.
数轴上点 在点 左侧,且可以包含点 ,
.
（2）若 ,求 的取值范围.
图②
, ,
且 ,把集合 与 都表示在数轴上，如图②所
示,
数轴上点 在点 和点 之间,不包含点 ,但包含点
.
【例3】 集合 , .
变式探究 例3（1）中,把“ ”改为“ ”,求 的取值范围.
解 利用数轴（略）表示出两个集合,数形结合知,要使 ,需数轴上点 在
点 右侧且不包含点 ,所以 .
规律方法 已知集合运算求参数的取值范围的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式（组）求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程（组）求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
探究点三 集合的交集、并集性质的应用
【例4】 设集合 , , ，若
,则实数 的取值范围为_ ________.
[解析] 由 得 ,当 时,
,即 ，此时 成立.
综上可知，实数 的取值范围是 .
当 时，由数轴可得 解得 .
规律方法 求解与集合的交集或并集有关的性质问题,首先应该根据性质特征将性质转
化为集合之间的关系.常见的等价性质有 ; .
变式训练2 [2023江苏徐州期末] 已知集合 , .
（1）若 ,求 ；
解 当 时, , ,
所以 .
（2）若 ,求实数 的取值范围.
因为 ,所以 .
当 时, , ,满足 ；
当 时, ,
因为 ,所以
.
综上,实数 的取值范围为 ，或 .
【例5】 设 , .
解 由 ,得 或 .
（1）若 ,求 的取值范围；
, , , , , .
当 时, , ；
当 时, ；
当 时, 无解；
当 时, 得 .
综上所述,得 的取值范围是 ，或 .
（2）若 ,求 的值.
, ,而 中方程至多有两个根, ,由（1）知
.
规律方法 利用交集、并集运算求参数的思路
（1）涉及 或 的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合
之间的关系求解,要注意空集的特殊性.
（2）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列
举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性；与不等
式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
变式训练3 已知集合 ,集合 ,
（1）当 时,求 , ；
解 由题意得 .
当 时, ,
, .
（2）当 时,求实数 的值.
, , ,
是关于 的方程 的解,
即 ,解得 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）并集、交集的概念及运算.
（2）并集、交集的性质.
（3）由并集、交集的关系求参数的值或取值范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后,易忽
视代入原集合进行检验这一步骤.(共15张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］设集合 ,0,1,2, ,集合 ， ，则集合 ( )
D
A. ， B. ， C. ， D. ，2，
[解析] , , ,0,1,2, ,
2.[探究点二·2023湖南郴州期末] 已知全集 ,集合 或 ,
或 ,则集合 ( )
C
A. B.
C. D. ，或
[解析] , 或 ,
.
或 ,
.
故选C.
3.［探究点二］已知全集 ,集合 ，1，2，3，
4， ， ,则图中阴影部分所表示的集合
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由图可知,阴影部分所表示的集合是 ,
, ,
.故选D.
4.［探究点三］已知 为全集,集合 , 是 的子集.若 ,则( )
C
A. B. C. D.
[解析] , ,
5.［探究点二］设全集 ,集合 ,
,则图中的阴影部分表示的集合为_ _____.
[解析] 由 图可知阴影部分表示的集合为 .
, .
6.［探究点四］设全集 ,集合 , ,且 ,则
实数 的取值范围是_ _________.
[解析] 因为 , ,
所以 ,由 ,可知 .
故实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
7.设全集 ,若 , , ,则下
列结论正确的是( )
B
A. ,且 B. ,但 C. D. ,且
[解析] 根据题意有 ,故 ,且 , ,所以 但
, ,故 , 且 , ,可知3只能
是 , 中一个的元素，若 , ,符合；若 , ,则 ,不
符.
8.[2023杭州模拟] 定义集合运算: , , ,若集合
, ,则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 , ,
所以 , .
故选C.
9.（多选题）已知全集 和集合 , , ,若 ,则下列关系一定成立的有
( )
ACD
A. B.
C. D.
[解析] ,由图可知， ,
, .故选 .
10.已知全集 中有 个元素, 中有 个元素.若
非空,则 的元素个数为_ ______.
[解析] 中有 个元素,如图所示阴影部分,又 中有 个元素,故 中有 个元素.
11.已知集合 ,3, , , ,若存在实数 ,使得 成立,则
_ ________, ______.
,3,
[解析] 存在实数 ,使 ,
.
若 ,则 ,符合题意.
若 ,则 ,不符合题意.
存在 ,使 ,
此时 ,3, , .
12.在 , , 且
这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
问题：已知非空集合 ,___,若 ,求 的取值集合.
解 若选①：因为 是非空集合,
所以 ,解得 .
因为 , ,
所以 或 ,解得 ,
综上所述, 的取值集合是 .
若选②：因为 是非空集合,所以 ,解得 .
因为 ,
所以 ,或 ,
因为 ,所以 解得 ,
故 的取值集合是 .
若选③：因为 是非空集合,所以 ,解得 .
因为 , , ,
所以 ,解得 或1,
故 的取值集合是 , .
C级 学科素养创新练
13.定义差集 ,且 ,现有三个集合 , , 分别用圆表示,则集合
可表示下列图中阴影部分的为( )
A
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 如图所示,图中阴影部分表示 ,故集合 中所含
元素属于 ,但不属于图中阴影部分,故选A.
