(共28张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.
2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要
条件的判断方法.
3.掌握证明充要条件的一般方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 充分条件与必要条件
一般地,“若 ，则 ”为真命题,就说 是 的______条件, 是 的______条件.
名师点睛
1.在逻辑推理中“ ”的几种说法
（1）“如果 ,那么 ”为真命题.
（2） 是 的充分条件.
（3） 是 的必要条件.
（4） 的必要条件是 .
（5） 的充分条件是 .
这五种说法表示的逻辑关系是一样的，说法不同而已.
充分
必要
2.对充分条件的理解
（1）充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得
出此结论或使此结论成立.
（2）只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例
如 ,但是，当 时， 也可以成立，“ ”也是“
成立”的充分条件.
3.对必要条件的理解
（1）必要条件是在充分条件的基础上得出的，真命题的条件是结论成立的充分条
件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可
能是结论成立的必要条件.
（2）“ 是 的必要条件”的理解：若有 ,则必须有 ;而具备了 ，不一定有 .
过关自诊
1.已知“若 ,则 ”为真命题,说明 与 之间有什么关系？
提示 说明当 成立时,一定能得出 成立.即由 通过推理可以得出 .这时我们就说,由
可以推出 ,记作 .
2.已知“若 ,则 ”为假命题,说明 与 之间有什么关系？
提示 说明由条件 不能推出结论 ,记作
3.若 是 的充分条件, 是唯一的吗？ 是唯一的吗？
提示 不唯一.凡是能使结论 成立的条件都是它的充分条件,如 是 的充分条件, ， 等都是 的充分条件；凡是能由条件 推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件.
4.［人教B版教材例题］判断下列各题中， 是不是 的充分条件， 是不是 的必要条件：
（1） , ;
解 因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即 ,因此 是 的充分条件， 是
的必要条件.
（2） 是矩形， 是正方形.
因为矩形不一定是正方形，即 ，因此 不是 的充分条件， 不是 的必要条件.
知识点2 充要条件
如果“若 ,则 ”和它的逆命题“若 ,则 ”均是真命题,即既有 ,又有 ,就
记作_______.此时, 既是 的充分条件,也是 的必要条件,我们说 是 的__________
条件,简称为充要条件.
名师点睛
1.对充要条件的两点说明
（1） 是 的充要条件意味着“ 成立，则 一定成立； 不成立，则 一定不成
立”.
（2） 是 的充要条件,则 也是 的充要条件.
充分必要
2.常见的四种条件与命题真假的关系
如果有命题“若 ,则 ”和“若 ,则 ”,那么 与 的关系有以下四种情形：
真 真
真 假
假 真
假 假
过关自诊
1.[2023上海普陀区期末] 设 , ,那么 是 的( ) 条件.
A
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
[解析] 由 能推出 ,充分性成立;由 不能推出 ,必要性不成立,故 是 的充分不必要条件.故选A.
2.［北师大版教材习题］下列各题中，试判断 是 的什么条件.
（1） , ;
解 必要不充分条件;
（2） 四边形的对角线相等， 四边形是矩形;
必要不充分条件;
（3） 一元二次函数 , 一元二次函数的图象关于 轴对称.
充要条件.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 充分条件、必要条件的判断
【例1】（1） 判断下列各题中， 是不是 的充分条件：
① , .
解 因为 ，所以 ,
所以 是 的充分条件.
② , .
由于 ,当 时, ;当 时， 不存在；当 时, .因此 ,所
以 不是 的充分条件.
③ , .
由 可以推出 .
因此 ,所以 是 的充分条件.
④ , .
设 , ,则 .
因此 ,所以 不是 的充分条件.
⑤在 中， , .
由三角形中大角对大边可知，若 ,
则 .因此, ,所以 是 的充分条件.
⑥已知 , , , .
因为 , ,所以 , ,由 ,可推出 ,即 ,所以 是 的充分条件.
（2）判断下列各题中， 是不是 的必要条件：
① , .
若 ,则 或 ,
因此 ，所以 不是 的必要条件.
② 是直角三角形， 是等腰三角形.
直角三角形不一定是等腰三角形.
因此 ,所以 不是 的必要条件.
③ , .
当 时, ,
所以 ,所以 是 的必要条件.
④ , .
设 , ,
则 ,所以 ,所以 不是 的必要条件.
⑤ 是自然数, 是正整数.
0是自然数，但0不是正整数，
所以 ,所以 不是 的必要条件.
规律方法 充分条件、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件;
若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件.
（2）集合转化法：设 , 对应的集合分别为 , ,则若 ,则 是 的充分条件；
若 ,则 是 的必要条件；若 ,则 既是 的充分条件,又是 的必要条件.
（3）命题判断法：①如果“若 ,则 ”为真命题，那么 是 的充分条件，同时
是 的必要条件.
②如果“若 ,则 ”为假命题，那么 不是 的充分条件，同时 也不是 的必要条件.
变式训练1 下列各题中， 是 的什么条件？
（1） 两个三角形相似, 两个三角形全等；
两个三角形相似 两个三角形全等,但两个三角形全等 两个三角形相似, 是
的必要不充分条件.
（2） , ；
且 , 是 的充要条件.
（3） , .
,且 ,
是 的既不充分也不必要条件.
探究点二 利用条件、结论之间的推出关系判断充要条件
【例2】 （多选题）已知 是 的充分不必要条件, 是 的充分条件, 是 的必要条
件, 是 的必要条件,下列说法正确的是( )
AB
A. 是 的充要条件 B. 是 的充分不必要条件
C. 是 的必要不充分条件 D. 是 的充分不必要条件
[解析] 由已知有 , , , , ,由此得 且 ,A正确,C不正确, , ,B正确, 且 ,因此D不正确,故选 .
规律方法 涉及多个条件与结论之间的充分条件、必要条件的判断,可以借助各个条件与结论之间的推出关系,结合充分条件、必要条件的定义判断.
变式训练2 如果 是 的必要不充分条件, 是 的充要条件, 是 的充分不必要条件,
那么 是 的( )
A
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由题意,得 , , ,所以 不是 的充分条件；又 , ,
,所以 是 的必要条件,故选A.
探究点三 充要条件的证明
【例3】 求证：关于 的方程 有一个根为1的充要条件是 .
证明 先证必要性：因为 ,所以 ,代入方程 中，
得 ,即 .所以方程有一个根为1，所以
方程 有一个根为1.
再证充分性：因为方程 有一个根为1，
所以 满足方程 ,
所以有 ,即 .
所以方程 有一个根为 ,
从而 方程 有一个根为1，
因此方程 有一个根为1的充要条件是 .
变式探究 将例3中的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”，“
”改为“ ”,如何证明？
证明 因为 ,所以 ,方程 有两个不等实根，由
根与系数关系可知这两个根的积为 ,所以方程 有一个正根和一
个负根，所以 方程 有一个正根和一个负根.
因为方程 有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的
积为 ,
所以 ,所以方程 有一个正根和一个负根 ,从而
方程 有一个正根和一个负根，因此方程
有一个正根和一个负根的充要条件是 .
规律方法 充要条件的证明
（1）根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证
明：一般地,证明“ 成立的充要条件为 ”；
①充分性：把 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 ；
②必要性：把 当作已知条件,结合命题的前提条件,推出 .
解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性
还是先证明必要性则无硬性要求.
（2）在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性 ,也可以直接证明充要性.
变式训练3 已知 , 都是非零实数,且 ,求证： 的充要条件是 .
证明 由 ,得 ,
即 ,又由 ,得 ,所以 .
由 及 ,得 ,即 .
综上所述, 的充要条件是 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）充分条件、必要条件的概念.
（2）充分性、必要性的判断.
（3）充要条件的概念、判断和证明.
（4）必要条件、充分条件的应用.
2.方法归纳:反例法、等价转化法.
3.常见误区:（1）必要条件、充分条件不唯一；（2）求参数范围能否取到端点
值；（3）不能正确理解“倒装”的命题；（4）充要条件中的条件和结论容易混淆.(共12张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］若 , ,则 是 的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ,但 ,即 ,但 .
2.［探究点一］设 , ,则“ 且 ”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由 且 可以推出 ;但 且 满足 但不满足 且 ,故选A.
3.［探究点一］设集合 , , , ,则“ ”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当“ ”时,显然“ ”；但当“ ”时, 可以为 ,故不能推出“ ”.
4.［探究点二］已知 , ,若 是 的必要不充分条件，
则实数 的取值范围是_ __________.
[解析] 因为 是 的必要不充分条件，所以 ,解得 ,即实数 的取值范围是 .
5.［探究点三］求证: 是一次函数 的图象过原点的充要条件.
证明 ①充分性:如果 ,那么 ,
当 时， ,函数图象过原点.
②必要性:因为 的图象过原点,所以当 时， ,得 ,即 .
综上, 是一次函数 的图象过原点的充要条件.
B级 关键能力提升练
6.已知实数 , , ，则 是 的( )
C
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由 可得 ,反之不成立,如当 时,满足 ,但 不
成立,故 是 的必要不充分条件,故选C.
7.已知 , 且 ,则 是 的( )
B
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
8.设 为全集, , 是集合,则“存在集合 ,使得 , ”是“ ”的
( )
A
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] , ,即 且 ,
.
则“存在集合 ,使得 , ”是“ ”的充分条件.
当 ,存在一个集合 使得 , ,则“存在集合 ,使得
, ”是“ ”的必要条件.故“存在集合 ,使得 ,
”是“ ”的充要条件.故选A.
9.已知集合 , ,若 是 的充分条件，则实数 的取
值范围是__________；若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是________
___.
[解析] 因为 是 的充分条件，所以 ，实数 的取值范围是 ;因为 是 的必要条件，所以 ,实数 的取值范围是 .
10.已知 ,求证： 是 的充要条件.
证明 ①必要性：因为 ,所以 .
所以 .
②充分性：因为 ,所以 ,
又 ,所以 且 .
因为 ,所以 ,即 .综上可
得，当 时, 是 的充要条件.
C级 学科素养创新练
11.已知 ,设二次函数 ,其中 , 均为实数.证明：当
时,均有 成立的充要条件是 .
证明 因为 ，所以函数 图象的对称轴为直线 ,且
,
由二次函数的性质，可知当 时， .①充分性：因为 ,所以
,所以 .
②必要性：因为当 时，均有 ,所以 ,从而 .综上可知，
当 时,均有 成立的充要条件是 .
