(共20张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点三·2023湖南岳阳期末] 命题“ , ”的否定是( )
D
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 原命题为存在量词命题,
故其否定为 , .
故选D.
2.［探究点一］下列命题中：
（1）有些自然数是偶数；
（2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的数也能被3整除；
（4）对于任意 ,总有 .
存在量词命题的个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题；正方形是菱形,可以
写成“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题；能被6整除的数也能被3整除,可以写
成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题；对于任意 ,总有 ,
含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.
所以存在量词命题有1个.故选B.
3.［探究点四（角度 ）］已知命题 , 成立,则实数 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
4.［探究点四（角度2）］已知函数 , ,若它们同
时满足下面两个条件: , 和 中至少有一个小于0； ,
,则 的取值范围是_ _________________.
[解析] 设 , ,
当 时, ,不成立,所以当 时, .
所以 ,在 时,恒成立.
由二次函数的性质可知其图象开口方向只能向下,且二次函数与 轴的交点都在点
的左侧,
则 解得 ,
即满足①成立的 的范围为 .
又 时, ,
所以 ,使 ,所以 或
,解得 ,
综上， .
故 的取值范围为 .
5.［探究点二、三］写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）不论 取何实数,方程 必有实数根；
解 这一命题可以表述为“对所有的实数 ,方程 都有实数根”,其否定是
“存在实数 ,使得 没有实数根”,注意到当 ,即
时,一元二次方程没有实根,因此该命题的否定是真命题.
（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；
命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.
（3）某些梯形的对角线互相平分；
命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.
（4）被8整除的数能被4整除.
命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
B级 关键能力提升练
6.命题 “存在实数 ,使方程 有实数根”,则 的否定是( )
C
A.存在实数 ,使方程 无实数根
B.不存在实数 ,使方程 无实数根
C.对任意的实数 ,方程 无实数根
D.至多有一个实数 ,使方程 有实数根
[解析] 命题 是存在量词命题,其否定为全称量词命题,即对任意的实数 ,方程
无实数根.
7.（多选题）下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有( )
AC
A. , B.所有的正方形都是矩形
C. , D.至少有一个实数 ,使
[解析] 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B.再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题.又D为真命题,故选 .
8.（多选题）下列命题为存在量词命题的有( )
BD
A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对 都对应一点
B.有的有理数能写成分数形式
C.线段的长度都能用正有理数表示
D.存在一个实数 ,使等式 成立
[解析] “在平面直角坐标系中,任意有序实数对 都对应一点 ”是全称量词命题,所以选项A错误；
“有的有理数能写成分数形式”中“有的”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项B正确；
“线段的长度都能用正有理数表示”是全称量词命题,所以选项C错误；
“存在一个实数 ,使等式 成立”中的“存在”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项D正确.故选 .
9.已知命题 “ , ”,命题 “ , ”.
若命题 的否定和命题 都是真命题，则实数 的取值范围是( )
D
A. ,或 B. ,或
C. D.
[解析] 若 , ,
则 , .
若 , ,则 ,
解得 或 命题 的否定和命题 都是真命题，
或 , 实数 的取值范围是 .
10.若命题 , 为假命题,则实数 的取值范围是__________；
的否定是_ _______________________.
,
[解析] 若命题 为假命题,则命题 的否定: , 为真命题,则 ,解得 .即实数 的取值范围是 , 的否定是 , 为真命题.
11.某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小明同学给组内王小亮同学出题如
下：若命题“ , ”是假命题，求 的范围.王小亮略加思索，给了
王小明一道题：若命题“ , ”是真命题，求 的范围.你认为，两
位同学出的题中 的范围是否一致？____（填“是”或“否”）.
是
[解析] 若命题“ , ”是假命题，所以该命题的否定是真命题，即命题“ , ”是真命题，所以两位同学题中 的取值范围是一致的.
12.命题 是“对任意实数 ,有 ,或 ”，其中 , 是常数.
（1）写出命题 的否定；
解 命题 的否定：存在实数 ，有 ,且 .
（2）当 , 满足什么条件时，命题 的否定为真？
要使命题 的否定为真，则需要使不等式组 的解集不为空集，
所以 , 应满足的条件是 .
C级 学科素养创新练
13.（多选题）下列命题是“ , ”的表述方法的有( )
ABD
A.有一个 ,使得 成立 B.对有些 ,使得 成立
C.任选一个 ,都有 成立 D.至少有一个 ,使得 成立
14.设命题 , ；命题 ,使
.
（1）若命题 为真命题,求实数 的取值范围；
解 令 , ,
根据题意，当 时， ,
.
实数 的取值范围为 .
（2）若命题 , 一真一假,求实数 的取值范围.
由（1）可知，当命题 为真命题时，实数 满足 .
当命题 为真命题，即方程有实数根时，则有 ,解得 或
.
因为命题 与 一真一假.
①当命题 为真，命题 为假时，
得 解得 ;
②当命题 为假，命题 为真时，
得 解得 .
综上可得 ,或 .
实数 的取值范围为 或 .(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；能正确使用全称量词对存在量
词命题进行否定.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 全称量词与全称量词命题
1.概念：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
2.表示：全称量词命题“对 中任意一个 , 成立”可用符号简记为__________
____.
,
名师点睛
对全称量词与全称量词命题的理解
（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质
的命题.注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定.
（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
（3）一个全称量词命题可以包含多个变量，如“ , , ”.
（4）全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理
解时需把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行
四边形的对角线都互相平分”.
过关自诊
1.给出下列命题：①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个 ,都有 ；
③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数.
（1）上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这类命题？
提示 这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
（2）命题④是全称量词命题吗？它的量词是什么？
提示 是全称量词命题.它的量词是“所有的”（“每一个”等）.即所有的自然数都是正整数.
2.用符号“ ”表示下列全称量词命题:
（1）自然数的平方大于或等于零；
解 , .
（2）所有的二次函数的图象的开口都向上.
二次函数,它的图象的开口都向上.
知识点2 存在量词与存在量词命题
1.概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“ ”表
示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
2.表示：存在量词命题“存在 中的元素 , 成立”,可用符号简记为__________
____.
,
名师点睛
对存在量词与存在量词命题的理解
（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某
种性质的命题.
（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
（3）含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题.
（4）一个存在量词命题可以包含多个变量，如“ , ,使
”.
（5）含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义
具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
过关自诊
用符号“ ”表示下列存在量词命题:
（1）存在一个实数对 ,使 成立；
解 , , .
（2）有些整数既能被2整除,又能被3整除；
, 既能被2整除,又能被3整除.
（3）某个四边形不是平行四边形.
是四边形 , 不是平行四边形.
知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定
命题类型 全称量词命题 存在量词命题
形式
否定 _ _____________ _ ______________
结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题
,
,
名师点睛
常见词语的否定如下表所示:
词语 是 一定是 都是 大于 小于
词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于
词语 且 必有一个 至多有一个
词语的否定 或 一个也没有 至少有两个
过关自诊
1.[2023浙江杭州期末] 命题“ , ”的否定为( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
[解析] 存在量词命题的否定格式:首先存在量词改为全称量词,然后对原结论否定,故原命题的否定为 , .故选C.
2.[2023江苏徐州期末] 命题“ , ”的否定是( )
D
A. , B. , C. , D. , 、
[解析] 根据全称量词命题的否定是存在量词命题得，命题“ , ”的否定是 , .
故选D.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【例1】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题.
（1）对任意的 , 是奇数；
解 含有全称量词“任意”，故为全称量词命题.
（2）有些三角形不是等腰三角形；
含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（3）有的实数是无限不循环小数；
含有存在量词“有的”，故为存在量词命题.
（4）所有的正方形都是矩形.
含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
规律方法 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
（1）所有不等式的解集 ,都满足 ；
（2）有一个实数 不能有平方根；
（3）不相交的两条直线是平行直线；
（4）若 ,则 .
解 因为（1）含有全称量词,所以命题（1）为全称量词命题；因为“有一个实数 不能
有平方根”的实质是“至少存在一个实数 不能有平方根”，含有存在量词,所以命题（2）
为存在量词命题；（3）可以改写为“不相交的两条直线都是平行直线”,因此是全称量词
命题；（4）可以改写为“对所有实数 ,若 ,则有 ”,是全称量词命题.
变式训练1 判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假.
（1） , ；
解 真命题，因为对 , ,
所以 , 恒成立.
（2） , , ；
真命题，例如 , ,符合题意.
（3）存在一个数既是偶数又是负数；
真命题，如 ， 等，就既是偶数又是负数.
（4）存在一个实数 ,使等式 成立.
假命题，因为方程 的判别式 ,故无实数解.
规律方法 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
（1）要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素 ,使命题
为真；但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素 ,使
命题 为假.
（2）要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素 ,使命题
为真；要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素 ,使命题
为假.
变式训练2 指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
（1）存在一个实数,它的绝对值不是正数；
（2）每一条线段的长度数值都是正有理数；
（3）存在一对整数 , ,使 .
解 （2）是全称量词命题, 是存在量词命题.
（1）真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
（2）假命题.如边长为1的正方形,其对角线的长度为 ， 就不是有理数.
（3）假命题. , , .由 ,得 ,若 ,
,则 也是整数,不可能等于 ,所以该命题是假命题.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题的否定
【例3】 ［人教B版教材习题］写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）二次函数 的图象的顶点坐标是 ;
解 二次函数 的图象的顶点坐标不是 ,假命题；
（2）正数的立方根都是正数；
存在一个正数，它的立方根不是正数，假命题；
（3）存在一个最大的内角小于 的三角形；
任意三角形的最大内角不小于 ，真命题；
（4）对任意实数 ,点 都在一次函数 的图象上.
至少有一个实数 ,点 不在一次函数 的图象上，假命题.
规律方法 1.一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相
反的两个命题；全称量词命题和存在量词命题的否定,是在否定结论 的同时,改变
量词的属性,即将全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写
出命题的否定.
变式训练3 写出下列命题的否定,并判断其真假.
（1） , ;
解 该命题的否定: , ,是假命题.
, 恒成立,
该命题的否定是假命题.
（2） , ;
该命题的否定: , ,是真命题.
, 恒成立,
该命题的否定是真命题.
（3）至少有一个实数 ,使 .
该命题的否定: , ,是假命题.
当 时, , 该命题的否定是假命题.
探究点四 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
角度1.根据命题的真假求参数的取值范围
【例4】 [2023广东广州期末] 已知命题 ,代数式 恒为正数.若 为
假命题,则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若命题 为真,则方程 的判别式 ,解得 ,
则当命题 为假命题时, ,故 的取值范围是 .故选C.
规律方法 若根据含参数的存在量词命题是假命题求参数的取值范围,一种方法是假设该命题是真命题,在此真命题限制之下,求出参数的取值范围后取其补集；也可以利用命题的否定为真命题求解，而对于根据含参数的全称量词命题的真假求参数,可同“含参数的存在量词命题是假命题”求参数的方法求解.
变式训练4 已知命题 , ,若 为假命题,则 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 命题 , ,假设 为真命题,则 ,解得 ,
则当 为假命题时 的取值范围为 .故选D.
角度2.存在量词命题、全称量词命题中的探究性问题
【例5】 已知函数 .是否存在实数 ,使不等式 对于任
意 恒成立,并说明理由.
解 不等式 可化为 ,
即 .要使 对于任意 恒成立,
只需 即可.
故存在实数 ,使不等式 对于任意 恒成立,此时,只需 .
规律方法 对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后找出存在符合条件的元素或推出矛盾.
变式训练5 已知 .
（1）当 时,求证：对任意 ,都有 ；
证明 当 时, ,
对任意 ,都有 .
（2）关于 的方程 有两个不相等的正实数根,求实数 的取值范围.
解 由 ,得 ,
设方程的两个正实数根分别为 , ,
.
故实数 的取值范围为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）全称量词命题、存在量词命题的概念.
（2）含量词的命题的真假判断.
（3）全称量词命题、存在量词命题的否定及其命题真假的判断.
（4）通过含量词的命题的真假求参数的
取值范围.
2.方法归纳:定义法、转化法、特例法.
3.常见误区:（1）有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词
命题强调“个别、部分”；（2）否定不唯一,命题与其否定的真假性相反.
