(共22张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］函数 的值域为( )
A
A. B. C. D.
[解析] ,当 , 时,结合图象（图略）可知,函数 单调递增,
所以当 时,函数取得最小值,最小值为 ;当
时,函数取得最大值,最大值为 ,即函数 的值域为 , ,故选A.
2.［探究点二］函数 的最大值是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 .故 的
最大值为 .
3.［探究点二］已知函数 ,在区间 上的最大值为1,则 的值为
( )
A
A.1 B. C.1或 D.6
[解析] 由题意,当 时,函数 在区间 上单调递减, 函数在区间
上的最大值为1, ,解得 ；
当 时,函数 在区间 上单调递增,
函数在区间 上的最大值为1,
,解得 （舍去）,故选A.
4.[探究点三（角度2）·2023北京西城期末] “空气质量指数 ”是定量描述空气质量
状况的无量纲指数.当 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天
时的空气质量指数 随时间 变化的趋势由函数 描
述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )
C
A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时
[解析] 由题意知适宜开展户外活动的时间为
或
解得 或 ,
故适宜开展户外活动的时长至多为7小时.
故选C.
5.［探究点二］（多选题）已知函数 的值域是 ,则它的定义域可能是
( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 的值域是 , , .
结合选项， 的定义域可能是 , .
, 在 上的最大值为1,
和 不可能是 的定义域.故选 .
6.［探究点三（角度1）］已知函数 ，则函数 在 上
__________（填“单调递增”或“单调递减”）.若 在 上的值域是 ,则 的值
是_ _.
单调递增
[解析] 由于函数 在区间 上是增函数,因此函数 在
上单调递增,所以函数 在 上单调递增, ,且
,解得 .
7.已知函数 .
（1）根据定义证明 在区间 上单调递增；
解 任取 , ,且 ,
则 .
因为 ,所以 且 ,所以 ,则
,即 .
所以 在区间 上单调递增.
（2）若对 ,恒有 ,求实数 的取值范围.
由（1）可得函数 在区间 上单调递增,
所以 .
所以 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
8.已知函数 在区间 上的值域为 ,则 的取值范围是
( )
D
A. B. C. D.
[解析] ,画出图象如图
所示,
当 或 时, ,当 时,
，结合二次函数的性质可得, 的最
小值为2, 的最大值为4.故选D.
9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润（单位:万元）分别为
和 ,其中销售量为 （单位:辆）.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大
利润为( )
B
A.90万元 B.120万元 C.120.25万元 D.60万元
[解析] 设该公司在甲地销售 辆车,则在乙地销售 辆车,利润为 万元，根据
题意,总利润 ,整理得
.
因为该函数图象的对称轴为直线 ,开口向下,又 ,所以当 或
时, 取得最大值120万元.
10.（多选题）已知函数 , , , ,则下列
结论正确的是( )
AC
A. , 恒成立,则实数 的取值范围是
B. , ,则实数 的取值范围是
C. , ,则实数 的取值范围是
D. , ,
[解析] 在A中,因为 , 是减函数,所以当 时,函数取得最
小值,最小值为 ,因此 ,A正确；
在B中,因为 , 是减函数,所以当 时,函数取得最
大值,最大值为5,因此 ,B错误；
在C中, , , 当 时,函数取得最小值,
最小值为 ,当 时,函数取得最大值,最大值为3,故函数 的值域为 ,由
有解,知 ,C正确；
在D中, , , 等价于 的值域是 的值域的
子集,而 的值域是 , 的值域是 ,D错误.故选 .
11.已知函数 在区间 上有最大值3,最小值2,
则实数 的取值范围是_ _____.
[解析] ,令 ,得 或 .
作出函数图象如图所示,由图象知,实数 的取值范围是 .
12.用 表示 , 两个数中的最小值.设 ,则
的最大值为___.
6
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数 和
的图象.根据 的含义可
知, 的图象应为图中实线部分.解方程
,得 ,此时 ,故两图象的交点坐标为
.
由图象可知,函数 的最大值为6.
13.设函数 当 时, 的最小值是___；若 恒成
立,则 的取值范围是_ ______.
1
[解析] 当 时,当 时, ;当 时,
,当且仅当 时,等号成立.所以 的最小值为1.
当 时, ,即 ,即 恒成立,所以
恒成立,即 恒成立,所以 ,即 .
当 时, ,即 恒成立,因为 ,当且仅当
时,等号成立,所以 ,所以 .综上所述， 的取值范围是
.
14.某商场就一新款儿童玩具进行促销活动,活动时长是30天,这30天内第
天的销售单价（单位：元/件）为
销售量（单位：件）为 , , ,且第20天的销售额为1 800元
（销售额 销售单价×销售量）.
（1）求 的值,并求出第5天的销售额；
解 设单日销售额为 元,则
整理得
当 时, ,解得 ,
故
当 时, ,即第5天的销售额为2 700元.
（2）求这30天内单日销售额的最大值.
由（1）知,当 , 时, 单调递增,则单日销售额的最大值为 （元）,
当 , 时, 单调递减,则单日销售额的最大值为 （元）.
综上所述,这30天内单日销售额的最大值为2 800元.
C级 学科素养创新练
15.在 , 这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并
求解该问题.
已知函数 .
（1）当 时,求 在区间 上的值域；
解 当 时, ,
则 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, ,
， ，
故 在区间 上的值域为 .
（2）若, ,求实数 的取值范围.
若选择条件①：
若 ,则 在 上单调递增,
，解得 .
又 , .
若 ,则 在 上单调递减,
在 上单调递增,
，解得 .
若 ,则 在 上单调递减,
，解得 .
又 , .
综上所述， 的取值范围是 .
若选择条件②：
, , 当 时， ,
即 或 ,解得 或 .
，即 的取值范围为 .(共18张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点一·2023陕西秦都期末] 函数 的单调递增区间是( )
C
A. B.
C. 和 D.
[解析] 由于
作出函数 的图象如图所示:
结合图象可知函数 的单调递增区间是 和 .
故选C.
2.［探究点三（角度 ）］若函数 在区间 上是减函数,
则实数 的取值范围是( )
B
A. , B. , C. D.
[解析] 函数 的图象开口向上,直线 为函数图象的对称轴,又函数在区间 上是减函数,故 ,解得 .
3.［探究点三（角度 ）］定义在 上的函数 ,对任意 , ,有
,则( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 定义在 上的函数 ,对任意 , ,有 ,则函数
在 上单调递减.
, ,故选A.
4.［探究点三（角度 ）］定义在 上的函数 是增函数,且满足
,则实数 的取值范围是_ _____.
[解析] 由题设知实数 应满足
解得 .
5.［探究点一］下列函数中满足“对任意 , ,都有 ”的是
________（填序号）.
; ;
; .
①③④
[解析] 由题意知 在 上单调递增,①③④在 上都单调递增.
6.［探究点一］已知函数 的图象如图所示,根据图
象有下列三个命题：
①函数 在定义域上是增函数；②函数 在定义
域上不是增函数,但有单调递增区间；③函数 的单
调递增区间是 .
其中所有正确的命题的序号有____.
②
[解析] 由题意以及函数的图象可知,函数 在定义域上不是增函数,所以①不正确；
函数 在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以②正确；
函数 的单调递增区间是 , ，不能写成 ,所以③不正确.
7.［探究点三（角度 ）］已知函数 ,当 时, 单
调递增,当 时, 单调递减,则 _ ___, ____.
13
[解析] 函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增, 图象的对称轴方程为 , ,即 .
8.［探究点三（角度 ）］已知函数 的单调递减区间为 .对
于函数 若 是定义在 上的减函数,则实数 的值为___.
[解析] 因为 在 上为减函数,
所以 在 上单调递减, 在 上单调递减,所以
得 即 .
9.［探究点二］证明函数 在定义域上为减函数.
证明 函数 的定义域为 .
, ,且 ,
.
, ,
,即 .
函数 在定义域 上为减函数.
B级 关键能力提升练
10.已知二次函数 ,若对任意 , ,且 ,都有
,则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由任意 , ,且 ,都有 ,
得函数 在区间 上单调递增,又函数 为二次函数,故其图象开口向上,且
对称轴在区间 的左侧,即 解得 .故选C.
11.已知函数 若 ,则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 画出 的图象（图略）,可判断 在 上单调递增,故
,解得 .
12.已知函数 ,判断函数的单调性,并证明.
解 任取 ， ，且 ,
即 , .
因为 ,则 , ,
则 ,即 ,
所以函数 在区间 上单调递增.
13.讨论函数 在区间 上的单调性.
解 .
任取 , ,且 ,
则 .
, , .
当 时, ,
,即 ,
故此时 在区间 上单调递减.
当 时, ,
, ,
故此时 在区间 上单调递增.
综上,当 时, 在区间 上单调递减;当 时, 在区间
上单调递增.
C级 学科素养创新练
14.（多选题）下列命题正确的是( )
AB
A.若对于 , , ,都有 ,则函数
在 上是增函数
B.若对于 , , ,都有 ,则函数 在 上是增函数
C.若对于 ,都有 成立,则函数 在 上是增函数
D.函数 , 在 上都是增函数,则函数 在 上也是增函数
[解析] 化简为 ,
故函数 在 上是增函数，故A正确；
,即 时, ,则
函数 在 上是增函数，故B正确；
C选项中,令 , 表示不超过 的最大的整数,满足 ,但
在 上不是增函数,如 ，故C错误；
D选项中,令 ,在 上都是增函数，但函数 在 上不
单调，故D错误.故选 .(共30张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解增函数和减函数的定义.
2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.
3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 函数单调性的概念
1.
定义
图象特征
上升
下降
图示
2.如果函数 在区间 上单调递增或单调递减,那么就说函数 在这
一区间具有（严格的）单调性,区间 叫做 的单调区间.
续表
名师点睛
1.函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可能是整个定义域，也可能是定义域的一部分，也就是单调区间是定义域的某个子集.
2.对于单独一点，由于它对应的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但在某些点无意义时，单调区间不能包括这些点.
过关自诊
1.已知函数 的图象如图.根据图象写出
的单调区间,单调递增区间为________________,单调
递减区间为_ ______.
和
[解析] 由图象可知 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 .
2.若函数 在 上单调递增,则 的取值范围为_ _______.
[解析] 因为 在 上单调递增,所以 .
3.［人教B版教材例题］求证：函数 在 上是减函数.
证明 任取 , 且 ,则 ,那么
,从而 .
因此，函数 在 上是减函数.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 确定函数的单调区间
【例1】（1） 下列函数中,在 上单调递增的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 为一次函数,在 上单调递减,不符合题意；
函数 为二次函数,在 , 上单调递减,不符合题意；
函数 为反比例函数,在 上单调递增,符合题意；
函数 ,当 时, ,则函数 在 上单调递减,不符合题
意.故选C.
（2）函数 的单调递增区间是( )
B
A. B. 和
C. D. 和
[解析] 由题得，
作出函数图象如图所示,
由图象可知,函数的单调递增区间为 和 .故选B.
规律方法 1.一次、二次函数及反比例函数的单调性.
（1）一次函数 的单调性由系数 决定:当 时,该函数在
上是增函数;当 时,该函数在 上是减函数.
（2）二次函数 的单调性以对称轴 为分界线.
单调性
（3）反比例函数 的单调性如下表所示.
单调性
2.对于含绝对值的函数可以去掉绝对值号转化为分段函数或作出函数图象判断函数单调性.
变式训练1 已知 ,函数 ,试画出 的图象,
并结合图象写出函数的单调区间.
解 图象如图所示.
由图象可知,函数的单调递增区间为 , ;单调递减区间为 .
探究点二 证明函数的单调性
【例2】 试用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上单调递减.
证明 任取 ， ,且 .
.
因为 ,所以 ， ,则 ,即
.由函数单调性的定义可知，函数 在区间 上单调递
减.
规律方法 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
特别提醒 作差变形的常用技巧
（1）因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.
（2）通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.
（3）分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
变式训练2 已知函数 ,且 .
（1）求函数 的定义域；
解 ，且 ,
,解得 .
故函数 的定义域为 .
（2）判断这个函数在 上的单调性并证明.
在 上单调递增.证明如下：
由（1）知， ,设任意的 ,
则 .
, , ,
,即 ,故函数 在 上单调递增.
探究点三 函数单调性的应用
角度1.根据函数单调性比较大小
【例3】 已知函数 在区间 上单调递减,试比较 与 的大
小.
解 ,
与 都是区间 上的值.
在区间 上单调递减,
.
规律方法 函数单调性的应用问题的解题策略
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
（2）利用函数的单调性解函数值的不等式,就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“ ”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
变式训练3 已知 的定义域是 ,且在区间 上单调递增，
,求 的取值范围.
解 的定义域是 ，且在区间 上单调递增， ,
即 解得 .
的取值范围为 .
角度2.根据函数单调区间或单调性求参数取值范围
【例4】 函数 在区间 上是单调函数,则实数 的取值范
围是( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意,函数 为二次函数,其图象的对称轴为直线
,
若 在区间 上是单调函数,则有 或 ,解得 或
,即实数 的取值范围为 , , ,故选A.
规律方法 含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间 上单调递增（或单调递减）,则该区间是函数的原单调递增区间（或单调递减区间） 的子集,即 .
变式训练4 如果函数 在区间 上单调递减,那么实数
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 二次函数 图象的对称轴为直线
,且开口向上,
函数在区间 上单调递减,要使 在区间 上单调递减,则
,解得 .故选A.
角度3.含参数的分段函数的单调性问题
【例5】 [2023湖北武汉期末] 已知 ,若函数 在区间 上单调
递减,则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 令 ,则 ,原函数化为 ,所以
所以 在区间 上单调递减.
因为函数 在区间 上单调递减,
所以 ,得 .
故选A.
规律方法 判断分段函数的单调性时不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集 上的单调递增（减）的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的取值范围会出现错误.
变式训练5 若函数 是 上的单调函数,则实数 的取值范
围为_ ______.
[解析] 因为 在 上单调递减，所以整个函数在 上单调递减,则
解得 ,则实数 的取值范围为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数单调性的概念.
（2）求函数的单调区间.
（3）证明函数的单调性.
（4）函数单调性中的含参数类综合问题.
2.方法归纳:定义法、数形结合法、配方法.
3.常见误区:（1）函数的单调区间误用并集;（2）忽视单调区间的开闭问题.(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值（或值域）.
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 函数的最大（小）值的定义
一般地，设 的定义域为 .
如果存在 ,使得对于任意的 ,都有 ,那么称 为
的最大值，记为 ;
如果存在 ,使得对于任意的 ，都有 ,那么称 为
的最小值，记为 .
名师点睛
若 在定义域 上单调递增，则函数 的值域是 ;
若 在定义域 上单调递减，则函数 的值域是 .
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）若对任意 ,都有 ,则 是函数 的最大值.( )
×
（2）一个函数可能有多个最小值.( )
×
（3） 在其定义域内无最大值,无最小值.( )
√
（4）若函数 在其定义域内有最大值和最小值,则最大值一定大于其最小值.( )
×
（5）若函数有最值,则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（6）若函数的值域是确定的,则它一定有最值.( )
×
2. 的值域为_ _________.
3.函数 在区间 上的最大值为___.
2
[解析] 函数 图象的对称轴为直线 ,又 , 在区间 上的最大值为 .
4.［人教B版教材例题］判断函数 , 的单调性，并求这个函数
的最值.
解 任取 ， 且 ,则 ，那么
,所以这个函数是减函数.
因此，当 时，有 ,从而这个函数的最小值为
,最大值为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 利用函数的图象求函数的最值
【例1】 ［北师大版教材习题］请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：
（1） , ;
解 （图略） 在 上单调递减，当 时， 取得最大值 ，
当 时， 取得最小值 .
（2） , ;
在 上单调递增，当 时，
取得最小值 ,函数无最大值.
（3） , .
在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，当 或3时， 取得最大值3，当 或2时， 取得最小值0.
规律方法 图象法求最值的基本步骤
变式训练1 已知函数
（1）画出 的图象;
解 函数 的图象如图所示.
（2）根据图象写出该函数的最大值和最小值.
由图象可知 的最小值为 ,无最大值.
探究点二 利用函数的单调性求最值
【例2】 已知函数 .
（1）判断 在区间 上的单调性;
解 , ,且 ,则
.
, .当 时, , .
,即 , 在区间 上单调递减.
（2）根据 的单调性求出 在区间 上的最值.
由（1）知 在区间 上的最小值为 ,最大值为 .
, , 的最小值为4,最大值为5.
变式探究 例2已知条件不变,判断 在区间 上的单调性,并求 在区间
上的最值.
解 由例2知, 在区间 上单调递减.
, , ,则 , , ,
,即 , 在区间 上单调递增.
在区间 上的最小值为 .
, 在区间 上的最大值为5.
规律方法 1.利用单调性求函数最值的一般步骤:
（1）判断函数的单调性;
（2）利用单调性写出最值.
2.函数的最值与单调性的关系:
（1）若函数 在区间 上单调递增（减）,则 在区间 上的最小
（大）值是 ,最大（小）值是 .
（2）若函数 在区间 上单调递增（减）,在区间 上单调递减（增）,
则 在区间 上的最大（小）值是 ,最小（大）值是 与 中较小
（大）的一个.
探究点三 与函数最值有关的综合问题
角度1.利用函数的最值解决恒成立问题
【例3】 已知 对任意 恒成立,求实数 的取值范围.
解 可化为 .
设 ,
当 时,
由 知 ,
. 实数 的取值范围是 .
规律方法 对任意 , 恒成立,一般转化为 来解决.对任意
, 恒成立,一般转化为 来解决.
（1）当 时,求函数 的最小值；
解 当 时, .
任取 , ,且 ,
所以 .
因为 且 , ,所以 , ,
所以 ,所以 .
所以 ,即函数 在 上单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 .
变式训练2 已知函数 , .
（2）若对任意的 , 恒成立,试求实数 的取值范围.
因为 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立.
记 , ,
因为 在 上单调递增,所以当 时, 取得最小值,最
小值为 .
所以当 ,即 时, 恒成立,
所以实数 的取值范围为 .
角度2.与最值有关的实际应用问题
【例4】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为 件.当 时,年销售总收入为 万元；当 时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 万元.（年利润 年销售总收入-年总投资）
（1）求 与 的函数关系式.
解 当 时, ；
当 时, .
故
（2）当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大？最大年利润是多少？
当 时, ,当 时, 取最
大值156.
当 时, .
故当该工厂的年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.
规律方法 解函数应用题的一般程序
（1）审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
（2）建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
（3）求模.求解数学模型,得到数学结论.
（4）还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
（5）反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
变式训练3 商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是关于羊毛衫标价的一次函数,标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件,商场以高于成本价的价格（标价）出售.问:
（1）商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元
解 设购买人数为 ，羊毛衫的标价为每件 元，利润为 元,则 ,
, ,即 , .
利润 .
, 时, .
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的
,那么羊毛衫的标价为每件多少元
由题意得 ,
,解得 或 ,
所以商场要获取最大利润的 ，每件标价为250元或150元.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）利用图象法、单调性求函数的最值.
（2）与最值有关的恒成立问题.
（3）与最值有关的实际应用问题.
2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区:
在求函数的最值（值域）时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值.
