(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］下列图象中,表示函数关系 的是( )
D
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 根据函数的定义知,一个 有唯一的 对应,由图象可看出,只有选项D的图象满
足.故选D.
2.［探究点一］已知两个函数 和 的定义域和值域都是 ,其定义如下表：
1 2 3
2 1 3
1 2 3
3 2 1
则方程 的解集为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 当 时, , 是方程的解.
当 时, , 是方程的解. 当 时,
, 不是方程的解.故选C.
3.［探究点二］已知 ,则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 令 ,则 , ,故 ,即 .
4.［探究点二］已知 是一次函数,且 , ,则
( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设 ,
由题意可知
.故选B.
5.［探究点二］已知 是一次函数,若 ,则 的解析式为_______
_______________________.
或
[解析] 由题意可设 ,则
.
解得 或
或 .
6.［探究点一］已知函数 的图象是如图所示的一段曲
线 ,其中 , , ,则 ___，函
数 的图象与 轴交点的个数为___.
2
2
[解析] 由题得 ,所以 .
令 ,所以 ,观察函数
的图象可以得到 有两个解,所以 的
图象与 轴交点的个数为2.
7.［探究点三］作出下列函数的图象,并指出其值域:
（1） ;
解 用描点法可以作出所求函数的图象如图所示.
由图可知 的值域为 .
（2） ,且 .
用描点法可以作出函数的图象如图所示.
由图可知 ,且 的值域为
.
8.［探究点二］已知 为二次函数,其图象的顶点坐标为 ,且过原点,求 的解
析式.
解 由于函数图象的顶点坐标为 ,且 为二次函数，则设 .
函数图象过原点 , , .
故 .
B级 关键能力提升练
9.（多选题）设 ,则下列结论正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 因为 ,所以 ,
, .故选 .
10.若函数 对任意 ,均有 ,则下列函数中可以为
解析式的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 若 ,则 , ,其他选项都不符合,故选C.
11.（多选题）已知 ,则下列结论正确的是( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 令 ，则 ,
原函数化为 .
, , .
12.已知 ,则 _____________,其定义域为________.
[解析] 令 ,由题意可知 ,则 , ,故 .故
.
因此函数 的定义域是 .
13.已知函数 满足 .
（1）求 的解析式；
解 令 ,则 ,
则 ,即 .
（2）求函数 的值域.
,
设 ,则 ,且 ,得
,
, . 该函数的值域为 .
14.已知函数 , 为常数,且 满足 ,方程 有唯一解,
求函数 的解析式,并求 的值.
解 由 ,得 ,即 .
方程 有唯一解, , ,即 .
, . . .
C级 学科素养创新练
15.（1）已知 ,求 的解析式.
解 由题意得， 的定义域为 .
设 ,则 , ,
.
（2）已知 ,求 的解析式.
解 由 ,①
得 ,②
①②联立消去 得, .(共27张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 分段函数
如果函数 , ,根据自变量 在 中不同的取值范围，有着不同的对应
关系，则称这样的函数为分段函数.
名师点睛
学习分段函数应注意
（1）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取
相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到，做到不重复、不遗漏.
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是分别求出各段上的值域后取
并集.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.( )
√
（2）分段函数每一段对应函数值的集合均可以作为分段函数的值域.( )
×
（3）函数 可以转化为分段函数的形式.( )
√
（4）分段函数 的图象可以画出来.( )
×
2.函数 的图象是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数的解析式可化为
画出此分段函数的图象,故选B.
3.已知函数 则 ___.
1
[解析]
4.［人教B版教材例题］北京市自2014年5月1日起，居民用水实行阶梯水价.其中年用
水量不超过 的部分，综合用水单价为5元/ ；超过 但不超过
的部分，综合用水单价为7元/ .如果北京市一居民年用水量为 ,其要缴纳的水费
为 元.假设 ,试写出 的解析式，并作出 的图象.
解 如果 ,则 ;如果
,按照题意有
.
因此
注意到 在不同的区间上，解析式都是一
次函数的形式，因此 在每个区间上
的图象都是直线的一部分，又因为
,
,由此可作
出函数的图象，如图所示.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 分段函数的求值
【例1】 已知函数
（1）求 的值;
解 ,
,
.
（2）若 ,求 的值.
当 时,解得 ,不符合 .
当 时,解得 ,其中 符合 .
当 时,解得 ,符合 .
综上, 的值是 或4.
变式探究 在例1已知条件下,若 ,求 的取值范围.
解 , 或 或
或 或 ,
的取值范围是
.
规律方法 1.求分段函数的函数值的步骤
（1）先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
（2）再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现 的形式
时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量取值的步骤
（1）先确定自变量可能存在的区间及其对应的函数解析式.
（2）再将函数值代入到不同的解析式中.
（3）通过解方程求出自变量的值.
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究点二 分段函数的图象
【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
（1）
图①
解 函数 的图象如图①,观察图象,得函数的值域为
.
（2） .
图②
将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数
它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为
.
规律方法 分段函数图象的关注点
（1）因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
（2）对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
变式训练1 ［北师大版教材例题］画出取整函数 的图象.
解 依题意知函数 的定义域为 ,值域是 .它的图象如图.
探究点三 根据分段函数图象求解析式
【例3】 已知函数 的图象由图中的两条射线和抛物
线的一部分组成，则函数的解析式为
_ ___________________________________________.
[解析] 根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为 .
点 , 在射线上，
解得
左侧射线对应的函数解析式为 .
同理可得，当 时，对应的函数解析式为 .
再设抛物线对应的二次函数解析式为 .
点 在抛物线上， , .
当 时，对应的函数解析式为 .
综上可知，所求函数的解析式为
变式训练2 已知函数 的图象如图所示，则 的解析式
为_ ________________________.
[解析] 的图象由两条线段组成， 由一次函数解析式
求法可得
探究点四 分段函数在实际中的应用
【例4】 ［北师大版教材习题］如图，动点 从边长为4的正方形
的顶点 开始，顺次经过点 , , 绕正方形的边界运动，
最后回到点 .用 表示点 运动的路程， 表示 的面积，
求 关于 的函数解析式.（当点 在 上时，规定 ）
解 当点 在边 上运动时， ,此时 ;
当点 在边 上运动时， ,此时 ;
当点 在边 上运动时， ,此时 ;
当点 在边 上运动时， ，此时 .
综上可知，
规律方法 分段函数实际问题的求解策略
分段函数的意义是不同范围内的自变量 与 的对应关系不同,从而需分段来表达它,其定义域、值域分别是各段定义域、值域的并集.解实际问题时要结合实际意义写出定义域.
变式训练3 某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
（1）乘坐汽车5千米以内,票价2元；
（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米按5千米计算）.
每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点,求票价 （单位：元）关于里程 （单位：千米）的函数解析式,并画出图象.
解 根据题意,
如果某空调汽车运行路线中设20个站点（包括起点站
和终点站）,那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量
的取值范围是 .
由空调公共汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析
式: .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）分段函数的定义.
（2）画分段函数的图象.
（3）分段函数的实际应用.
2.方法归纳:数形结合、等价转化.
3.常见误区:（1）分段函数作图时定义域中端点的处理；（2）对分段函数定义域和值域
的理解；（3）求分段函数函数值时,应注意自变量所在的区间.(共27张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其
要掌握用换元和代入法求函数的解析式.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点 函数的表示方法
名师点睛
函数的三种表示方法的优缺点
表示方法 优点 缺点
列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对 应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函
数
图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量所对应的函
数值,而且有时误差较大
解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系,从 “数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解 析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体,而且并不
是所有的函数都能用解析法表示出
来
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）任何一个函数都可以用列表法表示.( )
×
（2）任何一个函数都可以用解析法表示.( )
×
（3）任何一个函数都可以用图象法表示.( )
×
（4）函数的图象一定是一条连续不断的曲线.( )
×
（5）函数 , 与 , 的图象相同.( )
×
2.若 ,则 ( )
D
A.2 B. C.3 D.
[解析] 令 ,则 , ,故选D.
3.［北师大版教材习题］下表列出的是一份数学测试选择题的答案表.
题号 13 14 15 16
正确答案 C A D D
它是使用列表法表示的函数吗？为什么？
解 该答案表不是使用列表法表示的函数，因为题号与正确答案之间不是函数关系.判断依据：函数所研究的两个集合为非空数集，而此题“正确答案”的集合不是数集.
4.［人教B版教材例题］已知函数 ,指出这个函数的定义域、值域，并作出这个
函数的图象.
解 函数的定义域为 .
由 在 时有解可知，函数的值域为 .
通过描点作图法，可以作出这个函数的图象，如图所示.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数的三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数 与收款数 （单位：
元）之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
（1）解 列表法：
1 2 3 4 5
3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
6 7 8 9 10
18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）图象法：
（3）解析法： , ,2,3, , .
规律方法 理解函数表示法注意以下要点：
（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
（2）列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
（3）函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
变式训练1 将一条长为 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个
正方形.试用解析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和 （单位： ）与
其中一段铁丝长 （单位： , ）的函数关系.
解 这个函数的定义域为 .
①解析法： .
将上式整理得 , .
②列表法：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
③图象法：
探究点二 求函数的解析式
【例2】（1） 已知 ,求 ;
解 （方法1）令 ,则 .将 代入 ,得
, .
（方法2）
,
.
（2）已知 是二次函数,且满足 , ,求 的解析式;
设 .
, ,则 .
对任意的 都成立,
,
即 ,
.
（3）已知函数 对于任意的 都有 ,求 .
对于任意的 都有 ,
将 替换为 ,得 ,联立方程组消去 ,可得 .
规律方法 求函数解析式的四种常用方法
直接法（代 入法）
待定系数法 若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据
条件列方程（或方程组）,通过解方程（组）求出待定系数,进而求出函数解析式
换元法（配 凑法）
解方程组法 （消元法） 在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时
就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方
程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法称为解方程
组法或消元法
变式训练2（1） 已知 是一次函数,且 ,求 的解析式;
解 为一次函数,
可设 .
解
得 或
故 或 .
（2）已知 ,求 的解析式;
（方法1） ,其中 ,故所求函数的解析式为 , .
（方法2）令 ,则 ,且 ,
则函数 可化为 ,故所求函数的解析式为 , .
（3）设函数 满足 ,求 .
因为对任意的 ,且 都有 成立,所以对于 ,且 ,有
,两式组成方程组
得, .
探究点三 利用函数的图象求函数的值域
【例3】 作出下列函数的图象,并求其值域:
（1） ;
解 因为 ,所以函数图象为一条直线上的孤立点（如图①）,由图象知, .
图①
（2） .
因为 ,所以函数图象是抛物线的一段（如图②）,由图象知, .
图②
规律方法 函数图象的作法及注意点
（1）作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.
作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
（2）函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.
如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数图象的顶点等,还要分清这些特殊点是实
心点还是空心圈.
如本题（1）中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;本题（2）
中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意 不在定义域
内,从而点 处用空心圈.
变式训练3 作出下列函数的图象，并写出其值域.
（1） , ;
解 当 时, ;当 时, ;当 时, .函数图象过点 ,
, .图象如图所示.
由图可知，函数的值域为 .
（2） , .
当 时, ;当 时, ;当 时,
.图象如图所示.
由图可知，函数的值域为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数的表示法.
（2）求函数解析式.
（3）函数图象的应用.
2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.
3.常见误区:求函数解析式或画函数图象时易忽视函数定义域.(共21张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点三］已知函数 的图象是两条线段（如图所示,不含端
点）,则 等于( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题图得，
.
2.［探究点一］若 则 的值为( )
A
A.8 B.9 C.10 D.11
[解析] 由题意知, .故选A.
3.［探究点一］已知函数 则不等式 的解集为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 原不等式等价于 或 解得 .
4.［探究点三］已知 则下列关于图中的
函数图象说法正确的是( )
D
A.是 的图象 B.是 的图象
C.是 或 的图象 D.以上答案都不对
[解析] 画出 的图象如图所示.
的图象是由 的图象向右平移一个单位长度得到的,与题目中的图不一样,
故A不正确. 与 的图象关于 轴对称,与题目中的图不一样,故B不正确.
的图象关于 轴对称, 的图象与 的图象一样,二者图象都与题目中的
图不一样，故选项C不正确,
故选D.
5.［探究点一］已知函数 若 ,则 的值是( )
B
A.3或 B. 或5 C. D.3或 或5
[解析] 若 ,则 , （ 舍去）;若 ,则 , .综上, 或 ,故选B.
6.［探究点三］已知 的图象如图所示,则 的解析式为
_ _______________________.
[解析] 当 时, ;
当 时,设 ,
则 解得 此时 .
综上,
7.［探究点四］某市出租车收费标准如下:在 以内（含 ）路程按起步价7元收
费,超过 以外的路程按2.4元/ 收费,某人乘车交车费19元,则此人乘车的路程为
___ .
8
[解析] 根据题意 ,判断出乘车的路程超过 ,设此人乘车的路程为 .
由题意得 ,整理得 ,解得 .
8.[探究点二·2023四川船山期中] 已知
（1）在所给坐标系中画出 的图象；
解 函数图象如下图所示.
（2）直接写出 的值域.
由图象可知,函数的值域为 .
B级 关键能力提升练
9.已知函数 的对应关系如下表,函数 的图象是如图所示的曲线 ,
其中 , , ,则 ( )
1 2 3
2 3 0
B
A.3 B.2 C.1 D.0
[解析] 由题图知 , .故选B.
10.已知函数 则 的值域是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 知当 时, ；
当 时, ,当且仅当 ,即 时，等
号成立.
综上， 的值域是 .故选B.
11.（多选题）已知 , ,且 则 的
最值情况是( )
CD
A.有最大值3 B.有最小值 C.无最小值 D.无最大值
[解析] 由 得 ；由 ,得
或 ,所以 作出
函数 的图象如图,
可得 无最大值,无最小值.
12.“高斯函数”为 ,其中 表示不超过 的最大整数.例如： ,
.已知函数 , ,若 ,则 __；不等式
的解集为_ _____.
[解析] 由题意,得
当 时, ,即 ；
当 时, ,即 （舍）.综上， .
当 时, ,即 ;当 时, ,即
.
所以 的解集为 .
13.设集合 , ,函数 已知 ,且
, 则实数 的取值范围是_ _____.
[解析] ， , .
.
, ,则 .
, .
实数 的取值范围是 .
14.如图,定义在 上的函数 的图象由一条线段及抛
物线的一部分组成.
（1）求 的值及 的解析式;
解 根据图象可知 ,则 ,
设线段对应的解析式为 .
将点 和点 的坐标代入可得 , ,即
.
当 时,设 .
又图象经过 , , ,
,即 .
（2）若 ,求实数 的值.
当 时, ,符合题意；
当 时,解得 或 （舍去）.
故 的值为 或 .
C级 学科素养创新练
15.［北师大版教材习题］画出函数 的图象.
解 函数图象如图所示.
