(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.[探究点三·2023安徽合肥期末] 下列函数中与 是同一个函数的是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 对于A, 的定义域为 ,而 的定义域为 ,故A错误；
对于B,函数 与函数 为同一个函数,故B正确；
对于C, 与 的对应关系不同,故C错误；
对于D, 与 的定义域不同,故D错误.
故选B.
2.［探究点一］（多选题）下列四个说法中,正确的是( )
ACD
A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素
3.［探究点四、五］下列四个函数： ; ; ; ,
其中定义域与值域相同的是( )
B
A.①②③ B.①②④ C.②③ D.②③④
[解析] ,定义域为 ，值域为 ， ,定义域为 ，值域为 ， ,定义域为 ，值域为 , ,定义域为 ,值域为 ,故①②④的定义域与值域相同.
4.［探究点五］若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为
“孪生函数”.函数解析式为 ,值域为 的“孪生函数”共有( )
B
A.10个 B.9个 C.8个 D.4个
[解析] 由 ,得 , ；由 ,得 , .
根据题意可得，函数的定义域可能为 ， , ， ， , , , , , , , , , ,1, , ,1, , ,2, , ,因此共有9个“孪生函数”.
5.［探究点一］下列关于 , 的关系式中, 可以表示为 的函数关系式的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据函数的定义,函数关系中任意一个 都有唯一的 对应,选项A,B,C关于 , 的关系式中,存在一个 有两个 与之对应,不能构成函数关系,选项D中的任意一个 都有唯一的 对应,能构成函数关系.故选D.
6.［探究点三］下列各对函数是同一个函数的是______（填序号）.
① 与 ；
② 与 ；
③ 与 ；
④ 与 .
②④
[解析] ①函数 ,函数 的定义域为 ,函数 的
定义域为 ,两个函数的定义域不相同,不是同一个函数；
与 的定义域和对应关系相同,是同一
个函数； 与 的对应关系不相同,不是同一个
函数； 与 的定义域和对应关系相同,是同一个函数.
7.［探究点五］函数 的值域为______.
[解析] ,
. 值域为 .
8.［探究点二、四］函数 的定义域用区间表示为________________________.
[解析] 要使函数有意义,需满足 即
定义域为 .
9.［探究点四］已知函数 .
（1）求 的定义域;
解 要使函数 有意义,只需 ,解得 ,所以函数的定义域为
.
（2）若 ,求 的值.
因为 ,且 ,
所以 ,即 ,解得 .
B级 关键能力提升练
10.若函数 的定义域是 ,则函数 的定义域是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意,得 即 .
11.函数 的值域是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题得， , .
,
,即原函数的值域为 .故选B.
12.（多选题）下列函数中,值域为 的是( )
AC
A. , B.
C. D.
[解析] 当 时, ,所以函数 , 的值域是 ,
故A正确；因为 ,所以 ,所以函数值域是 ,故B错误；因为
,所以 ,又 ,所以 ,即函数值域为
,故C正确；因为 ,所以 ,当且仅当 时，等号成立，所以
,故函数值域为 ,故D错误.故选 .
13.在实数的原有运算中,我们定义新运算“ ”如下:当 时, ；当
时, .设函数 , ,则函数 的值域为
_ ______.
[解析] 由题意知,当 时, ；
当 时, .
所以当 时, .
14.已知函数 , ,且该函数的值域为 ,则
的值为___.
3
[解析] 作出函数 的图象如图所示.
由图象结合值域 可知,区间右端点 必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以 ,即 ,解得 或 .又 ,所以 .
15.已知函数 .
（1）求 , 的值；
解 ； , ,所以
.
（2）证明： 等于定值.
证明 ,
所以 ,为定值.
16.函数 .
（1）若 的定义域为 ,求 的取值范围；
解 由题意得, 对 恒成立,当 时,满足题意；
当 时, 解得 ,
综上可知， 的取值范围为 .
（2）当 时,求 的值域.
当 时,令 .故 ,
则 的值域为 .
C级 学科素养创新练
17.已知函数 的定义域为 ,且函数 满足 ,若
,则 的值是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 满足 ,且 , , .
18.已知函数 .
（1）若函数 的值域为 ,求 的值；
解 函数值域为 , ,解得 或 .
（2）若函数 的函数值均为非负实数，求 的值域.
对一切实数 , 的函数值均为非负实数，
,解得 ,
, .
,即 .
的值域为 .(共40张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课 程 标 准 1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是不是同一个函数.
5.能正确使用区间表示数集.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的概念
函数的概念
函数的记法
定义域
值域
唯一确定
定义域
名师点睛
1.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.
2.因为函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定，所以确定一个函数只需两
个要素：定义域和对应关系.
3.理解函数的概念应关注三点：
（1）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集 中的任
意一个（任意性）数 ,在非空数集 中都有（存在性）唯一（唯一性）的数 与之对
应，这三性只要有一个不满足,便不能构成函数；
（2） 仅仅是函数符号,不是表示“ 等于 与 的乘积”, 也不一定就
是解析式；
（3）除 外,有时还用 , , , 等符号来表示函数.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）函数的定义域和值域一定是无限集合.( )
×
（2）根据函数的定义,定义域中的任何一个 可以对应着值域中不同的 .( )
×
（3）在函数的定义中,集合 是函数的值域.( )
×
2.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动,若把摩天轮的转动时间 当作自变量,
他相对于地面的高度 为因变量,则每取一个 值,有几个 值与之对应？
提示 每取一个 值,有唯一一个 值与之对应.
知识点2 区间的概念与表示
设 , ,且 ,规定如下:
符号 数轴表示
过关自诊
1.区间 表示的集合为_ _____________.
[解析] 根据区间的定义,可表示为 .
2.实数集 及 , , , 如何用区间表示？
提示
集合
区间表示
3.区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗？
提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合 ,1, 就不能用区间表示.
4.［人教B版教材例题］求下列函数的定义域：
（1） ;
解 因为函数有意义当且仅当
解得 ，所以函数的定义域为 .
（2） .
因为函数有意义当且仅当
解得 且 ，因此函数的定义域为 .
知识点3 同一个函数
如果两个函数的________相同,并且__________完全一致,即相同的自变量对应的函
数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
名师点睛
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就相同，
譬如 , 与函数 , 表示同一个函数.
定义域
对应关系
过关自诊
［北师大版教材习题］
（1）函数 和 是同一个函数吗？为什么？
解 函数 和 不是同一个函数，
因为它们的定义域不同，前者为 ,后者为 .
（2）函数 和 是同一个函数吗？为什么？
函数 和 是同一个函数，
因为它们的定义域都是 ,对应关系都可化为 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 函数关系的判断
【例1】（1） 设 ,
,给出下列四个图形,其
中能表示从集合 到集合 的函数关系的
个数是( )
B
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] ①错误, 时,在 中无元素与之对应,不满足任意性.②正确,同时满足任意性
与唯一性.③错误, 时,对应元素 ,不满足存在性.④错误, 时,在 中
有两个元素与之对应,不满足唯一性.
（2）已知集合 ,集合 ,则下列对应关系中,不能
看作是从 到 的函数关系的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据函数的定义,对于D,在集合 中的部分元素,集合 中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法 1.根据图象判断是否为函数关系的方法:
（1）任取一条垂直于 轴的直线 .
（2）在定义域内沿 轴平行移动直线 .
（3）若直线 与图象始终有且只有一个交点,则是函数；若在定义域内没有交点或
有两个或两个以上的交点,则不是函数.
2.判断一个对应关系是否为函数的方法:
变式训练1（1） 若函数 的定义域为 ,值域为
,则函数 的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 选项A中的定义域不是 ,选项C中图象不满足函数定义中的唯一性,选项D
中的值域不是 ,故选B.
（2）已知集合 ,1,2, , ,下列四个对应关系中能构成从集合 到集
合 的函数的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 有 是符合题意的对应关系,故选D.
探究点二 区间
【例2】 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
（1） ；
解 可以用区间表示为 ；用数轴表示如图①.
图①
（2） ,或 ；
,或 可以用区间表示为 ；用数轴表示如图②.
图②
（3） ,或 ；
,或 用区间表示为 ；用数轴表示如图③.
图③
（4） ,且 ；
,且 用区间表示为 ；用数轴表示如图④.
图④
（5） .
用区间表示为 ；用数轴表示如图⑤.
图⑤
规律方法 用区间表示集合的注意点
（1）正确利用区间表示集合，要特别注意区间的端点值能否取到，即“小括号”和“中括号”的区别.
（2）用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时，应先求出相应集合，再用区间表示.
变式训练2（1） 集合 ，或 用区间表示为_ ____________.
（2）若集合 用区间表示为 ,则实数 的取值范围用区间表示为______
___.
[解析] 由区间的定义知，区间 （或 ）成立的条件是 .
则有 .
, 实数 的取值范围是 .
探究点三 同一个函数
【例3】 （多选题）下列四组函数中, 与 表示同一个函数的是( )
BD
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
[解析] 函数 ,定义域为 , 的定义域为 ,两
函数定义域不同,不是同一个函数；
函数 ,定义域为 , 的定义域为
,两函数定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数；
函数 ,定义域为 , 的定义域为 ,两函数定义域
不同,不是同一个函数；
函数 ,定义域为 , 的定义域为 ,两函数
定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.故选 .
规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练3 下列各组函数是同一函数的是______（填序号）.
与 ； 与 ；
与 .
②③
[解析] , ,二者对应关系不同,故 与 不是同
一函数； , ,对应关系与定义域均相同,故
是同一函数； 与 ,对应关系和
定义域均相同,故是同一函数.
探究点四 求函数的定义域
【例4】 求下列函数的定义域,并用区间表示.
（1） ；
解 要使函数有意义,自变量 的取值必须满足 解得 且 ,即函
数定义域为 .
（2） ；
要使函数有意义,须使 ,解得 ,因此函数的定义域为 .
（3） .
要使函数有意义,则 即
解得 且 .
所以函数的定义域为 , , .
规律方法 常见函数定义域的求法
（1）如果函数 是整式,那么函数的定义域是实数集 ;
（2）如果函数 是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;
（3）如果函数 是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于
零的实数组成的集合;
（4）如果函数 是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,
那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合（即求各式子自变量取值
集合的交集）.
变式训练4 求下列函数的定义域：
（1） ;
解 要使 有意义， 需满足 ,即 ,故该函数的定义域为
.
（2） ;
要使 有意义， 需满足 ,
即 ,故该函数的定义域为 .
（3） ;
要使 有意义， 需满足 ,
即 ,又 ,则 等于 ，0，1，
故该函数的定义域为 ，0， .
（4） .
要使函数有意义，当且仅当 解得 .故该函数的定义域为 .
探究点五 函数的值域
【例5】 求下列函数的值域：
（1） ；
解 （方法1） ,且 ， .故函数的值域为
.
（方法2） , . .故函数的值域为 .
（2） ；
设 ,则 ,且 ,
,由 ,再结合函数的
图象（如图）,可得函数的值域为 .
（3） .
函数 的定义域为 ,
当 时, ,当且仅当 时，等号成立；当 时,
, ,当且仅当 时，等号成
立.
的值域为 .
规律方法 求函数值域的基本方法是根据解析式特征,选择恰当的方法,常见方法如下：
（1）观察法：对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到；
（2）配方法：此方法是求“二次型函数”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
（3）分离常数法：此方法主要是针对形如 的有理分式,将有理
分式变形转化为“反比例型函数”的形式或变形为 后结合不等式的性质求值
域；
（4）换元法：对于一些无理函数（如 ）,通过换元把它们转
化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域；
（5）基本不等式法：若所给函数解析式直接（或化简后）满足基本不等式的条件,可以直接使用基本不等式求最值.
变式训练5 求下列函数的值域：
（1） ;
解 ,
,即函数 的值域为 .
（2） ;
,
, , ,
, .
（3） .
,且定义域为 ,
,即 .
函数 的值域为 ,且 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数的定义及判断.
（2）求函数的定义域.
（3）同一个函数的判断.
（4）求函数值域.
2.方法归纳:换元法、图象法、数形结合、数学抽象.
3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
