(共23张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］下列函数是奇函数的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定 与 的关系.选项A中
函数的定义域为 ,不关于原点对称,所以排除A；选项B,C中函数的定
义域均是 ,且函数均是偶函数；选项D中函数的定义域是 ,且 ,则此
函数是奇函数.
2.［探究点三（角度1）］下列说法中,正确的是( )
B
A.偶函数的图象一定与 轴相交
B.若奇函数 在 处有定义,则
C.既是奇函数又是偶函数的函数一定是 ,
D.图象过原点的增函数（或减函数）一定是奇函数
[解析] 是偶函数,但函数与 轴没有交点,故A错误;
若奇函数 在 处有定义,则由 得 ,即 ,故B正确;
若函数 是奇函数,则 ,若函数 是偶函数,则 ,
则 ,则 ,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;
函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数（或减函数）不一定是奇函数,故D错误.故选B.
3.［探究点三（角度1）］若偶函数 在 上是增函数,则 ,
, 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由 为偶函数,得 .
又 ,且 在 上是增函数,
,即 .
4.［探究点三（角度1）]（多选题）已知定义在区间 上的
一个偶函数,它在区间 上的图象如图,则下列说法正确的是
( )
BC
A.这个函数有2个单调递增区间
B.这个函数有3个单调递减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值7
D.这个函数在其定义域内有最小值
[解析] 根据偶函数的图象关于 轴对称,可得它在
区间 上的图象,如图所示,因此这个函数在区
间 上有3个单调递增区间,3个单调递减区间,
在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选 .
5.[探究点二·2023广东佛山一模] 已知函数 是定义在 上的奇函数,当
时, ,则当 时, _ ____________.
6.［探究点三（角度 ）］已知 ,且 ,则
_ ____.
[解析] 令 ,易知 为奇函数.
因为 , ,
所以 .
,
所以 .
7.［探究点三（角度 ）］若函数 是定义在 上的偶函数,在 上是增函数,
且 ,则使得 的 的取值范围是_ __________________
[解析] 因为函数 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函数,所以 在 上是减函数,又因为 ,所以 ,即 ,所以 或 .
8.［探究点三（角度 ）］已知函数 为奇函数.
（1）求 和实数 的值；
解 设 ,则 .
因为 时, ,
则 ,
因为 ,
所以当 时， ,
所以 ,则 .
（2）求方程 的解.
由（1）知
所以原方程等价于 或
解得 或 .
B级 关键能力提升练
9.若函数 为偶函数,则 的值是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,
,由 ,得 ,即
.
10.已知 是定义在 上的奇函数, ,若 , ,
则 ( )
C
A.2 B. C.2或 D.2或1
[解析] 是奇函数, ,
,而 , ,则 ,解得 或 ,故选C.
11.设函数 , 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论正确的
是( )
C
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
[解析] 是奇函数, 是偶函数,
, .
,
故 是奇函数,
故A错误；
,
故 是偶函数,故B错误；
,
故 是奇函数,故C正确；
,
故 是偶函数,故D错误.故选C.
12.（多选题）已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时, ,则下列
说法正确的是( )
AB
A. B. 的最大值为
C. 在 上单调递增 D. 的解集为
[解析] ,A正确；当 时, ,
的最大值为 ,B正确；因为 在 , 上单调递减,C错误； 的解
集为 ,D错误.
13.已知函数 为 上的奇函数,且当 时, ,则 ____,
_ __.
[解析] 因为函数 为 上的奇函数,
所以 ,即 ,解得 .
所以 .
所以 .
又函数 为 上的奇函数,
所以 .
14.已知 是定义在 上的奇函数,且当 时,
（1）求函数 在 上的解析式；
解 根据题意, 是定义在 上的奇函数,则 ,若 ,则 ,则
,
又由 为奇函数,则 时， ,综上可得，
（2）若 在区间 上有最大值,求实数 的取值范围.
由（1）知 作出函数图象如图，
若 在区间 上有最大值,即函数图象在区间
上有最高点,必有 或 ,
故 的取值范围为 .
C级 学科素养创新练
15.（多选题）给出定义:若 （其中 为整数）,则称 为离实数 最
近的整数,记作 ,即 .则下列关于函数 的四个命题中是真命题
的有( )
AD
A.函数 的定义域是 ,值域是
B.函数 是偶函数
C.函数 是奇函数
D.函数 在 上单调递增
[解析] 化简函数解析式可得,
画出函数的图象,如图所示.由图象可知函数 的定义域是 ,值域是 ,故A为
真命题；由图可知,函数图象既不关于 轴对称,也不关于坐标原点对称,且 在
上单调递增,故函数 既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C为假命题,D为真命题.
16.（1）已知函数 , ,若对于任意实数 , ,都有
,求证： 为偶函数；
证明 令 , ,得 .①
令 , ,
得 .②
由①②，得 ,
即 , 是偶函数.
（2）设函数 定义在 上，证明： 是偶函数， 是
奇函数.
， .
的定义域也是 .
设 , ,则 与 的定义域也是 ，
显然是关于原点对称的.
,
,
为偶函数， 为奇函数，即 是偶函数， 是奇函数.(共32张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断（或证明）函数的奇偶性.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 奇函数、偶函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ,如果 ，都有 ,
名师点睛
对函数奇偶性定义的理解
函数的奇偶性是相对于定义域 内的任意一个 而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性属于“整体性质”.
过关自诊
1.函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 ___.
1
[解析] 当 时, ,
.又 为定义在 上的奇函数,
.
2.［北师大版教材例题］根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1） ;
解 依题意知函数 的定义域为 ,且对任意的 ,有
, ,即 .所以函数
是奇函数.
（2） ;
依题意知函数 的定义域为 ,且对任意的 ,有
,即 .
所以函数 是偶函数.
（3） ;
依题意知函数 的定义域为 ,且对任意的 ,有
,即 所以函数 是偶函数.
（4） .
根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，那么它的定义域是关于原点对称的.而
函数 的定义域为 ,它不关于原点对称，所以函数 既
不是奇函数，也不是偶函数.
知识点2 奇函数、偶函数的图象特征
（1）偶函数的图象关于 轴对称；反之，结论也成立，即图象关于 轴对称的函
数一定是偶函数.
（2）奇函数的图象关于原点对称；反之，结论也成立，即图象关于原点对称的函
数一定是奇函数.
名师点睛
奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反.若奇函
数 在区间 上有最大值 ,最小值 ,则 在区间 上的
最大值为 ,最小值为 ;偶函数 在区间 , 上有相同
的最大（小）值.
过关自诊
1. 的图象关于______对称.
原点
[解析] 的定义域为 ,
又 ,
为奇函数. 其图象关于原点对称.
2.若 为奇函数,且点 在其图象上,则还有哪一个点一定在其图象上 若
为偶函数呢
提示 若 为奇函数,则点 一定在其图象上;若 为偶函数,则点 一定在其图象上.
3.［人教B版教材习题］已知函数 满足 ,分别在下列各条件下比较
与 的大小:
（1） 是偶函数；
提示 因为函数 是偶函数，所以 ,
因此 , ，从而由条件可知 .
（2） 是奇函数.
提示 因为函数 是奇函数，所以 ,
因此 , ,
由条件可知 ，因此 .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
（1） ;
解 函数的定义域为 ,不关于原点对称,故 既不是奇函数也不是偶函数.
（2） ;
函数的定义域为 ,关于原点对称, ,
是奇函数.
（3）
函数的定义域为 ,关于原点对称.
当 时, ,
.
当 时, , .
是奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法
（1）定义法：
（2）图象法：
变式训练1 判断下列函数的奇偶性:
（1） ；
解 ,其定义域为 , ,则函数 为奇函数.
（2） ;
,有 则有 ,即函数的定义域为 ,关
于原点对称, ,则 是偶函数.
（3） ;
根据题意, ,必有 解得 ,即函数的定义域为
,不关于原点对称,所以 既不是奇函数也不是偶函数.
（4） .
的定义域是 ,又 ,所以
是偶函数.
探究点二 利用函数的奇偶性求解析式
【例2】 已知 为 上的奇函数,当 时, .
（1）求 ;
解 因为函数 为奇函数,
所以 .
（2）求 的解析式.
当 时, ,则
.
由于 是奇函数,则 ,
所以 ， .当 时, ,则 ,即
.
所以 的解析式为
变式探究 若将例2中的“奇”改为“偶”,“ ”改为“ ”,其他条件不变,求 的解析式.
解 当 时, ,此时 .由于
是偶函数,则 ,所以 的解析式为
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
（1）“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式, 就应在哪个区间上设.
（2）要利用已知区间的解析式进行代入.
（3）先求出 ，再利用 的奇偶性求出 .
提醒：若函数 的定义域包含0且 为奇函数,则必有 ,但若为偶函数,则未必有 .
探究点三 奇偶函数性质的应用
角度1.奇偶函数的图象性质
【例3】 ［人教B版教材例题］研究函数 的性质，并作出函数图象.
解 要使函数表达式有意义，需有 ,因此函数的定义域为 ,从
而可知函数的图象有左右两部分.
设 ,则对任意 ,都有 ,而且 ,所以函数
是偶函数，函数的两部分图象关于 轴对称.
下面研究函数在区间 上的性质及图象.
因为 , 时，有 ,所以 在 上单调递
减.又因为 时， ,所以函数图象在右边的部分一定在第一象限.列
出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图.
1 2 3
4 1
再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象，如图所示，而且函数的定义域为
,函数是偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减，函数
的值域是 .
规律方法 由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 轴对称，因此根据奇偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
变式训练2 已知 为奇函数,其局部图象
如图所示,那么( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知 ,因为函数是
奇函数,所以 ,即 ，
则 .
故选C.
角度2.利用奇偶函数的性质求解析式中的参数
【例4】 若函数 是偶函数,定义域为 ,则
_ ___.
[解析] 因为函数是偶函数,所以定义域关于原点对称,则 ,解得 .
所以 .
因为偶函数图象关于 轴对称,所以 ,解得 ,所以
.
规律方法 利用奇偶性求参数的方法：（1）定义域含参数：奇偶函数 的定义域为 ,根据定义域关于原点对称,利用 求参数.（2）解析式含参数：根据 或 列式,比较系数即可求解.
变式训练3（1） 若 为偶函数,则实数 ___.
4
[解析] ,
是偶函数, ,即 .
（2）已知函数 为奇函数,则 ___.
0
[解析] 由题意知 则
所以
当 , 时,经检验知 为奇函数,符合题意，故 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）函数奇偶性的概念.
（2）奇函数、偶函数的图象特征.
2.方法归纳:特值法、数形结合法.
3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.
