(共26张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程 标准
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 幂函数的定义
一般地，函数________ 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
名师点睛
幂函数的特征
（1） 的系数为1；
（2） 的底数是自变量 ,指数 为常数；
（3）项数只有一项.
符合以上三个特征的函数才是幂函数.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ，错误的画 ）
（1）函数 与函数 都是幂函数.( )
×
（2）所有二次函数都是幂函数.( )
×
2.下列所给的函数中是幂函数的为( )
C
A. B. C. D.
知识点2 幂函数的性质与图象
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数 , , , , 的图象
如下图所示.
2.幂函数的性质
幂函数
定义域 _ _______
值域 _ _______ _ _______
奇偶性 ________ ________ 奇函数 既不是奇函 数，也不是偶 函数 ________
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
公共点 续表
过关自诊
1.如图所示,图中的曲线是幂函数 在第一象限的图象,
已知 取 , 四个值,则曲线 , , , 对应的 依次
为( )
B
A. , , ,2 B.2, , ,
C. , ,2, D.2, , ,
[解析] 根据幂函数 的性质,在第一象限内的图象，当 时, 越大, 递
增速度越快,故曲线 对应的 ,曲线 对应的 ；当 时, 越大,曲线
越陡峭,所以曲线 对应的 ,曲线 对应的 ,故选B.
2. 与 的大小关系为_ _______________.
3.通过对知识点2中5个幂函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
提示 第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 幂函数的概念
【例1】 函数 是幂函数,且在区间 上单调递增,试确
定 的值.
解 根据幂函数的定义,得 ,
解得 或 .
当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递减,不符合要求.故 .
规律方法 幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 （ 为常数）的形式,即:（1）系数为1;（2）指数为常数;（3）后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必是这种形式.
变式训练1 如果幂函数 的图象不过原点,求实数 的取值.
解 由幂函数的定义得 ,解得 或 ；当 时, ,函数为 ,其图象不过原点,满足条件；当 时, ,函数为 ,其图象不过原点,满足条件.
综上所述, 或 .
探究点二 幂函数的图象
【例2】 下列关于函数 与 的图象正确的是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 函数 是幂函数,而 是一次函数.选项A,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项B,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项C,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ；选项D,直线对应函数为 ,曲线对应函数为 ,故C正确.
规律方法 函数 （ 为常数）的图象特点
（1）恒过点 ,且不过第四象限.
（2）当 时,指数越大,幂函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”）;当
时,指数越大,幂函数的图象越远离 轴（简记为“指大图高”）.
（3）由幂函数的图象确定幂指数 与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内
的图象（类似于 或 , ）来判断.
（4）当 时,幂函数的图象在区间 上都上升;当 时,幂函数的图象
在区间 上都下降.
变式训练2 如图所示,曲线 与 分别是函数
和 在第一象限内的图象,则下列结论正确的是
( )
A
A. B.
C. D.
[解析] 画出直线 的图象,作出直线 ,与三个
函数图象交于点 , , .由三个点的位
置关系可知, ,即 .故选A.
探究点三 利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
（1） 与 ;
解 幂函数 在 上单调递增,
又 , .
（2） 与 .
幂函数 在 上单调递减,
又 , .
规律方法 1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
变式训练3 比较下列各组数的大小:
（1） 和 ;
解 因为函数 在区间 上为减函数,又 ,所以
（2） 和 ;
因为 ,函数 在区间 上单调递增,又 ,则 ,从
而
（3） ， 和 .
因为 , ,
,所以
探究点四 幂函数性质的综合应用
【例4】 函数 是幂函数,且在区间 上单调递减,则
实数 为( )
B
A.1 B. C.2 D. 或2
[解析] 函数 是幂函数,
可得 ,解得 或2.
当 时, ,函数 在区间 上单调递减,满足题意,
当 时, ，函数 在 上单调递增,不满足条件.故选B.
规律方法 幂函数 在 上的单调性与 的关系：
当 时,幂函数 在 上单调递增；当 时,幂函数 在
上单调递减.
变式训练4 [2023湖南常德期末] 已知幂函数 的图象过点 .
（1）求函数 的解析式；
解 因为幂函数 的图象过点 ,代入解析式有 ,解得 .所以函
数 .
（2）设函数 在区间 上是单调函数,求实数 的取值范围.
,函数 图象的对称轴为直线 .
因为 在 上是单调函数,所以 或 ,
解得 或 ,
所以实数 的取值范围为 .
本节要点归纳(共16张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］函数 的图象关于 轴对称的图象大致是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数
的图象可看作由 的图象向下平移一个单位长度得到的，即为选项A,
将 的图象关于 轴对称后即为选项B.
2.［探究点一］下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 函数 ,不是幂函数；
函数 ,定义域是 ，是幂函数,但不是偶函数；函数 是幂函数,也是定义在 上的偶函数；
函数 是幂函数,但不是偶函数.故选C.
3.［探究点三］已知 , , ,则( )
A
A. B. C. D.
[解析] , ,
,函数 在 上单调递增，且 ,
,即 .
4.［探究点四］若 ,则 的取值范围是________.
[解析] 因为函数 的定义域为 ,且为增函数,所以由不等式可得 ,解得 .
5.［探究点四］为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发
送方由明文到密文（加密）,接收方由密文到明文（解密）.现在加密密钥为 （
为常数）,如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,求解密后得到的明文.
解 由题目可知加密密钥 （ 是常数）是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出 的值.由题意,得 ,解得 ,则 .由 ,得 ,即明文是9.
B级 关键能力提升练
6.若幂函数 在 上单调递减,则 ( )
D
A.8 B.3 C. D.
[解析] 函数 为幂函数,则 ,解得
或 .当 时, ,在 上单调递减,满足题意;当 时,
,在 上单调递增,不满足题意,所以 ,所以 ,所以
,故选D.
7.已知幂函数 ,若 ,则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由幂函数 ,若 ,
可得 ,即 得 .
所以 的取值范围为 .
8.（多选题）下列不等式在 的条件下成立的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 分别构造函数 , , , ,其中函数 , 在 上为减函数,而 , 为 上的增函数,故D不成立,其余都成立.
9.函数 是幂函数,对任意 , ,且 ,满
足 ,若 , ,且 , ,则 的值( )
A
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
[解析] 由已知函数 是幂函数,可得 ,解
得 或 ,当 时, ,当 时, ,对任意的 ,
,且 ,满足 ,函数在 上单调递增,所以 ,
此时 .又 , ,可知 , 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对
值,则 恒大于0,故选A.
10.（多选题）已知幂函数 的图象过点 ,下列说法正确的是
( )
AD
A.函数 的图象过原点 B.函数 是偶函数
C.函数 是减函数 D.函数 的值域为
[解析] 因为幂函数图象过 ,则有 ,所以 ,即 .故函数是奇函数,图象过原点,函数在 上单调递增,值域是 ,故A,D正确,B,C错误.故选 .
11.幂函数 为偶函数且在区间 上单调递减,则
_______, ___.
2或3
4
[解析] 幂函数 为偶函数,且在 上单调递减,
,且 是偶数,由 得 .由题
知 是整数,故 的值可能为2或3,验证知 或3时,均符合题意，故 或3,此
时 ,则 .
12.已知幂函数 在区间 上单调递增,函数
.
（1）求实数 的值；
解 依题意得 或 .
当 时, 在区间 上单调递减,与题设矛盾,舍去.当 时， ,符合题设，故 .
（2）当 时,记 , 的值域分别为集合 ， ,若 ,求实数 的
取值范围.
由（1）可知 ,当 时,函数 和 均单调递增. 集合 , .
,
实数 的取值范围是 .
C级 学科素养创新练
13.[2023四川成都月考] 已知点 在幂函数 的图象上,对任意
的实数 ,定义 ,其中 表示不超过 的最大整数.
（1）求 的值；
解 由题意,幂函数 的图象过点 , , ,故
,则 .
（2）求函数 的值域.
由（1）知, , .
当 为整数时,由 , 知, , ,此时,
;
当 不是整数时,由 知, ,
可见不超过 的最大整数为 ,即 ,
由 的定义, 可知,
,
此时 .
的值域为 .
