(共31张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
3.会应用一次函数、二次函数和幂函数模型解决一些简单的实际问题.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 常见的函数模型
（1）一次函数模型.
形如 的函数模型是一次函数模型，应用一次函数的性质及图象
解题时，应注意:①一次函数有单调递增（一次项系数为正）和单调递减（一次项系数
为负）两种情况;②一次函数的图象是一条直线.
（2）二次函数模型.
形如 的函数模型是二次函数模型.二次函数模型是重要的
数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有
时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题.
（3）分段函数模型.
这个模型实质是一次函数、正比例函数（形如 , ）、反比例函数（形如 , ）、二次函数模型中两种及以上的综合.
（4）幂函数模型.
, , 为常数， , .
过关自诊
1.一个矩形的周长是40,矩形的长 关于宽 的函数解析式为_ _____________________.
2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点
提示 在实际应用中,函数的自变量 往往具有实际意义,如 表示长度时, ; 表示
件数时, ,且 等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.
3.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系
提示 通常需要先画出函数图象,再根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.
知识点2 实际问题的函数建模
实际问题的函数建模是将实际问题转化为数学问题的关键,结合对函数性质的研究，
通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.
一般步骤为:
（1）设恰当的变量:研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的关系,并
用 , 分别表示问题中的变量.
（2）建立函数模型:将变量 表示为 的函数,在中学数学阶段,我们建立的函数模
型一般都是函数的解析式，注意函数的定义域.
（3）求解函数模型:根据已知条件求解函数模型.
（4）给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.
过关自诊
1.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销售中发现,这种商品每天的销量 （单位：
件）与每件的售价 （单位：元）满足一次函数 .若要每天获得最大的销
售利润,每件商品的售价应定为( )
B
A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好
[解析] 设每天的销售利润为 元,则 , ,整理得
,当 时, 取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每
天才能获得最大的销售利润.
2.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万
元.又知总收入 是单位产品数 的函数, ,则总利润 的最大值
是_______万元.
2 500
[解析] ,当 时, 取最大值2 500万元.
3.在建模中一次函数模型、二次函数模型、与幂函数相关的函数模型的选取标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？
提示 一次函数模型 的增长特点是直线上升,增长速度不变.
二次函数模型 的最值容易求出,常常用于最优、最省等最值问题,与幂函数相关的函数模型 , , , 为常数, , 随 的增大而增大,但增长的速度相对平稳,图象随 的变化而变化.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 一次函数、二次函数模型的应用
【例1】 在一次会展期间某企业向展销商销售一种商品,根
据市场调查,每件商品售价 （单位：元）与销量 （单位：
万件）之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量成反
比,比例系数为50.（注：每件产品利润 售价-供货价格）
（1）求售价为20元时的销量及此时的供货价格；
解 由题图知每件商品的售价与销量之间的函数关系为一次函数,设 ,供货价
格为 元.
则 解得 即 .
当售价为20元时,销量为 （万件）.
又供货价格与销量成反比,比例系数为50,
此时的供货价格为 （元）.
（2）当售价为多少时总利润最大,并求出最大利润.
商品供货价格为 , .设销售商品总利润为 万元,则
.
当售价为15元时,总利润 最大,最大值为175万元.
规律方法 1.一次函数模型的重要特征是均匀变化,且满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为 ,利用待定系数法建立方程（组）求 , .
2.二次函数模型的解析式为 .在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法结合函数的定义域求最值.
变式训练1 两个城市之间用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.
（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式；
解 设每日来回 次,每次挂 节车厢,由题意设 .
由已知可得
解得 ,
（2）在（1）的条件下,每节车厢能载乘客110人,问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数.
设每日火车来回 次,每次挂 节车厢,设每日可营运 节车厢.
则
所以当 时, 取最大值72.
此时 ,故每日最多运营人数为 （人）.
探究点二 分段函数模型的应用
【例2】 某种商品在30天内每件的销售价格 （单位：元）与时间 （单位：
天）的函数关系用如图的两条线段表示,该商品在30天内日销售量 （单位：件）与时
间 （单位：天）之间的关系如下表:
5 10 20 30
35 30 20 10
（1）根据提供的图象（如图）,写出该商品每件的销售价格 与时间 的函数关系式；
解 由已知可得
（2）根据上表提供的数据,且已知 与 之间为一次函数关系，写出日销售量 与时
间 的函数关系式；
日销售量 与时间 的函数关系式为 .
（3）求该商品日销售金额 （单位：元）的最大值,并指出日销售金额最大的一天是3
0天中的第几天（日销售金额 每件的销售价格×日销售量）.
由题意
当 , 时, 取最大值900;
当 , 时, 取最大值，此时 .
第25天时,该商品日销售金额的最大值为1 125元.
规律方法 1.分段函数主要是每一段的变化规律不全相同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围，特别是端点值.
2.分段函数的最大值是各段最大值中最大的，分段函数的最小值是各段最小值中最小的.
变式训练2 甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产
品 （单位:百台）,其总成本为 （单位:万元）,其中固定成本为2.8万元,并且每生
产1百台的生产成本为1万元（总成本 固定成本 生产成本）,销售收入
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉）,根
据上述统计规律,请完成下列各题:
（1）写出利润 关于 的解析式（利润 销售收入-总成本）.
解 由题意得 .
（2）甲厂生产多少台该产品时,可使盈利最多？
由（1）知,函数 在区间 上单调递减,
（万元）.
当 时,函数 ,
当 时, 有最大值为3.6.
故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.
探究点三 幂函数模型的应用
【例3】 为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、
乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚
种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 （单位：万元）、种黄瓜的年收
入 （单位：万元）与各自的资金投入 , （单位：万元）满足 ,
.设甲大棚的资金投入为 （单位：万元）,每年两个大棚的总收入为
（单位：万元）.
（1）求 的值；
解 当甲大棚的资金投入为50万元时,乙大棚资金投入为150万元,则由 , ，
可得总收入为 （万元）.
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入,才能使总收入 最大.
根据题意,可知总收入为
.
满足 解得 .
令 , .所以 转化为
, .
因为 ,所以当 ,即 时总收入最大,最大收入为282
万元,所以当甲大棚投入资金为128万元,乙大棚投入资金为72万元时,总收入最大,最大收
入为282万元.
规律方法 涉及 与 之间的关系式时,要注意利用 ,将问题转化为二次函数模型求解.
变式训练3 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的
函数模型为 ,B产品的利润与投资的函数模型为 （利润和投资的单位
为百万元）,其关系分别如图①,图②所示.
图①
图②
（1）分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式.
解 A: 函数 的图象过点 , .
B: 函数 的图象过点 , ,
: ,B: .
（2）该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少？（精确到万元）
设投资B产品 百万元,则投资A产品 百万元,总利润
.所以当 ,即
时, .故当投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利
润最大,最大值约为578万元.
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）一次函数模型、二次函数模型的应用.
（2）分段函数模型的应用.
（3）幂函数模型的应用.
2.方法归纳:配方法、分类讨论、数形结合.
3.常见误区:实际问题中一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,最后
要将数学问题还原为实际问题.(共19张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园,墙 长 .当这个矩形菜园 的宽（矩形的较短边）
为( ) 时,围成的矩形菜园 的面积最大？
B
A. B. C.10 D.15
[解析] 设矩形的宽为 米,矩形的面积为 ,则由题意可得矩形的长为 ,则
,所以矩形的面积为
.因为 ,所以当
时,矩形面积取得最大值,故选B.
2.［探究点一］（多选题）某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,
若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万
元,每册杂志可以定价为( )
BC
A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元
[解析] 设杂志的定价为 元,总销售收入为 元,根据题意可得
,当销售收入不少于22.4万
元时, ,解得 ,故选 .
3.［探究点二］如图是一份统计图表,根据此图表得
到的以下说法中正确的是( )
C
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收
入指数增长最快的一年是2019年；③生活价格指数
上涨速度最快的一年是2020年；④虽然2021年生活
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
费收入增长缓慢,但由于生活价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.
[解析] 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的,故①正确.“生活费收入指数”在 年最陡,故②正确.“生活价格指数”在 年最平缓,故③不正确.由于“生活价格指数”略呈下降,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故④正确.故选C.
4.［探究点二］为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用
电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电
量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时
但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过400千瓦时
的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份
的用电量为_____千瓦时.
580
[解析] 设用电量为 千瓦时，电费 元，
若 时，当 时，则 ，解得 ,不
满足题意；
当 时，则 ，解得
,不满足题意；
当 时，则 ，解得 ，满
足题意.
故该户居民10月份的用电量为580千瓦时.
5.［探究点三］某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入 （单位:万元）与
药品利润 （单位:万元）存在的关系为 （ 为常数）,其中 不超过5万元.已知
去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年广告费用投入5万元,预计今年
药品利润为_____万元.
125
[解析] 由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入 中,即 ,解得 ,故函数关系式为 .所以当 时, .
6.［探究点三］某辆汽车以 千米/时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行
车安全要求 ）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为
升.
（1）欲使每小时的油耗不超过9升,求 的取值范围；
解 由题意,令 ,
化简得 ,解得 ；
又因为 ,所以欲使每小时的油耗不超过9升, 的取值范围是 .
（2）求该汽车行驶100千米的油耗 （单位：升）关于汽车行驶速度 的函数,并求
的最小值.
设该汽车行驶100千米的油耗为 .
则 ,其中 .由
,知 , ,所以 时,汽车行驶100千米的油耗取得最小值为
升.
B级 关键能力提升练
7.（多选题）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同
学家到公园的距离都是 .如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程
（单位： ）与时间 （单位： ）的关系，下列结论正确的是( )
ABC
A.甲同学从家出发到公园的时间是
B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速
度慢
C.当 时， 与 的关系式为
D.当 时， 与 的关系式为
[解析] 由题中图象知，A正确；
甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，
所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，B正确；当
时，设 ，则 ，解得 ，C正确；当 时，题
中图象是平行于 轴的线段，D错误.
8.（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为 （不超过
按起步价付费）；超过 但不超过 时，超过部分按每千米2.15元收费；
超过 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结
论正确的是( )
BCD
A.出租车行驶 ,乘客需付费8元
B.出租车行驶 ,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶 两次的费用超过他乘出租车行驶 一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了
[解析] 在A中，出租车行驶 ,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；在B中，出租车行驶 ,乘客需付费 （元），B正确；在C中，乘出租车行驶 ，乘客需付费 （元），乘坐两次需付费26.6元， ,C正确；在D中，设出租车行驶 时，付费 元，由 知 ,因此由 ,解得 ,D正确.
9.某山区盛产苹果、梨子、猕猴桃,并对生产的水果进行线上销售，销售方案如下：若
一次购买水果总价不低于200元,则顾客少付款 元,每次订单付款成功后,农民会收到支
付款的 ,在销售活动中,为了使得农民收入不低于总价的 ,则 的最大值为____.
25
[解析] 设每笔订单的总价为 元,根据题意有 ,即 恒成立,由题意得 ,所以 ,所以 ,所以 的最大值为25.
10.[2023河北石家庄期末] 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过600件.
（1）设一次订购 件,服装的实际出厂单价为 元,写出函数 的表达式.
解 当 时, ；
当 时, .
（2）当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
设利润为 元,则当 时, ；当 时,
当 时, 是增函数,当 时, 最大,此时
；
当 时, , 当
时, 最大,此时 .
显然 .
当一次订购550件时,利润最大,最大利润为6 050元.
C级 学科素养创新练
11.某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力,决定优化
产业结构,调整出 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为
万元 ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 .
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业？
解 由题意,得 ,即 ,又 ,所
以 ，
即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件
下,若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则 的
取值范围是多少？
从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元,从事原来产业的员工的年总
利润为 万元,则 ,所
以 ,
所以 ,即 在 时恒成立.则
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 .
又 ,所以 .所以 的取值范围为 .
