(共13张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点一］（多选题）下列各组对象能构成集合的是( )
ABD
A.一个平面内的所有点 B.所有小于零的实数
C.某校高一（1）班有个性的学生 D.某一天到商场买过商品的顾客
[解析] 对于A，“一个平面内的所有点”的标准确定,能构成集合；对于B，“所有小于零的实数”的标准确定,能构成集合；对于C,“某校高一（1）班有个性的学生”中有个性的标准不确定,因而不能构成集合；对于D，“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能构成集合.
2.［探究点二］下列关系中正确的是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 属于实数,因此A选项错误； 是正整数集,因此 ,故B选项错误； 是有理数,因此C选项正确；由于 是无理数, 是整数集,因此D选项错误.故选C.
3.［探究点二］有下列说法:
①集合 中最小的数为1；②若 ,则 ；③若 , ,则 的最小
值为2；④所有小的正数组成一个集合.
其中正确的个数是( )
A
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 中最小的数为0,所以①错；由 ,而 可知②错；若 , ,则 的最小值为0,所以③错；“小”的正数没有明确的标准,所以④错,故选A.
4.［探究点三］（多选题）由 , ,4组成一个集合 ,且集合 中含有3个元素,则
实数 的取值不可能是( )
ABD
A.1 B. C. D.2
[解析] 由题意知 , , ,解得 ,且 ,结合选项知 不可能是 .
5.［探究点二］下列说法中,
①集合 与集合 是同一个集合；
②集合 中的元素都是集合 中的元素；
③集合 中的元素都是集合 中的元素；
④集合 中的元素都是集合 中的元素,
其中正确的有______（填序号）.
②④
[解析] 因为集合 表示正整数集, 表示自然数集, 表示整数集, 表示有理数集,
表示实数集,所以①③错误,②④正确.
6.［探究点三］已知集合 中含有2个元素 和 ，若 ,则实数 的值为___.
1
[解析] 由题意得 或 ，所以 或 .
当 时， ，不符合题意，所以 舍去；当 时， ， ，满足题意.故 .
7.［探究点二、三］设 ,集合 中含有三个元素 ,3, .
（1）求元素 应满足的条件；
解 由集合中元素的互异性可得 , ,且 ,解得 , ,
且 .
（2）若 ,求实数 的值.
若 ,则 或 .
由于方程 无实数解,所以 .
经检验,知 时集合 中三个元素符合互异性.
故 .
B级 关键能力提升练
8.设 , ,集合 中含有3个元素1, , ,集合 中含有3个元素0, , .若集合
和集合 是相等的,则 ( )
A
A.2 B. C.1 D.
[解析] 由已知， ,故 ,则 ,
所以 , ,所以 .
9.（多选题）已知 , 为非零实数,代数式 的值所组成的集合是 ,则下列
判断正确的是( )
AD
A. B. C. D.
[解析] ①当 , 均为正数时,代数式 的值为3；②当 , 为一正一负时,代
数式 的值为 ；③当 , 均为负数时,代数式 的值为 ,
所以集合 中的元素为 ,3.
10.已知集合 有2个元素 , ,若 ,则下列说法一定错误的是____（填序
号）.
； ； .
②
[解析] 依题意 解得 , 且 ,
当 或 ,即 或0时, 中的元素为0,2,故①可能正确；
当 或 ,即 时, 中只有1个元素1，不符合题意,故②不正确,③显然
正确.
11.已知集合 中含有3个元素 ,0, ,集合 中含有3个元素 , ,1,且集合 和集
合 是相等的,则 ___, _ ___, ___.
1
2
[解析] 集合 和集合 是相等的,
又 , , , , , .
C级 学科素养创新练
12.[2023浙江杭州检测] 已知集合 中含有三个实数元素 , , ,若 且 ,求
的值.
解 由 ,可知 ,故 ,所以 ,解得 .
又 可得 或 ,
当 时, ,与集合中元素的互异性矛盾,
所以 且 ,所以 .
故 , ,所以 .(共29张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标 准 1.通过实例，了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的三个特性.
3.理解元素与集合的“属于”关系.
4.记住常用数集及其记法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 元素与集合的概念
一般地,我们把__________ 统称为元素，通常用小写拉丁字母 , , ,…表示.把一些
元素组成的______叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母 ， ， ，…表示集合.
研究对象
总体
（1）描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明，
（2）整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
（3）广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.
名师点睛
集合的三个特性
过关自诊
1.你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗
提示 自然数集合,有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合等.
2.构成集合的元素有什么要求
提示 构成集合的元素除了常见的数、点、式子等数学对象，也可以是其他任何形式的对象，只要是有确定标准的对象即可，另外，一个集合也可以是另一个集合的元素.
3.观察下列每组对象能否构成一个集合:
（1）不超过36的非负数;
解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能构成集合.
（2）方程 在实数范围内的解;
能构成集合.
（3）某校2022年在校的所有成绩好的同学;
“成绩好”无明确的标准，对于某个同学算不算成绩好无法客观地判断,因此不能构成一个集合.
（4） 的近似值的全体.
“ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“3”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
知识点2 集合中元素的特性
1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.
2.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
名师点睛
对集合中元素的特性的理解
（1）确定性是集合中元素的基本特征，没有确定性就不能构成集合，例如“课本中的难题”“聪明的孩子”，其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊，故都不能组成集合.
（2）互异性是判断能否组成集合的另一标准，也是最容易被忽视的性质.例如:good中的字母组成的集合中的元素是g,o,o，d,这句话是不对的，因为在这个单词中，字母“o”虽然出现了两次，但如果归入集合中只能算作一个元素，根据互异性，正确的说法应为good中的字母组成的集合中的元素有3个，分别为g,o,d.
过关自诊
1.改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗
提示 是.
2.（1）由方程 和 的根组成的集合中有 ___ 个元素.
2
（2）已知集合 中含有两个元素 和 ，若 是集合 中的元素,试求实数
的值.
解 因为 是集合 中的元素，
所以 或 若 ,则 ，此时集合 含有两个元素
， ,符合要求;若 ,则 ，此时集合 含有两个元素 , ,符
合要求.综上所述，满足题意的实数 的值为0或 .
知识点3 元素与集合的关系
元素与集合 的关系 关系 概念 记法 读法
属于 _ _____
不属于 _ _____
名师点睛
区别与联系 概念上的区别 符号上的区别 联系
概念 元素 研究对象
集合 一些对象组成的整体 是集合
不是集合
过关自诊
1.如何准确理解符号“ ”和“ ”
提示 符号“ ”和“ ”用于表示元素与集合之间的关系，并且这两个符号的左边是元素，
右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2.设集合 表示“1~10以内的所有素数”,则3和4这两个元素与集合 有什么关系 如何用
数学语言表示
提示 3是集合 中的元素,即3属于集合 ，记作 ;4不是集合 中的元素,即4不属
于集合 ,记作 .
3.[北师大版教材习题]用符号“ ”或“ ”填空:设 为所有亚洲国家组成的集合，则中国
_ __ ，美国___ ,印度___ ,英国___ .
知识点4 常用数集及其记法
数集名称 非负整数集（或自然数集） 正数数集 整数集 有理数集 实数集
记法 _ __ _ ___或____ _ __ _ __ _ __
过关自诊
1.非负整数集与正整数集有何区别？
提示 非负整数集包括0,而正整数集不包括0.
2.最小的自然数是什么？
提示 最小的自然数是0
3.[北师大版教材习题]用符号“ ”或“ ”填空:
0___ ，0___ ，
-1___ ，-1___ ,
3.14___ ， ___ ，
___ ， ___ ,
___ , ___ ,
___ ， ___ ，
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 集合的概念
【例1】 给出下列各组对象：
①我们班中比较高的同学；②无限接近于0的数的全体；③比较小的正整数的全体；④
平面上到点 的距离等于1的点的全体；⑤正三角形的全体； 的近似值的全体.
其中能够构成集合的有( )
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] ①②③⑥不能构成集合，因为没有明确的判断标准；④⑤可以构成集合，“平
面上到点 的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法 判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否具有明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.
变式训练1（1） 下列各组对象中能构成集合的是( )
D
A.著名物理家 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于3的实数
[解析] 只有选项D有明确的标准,能构成一个集合.
（2）下列各组对象可以构成集合的是( )
B
A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数
[解析] A中“难题”的标准不确定,不能构成集合；
B能构成集合；
C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；
D中“小的正数”没有明确的标准,所以不能构成集合.
探究点二 元素与集合的关系
【例2】（1） 已知不等式 的解集为 ,则以下表示方法正确的是( )
C
A. , B. , C. , D. ,
[解析] ，即 ,
由于 , ,因此 , ,故选C.
（2）我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设 是方程 的解组成
的集合.
是不是集合 中的元素？
②若 ,求实数 的值；
③若 ,求实数 的取值范围.
解 ①将 代入方程,得 ,
所以0不是集合 中的元素.
②若 ,则有 ,解得 .
③若 ,则 ,解得 .
规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法
（1）直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现
即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.
（2）推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中
元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素 属于集合
,则元素 就具有集合 中元素的特征；若元素 不属于集合 ,则元素 就不具有集
合 中元素的特征.
变式训练2（1） 给出下列关系: ； ； ； .其
中正确的个数为( )
A
A.1 B.2 C.3 D.4
（2）已知集合 中的元素 满足 ,试判断下列元素与集合 之
间的关系.
; ; ;④若一个元素 ,试判断 与集合 的关系,并说明理由.
解 , .
, .
, .
④由于 ,则一定存在 , 满足 ,
因此 ,结合 , 可知 .
探究点三 集合中元素的特性及其应用
【例3】 已知集合 含有3个元素 , ,12,且 ,求 的值.
解 因为 ,所以 或 ,解得 或 .当 时, , ,不满足元素的互异性,所以舍去 .当 时,经检验,符合题意.故 .
变式探究 本例中集合 中含有3个元素,实数 的取值是否有限制？
解 有限制.
由元素的互异性可得 解 ,得 ；解 ,
即 ,得 且 ；解 ,即 ,
得 .
所以实数 不能取四个值：14, , , .
规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤
本节要点归纳(共13张PPT)
01
分层作业
A级 必备知识基础练
1.［探究点二］用描述法表示右图所示阴影部分的点（包括边界上的
点）的坐标的集合是( )
B
A. ，且
B. ，且
C. ，且
D. ，或
[解析] 由题图可知,阴影部分的点的横坐标满足 ,纵坐标满足 ,
所以所表示的集合为 ，且 .
2.［探究点三］下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
D
A. B. C. D.
3.［探究点四］（多选题）下列选项中是集合 , , 中的元素
的是( )
AD
A. B. C. D.
[解析] 对于A,当 , 时, ， , , ,满足题意.
对于B,当 , 时, , ; , ,不满足题意.
对于C,当 , 时, , ; , ,不满足题意.
对于D,当 , 时, , ; , ,满足题意.故选 .
4.［探究点一］已知集合 ， ，用列举法表示集合 ______
______.
，2，
[解析] 集合 , ，
，2， .
5.［探究点四］已知集合 ,且 ,则实数 的取值范围是________
____.
[解析] ,
,即 的取值范围是 .
6.［探究点三］用适当的方法表示下列集合:
（1）一年中有31天的月份的全体；
解 月,3月,5月,7月,8月,10月,12月 .
（2）大于 小于12.8的整数的全体；
, , ,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, .
（3）所有能被3整除的数的集合；
, .
（4）方程 的解集；
.
（5）不等式 的解集.
.
B级 关键能力提升练
7.已知 是正数,且集合 ,则 ( )
C
A.0 B.2 C.4 D.8
[解析] 由题意可知方程 有两个相等的正实根,故 .又方程两根之和为正数,即 ,所以 ,因此方程变为 ，且根为4,故 ,所以 .故选C.
8.设集合 ,3, , , , .已知 且 ,则实数
的取值集合为( )
D
A. , B. , C. , D.
[解析] 由题意可得①当 且 时,解得 或4；
时,集合 不满足集合中元素的互异性,故 ；
时,集合 ,3,4, ,集合 ,符合题意.
②当 且 时,解得 ,由①可得不符合题意.
综上,实数 的取值集合为 .故选D.
9.（多选题）下列关于集合的概念及表示正确的是( )
CD
A.集合 与集合 是同一个集合
B.1,2, , , 这些数组成的集合有5个元素
C.集合 与集合 不是同一个集合
D. 且 表示的是空集
[解析] 对于选项A,集合 表示函数 的函数值组成的集合,集
合 表示曲线 上的点组成的集合,不是同一集合,所以该
选项错误；对于选项B, ,所以1,2, , , 这些数组成的集合有3个
元素,所以该选项错误；对于选项C,点 与点 不是同一个点,故集合 与集合
不是同一个集合,所以该选项正确；对于选项D,显然正确.
10.（多选题）方程组 的解集可表示为( )
ABD
A. B.
C. D.
[解析] 方程组 只有一个解，解为
所以方程组 的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A，B，D
都符合题意.
11.定义运算 ,且 ,若 ,1,3,5,7, , ,5, ,则
_ ______.
[解析] 定义运算 ,且 , ,1,3,5,7, , ,5, , .
12.已知集合 , ,若 , ,则 为
_ _____.
[解析] 由题意知 , ,所以 是方程组 的解,解得 即 为
.
C级 学科素养创新练
13.设集合 .
（1）试判断元素1和2与集合 的关系；
解 当 时, ；当 时, ,所以 , .
（2）用列举法表示集合 .
因为 , ,所以 只能取2,3,6,
即 只能取0,1,4.所以 .(共28张PPT)
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
课程标准 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法.
2.能进行自然语言与集合（符号）语言间的相互转换.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 列举法
把集合的所有元素__________出来,并用____________括起来表示集合的方法叫做
列举法.
一一列举
花括号“ ”
名师点睛
用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
（1）元素与元素之间需用“，”隔开.
（2）集合中的元素必须是确定的.
（3）一般地，列举法适用于有限集：①元素个数有限且比较少时，可以全部列举出来，如 ，2， ；②元素个数有限且比较多时，可以列举一部分，中间用省略号表示，称为中间省略列举，如从1到1 000的所有正整数组成的集合，可以表示为 ，2，3， ， .
过关自诊
1. 与 有什么区别？
提示 是一个元素, 是集合.
2.使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序有要求吗？
提示 由于集合中的元素具有无序性,因此使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序没有要求.
3.用列举法表示下列集合:
（1）由方程 的所有实数根组成的集合；
解 , , ;
（2）大于2且小于7的整数.
.
知识点2 描述法
一般地，设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组
成的集合表示为_____________，这种表示集合的方法称为描述法.
名师点睛
使用描述法表示集合时要注意：
（1）写清该集合中元素的代表符号，如 不能写成 ;
（2）用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；
（3）不能出现未被说明的字母，如 中 未被说明，故此集合中
的元素是不确定的；
（4）所有描述的内容都要写在花括号内，如“ , ”不符合要
求，应将“ ”写进“ ”中，即 , ;
（5）元素的取值（或变化）范围，从上下文的关系来看，若 是明确的，则
可省略不写，如集合 也可表示为 ;
（6）多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如
，或 .
过关自诊
1.什么类型的集合适合用描述法表示？
提示 含有较多元素的有限集或无限集，且元素的共同特征可以统一描述.
2.集合 与 是否表示同一个集合？
提示是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合.
3.如何用描述法表示所有奇数的集合、偶数的集合、有理数的集合？
提示 奇数的集合： , }或 , ；
偶数的集合： , ；
有理数的集合： , , , .
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一 用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合:
（1）方程 的解组成的集合;
解 方程 的解为 ,所求集合用列举法表示为 , .
（2）单词“ ”中的字母组成的集合;
单词“ ”中有两个互不相同的字母,分别为“ ”“ ”,所求集合用列举法表示为{ , }.
（3）直线 与 的交点组成的集合.
方程组 的解是 所求集合用列举法表示为 .
规律方法 1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
（1）在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.
（2）“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”.元素之间无顺序,满足无序性.
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
（1）15的正因数组成的集合;
解 .
（2）不大于10的正偶数组成的集合;
.
（3）方程组 的解组成的集合.
.
变式训练1 用列举法表示下列集合:
探究点二 用描述法表示集合
【例2】 ［北师大版教材例题］用描述法表示下列集合：
（1）小于10的所有有理数组成的集合 ;
解 设 ,则 ,且使 成立.
因此，用描述法可以表示为 .
（2）所有奇数组成的集合 ;
设 ，则 是一个奇数.因此，用描述法可以表示为 , .
（3）平面 内，到定点 的距离等于定长 的所有点组成的集合 .
设 ,则 , 到 内的定点 的距离等于定长 .
因此，用描述法可以表示为 为 内的定点， 为定值，且 到 的距
离等于 .
规律方法 1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
变式训练2 用描述法表示下列集合：
（1）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合;
解 平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合,由于集合的代表元素是点,因此用描
述法可表示为 ,且 ；
（2）2和3的所有公倍数构成的集合；
2和3的最小公倍数是6,因此2和3的所有公倍数构成的集合是 , ；
（3）方程 的所有实数根组成的集合；
设方程 的实数根为 ,并且满足条件 ,因此,用描述法表示为
；
（4）使函数 有意义的实数 的集合.
使函数 有意义的实数 的集合是
探究点三 集合表示方法的选择与转换
【例3】 用适当的方法表示下列集合:
（1）满足 , 的直线 上的点的坐标组成的集合；
解 由于 , ,因此满足 的解为 或 或
因此用列举法表示为 , , .
用描述法表示为 , , .
（2）1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;
设集合的代表元素是 ,则该集合用描述法可表示为 , ,且 .
（3）所有的正方形组成的集合;
用描述法表示为 是正方形 .
（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.
由于大于0.5且不大于6的自然数是1,2,3,4,5,6,因此用列举法表示为 ,也可以
用描述法表示为 .
规律方法 表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法（列举法和描述法）表示出来.
变式训练3 用列举法和描述法分别表示下列集合：
（1）方程 的所有实数解组成的集合；
解 方程 的解是 或 ,所以方程的解组成的集合用列举法表示为 ，
，用描述法表示为 .
（2）方程组 的解组成的集合.
解方程组 得
故用列举法表示方程组 的解组成的集合为 ，用描述法表示为
.
探究点四 集合表示方法的综合应用
【例4】（1） 若 , ,定义集合 , ,用列
举法表示集合 .
解 当 时, 依次取1,2,6,得 的值分别为1,2,6；
当 时, 依次取1,2,6,得 的值分别为3,4,8；
当 时, 依次取1,2,6,得 的值分别为6,7,11.
.
（2）判断集合 , 与集合 , 的元素是
否完全相同？
由于 ,则 表示全体奇数，同理 ,则 表示全体奇数.所以 与 尽
管形式不一样,但它们所含的元素完全相同.
规律方法 1.本例中的（1）是一个关于集合的新定义问题,求解此类问题,应正确理解新
定义的特征,本题中的集合的代表元素是两个数的和,并且这两个数分别来自两个集合
, .求解时要注意集合中元素的互异性的应用.
2.研究描述法表示的集合中的元素以及元素具有的性质,可以利用列举法将元素列
举出来.事实上,对于 , ,由于 ,因此 可以分为奇数与偶数.当
时, ,当 时, ,因此
集合 , 可以表示为 , .
变式训练4（1） 已知集合 , , , ,则集合
中的元素的个数为( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 因为集合 , , , ,所以当 时, 或 或 ;当 时, 或 ;当 时, ,所以集合 中的元素个数为6.
故选C.
（2）集合 ,若集合 中只有一个元素,用列举法表示实数
的值组成的集合.
解 ①当 时,方程 变为 ,解得 ,此时集合
,满足题意；
②当 时,要使集合 中只有一个元素,则方程
有两个相等的实数根,所以 ,解得 ,此时集合
,满足题意.
综上所述, 或 ,故实数 的值组成的集合为 .
本节要点归纳
1.知识清单：
（1）用列举法和描述法表示集合.
（2）两种表示法的综合应用.
2.方法归纳:等价转化.
3.常见误区:（1）容易混淆点集与数集的区别；（2）不能正确规范地使用描述法表示集
合.
