(共35张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.理解最值的概念.2.了解最值与函数极值的区别与联系.3.会求某闭区间上的最值和生活中的最值问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.函数的最大值与最小值
（1）如果在函数定义域 内存在 ,使得对任意的 ,总有 ,那么
为函数在定义域上的最大值.
（2）如果在函数定义域 内存在 ,使得对任意的 ,总有 ,那么
为函数在定义域上的最小值.
名师点睛
求可导函数 在区间 上的最大值与最小值的步骤
（1）求 在区间 上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与 , 比较,得到 在区间 上的最大值
与最小值.
知识点2.导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决.
名师点睛
用导数解决实际生活问题的基本思路
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求函数的最大值与最小值
例1 求下列函数的最大值与最小值:
（1） , ；
解 .令 ,得 或 .
当 变化时, , 的变化情况如下表:
0 2 4
0 - 0
极大值3 35
当 时, 取得最大值35;
当 时, 取得最小值 .
故 的最大值为35,最小值为 .
（2） , , 为正实数.
.当 时, 恒成立,即
在区间 上单调递减.故当 时, 有最小值 ；当 时,
有最大值 .故 的最小值为 ,最大值为0.
规律方法 求解函数在闭区间上的最大值与最小值,需注意以下几点
（1）对函数进行准确求导,并检验 的根是否在给定区间内;
（2）研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值;
（3）比较极值与端点函数值的大小,确定最大值与最小值.
跟踪训练1 求下列函数的最大值与最小值：
（1） , ；
解 .
因为 在区间 内恒大于0,所以 在区间 上单调递增.故当
时, ；当 时, .故 的最小值为 ,最大值为2.
（2） , .
, ，令 ,解得 或 .
又 , , , ，所以当 时, 有
最小值 ；当 时, 有最大值 .
【题型二】求含参数函数的最大值与最小值
例2 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）求 在区间 上的最大值 .
（1） 因为 ,
所以 .
①当 时,令 ,解得 ；令 ,解得 ,故 在区间
上单调递增,在区间 上单调递减.
②当 时, 恒成立, 在区间 上单调递减.综上,当 时,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;当 时, 在区间
上单调递减.
解 的定义域是 .
（2） 由（1）知,当 时, 在区间 , 上单调递减,则
;
当 时, 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减,
则 ;
当 时, 在区间 , 上单调递增, .
综上,当 时, ；
当 时, ；
当 时, .
规律方法
对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0这三种情况.若导函数恒大于0或恒小于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得；若导函数可能等于0,则先求出极值,再与端点的函数值比较后确定最值.
跟踪训练2 已知 为常数,求函数 的最大值.
解 若 ,则 ,函数 单调递减,所以
当 时,有最大值 .若 ,令 ,解得 .因为 ,所
以只考虑 的情况.
当 时, 有最大值 .若 ,即 时,则当 时, ,函数 在区间 上单调递增,当 时, 有最大值 .
综上,当 时, 有最大值0；当 时, 有最大值 ;当 时,
有最大值 .
0 1
0 -
0
若 ,即 ,当 变化时， ， 的变化情况如下表：
【题型三】由函数的最值求参数问题
例3 已知函数 ,当 时, 的最大值为3,最小值为
,求 , 的值.
解 由题设知 ,否则 为常数,与题设矛盾.
.
令 ,得 , （舍去）.
①当 时, 变化时, , 的变化情况如下表:
0 2
0 -
由表可知,当 时, 取得最大值，所以 ,即 .
又 , ,所以 ,解得
.
②当 时,同理可得,当 时, 取得最小值 ,所以 .
又 , ,所以 ,解得
.
综上, , 或 , .
规律方法
已知函数在某区间上的最值求参数的值（或取值范围）是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,然后利用导数研究函数的单调性及极值,探索最值,根据已知最值列方程（或不等式）解决问题.
跟踪训练3 已知函数 在区间 上的最大值是28,求实数 的取值范围.
解 因为 ,
所以 .
令 ,得 , ,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
1
0 - 0
28
当 时, 有极大值28；
当 时, 有极小值 .
,若 在区间 上的最大值为28,则 ，
所以 的取值范围为 .
【题型四】实际生活中的最值问题
角度1 面积、体积的最值问题
例4 请你设计一个包装盒,如图, 是边长为
的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全
等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 , ,
, 四个点重合于图中的点 ,正好形成一个正
四棱柱形状的包装盒, , 在 上,是被切去的
一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 .
（1）某广告商要求包装盒的侧面积 单位: 最大, 应取何值
（1） ,
所以当 时, 取得最大值.
解 设包装盒的高为 ,底面边长为 .
由已知，得 , ,
（2）某厂商要求包装盒的容积 单位: 最大, 应取何值 并求出此时包装盒的高
与底面边长的比值.
,
.
由 ,得 （舍去）或 .
当 时, ；当 时, .故当 时, 取得极大值,也是
最大值，
此时 ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .
规律方法
（1）解决面积、体积的最值问题要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
（2）在实际应用时应注意:
①列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域；
②当利用导数的方法解决实际问题,在定义区间内只有一个点使 时,如果函数在这点有极大（小）值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大（小）值.
跟踪训练4 将一张长为 ，宽为 的矩形钢板按如图所
示划线,要求①~⑦全部为矩形,且其中①与③,②与④分别是全
等的矩形, ,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接
（1）写出 关于 的函数关系式;
解 由水箱的高为 , ,得水箱底面的宽为 ,长为 ，
故水箱的容积为 .
成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为 ,容积为 .
（2） 取何值时,水箱的容积最大
令 ,
解得 （舍去）， ，
所以 在区间 , 上单调递增,在区间 , 上单
调递减,所以当 的值为 时,水箱的容积最大.
角度2 用料最省、成本（费用）最低问题
例5 如图，位于 , 两点处的甲、乙两村合用一个变压器,
若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何
处时,所需电线总长最短.
解 设 ,则 ，所需电线总长
,
从而 .
令 ,即 ,解得 或 （舍去）.
当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增.
故当 时, 取得最小值,即变压器设在 之间离点
的距离为 处时,所需电线总长最短.
规律方法
用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象,正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
跟踪训练5 甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米
/时,已知该汽车每小时的运输成本 （单位:元）关于速度 （单位:千米/时）的函数关
系是 .
（1）求全程运输成本 （单位:元）关于速度 的函数关系式.
解 由题意,得
.
（2）为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶 求运输成本的最小值.
,令 ,解得 （舍去）或 .当 时, ；当
时, .故当 时,全程运输成本取得极小值,也是最小值,
（元）.
角度3 利润（收益）最大问题
例6 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价
格 （单位：元/千克）满足关系式 ,其中 , 为常数.已
知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
（1）求 的值；
解 因为当 时, ,所以 , .
（2）若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获
得的利润最大.
由（1）知,该商品每日的销售量 ,所以商场每日销售该商品所获得
的利润 ,从而
,当 变化时, ,
的变化情况如下表：
4
0 -
极大值42
所以当 时,函数 取得极大值,也是最大值,且最大值为42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
规律方法 利润（收益）最大问题的求解策略
利用导数解决利润（收益）最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润（收益）
的函数关系式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润（收益）.
常见的基本等量关系如下:
（1）利润（收益） 收入-成本；
（2）利润（收益） 每件产品的利润（收益） 销售量.
解决此类问题需注意两点：①销售价格要大于或等于成本,否则就会亏本；②销售
量要大于0,否则不会获利.
跟踪训练6 本例条件换为：该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 单位：
元/千克, 满足：当 时, , 为常数 ；当
时, .已知当销售价格为2元/千克时,每日可销售出该商品800
千克；当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.
（1）求 , 的值,并确定 关于 的函数关系式；
解 由题意知,当 时, ,所以 ;当 时, ,所以 ,
所以 .故
（2）若该商品的成本为1元/千克,试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获
利润 最大.
由题意知，
当 时,
由 ,得 ；
由 ,得 或 ,
所以 在区间 , 和 上单调递增,在区间 , 上单调递减.
因为 ,
所以当 时， 有最大值, .
当 时,
,当
且仅当 ,即 时取等号,所以当 时, 有最大值，
.
因为 ,所以当 时, 有最大值1 840.
故当销售价格为5.3元/千克时,商场每日销售该商品所获利润最大.(共16张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.函数 的单调递减区间是( )
B
A. B.
C. D.
2.已知 在 上是可导函数, 的图象如图所示,则不等式
的解集为( )
C
A. B.
C. D.
3.函数 的单调递增区间为( )
A
A. B. C. D.
4.（多选题）函数 在区间 上的单调性是( )
AC
A.在 上单调递减 B.在 上单调递增
C.在 上单调递增 D.在 上单调递减
5.函数 的图象如图所示, 为函数 的导函数,则不
等式 的解集为______________________.
（ , ） （0,1）
6.判断函数 的单调性.
解 函数 的定义域为 , .
当 时, ；
当 时, ；
当 时, .
故 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
B层 能力提升练
7.[2023南京期末] 函数 的单调递增区间为( )
C
A. B. C. D.
8.已知函数 的导函数 的图象如图所示,则该函数的图象可能是( )
B
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
9.函数 的导函数 在区间 上的图象大致是( )
A
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
10.（多选题）已知函数 的定义域为 ,其导函数 的图象
如图所示,则对于任意 , ,下列结论正确的是( )
AD
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知, 是 上的减函数,且递减速度越来越慢,所以 图象的割线
斜率 为负,即 ,故A正确,B错误；
表示 对应的函数值, 表示 和 时所对应的函数值
的平均值,显然有 ,故C错误,D正确.故选 .
11.函数 的减区间为_ ____________.
（ , ）
12.函数 的单调递减区间为________.
（0,1）
13.[2023淮安期末] 已知定义在区间 上的函数 ，则 的单
调递增区间为_ ______.
,
[解析] 因为 ,则 .令
,即 ,且 ,所以 , ,所以 的单
调递增区间为 , .
14.已知函数 是 上的偶函数,且在 上有 ,若 ,则关于
的不等式 的解集是_ _______________________.
（ , ） （0,1）
[解析] 因为在 上， ,所以 在 上单调
递增.
又 为偶函数,所以 ,且 在 上单
调递减, 的草图如图所示,
所以 的解集为 .
15.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
解 因为 的图象在点 处的切线方程为 ,所以
,且 ,解得 ,
所以 .①
又 ,
所以
由①②，得 , （因为 ，所以 舍去），
所以所求函数的解析式是 .
（2）求函数 的单调区间.
由（1）知, .
令 ,解得 , ,当 或 时, ；当 时, .所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 和 .
C层 拓展探究练
16.（多选题）若函数 是自然对数的底数 在 的定义域上是
增函数,则称函数 具有 性质,则下列函数中具有 性质的是( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 设 ,对于A, 在定义域 上是增函数,故A正
确；
对于B, , ,所以
在定义域 上是增函数,故B正确；
对于C, 在定义域 上是减函数,故C错误；
对于D, ,则 , 在定义域 上不恒成
立,故D错误.故选 .
17.已知函数 为常数, 为自然对数的底数 ,曲线 在点
处的切线与 轴平行.
（1）求实数 的值；
解 由 ,得 .
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行,所以 ,即 ,解得 .
（2）求函数 的单调区间.
由（1）知, .
设 ,
则 .
可知 在 上单调递减.由 知,当 时, ,故
；
当 时, ,故 .
综上, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参数的函数的单调性问题.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.分类讨论思想研究函数的单调性
讨论含参数的函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论
的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取
值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：（1）最高次幂的系数是
否为0；（2）导函数是否有变号零点；（3）导函数的变号零点是否在函数定义域或指
定区间内；（4）导函数的变号零点之间的大小关系.
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的
恒正部分，将该部分省略，留下的部分称为 的有效部分 如：
，则记 为 的有效部分 .
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】有效部分为一次函数型
例1 已知函数 ,讨论 的单调性.
解 ， .①当 时， 恒成立， 在区间
上单调递增；②当 时，令 ，得 ；令 ，
得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.综上，
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当
时， 在区间 上单调递增．
题后反思
求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ；
（3） 为一次函数或者通分后的分子是一次函数；（4）若一次项系数含参数,则
对参数进行讨论；（5）令 或者通分后的分子等于0,求根为 ；（6）结合一
次函数的单调性和定义域判断 异侧的正、负情况,然后判断函数 的单调性.
解 函数 的定义域为 ，
当 时，对任意的 ， ，此时，
函数 的减区间为 ，无增区间；②当 时，由 ，得
，由 ，得 .此时，函数 的减区间为 ，增区间为
.综上，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；当
时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
跟踪训练1 设函数 ，其中 ，求 的单调区间.
【题型二】有效部分为二次函数型
角度1 可因式分解的二次函数型
例2 已知函数 , .讨论 的单调性.
解 根据题意，可得 的定义域为 ．
，
由 ，得 .①若 ，则 ，当 时， ；当
时， ，故 在区间 上单调递增，在区间 上单调
递减．②若 ，则 ，当 时， ，当 时，
，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．综上，当
时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
题后反思
求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ；
（3） 为二次函数或者通分后的分子是二次函数；（4）先讨论二次项系数是确定
的常数还是不确定的参数,若确定，则定开口方向;若不确定,则分为 , , 三种
情况；（5）若二次项系数可以等于0,则转化为一次型,同一次型方法,不等于0时,因式分
解；（6）因式分解后,令分子等于0,求根 和 （若根是分母含参数的分数,又对分母
等于0时单独讨论）；（7）结合开口方向、 和 的大小和二次函数的图象,判断在
定义域内的正、负情况,进而确定函数的单调性.
跟踪训练2 已知函数 .讨论 的单调性.
解 由题意，得 ①当 ，即 时，
恒成立，故 在区间 上单调递减；②当 ，
即 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ，
所以 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增；
③当 ，即 时，由 ，得 或 ；由 ，
得 ，所以 在区间 和 上单调递减，在区间
上单调递增.综上,当 时， 在区间 上单调递减；当
时， 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调
递增.
角度2 不可因式分解的二次函数型
例3 已知函数 .讨论 的单调性.
解 . 的
判别式 .当 ，即 时，
，函数 在区间 上单调递增；当 ，即
时，方程 的两根为 , ，当 时，
，当 时， , 单调递减，当
时， , 单调递增；当 时， ，
当 时， , 单调递增，当
时， , 单调递减，当 时， , 单调递增.
综上，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间
上单调递减，在区间 , 上单调递增；当
时， 在区间 , 上单调递增，在区间 ,
上单调递减.
题后反思
求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ；
（3） 为二次函数或者通分后的分子是二次函数；（4）先讨论二次项系数是确定
的常数还是不确定的参数,若确定，则定开口方向，若不确定,则分为 , , 三
种情况；（5）若二次项系数可以等于0,则转化为一次型,同一次型方法,不等于0时,不可
因式分解；（6）结合开口方向先判别 的情况.开口向上，则函数单调递增,开口
向下，则函数单调递减；（7） 时,用求根公式求出 和 ,结合开口方向和二次
函数的图象,判断在定义域内的正、负情况,进而确定函数的单调性.
跟踪训练3 已知函数 , ，函数 的导函数为 .讨论
的单调性.
解由 ，得函数的定义域为 ，且
.令 ，即 ，①当
，即 时， 恒成立， 在区间 上单
调递增；②当 ，即 时，令 ， ，当
时， ， 的解为 或 ， 的解为
,故 在区间 ， 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， ，同理, 在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增．
角度3 准二次函数型
例4 已知函数 .讨论 的单调性.
解 的定义域为 ，
.当 时， 恒成
立， 在 上单调递减；当 时，当 时， ，当
时， ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调
递增.综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增．
题后反思
函数求导后,导函数是可分解成两个因式相乘的非二次函数,讨论函数的单调性可以参考可因式分解型的二次函数方法.
跟踪训练4 设函数 , .讨论 的单调性.
解 当 时， ，令
，得 ，故当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减.②当 时，令 ,得 ，
,当 ，即 时，当 和 时，
， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 当
，即 时， ， 单调递增；当 ，即
时，当 和 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减.综上，当 时， 在区间
上单调递增，在区间 上单调递减；当 时， 在区间
和 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时，
在 上单调递增；当 时， 在区间 和 上单调
递增，在区间 上单调递减．
【题型三】有效部分为指数型或对数型
例5 已知函数 .讨论 的单调性.
解 .当 ， 恒成立， 在 上单调递增；当 ， 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
题后反思
求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ；
（3） 为含有指数（或对数）的类一次型函数,或者通分后的分子是这类；（4）
若系数含参数,则对参数分为正数、0、负数进行讨论,先讨论分子恒 或者恒 时
的情况；（5）令 或者通分后的分子等于0,求根为 ；（6）结合类一次函数
的单调性和定义域判断 异侧的正、负情况,然后判断函数 的单调性.
跟踪训练5 已知函数 ， ，其中
是 的导函数.讨论 的单调性.
解 ，
，
.当 时， ， 恒成立，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，故 在区间
上单调递减，在区间 上单调递增.综上，当 时， 在
上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增.(共22张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系.2.能够根据函数的单调性求出参数的值或取值范围.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.导数与函数单调性的关系
对于函数 ，如果在某区间上 ，那么 在该区间上单调递增；如果在某区间上 ，那么 在该区间上单调递减.
知识点2.由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调.
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间.
①已知 在区间 上存在单调递增区间 ，使得 有解.
②已知 在区间 上存在单调递减区间 ，使得 有解.
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 有变号零点.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】已知函数 在区间 上单调递增或递减问题
例1 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围为( )
D
A. B. C. D.
[解析] .因为 在区间 上单调递增，所以
在区间 上恒成立.令 ，则要满
足 或 .由①得 ，由②得 .
综上，实数 的取值范围是 ．故选D.
题后反思
（1）已知可导函数 在区间 上单调递增，则在区间 上 恒成立；
（2）已知可导函数 在区间 上单调递减，则在区间 上 恒成立.
跟踪训练1（1） 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的
取值范围是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 依题意，得 在区间 上恒成立，即 在区
间 上恒成立.令 ，则 ，所
以 在区间 上单调递增，则 ，所以 .故选B.
（2）已知函数 在区间 ， 上单调递增，在区
间 上单调递减，则实数 的取值范围为_ _________.
[解析] 由 ，得 .因为 在区间
， 上单调递增，在区间 上单调递减，所以方程 的两
个根分别位于区间 和 上，所以 即 解得
.
【题型二】已知函数 在区间 上存在单调区间问题
例2 若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是
_____________.
（ , ）
[解析] .由题意知， 在区间 上有解，
即 有解，当 时，显然满足；当 时，只需
，解得 .综上， 的取值范围是 .
题后反思
（1）已知可导函数 在区间 上存在增区间，则 在区间 上有解；
（2）已知可导函数 在区间 上存在减区间，则 在区间 上有解.
跟踪训练2 设 .
（1）若 在区间 上存在单调递增区间，求 的取值范围；
解 ，当 时，
，则当 时，令 ，得 ，所以当
, 时， 在区间 上存在单调递增区间.
（2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围.
由（1）得，当 时， ，则当 时，令
，得 ，所以当 , 时， 在区间 , 上单调递减.
【题型三】已知函数 在区间 上不单调问题
例3 已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是
( )
A
A. B. C. D.
[解析] 依题意， ，故 在区间 上有零点.令
，令 ，得 .令 ，
则 .由 ，得 ， 单调递增.又由 ，得
，故 ，所以 的取值范围是 .故选A.
题后反思
可导函数在已知区间上不单调，转化为导数在区间内存在变号零点.通常有两种方法:①用分离变量法求解参变量范围；②转化为导函数 在区间 上有解，且解不取区间 的端点.
跟踪训练3 已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数
的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
[解析] 因为 在区间 上不是单调函数，所以
在区间 上有解，即 在区间 上有解．令
，则 ．当 时， ；当 时，
．故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．又因为
, , ，且当 时，
,所以 在区间 上单调递增，所以
，解得 .故选A.
【题型四】已知函数 的单调区间为 ，求参数的值
例4 已知函数 的单调递减区间为 ，则( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由 ，得 .又 的单调递减区间是
，所以 和1是方程 的两个根，代入得 .经检验,满足题意.故
选B.
题后反思
已知函数 的单调区间为 ,则 和 是函数的导数等于0的解,代入 和 可求参数.
跟踪训练4（1） 若函数 的单调递减区间为 ，则
( )
A
A. B. C.8 D.10
[解析] ，由题意，知 是不等式 的解集，所以 ，3是 的两个根，所以 ， ，所以 .故选A．
（2）已知函数 的单调递减区间为 ，若 ，
则 的最大值为___.
6
[解析] 由 ，得 ．令
,即 ，解得 ，所以函数
的单调递减区间为 , ，所以 ，解得
，所以 的最大值为6.(共13张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.若函数 的单调递增区间为 ，则 的取值范围为( )
A
A. B.6 C.6或 D.
2.函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围
是( )
D
A. B. C. D.
4.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围
是_ __________.
,
5.[2023南京期末] 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为
_ _____.
,
6.已知函数 , .
（1）若 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
解 因为 , ，
所以 ,所以 ，
所以 在 处的切线的斜率为 .
因为 在 处的切线与直线 垂直，
所以 ，
即 ，解得 .
（2）若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围.
因为 ,所以 .
存在单调递减区间等价于 在 上有解,即
在 上有解.
令 ,所以只需
因为 ,即 ,所以实数 的
取值范围为
B层 能力提升练
7.“函数 在 上是增函数”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
9.已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的
取值范围是( )
A
A. B. C. D.
10.（多选题）已知函数 在 上单调递增，则实数 的所
有可能取值是( )
ABC
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 由题意，得 在 上恒成立，即 ，整理
得 ，即 .又 在 上单调递增，
所以最小值为 ，故 ，结合选项知， 可取0，1，2.故选 .
11.若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是
_ ________.
,
[解析] ，则原命题等
价于 在 , 上有解，即 在 , 上有解，即
在 , 上有解.因为 ，且
在 , 上单调递减，所以当 时， ，所以 .
12.已知函数 ， .
解 ， ,所以 .
（1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
若函数 在 上存在单调递减区间，则当 时， 有解，即
有解.设 ，所以只要 又 ，所
以 ,所以 ,即实数 的取值范围是 .
（2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围.
因为 在 上单调递减，所以当 时， 恒成立，
则 恒成立.设 ， ,所以 又
， ，因为 ，所以 , ，所以
（此时 ），所以 .又当 时，
.因为 ，所以 ，当且
仅当 时，等号成立,所以 在 上单调递减.故实数 的取值范围是 ,
.
C层 拓展探究练
13.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
_ _________.
,
[解析] 由 ，得 .
若函数 在 上单调递增，则
在 上恒成立.
令 ， ，则 ，
再令 ， ，则 .
因为 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，故 .
当 时， ，此时 ，则 在 上单调递增，
则 ，此时符合 在 上恒成立.
当 时， ， ，使得 ，故当
时， ，即 ；当 时， ，即 .故
在 上单调递减，则当 时， ，此时
，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为 , .
14.已知函数 ， ，其中 .若存在区间
，使得 与 在区间 上具有相同的单调性，求实数 的取值范围.
解 由题意，知 ， .当 时， ，即 在
上单调递增，而 在 , 上单调递增，故必存在区间 ，使得
与 在区间 上单调递增；当 时， ，故 在
上单调递减，而 在 上单调递增，故不存在满足条件的区间 ；当
时， ，即 在 上单调递减，而 在 ,
上单调递减，在 , 上单调递增，若存在区间 ，使得 与
在区间 上具有相同的单调性，则有 ，解得 .综上，实数
的取值范围为 .(共8张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是
( )
B
A. B.
C. D.
2.定义在 上的函数 与函数 在 上具有相同的单
调性，则 的取值范围是( )
B
A. B. C. D.
3.已知函数 .讨论函数 的单调性.
解 由 ，得 ， .当 时， ，
所以 在 上单调递减；当 时， .当 时，
， 在 , 上单调递增；当 时， ， 在 , 上
单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 , 上单调递
减，在 , 上单调递增.
B层 能力提升练
4.（多选题）若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值
可以是( )
AB
A. B. C.0 D.3
[解析] 当 时， ，显然不满足题意；当 时，
.因为 恰好有三个单调区间，所以
有两个零点，即 ，解得 .综上， 的取值范围为
.故选 .
5.设函数 .讨论 的单调性.
解 由 ，定义域为 ，得
.当 时，因为 ，
所以 ，故 在 上单调递减；当 时，因为 ，所以由
，得 ，由 ，得 ，故 在 , 上单调递减，在
, 上单调递增.
6.已知函数 .讨论 的单调性.
解 .当 时， ，
在 上单调递增；当 时，令 ，则 ，当 ,
时， ， 单调递减，当 , 时， ，
单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 , 上单
调递减，在 , 上单调递增.
C层 拓展探究练
7.函数 在定义域内的一个子区间 上不是单调函数，则
实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
8.设函数 ，其中 .当 时，求函数 的单调区间.
解 ， .当 时，
恒成立，则 在 上单调递减；当 时，
令 ，得 ，则 ，解得 ，令
，得 .
综上，当 时， 的单调递减区间为 ；当 时， 的单调递增
区间为 , ，单调递减区间为 , .(共25张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.下列函数中存在极值的是( )
B
A. B. C. D.
2.已知当 时,函数 有极小值,则 ( )
D
A. B. C.4 D.2
3.函数 在 取得极值7,则 ( )
C
A. 或3 B.3或 C.3 D.
4.（多选题）已知函数 有极大值和极小值,则实数 的
值可以是( )
AD
A. B. C.6 D.8
5.已知函数 既有极大值又有极小值,则实数 的取值
范围是_ ___________________________.
（ , ） （2, ）
6.已知关于 的函数 ,如果函数 在 处取得极值
,那么 ____, ___.
3
7.设函数 ,其中 ,曲线 在点 处的切线
垂直于 轴.
（1）求 的值；
解 .
由题意,知曲线在 处的切线斜率为0,即 ,从而 ,解得 .
（2）求函数 的极值.
由（1）知， ,
.令 ,得 , （舍
去）.
当 时, , 在 上单调递减；当 时, ,
在 上单调递增.故 在 处取得极小值,极小值为 ,无极大
值.
B层 能力提升练
8.[2023扬州期末] 已知 是函数 的极小值点，则 的极小值
为( )
A
A. B.0 C.1 D.2
9.已知函数 ，则“ ”是“ 是 的一个极小值点”的( )
C
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ，若 ，则 ,当 , 时，
， ， 单调递减；当 , 时， ， ，
单调递增.故 是 的一个极小值点.若 是 的一个极小值点，则
，解得 ，经检验，当 时， 是 的一个极小值
点，故“ ”是“ 是 的一个极小值点”的充要条件.故选C.
10.设函数 在 上可导,其导函数为 ,且函数 在 处取得极小值,则
函数 的图象可能是( )
C
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
11.若函数 在 处取得极大值,则 的值为
( )
A
A.3 B.2 C.3或2 D. 或
[解析]
由题意，得 ,整理得 ,解得 或
.
当 时,
令 ,得 或 ；
令 ,得 .
此时,函数 在 处取得极小值,不符合题意.
当 时, .
令 ,得 或 ；
令 ,得 .
此时,函数 在 处取得极大值,符合题意.
综上, .故选A.
12.已知函数 的图象如图所示,且 在
与 处取得极值,则 的值一定( )
B
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.小于或等于0
13.（多选题）已知函数 的定义域为 ，则( )
BC
A. 为奇函数 B. 在 上单调递增
C. 有且仅有4个极值点 D. 恰有4个极大值点
[解析] 因为 的定义域为 ，定义域不关于原点
对称，所以 是非奇非偶函数.又
，当
时， ，则 在 上单调递增，显
然 令 ，得 .如图，分别作出
， 在区间 上的图象.由图可知，这两个函数的图象在区间
上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故 在区间
上的极值点的个数为4，且 只有2个极大值点.故选 .
14.（多选题）设 ,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实数
根的是( )
BCD
A. , B. , C. , D. ,
[解析] 设 ,那么 .
当 时, , 单调递增, 必有一实数根,D项满足题意;
当 时,由于选项中只有 ,故只考虑 即可,此时
,
故 , 时, 单调递增； 时, 单调递减.
故 的极大值为 , 的极小值为 .
若方程只有一个实数根,则需满足 或 ,解得 或 ,B,C项
满足.故选 .
15.若函数 在区间 上恰有一个极值,则实数 的取值范围
为_ ______.
,5）
[解析] ,函数 在区间 上恰有一个极值,即
在 上恰有一个根.又函数 的对称轴为直线 ,所以应
满足
所以 所以 .
16.已知函数 ,当 时, 有极大值.写出符合上述
要求的一个 的值_________________.
4（答案不唯一）
[解析] 因为 ,所以
因为当 时, 有极大值,所以 有两个根,其中一个根为3,设另一个根为
,且 ,
所以 所以 .
17.设 为实数,函数 .
（1）求 的极值；
解 .
令 ,得 或 .
当 变化时, , 的变化情况如表所示.
1
0 - 0
极大值 极小值
所以 的极大值是 ,极小值是 .
（2）若曲线 与 轴仅有一个交点,求 的取值范围.
函数 ,由此可知,当 取足够大的正数
时,有 ，当 取足够小的负数时,有 ,所以曲线 与 轴至少有
一个交点.
由（1）知 , .
因为曲线 与 轴仅有一个交点,所以 或 ,即
或 ,所以 或 ,所以当 , 时,曲
线 与 轴仅有一个交点.
C层 拓展探究练
18.（多选题）已知函数 有两个极值点 ， ，则
( )
BCD
A. 的取值范围为 B.
C. D.
[解析] 且定义域为 ，则 .当 时，
，则 单调递增，不可能存在两个零点，即 不可能存在两个极值
点，故A错误；当 时， ，则 单调递增，当 时，
，则 单调递减，则 .当 时，
，所以 至多有一个零点，当 时，
，而 ，当 趋近于0时， 趋于负无穷大，
当 趋近于正无穷时， 趋于负无穷大.综上， ， 在 ,
内各有一个零点 ， 且 ，因为
且 趋近于0时， 趋于负无穷大，所以 ，故 .令
, ，
.又 , ，所以 , 单调递减，故
当 时， .又 ，所以
，而 ，
因此 ，故B正确；
.令 ，显然有 ，令
, ，显然 ，因此有
.
设 ，则 ，当 时， ,
单调递减，当 时， , 单调递增.因为 ，所以
.令 ，则 .因为 ，所以 ,所以 单调递增.因为 ，所以
，而 ，所
以 .因为 ，所以 ，当 时， 单
调递减，因此有 ，即 ，故C正确；由
，得 ，所以 ，故D正确.故选
.
19.已知函数 且 是函数 的极值点.
（1）求实数 的值；
解 当 时, ,
所以 .
由已知,得 ,
所以 ,解得 .
（2）若函数 仅有一个零点,求实数 的取值范围.
由（1）知,当 时, , .
令 ,得 或 （舍去）,
所以当 时, , 单调递减, .
当 时, , 单调递增, .
而当 时, 单调递增, .
因为函数 仅有一个零点,即函数 的图象与直线 仅有一个
交点,所以 或 ,即实数 的取值范围为
.(共23张PPT)
01
分层作业
A层 基础达标练
1.函数 , 的最大值是( )
C
A. B. C. D.
2.函数 在区间 上的最大值和最小值分别是( )
C
A.1, B.1, C.3, D.9,
3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 元,销量为
件,则销量 （单位:件）与零售价 （单位:元）有如下关系: ，
则最大毛利润为（毛利润 销售收入-进货支出）( )
D
A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元
4.函数 在区间 上的值域为_______.
,
5.已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值,则
的取值范围是_ ____________.
（ , ）
6.求下列函数的最值:
（1） , ；
解 .令 ,即 ,且 , ,所以 .
又因为 , , ,所以当 时,函数的最大值为
,最小值为 .
（2） , .
, .令 ,化简为 ,解得 （舍
去）, .当 时, , 单调递增；当 时, ,
单调递减,所以 为函数 的极大值.又 ,
, ,所以 为函数 在 上的最小值,
为函数 在 上的最大值.
7.如图,某段铁路 长为80千米, ,且 千米,为
将货物从 地运往 地,现在 上距点 为 千米的点 处修
一公路至点 .已知铁路运费为每千米2元,公路运费为每千米4元.
（1）将总运费 表示为 的函数.
解 依题意,铁路 上的运费为 元,公路 上的运费为 元,则由 地到 地的总运费 .
（2）如何选点 才能使总运费最少
.令 ,得 或 （舍去）.当
时, ；当 时, .故当 时, 取得最小值,即
当在距离点 为 千米的点 处修一公路至点 时，总运费最少.
B层 能力提升练
8.已知函数 ,若对于区间 上的任意 , ,都有
,则实数 的最小值是( )
A
A.20 B.18 C.3 D.0
9.函数 与 的最小值分别为 , ,则( )
A
A. B.
C. D. , 的大小不能确定
[解析] 的定义域是 , .令 ,得 ,令
,得 ,则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
的最小值是 ,故 .
,定义域为 , .
令 ,则 , ，则 在 上单调
递增,且 , ,故存在 使得 ,即
,即 ,当 时, , , 单调递减；
当 时, , 单调递增,故当 时,函数取得最小值
,即 ,所以 .故选A.
10.当 时，函数 取得最大值 ，则 ( )
B
A. B. C. D.1
11.已知函数 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根
, ，则 的最小值为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 函数 的图象如图所示.
已知关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 ,
，所以 ，则 ，
.设函数 ，则
.当 时, , 单调递减；当
时, , 单调递增.故 的最小值为
.故选D.
12.（多选题）定义在 上的函数 的导函数的图象如图所
示，则下列说法正确的是( )
ACD
A.函数 在 上单调递减 B.
C.函数 在 处取得极小值 D.函数 存在最小值
[解析] 在 上恒成立，则 在 上单调递减，故A正确； 在 上恒成立，则 在 上单调递增，则 ，故B错误；在 上， ，在 上， ,则函数 在 处取得极小值，故C正确;由导函数图象可知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 在两个极小值 和 中产生，故存在最小值，故D正确.故选 .
13.若 是直线 上的一点， 是曲线 上的一点，则 的最小值
为_ ___.
[解析] 因为 是曲线 上的一点，故设 , ，所以点 到直线
的距离为 .令 ，则
.当 , , 单调递增；当 , ,
单调递减，所以 ，所以
，所以 的最小值为 .
14.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,
再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底
面边长为_ _时,其容积最大.
[解析] 如图,设被切去的全等四边形的一边长为 ,则正六棱柱的底面边
长为 ,高为 ,所以正六棱柱的体积 ,则
.令 ,得 （舍去）或 .当
, 时, ;当 , 时, .
故当 时, 有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为 .
15.已知函数 的导数 的最大值为5,则函数
在点 处的切线方程是_________________.
[解析] 因为 ,所以
.
因为 ,所以 ，
所以 , , .
又 ,
所以所求切线方程为 ,即 .
16.已知函数 , , ,且曲线 在 处与直线 相切.
（1）求 , 的值；
解 .
由曲线 在 处与直线 相切,得 即 解得
（2）求 在 上的最大值.
由（1）,得 ,定义域为 .
令 ,得 ；令 ,得 .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上的最大值为 .
C层 拓展探究练
17.（多选题）下列说法正确的是( )
AC
A. 的最小值为1 B. 的最小值为1
C. 的最小值为1 D. 的最小值为1
[解析] 对于A，因为 ，所以 ，所以函数 在
上单调递减，在 上单调递增，故函数 的最小值为 ，故
A正确；对于B，因为 ，所以 ，所以函数 在
上单调递减，在 上单调递增，故函数 的最小值为 ，故B错
误；对于C，因为 ，所以 ，所以函数
在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 的最小值为 ，故
C正确；对于D，因为 ，所以 ，所
以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故函数 的最小值为
，故D错误.故选 .
18.已知函数 .
（1）若 ,求函数 的极值；
解 当 时, , ,显然 在 上单调递增,注意到 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,无极大值.
（2）当 时, ,求 的取值范围.
因为 , , ,所以 ,显然 在
上单调递增,且 , ,
所以存在唯一的 , 使 ,即 ,可得 ,
且当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增,所以
,解得
或 ,所以 , , .(共16张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点.导数与函数的单调性
一般地,在某区间上函数 的单调性与导数 有如下关系:
条件 结论
常数函数
名师点睛
（1）直观表示
（2）一般地,可导函数 在区间 上单调递增（减）的充要条件是:对
任意的 ,都有 ,且 在区间 的任何子区间上都不
恒等于0.
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】函数图象与导函数图象的关系
例1 （多选题）在同一坐标系中作出三次函数 及其
导函数的图象,下列一定不正确的是( )
CD
A.&1& B.&2& C.&3& D.&4&
[解析] 易知 ,它是二次函数,图象为抛物线.
当 时, 单调递增；当 时, 单调递减 ,B中函数
图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；C中导函数为负的区间内相应的函数
不单调递减,故错误；D中导函数为正的区间内相应的函数不单调递增,故错误.故选 .
规律方法
函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,图象上升；符号为负,图象下降.看导函数图象时,主要是看图象在 轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象.
跟踪训练1 若偶函数 为 的导函数, 的图象如图所示,则
函数 的图象可能为( )
B
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
[解析] 由题意，得 为偶函数,设 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为
, , .由图象可得,当 时, ,则 单调递增,当
时, ,则 单调递减,当 时, ,则 单调递
增,故选项A错误,选项D错误；由 的图象可知, 在 左右的值是变化的,
而选项C中, 的图象在 左右是一条直线,其切线的斜率为定值,即导数 为
定值,故选项C错误,选项B正确.故选B.
【题型二】判断（证明）函数的单调性
例2（1） 求证:函数 在区间 上是单调递增的,在区间
上是单调递减的；
证明 因为 ,所以 当 时, ,即
，故函数 在区间 上是单调递增的；
当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单
调递减的.
（2）判断函数 在区间 上的单调性.
解 因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
故 ，
所以函数 在区间 上单调递增.
规律方法
（1）利用导数证明函数 在给定区间上的单调性,实质上就是证明
或 在给定区间上恒成立.
（2）利用导数判断可导函数 在区间 上的单调性,步骤是:①求 ；②
确定 在区间 上的符号；③得出结论.
跟踪训练2 已知函数 求证: 在区间 上单调递增.
证明 因为 ,所以 在区间
上单调递增.
【题型三】求函数的单调区间
例3 求下列函数的单调区间:
（1） ；
解 的定义域为 , .由 ,得 ,解
得 或 ；由 ,得 .故 的增区间是 和
，减区间是 .
（2） .
.因为 ,所以 恒成立,故所求的减区间为
,无增区间.
规律方法 求函数 的单调区间的步骤
跟踪训练3 求下列函数的单调区间：
（1） ；
解 的定义域为 ,
.
令 ,得 或 ；
令 ,得 或 .故 的增区间是
和 ，减区间是 和 .
（2） .
函数 的定义域为 , .令 ,即
解得 ；令 ,即 解得 .
故函数 的增区间为 ，减区间为 .(共25张PPT)
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
【课标要求】1.了解函数极值的概念,结合图象直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.函数极大（小）值的概念
一般地,若存在 ,当 时,都有 ,则称 为函
数 的一个极大值；类似地,若存在 ,当 时,都有
,则称 为函数 的一个极小值.函数的极大值、极小值统称为函数
的极值.
名师点睛
（1）极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较时最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
（2）函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.
（5）若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的点可能不是函数
的极值点.也就是说,若 存在,则“ ”是“ 在 处取得极值”的必要不
充分条件.
（6）若 在区间 内有极值,则 在 内一定不是单调函数,即在某
区间上单调的函数没有极值.
（7）如果函数 在 上连续且有极值,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数 在 上连续且有有限个极值点时,函数 在 上的极大值点、极小值点是交替出现的.
知识点2.函数的极值与导数的关系
（1）极大值与导数之间的关系
（2）极小值与导数之间的关系
02
题型分析·能力素养提升
【题型一】求函数的极值
角度1 不含参数的函数求极值
例1 求下列函数的极值:
（1） ；
解 因为 ,所以 的定义域为 ,
.令 ,得 或 .当 变化时, ,
的变化情况如下表:
0 1
- 0 - 0
2 1
所以当 时, 有极小值,为 ,无极大值.
（2） .
函数 的定义域为 , .令 ,得
.当 变化时, , 的变化情况如下表:
1
- 0
3
从表中可以看出,当 时,函数 有极小值,为 ,无极大值.
规律方法 求可导函数 的极值的步骤
解 函数 的定义域为 ,
.令 ,即
,解得 或 .当 变化时, , 的变化情况如下表:
0 2
- 0 0 -
0
所以当 时, 取得极小值,且极小值为 ；当 时, 取得极大值,
且极大值为 .
跟踪训练1 求函数 的极值.
角度2 含参数的函数求极值
例2 已知函数 .
解 函数 的定义域为 , .
（1）当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(1)当 时, , ,所以 , ,所以 在点 处的切线方程为 ,即
（2）求函数 的极值.
, .
①当 时, , 在区间 上单调递增,函数 无极值；
②当 时,由 ,得 .
因为 时, , 时, ,所以 在 处取得极小
值,且极小值为 ,无极大值.综上,当 时,函数 无极值；当
时,函数 在 处取得极小值 ,无极大值.
规律方法
讨论参数应从 的根的个数与大小入手.
跟踪训练2 已知函数 ,当实数 时,求函数
的单调区间与极值.
解 .令 ,解得 或 .由
，知 .分以下两种情况讨论:
①若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:
0 - 0
所以 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减,
函数 在 处取得极大值 ,且 ,函数 在
处取得极小值 ,且 .
②若 ,则 .当 变化时, , 的变化情况如下表:
0 - 0
所以 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减,函数 在 处取得极大值 ,且 ,函数 在 处取得极小值 ,且 .综上,当 时, 的增区间为 , ,减区间为 ,极大值为 ,极小值为 ；当 时, 的增区间为 , ,减区间为 ,极大值为 ,极小值为 .
【题型二】利用函数极值确定参数的值
例3 已知函数 在 处取得极值.
（1）求实数 的值；
解 .因为 在 处取得极值,所以 ,解得 .经验证，当 时, 在 处取得极值，故 .
（2）若函数 在区间 上存在零点,求实数 的取值范围.
由（1）知， ,
,
将 , , 在 内的取值列表如下:
0 2 4
- 0
由此可得, 在 内有零点,只需 所以 .
故实数 的取值范围是 .
规律方法 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意以下两点
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解；
（2）因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.
（1）求常数 , , 的值；
解 因为函数 在 处取得极值,所以 是方程 的两根,
代入得
又 ,所以 .③
联立①②③，得 , , .
跟踪训练3 已知函数 在 处取得极值,且 .
（2）判断当 时,函数 取极大值还是极小值,试说明理由,并求出极值.
由（1）知, , ,所以 .当 或 时, ,当 时, ,所以函数 在区间 和 上单调递增,在区间 上单调递减,所以当 时,函数取得极大值 ；当 时,函数取得极小值 .
【题型三】极值的综合应用
例4 已知函数 （ 为实数）,若方程 有三个不同的实数根,
求实数 的取值范围.
解 令 ,解得 , .当 时,
；当 时, ；当 时, ，故当 时,
有极大值 ；当 时, 有极小值 .因为方程
有三个不同的实数根,所以 的图象与 轴有三个交点,所以
解得 ,故实数 的取值范围是 .
规律方法
利用导数可以判断函数的单调性,研究函数的极值情况,并能在此基础上画出函数的
大致图象,从直观上判断函数图象与 轴的交点或两个函数图象的交点个数,从而为研究
方程根的个数问题提供了方便.
跟踪训练4 本例中,若方程 恰有两个实数根,则实数 的值如何求解
解 由例4知，函数的极大值 ,极小值 ,若 恰有两
个实数根,则 或 ,所以 或 .
跟踪训练5 本例中,若方程 有且只有一个实数根,求实数 的取值范围.
解 由例4知,要使方程 有且只有一个实数根,只需 或 ,即
或 .故 的取值范围为 .
