百树学校2023-2024学年高一上学期开学考试
数学试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，B={ }，
则（ ）
A． B．
C． D．
3．若,则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设集合A={2，2+2, 1}，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
6．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．下列命题中为真命题的是（ ）
A．所有的矩形都是正方形
B．集合与集合表示同一集合
C．是的必要不充分条件
D．，
8．若集合,则能使
成立的所有组成的集合为（ ）
B． C． D．
二、多选题（错选得0分，部分选对得2分，全对得5分，共20分）
9．设全集，集合，，则（ ）
A．
B．
C．
D．集合的非空真子集个数为6
10．对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
11．设，，若，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
12．下列四个命题中假命题是（ ）
A．， B．，
C．，使 D．，
三、填空题（每题5分，共20分）
13．设全集，若集合，则 .
14．下列各式中：①；②{0，1，2}；③；④；⑤{0，1}={（0，1）}；⑥0={0}．正确的序号是 ．
15．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为 ．
16．已知命题或，命题或，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题(17题10分，18-22每题12分，共70分)
17．把下列数集用区间表示：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．用适当的方法表示下列集合：
（1）由方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由小于8的所有素数组成的集合B；
（3）一次函数与图象的交点组成的集合C；
（4）不等式的解集为集合D.
19．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
(1)至少有一个整数，既能被整除，又能被整除；
(2)，；
(3)，使为的约数；
(4)，．
20．设全集，，，求下列交并补运算：
(2)
(3)
21．已知集合．
(1)求；
(2)若集合满足，求实数a的取值范围．
22．已知集合或，．
(1)若，求和；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围参考答案：
1．B
【分析】由交集定义计算．【详解】∵，故选：B．
2．B
【分析】根据并集的知识确定正确答案.【详解】.故选：B
3．C
【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可．
【详解】当时，，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：C.
4．B
【分析】解一元一次不等式求出集合再求交集可得答案.
【详解】因为，，所以.故选：B.
5．D
【分析】由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
6．B
【分析】由Venn图确定集合的表示，然后计算可得．
【详解】，由题意图中阴影部分表示为，故选：B．
7．C
【分析】由正方形与矩形的概念可判定A项，由描述法的概念可判定B项，由平方的性质结合充分必要条件的定义可判定C项，由配方法可判定D项.
【详解】对于A项，所有长宽不等的矩形都不是正方形，故A错误；
对于B项，由描述法的概念可知集合与集合分别表示点的集合与数的集合，
显然不表示同一集合，故B错误；
对于C项，由，不满足充分性，若则，满足必要性，故C正确；
对于D项，，故D错误.
故选：C
8．C
【分析】考虑和两种情况,得到不等式组,解得答案.
【详解】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;综上所述:.故选:C.
9．ACD
【分析】应用集合的交并补运算判断A、B、C；由集合中元素个数判断子集个数，结合非空真子集定义判断D.
【详解】由题设，，，A、C对，B错；
由共有3个元素，则的子集有个，去掉空集及本身，故非空真子集个数为个，D对.
故选：ACD
10．ABD
【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.
【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；
B：若时，充分性不成立，假命题；
C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；
D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.
故选：ABD
11．ABC
【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案.
【详解】由题意，，因为，所以，
若，则，满足题意；
若，则，因为，所以或，则或.
综上：或或.
故选：ABC.
12．ABD
【分析】根据全称命题与存在性命题的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，所以A为假命题；
对于B中，当时，，所以B为假命题；
对于C中，当时，，所以C为真命题；
对于D中，由，解得，其中都为无理数，所以D为假命题.
故选：ABD.
13．/
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】因为全集，集合，所以，故答案为：.
14．②③
【分析】利用元素和集合，集合与集合的关系求解.
【详解】①，故错误；②，故正确；③，故正确；④ ，故错误；
⑤是数集，是点集，故错误；⑥，故错误．故答案为：②③
15．/
【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.
【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；
②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.
故答案为：.
16．
【分析】由充分条件列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，所以.故答案为：
17．(1)(2)(3)(4)
【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
18．（1）；（2）；（3）或；（4）.
【解析】（1）求出二次函数的根，用列举法表示集合；（2）用列举法表示小于8的所有素数组成的集合；（3）描述法或列举法表示两函数图象的交点组成的集合；（4）描述法表示不等式的解集.
【详解】（1）的所有实数根为-3，3，所以方程的所有实数根组成的集合为；
（2）小于8的所有素数为，所以小于8的所有素数组成的集合为；
（3）一次函数与图象的交点组成的集合或；
（4）不等式的解集为.
【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题.
19．(1)存在量词命题，真命题(2)全称量词命题，真命题
(3)存在量词命题，真命题(4)存在量词命题，真命题(5)全称量词命题，假命题
【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题.
【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，
既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题．
（2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题，
因为，所以恒成立，故该命题为真命题．
（3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题，当或时，，故该命题为真命题．
（4）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题，当时，为的约数，所以该命题为真命题．
（5）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题，当时，，所以该命题为假命题．
20．或；；或；或.
【分析】根据全集U及A，求出A的补集；求出A与B的并集；求出A补集与B的交集即可.
【详解】全集，,，
或，，或，
或.
21．(1)(2)
【分析】（1）由交集的定义计算即可；
（2）由可得，结合集合大小范围求参数即可.
【详解】（1）由条件可得，
∴．
（2）由条件可得，而，
则，即实数a的取值范围为．
22．(1)，或(2)或
【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；
（2）根据必要条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）∵，∴，∴，或；
（2）∵是的必要条件，∴∴当时，则有，解得．满足题意．
当时，有，或，
由不等式组可得，不等式组无解．
综上所述，实数a的取值范围是或
