5.3圆的面积（教案）-六年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 5.3圆的面积（教案）-六年级上册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 26.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-26 22:00:26 | ||
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文档简介
5.3圆的面积（教案）-六年级上册数学人教版
教学目标
1.学生能理解圆面积的含义，掌握圆的面积计算公式，并运用所学知识解决生活中关圆面积的实际问题。
2.通过建立猜想、推理验证、对比讨论、归纳总结等活动方式，探索圆的面积计算公式的推导过程。
3.经历圆的面积公式的推导过程，进一步体会“转化”、“化曲为直”、“极限”等数学思想，增强空间观念，发展数学思考。
4.感悟数学知识内在联系的逻辑之美，体验发现新知的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的快乐。
【教学重点】掌握圆的面积计算公式，能够正确地计算圆的面积。
【教学难点】：从猜想-推理-验证-结论等数学活动中培养学生的推理能力，让学生通过”极限思想“”化曲为直”等数学方法，推导出圆的面积计算公式。
教学过程：
一、导：创设情境，引起探究欲望。（课前和学生交流，增进与学生之间的关系，了解学生的困惑，为新课做铺垫）
1、谈话，引出我的困惑，求助学生帮助我解决我的困惑：如果给我家餐桌面配一块圆形桌布（桌布大小与餐桌面面积一样大），那么需要多少平方米的桌布呢？
2、师：谁能说说我的困惑跟谁有关系？（预设：跟圆的面积有关系）（板书课题 圆的面积）
【设计意图：通过“老师的困惑”这一情景，让学生感受数学来源于生活，同时了解今天的学习任务，激发学生的学习兴趣）
（1）师出示一个圆： 什么是圆的面积，你能摸一摸，说一说吗？
板书圆所占平面的大小叫做圆的面积。
(2)再出示一个圆：你能一眼看出这两个圆哪个圆的面积大吗？你是怎么看出来的？（生：这个圆的半径长）
（3）师：你的意思是圆的面积和半径有关系了，那圆的面积和半径之间有什么样的关系呢？我们一起来研究一下？（板书r）
【设计意图：通过学生摸一模、说一说的活动唤起学生的旧知，明白圆的面积和半径有关系】
二、研：探究圆的面积。
建立猜想，引发探究需要。
1.课件出示外切圆和内切圆。
（1）外切圆。师：现在我在这个圆外画了一个最小的正方形，你有什么发现？（大正方形被平均分成了4份、圆也被平均分成了4份。)
师：你们观察得真仔细，是圆的面积大，还是正方形的面积大？正方形的面积怎么计算？（师板书：4r >圆的面积>
出示内切圆。师：现在我又在这个圆内画了一个最大的正方形，你又有什么发现？（正方形被分成了4个三角形，圆被平均分成了4份，圆的面积大，正方形的面积小……）圆内正方形的面积怎么求？
（预设生：2r ）师板书：4r >圆的面积>2r
猜想：师：刚才我们通过对比发现圆的面积在4r 和2r 的之间由此你会有什么样的猜测呢？
（预设：生：圆的面积会不会就是r 的2倍多或3倍多或刚好3倍呢？）
师板书：r 的2倍多 3倍多或3倍
师：到底谁猜得对呢？我们还要进行深入的研究。
【设计意图：由外切圆和内切圆中圆与正方形的关系，让学生建立猜想：圆的面积是不是r 的3倍多，从而激发学生探究的欲望，此时学生处于粗狂的思维。】
（二）验证猜想。（1）师：刚才我们在这幅图中发现，正方形被平均分成了4个三角形，圆也被平均分成了4部分，每一部分都比三角形多了外面红色的部分，如果要使红色部分越来越小，可以怎么办？（出示课件圆内正六边形）
师：现在我把圆内的正方形也就是正四边形换成了一个正六边形，你们有什么发现（圆内的图形平均分成了6个小三角形，圆也被平均分成了6份，三角形和圆之间红色部分的面积在逐渐缩小，），这时，你们有什么想法吗？（如果分的分数再多一些，圆内图形会不会更接近外面的圆）
师：那就按你们的想法来，我现在把圆平均分成了12份，是不是和你们想的一样呢？（结合图，红色部分越来越小，圆上每一段的弧也越来越短，越来越直，每一份有点接近什么图形？那如果分的分数再多一些，再多一些，红色部分越来越小每一份会越来越接近三角形。最后圆内的图形面积就会无限的逼近圆的面积。这其实就是我们所说的”极限思想”。板书“极限思想”
视频出示：“割圆术”。师：我们的古人早就有这样的数学思想了。播放视频“割圆术”，（中间的时候暂停，你看到了什么？还想继续吗？100时接着问：还可以分吗？如果继续分会得到什么？（会得到无数个更小更小的三角形）对，我们圆的面积就由这无数个三角形的面积组成。
【设计意图：学生从圆内在多边形无限逼近圆的面积，追溯知识的根源，也感知到将圆分割成无数小三角形的必要性。从观看“割圆术”的视频体会“极限思想”，感受到古人的聪明与智慧。此时学生处于精细的思维。】
2、操作体验拼的过程。
（1）师：老师已经将把这些小三角形剪下来了，你能利用这些小三角形求圆的面积吗？
（2）小组合作，将信封里的8等分和16等分的圆进行拼接。
师：我给你们每个小组都准备了1个8等分和16等分的圆，4人小组合作一下，看你们如何利用这些小三角形推导出圆的面积。
（3）汇报所拼成的图形。
（预设：拼出的图形有近似的平行四边形、长方形、三角形）
师追问：你是怎么想到拼成这些图形的。
【设计意图：学生通过创造性的思维，多种方法的呈现，感受解决问题方法的多样化,同时渗透“化曲为直”的数学思想】
（4）课件出示8等分，16等分，32等分，拼成的图形逐渐接近于长方形。
3、观察对比得出结论。
（1）请学生上台拼教具。（先合拢）师引导：仔细观察，老师是怎么拼的，这个长方形的长和原来的圆有什么关系？宽和圆的什么有关系？
（2）请学生讲解长方形和圆的关系。（预设：生：这个长方形的长相当于圆周长的二分之一也就是πr，长方形的宽相当于圆的半径。
师根据学生的发现板书关系。
师：刚才我们通过剪、拼，将圆转化成了一个近似的长方形。在这个过程中，什么变了，什么没变？（板书长方形的面积=圆的面积）
师小结：刚才我们将一个曲线图形圆通过剪拼，转化成了一个直线图形长方形（化曲为直），在转化过程中，它们的形状发生了变化，但面积没变，这就是我们数学里的“等积变形”。（板书等积变形）
（4）推出结论（预设：长方形的面积= 长 × 宽，
圆的面积=圆周长的一半×半径
=Πr
S=Πr
【设计意图：学生通过小组合作，剪拼、观察、想象和思考，自主发现从而推导出圆的面积计算公式。，使学生经历了数学知识形成的过程,同时培养学生的探索精神和创新意识。此时学生形成了精准的思维】
三、知识延伸
（1）师：刚才我们通过剪拼推导出了圆的面积计算公式。实际上，我只需要剪，不需要拼，也可以推导出圆的面积计算公式，你们想知道吗？师将16等分的教具合拢，进行推理。
圆的面积=16 × 小三角形的 面积
=16××r×=Πr
（2）如果没有拼成三角形或梯形的，可以课件出示，让学生下课思考。师：我们拼或不拼都将圆的面积计算公式推导出来了，那是因为我们从中发现了它们内在的联系。如果让你将这些三角形重新拼组，你觉得还可以拼成哪些平面图形帮助我们研究圆的面积计算公式呢？（课件出示三角、梯形，师：这个探究就留给你们下来在思考吧！
（3）小结。（结合黑板）
师：今天我们追随着数学家的思想进行了一个艰难的推理过程，你能谈谈你的收获吗？
【设计意图:通过老师的不剪不拼推导出圆的面积计算公式，让学生体会知识内在的联系，并引导学生从多方位去思考问题】
四、展：运用圆的面积计算公式解决生活中的问题。
（一）基础练习：
1.解决圆桌桌布的大小的问题。
师：你们的收获可真不少，那现在可以帮助老师解决困惑了吗 (生：可以。师：开始吧。生不动，师：为什么你们不动呢？生：不知道数据。师：那你想知道哪些数据。生：半径；生：直径；生；周长)
学生分组完成练习。
汇报交流，你有什么发现？（求圆的面积在最终都是要知道半径？）
（二）拓展延伸。
1.有大小两个圆，小圆的周长是12.56m，大圆的直径是小圆的2倍，大圆的面积是多少？
2.一块正方形草坪，边长10米，草坪中间的自动喷管龙头的射程是5米。
（1）这个龙头最多可喷射多大面积的草坪？
（2）喷灌后至少可剩下的面积有多大？
3.张大爷家有一个圆形鱼塘，他围着鱼塘走一圈，正好走了628步，平均每步长0.5m。
（1）这个鱼塘的周长是的多少米？
（2)这个鱼塘的占地面积是多少平方米？
教学目标
1.学生能理解圆面积的含义，掌握圆的面积计算公式，并运用所学知识解决生活中关圆面积的实际问题。
2.通过建立猜想、推理验证、对比讨论、归纳总结等活动方式，探索圆的面积计算公式的推导过程。
3.经历圆的面积公式的推导过程，进一步体会“转化”、“化曲为直”、“极限”等数学思想，增强空间观念，发展数学思考。
4.感悟数学知识内在联系的逻辑之美，体验发现新知的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的快乐。
【教学重点】掌握圆的面积计算公式，能够正确地计算圆的面积。
【教学难点】：从猜想-推理-验证-结论等数学活动中培养学生的推理能力，让学生通过”极限思想“”化曲为直”等数学方法，推导出圆的面积计算公式。
教学过程：
一、导：创设情境，引起探究欲望。（课前和学生交流，增进与学生之间的关系，了解学生的困惑，为新课做铺垫）
1、谈话，引出我的困惑，求助学生帮助我解决我的困惑：如果给我家餐桌面配一块圆形桌布（桌布大小与餐桌面面积一样大），那么需要多少平方米的桌布呢？
2、师：谁能说说我的困惑跟谁有关系？（预设：跟圆的面积有关系）（板书课题 圆的面积）
【设计意图：通过“老师的困惑”这一情景，让学生感受数学来源于生活，同时了解今天的学习任务，激发学生的学习兴趣）
（1）师出示一个圆： 什么是圆的面积，你能摸一摸，说一说吗？
板书圆所占平面的大小叫做圆的面积。
(2)再出示一个圆：你能一眼看出这两个圆哪个圆的面积大吗？你是怎么看出来的？（生：这个圆的半径长）
（3）师：你的意思是圆的面积和半径有关系了，那圆的面积和半径之间有什么样的关系呢？我们一起来研究一下？（板书r）
【设计意图：通过学生摸一模、说一说的活动唤起学生的旧知，明白圆的面积和半径有关系】
二、研：探究圆的面积。
建立猜想，引发探究需要。
1.课件出示外切圆和内切圆。
（1）外切圆。师：现在我在这个圆外画了一个最小的正方形，你有什么发现？（大正方形被平均分成了4份、圆也被平均分成了4份。)
师：你们观察得真仔细，是圆的面积大，还是正方形的面积大？正方形的面积怎么计算？（师板书：4r >圆的面积>
出示内切圆。师：现在我又在这个圆内画了一个最大的正方形，你又有什么发现？（正方形被分成了4个三角形，圆被平均分成了4份，圆的面积大，正方形的面积小……）圆内正方形的面积怎么求？
（预设生：2r ）师板书：4r >圆的面积>2r
猜想：师：刚才我们通过对比发现圆的面积在4r 和2r 的之间由此你会有什么样的猜测呢？
（预设：生：圆的面积会不会就是r 的2倍多或3倍多或刚好3倍呢？）
师板书：r 的2倍多 3倍多或3倍
师：到底谁猜得对呢？我们还要进行深入的研究。
【设计意图：由外切圆和内切圆中圆与正方形的关系，让学生建立猜想：圆的面积是不是r 的3倍多，从而激发学生探究的欲望，此时学生处于粗狂的思维。】
（二）验证猜想。（1）师：刚才我们在这幅图中发现，正方形被平均分成了4个三角形，圆也被平均分成了4部分，每一部分都比三角形多了外面红色的部分，如果要使红色部分越来越小，可以怎么办？（出示课件圆内正六边形）
师：现在我把圆内的正方形也就是正四边形换成了一个正六边形，你们有什么发现（圆内的图形平均分成了6个小三角形，圆也被平均分成了6份，三角形和圆之间红色部分的面积在逐渐缩小，），这时，你们有什么想法吗？（如果分的分数再多一些，圆内图形会不会更接近外面的圆）
师：那就按你们的想法来，我现在把圆平均分成了12份，是不是和你们想的一样呢？（结合图，红色部分越来越小，圆上每一段的弧也越来越短，越来越直，每一份有点接近什么图形？那如果分的分数再多一些，再多一些，红色部分越来越小每一份会越来越接近三角形。最后圆内的图形面积就会无限的逼近圆的面积。这其实就是我们所说的”极限思想”。板书“极限思想”
视频出示：“割圆术”。师：我们的古人早就有这样的数学思想了。播放视频“割圆术”，（中间的时候暂停，你看到了什么？还想继续吗？100时接着问：还可以分吗？如果继续分会得到什么？（会得到无数个更小更小的三角形）对，我们圆的面积就由这无数个三角形的面积组成。
【设计意图：学生从圆内在多边形无限逼近圆的面积，追溯知识的根源，也感知到将圆分割成无数小三角形的必要性。从观看“割圆术”的视频体会“极限思想”，感受到古人的聪明与智慧。此时学生处于精细的思维。】
2、操作体验拼的过程。
（1）师：老师已经将把这些小三角形剪下来了，你能利用这些小三角形求圆的面积吗？
（2）小组合作，将信封里的8等分和16等分的圆进行拼接。
师：我给你们每个小组都准备了1个8等分和16等分的圆，4人小组合作一下，看你们如何利用这些小三角形推导出圆的面积。
（3）汇报所拼成的图形。
（预设：拼出的图形有近似的平行四边形、长方形、三角形）
师追问：你是怎么想到拼成这些图形的。
【设计意图：学生通过创造性的思维，多种方法的呈现，感受解决问题方法的多样化,同时渗透“化曲为直”的数学思想】
（4）课件出示8等分，16等分，32等分，拼成的图形逐渐接近于长方形。
3、观察对比得出结论。
（1）请学生上台拼教具。（先合拢）师引导：仔细观察，老师是怎么拼的，这个长方形的长和原来的圆有什么关系？宽和圆的什么有关系？
（2）请学生讲解长方形和圆的关系。（预设：生：这个长方形的长相当于圆周长的二分之一也就是πr，长方形的宽相当于圆的半径。
师根据学生的发现板书关系。
师：刚才我们通过剪、拼，将圆转化成了一个近似的长方形。在这个过程中，什么变了，什么没变？（板书长方形的面积=圆的面积）
师小结：刚才我们将一个曲线图形圆通过剪拼，转化成了一个直线图形长方形（化曲为直），在转化过程中，它们的形状发生了变化，但面积没变，这就是我们数学里的“等积变形”。（板书等积变形）
（4）推出结论（预设：长方形的面积= 长 × 宽，
圆的面积=圆周长的一半×半径
=Πr
S=Πr
【设计意图：学生通过小组合作，剪拼、观察、想象和思考，自主发现从而推导出圆的面积计算公式。，使学生经历了数学知识形成的过程,同时培养学生的探索精神和创新意识。此时学生形成了精准的思维】
三、知识延伸
（1）师：刚才我们通过剪拼推导出了圆的面积计算公式。实际上，我只需要剪，不需要拼，也可以推导出圆的面积计算公式，你们想知道吗？师将16等分的教具合拢，进行推理。
圆的面积=16 × 小三角形的 面积
=16××r×=Πr
（2）如果没有拼成三角形或梯形的，可以课件出示，让学生下课思考。师：我们拼或不拼都将圆的面积计算公式推导出来了，那是因为我们从中发现了它们内在的联系。如果让你将这些三角形重新拼组，你觉得还可以拼成哪些平面图形帮助我们研究圆的面积计算公式呢？（课件出示三角、梯形，师：这个探究就留给你们下来在思考吧！
（3）小结。（结合黑板）
师：今天我们追随着数学家的思想进行了一个艰难的推理过程，你能谈谈你的收获吗？
【设计意图:通过老师的不剪不拼推导出圆的面积计算公式，让学生体会知识内在的联系，并引导学生从多方位去思考问题】
四、展：运用圆的面积计算公式解决生活中的问题。
（一）基础练习：
1.解决圆桌桌布的大小的问题。
师：你们的收获可真不少，那现在可以帮助老师解决困惑了吗 (生：可以。师：开始吧。生不动，师：为什么你们不动呢？生：不知道数据。师：那你想知道哪些数据。生：半径；生：直径；生；周长)
学生分组完成练习。
汇报交流，你有什么发现？（求圆的面积在最终都是要知道半径？）
（二）拓展延伸。
1.有大小两个圆，小圆的周长是12.56m，大圆的直径是小圆的2倍，大圆的面积是多少？
2.一块正方形草坪，边长10米，草坪中间的自动喷管龙头的射程是5米。
（1）这个龙头最多可喷射多大面积的草坪？
（2）喷灌后至少可剩下的面积有多大？
3.张大爷家有一个圆形鱼塘，他围着鱼塘走一圈，正好走了628步，平均每步长0.5m。
（1）这个鱼塘的周长是的多少米？
（2)这个鱼塘的占地面积是多少平方米？