2023-2024学年福建省福州十九中八年级（上）开门考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州十九中八年级（上）开门考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
3. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为( )
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是( )
A. 从全校名学生中抽取名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为
B. 了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查
C. 调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查
D. 旅客乘坐飞机前的安检适合用抽样调查
5. 如图，将三角形沿着方向平移得到三角形，则下列结论错误的是( )
A. ． B. C. D.
6. 如果，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
8. 能说明命题“对于任何实数，”，是假命题的一个反例可以是( )
A. B. C. D.
9. 我国古代数学著作九章算术卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出元，则余元；若每人出元，则少元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有人合买，这件物品元，则根据题意列出的二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
10. 如图，，点是的中点，平分，且，则点到线段的最小距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 的算术平方根是______ ．
12. 如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多______．
13. 若点在轴上，则 ______ ．
14. 如图，已知，，，且，则点的坐标是______ ．
15. 已知实数，，，满足，若，则的最大值为______ ．
16. 如图，在中，，角平分线、交于点，于点下列结论：
：：；
；
；
，
其中正确结论是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解二元一次方程组．
若上述方程组的解是关于，的二元一次方程的一组解，求代数式的值．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
19. 本小题分
解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
20. 本小题分
如图，，，点、在线段上，且，连接、．
求证：．
21. 本小题分
如图，在中，．
尺规作图，在上求作一点，使不要求写作法，保留作图痕迹；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是______ 提示：、、、
若中，，求的度数．
22. 本小题分
某校组织名学生参加“展示我美丽祖国”庆国庆的自拍照片的评比活动，随机取一些学生在评比中的成绩制成的统计图表如下：
频数分布表
分数段 频数 百分比
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
该调查的样本容量是______ ．
______ ， ______ ， ______ ；补全频数分布直方图；
如果评比成绩在分及以上含分的可以获奖，试估计该校参加此次活动获奖的人数．
23. 本小题分
“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，，两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数人 清理捕鱼网箱人数人 总支出元
若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
24. 本小题分
一阅读材料
若关于，的二元一次方程有一组整数解，则方程的全体整数解可表示为为整数．
例题：求关于，的二元一次方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该例题如下：
解：，，
，要取整数，当时，，
该方程一组整数解为，其全体整数解为为整数．
，．
为整数，、或．
该方程的正整数解为、和．
二解决问题
关于，的二元一次方程的全体整数解表示为为整数，则 ______ ；
请参考阅读材料，直接写出关于，的二元一次方程的一组整数解和它对应的全体整数解；
请你参考小明的解题方法，求关于，的二元一次方程的全体正整数解．
25. 本小题分
已知：平面直角坐标系中，如图，点，轴于点，并且满足．
试判断的形状并说明理由．
如图，若点为线段的中点，连并作，且，连交轴于点，试求点的坐标．
如图，若点为点的左边轴负半轴上一动点，以为一边作交轴负半轴于点，连，在点运动过程中，试猜想式子的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、是无理数；
B、是有理数；
C、为有理数；
D、是有理数；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
首先根据平角的定义求得的度数，再利用平行线的性质即可求得的度数．
【解答】
解：如图：
，，
，
，
，
故选C．
4.【答案】
【解析】解：从全校名学生中抽取名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为，故原说法错误，不符合题意；
B.了解北京冬奥会的收视率，工作量非常大，适合用抽样调查，正确，符合题意；
调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合用抽样调查，故原说法错误，不符合题意；
旅客乘坐飞机前的安检非常重要，适合用全面调查，故原说法错误，不符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查了抽样调查和全面调查的定义，为了特定的目的对全部考查对象进行的全面调查叫做普查；从全部考查对象中抽取部分个体，通过对这一部分个体的调查估计考查对象的总体情况，这种调查叫做抽样调查．
5.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知，，，，因此选项A、选项B、选项C不符合题意；
而与不一定相等，因此选项D符合题意；
故选：．
根据平移的性质逐项进行判断即可．
本题考查平移的性质，理解平移的定义，掌握平移的性质是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】【解答】
解：，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
B.，
，原变形错误，故此选项不符合题意；
C.，
，原变形正确，故此选项符合题意；
D.，
，原变形错误，故此选项不符合题意．
故选：．
【分析】
根据不等式的性质逐一判断即可．
本题考查不等式的性质，解题关键是熟知不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
7.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，根据题意
，
解得．
故选：．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
8.【答案】
【解析】解：，即此时不满足，
能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是，
故选：．
根据“对于任何实数，”成立的条件是即可得出答案．
本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：，
故选：．
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于，
，
平分，
，
又，
≌，
，
点是的中点，，
，
点到线段的最小距离为，
故选：．
如图所示，过点作于，证明≌，得到，再根据线段中点的定义得到，根据垂线段最短可知点到线段的最小距离为．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．
12.【答案】
【解析】解：是的中线，
，
的周长的周长
，
的周长比的周长多，
故答案为：．
根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
13.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，熟知轴上的点的横坐标为零是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，则，
则，
，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
点的坐标是．
故答案为：．
过点作轴于点，则，证明≌，则，，得到，即可得到点的坐标．
此题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质等知识，证明≌是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由得，
由得，
及，
，
的最大值为，
的最大值．
故答案为：．
由得，与相加得，由及，可得的最大值为，从而得出的最大值．
本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．
16.【答案】
【解析】解：如图过作于，
平分，，
，
：，故正确；
，
，
、分别平分、，且、相交于点，
，，
，
，
，
，
，
，故错误；
在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，≌，
，，
，，
，
故正确，
故答案为：．
如图过作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到：，故正确；根据角平分线的定义得到，，求得，于是得到，故错误；在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到，故正确；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，故正确．
此题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，再利用全等三角形的判定与性质解决问题．
17.【答案】解：，
，得：，
把代入，得：，
解得：，
方程组的解为；
由题意将代入中，得：
，
，
，
的值为．
【解析】利用加减消元法解二元一次方程组；
将方程组的解代入方程中，然后利用整体代入思想及算术平方根的概念求解．
本题考查方程的解及解二元一次方程组，理解方程的解的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤，准确计算是解题关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19.【答案】解：去分母：，
移项，合并同类项：，
把解集在数轴上表示出来

【解析】按照解一元一次不等式的步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为，进行计算．
本题考查解一元一次不等式，熟记解题步骤是解题关键：去分母，移项，合并同类项，系数化为．
20.【答案】证明：，
，
，
，
在和，
，
≌，
．
【解析】欲证明，只要证明≌即可；
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：如图，点为所作；
，，
，
，
．
利用基本作图，作一个角等于已知角实际上是作三边对应相等的两个三角形，然后根据全等三角形的性质得到对应角相等；
先根据三角形内角和计算出，则，然后根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
22.【答案】
【解析】解：抽查的学生总数为：人，
样本容量为，
故答案为：；
，，，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：、、；
估计该校参加此次活动获奖的人数为人．
首先求得抽取的样本总数，据此可得样本容量；
用样本容量减去其他小组的人数即可求得值，用除以样本容量即可求得值，用除以样本容量即可求得的值，根据以上求得的数据补全统计图即可；
用总人数乘以评比成绩在分及以上含分的人数所占百分比即可．
本题考查了频数分布直方图、频数分布表的有关知识，读图时要全面细致，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
23.【答案】解：设清理养鱼网箱的人均费用为元，清理捕鱼网箱的人均费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
答：清理养鱼网箱的人均费用为元，清理捕鱼网箱的人均费用为元；
设人清理养鱼网箱，则人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，
解得：，
为整数，
或，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：人清理养鱼网箱，人清理捕鱼网箱；
方案二：人清理养鱼网箱，人清理捕鱼网箱．
【解析】设清理养鱼网箱的人均费用为元，清理捕鱼网箱的人均费用为元，根据、两村庄总支出列出关于、的方程组，解之可得；
设人清理养鱼网箱，则人清理捕鱼网箱，根据“总支出不超过元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得．
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程或不等式组．
24.【答案】
【解析】解：理由如下：
当时，，
方程的一组整数解为：，
它的全部整数解为整数，
方程的全部整数解表示为：为整数，
．
故答案为：；
，为整数理由如下：
，
，
，
，为整数，
、、、、，分别代入验算，得：当时，．
原方程的一组整数解为，
原方程的全部整数解：为整数；
，
，
，
，为整数，
当时，，
原方程的一组整数解为，
原方程的全部整数解为整数，
，，
，
，
为整数，
、、或，
当、、、时，对应得：，，，，
方程的全部正整数解为：，，和．
利用题干中的方法，求得方程的一组整数解即可得出结论；
利用题干中的方法，将原方程适当变形后，求得它的一组整数解，再利用为整数解答即可得出结论；
类比小明的做法，先求得原方程的一组整数解，再求得原方程的全部整数解为整数，进而得出关于的不等式组，求得整数值，最后代入解为整数中计算即可得出结论．
本题主要考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的应用，本题是阅读型题目，理解题干中的方法与结论并熟练应用是解题的关键．
25.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由如下：，
，，
，，
点，
轴，
，，
是等腰直角三角形；
如图，过点作于，
，
，
，
又，，
≌，
，，
点是的中点，
，
，，
，，，
≌，
，
，
点；
的值不变，
理由如下：过点作于，轴于，交轴，
，，
，
又，
≌，
，，
，
，
又，
≌，
，
．
【解析】由非负性可求，，可求点坐标，即可求解；
过点作于，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，即可求解；
过点作于，轴于，交轴，可得，，由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
第1页，共1页